Đang tải... (xem toàn văn)
Trong tài liệu hơn 10 trang này, bạn sẽ tìm hiểu một vài "Kỹ thuật tạo đề" để cho ra những câu lượng giác không theo cách thông thường. Nếu bạn nào muốn làm và gặp những bài lạ thì tài liệu này sẽ là gợi ý tuyệt vời cho bạn tiếp cận bài bạn đang mắc. Kynanglamtoan xin trân trọng gửi đến bạn!
KYNANGLAMTOAN@FACEBOOK.COM GV.Nguyen Thi Thanh Huong Trang 7 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT GV. Nguyễn Thị Thanh Hương Chúng ta đã biết có nhiều phương pháp để giải phương trình lượng giác, phương pháp hay dùng nhất là biến đổi để đưa về dạng tích. Tuy nhiên có một số phương trình lượng giác đặc biệt thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng. Cũng có những phương trình lượng giác ta thấy dạng rất bình thường nhưng có cách giải lại không mẫu mực. Vì vậy mục đích của chuyên đề này nhằm giới thiệu đến quý thầy cô và các em một số phương pháp giải các phương trình lượng giác đặc biệt. I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG CỦA CÁC PHẦN TỬ KHÔNG ÂM. Nội dung phương pháp: 1 2 1 2 0 0 0 0, 1, 2, 0 n i n A A A A A A i n A Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2 cos 4cos 2 sin 3 0 x x x x x Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 4cos 2 sin 3 0 2 sin 1 cos 4 cos 2 0 ( 2 sin sin ) (2cos 4 cos 2) 0 ( sin ) 2(cos 1) 0 sin 0 sin 0 cos 1 0 cos 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Ví dụ 2: Giải phương trình 2 8cos 4 cos 2 1 cos3 1 0 x x x Giải: 2 2 2 8cos 4 cos 2 1 cos3 1 0 4cos 4 (1 cos 4 ) 1 cos 3 1 0 (4cos 4 4cos 4 1) 1 cos 3 0 (2cos 4 1) 1 cos 3 0 1 2 cos 4 1 0 cos 4 2 1 cos3 0 cos3 1 x x x x x x x x x x x x x x x KYNANGLAMTOAN@FACEBOOK.COM GV.Nguyen Thi Thanh Huong Trang 8 Ví dụ 3. Giải phương trình 10 10 6 6 2 2 sin cos sin cos 4 4cos 2 sin 2 x x x x x x Giải: 6 6 2 2 2 2 3 sin cos 1 sin 2 ; 4cos 2 sin 2 4 3sin 2 4 x x x x x x Do đó phương trình đã cho 2 10 10 6 6 10 10 2 2 2 10 10 2 10 2 10 3 1 sin 2 sin cos sin cos sin cos 1 4 4 4cos 2 sin 2 4 4 3sin 2 4 sin cos 1 (sin sin ) (cos cos ) 0 x x x x x x x x x x x x x x x x Ta có 2 10 2 8 2 10 2 8 sin sin sin (1 sin ) 0 cos cos cos (1 cos ) 0 x x x x x x x x Pt 2 10 2 8 2 10 2 8 sin sin 0 sin (1 sin ) 0 cos cos 0 cos (1 cos ) 0 x x x x x x x x sin 0 sin 1 cos 0 cos 1 2 x x x k x x II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN. Ví dụ 1. Giải phương trình 6 32cos sin 6 1 4 x x Giải: Đặt 3 6 6 4 2 t x x t Phương trình trở thành 3 3 2 3 3 2 1 cos 2 3 1 cos 2 32 sin 6 1 32 cos 6 1 2 2 2 4(1 3cos 2 3cos 2 cos 2 ) (4cos 2 3cos 2 ) 1 4 cos 2 5cos 2 1 0 t t t t t t t t t t t Ví dụ 2. Giải phương trình 2 4 cos cos 3 x x Giải 2 4 1 cos 2 4 1 2 4 cos cos cos 1 cos 3. cos 3 2 3 2 3 3 x x x x x x Đặt 2 3 x t , phương trình trở thành: 1 (1 cos 3 ) cos 2 2 t t (dùng công thức nhân đôi, nhân ba khai triển để giải tiếp) KYNANGLAMTOAN@FACEBOOK.COM GV.Nguyen Thi Thanh Huong Trang 9 III. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2 sin 2 5 cos 2 x x Giải: Đặt 2 2 sin 2; 5 cos a x b x Pt 2 2 1 2 2 3 2 2 a a b a b b Ví dụ 2. Giải phương trình 3 2 2 3 3 ( cos ) sin 3 2 x x Giải: Đặt 2 3 2 3 cos , sin 3 a x b x Lúc đó phương trình 3 3 3 2 2 a b a b IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP. Để giải phương trình )()( xgxf , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A sao cho ),(,)( baxAxf và ),(,)( baxAxg thì khi đó: Axg Axf xgxf )( )( )()( Nếu ta chỉ có Axf )( và Axg )( , ),( bax thì kết luận phương trình vô ngiệm. Ví dụ 1. Giải phương trình Giải: Vì 1cos1 x nên 1110 2 xx mà 1,1,0cos1,1,0cos 2 , 2 1,1 5 xxxx Do 2 0 x và 0cos 5 x nên phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình: 11 3cos 1 3cos1 cos 1 cos x x x x Điều kiện: 03cos 0cos x x Khi đó pt 13cos3coscoscos 22 xxxx Vì 4 1 0) 2 1 ( 4 1 222 aaaaa 5 2 2 5 cos 0 cos x x x x KYNANGLAMTOAN@FACEBOOK.COM GV.Nguyen Thi Thanh Huong Trang 10 Do đó 4 1 coscos 2 xx và 4 1 3cos3cos 2 xx 2 1 3cos3cos 2 1 coscos 22 xxvàxx Dấu bằng xảy ra x x x xx xx 2 1 3cos 2 1 cos 4 1 3cos3cos 4 1 coscos 2 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải phương trình 2012 2012 sin cos 1 x x Giải : Pt 2012 2012 2 2 sin cos sin cos x x x x 2 2010 2 2010 sin (sin 1) cos (1 cos ) x x x x (*) Ta thấy 2 2 2010 2010 sin 0 sin (sin 1) 0, sin 1 x x x x x Mà 2 2 2010 2010 cos 0 cos (1 cos ) 0, 1 cos 0 x x x x x Do đó (*) 2 2010 2 2010 sin 0 sin 1 sin (sin 1) 0 2 ( , ) cos 0 cos (1 cos ) 0 2 cos 1 x m x x m x x x m n Z x x x x n x x n Vậy nghiệm của phương trình là: )( 2 Zkkx Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây: 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin.sin bx ax bx ax bxax 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin.sin bx ax bx ax bxax Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng: KYNANGLAMTOAN@FACEBOOK.COM GV.Nguyen Thi Thanh Huong Trang 11 1cos.sin 1cos.sin 1cos.cos 1cos.cos bxax bxax bxax bxax Ví dụ 4. Giải phương trình 1 (tan cot ) cos sin ( 2,3,4, ) 4 n n n x x x x n Với điều kiện 2 kx ta có x tan và x cot luôn cùng dấu nên: 1cot 4 1 tan1cot 4 1 tan2cot 4 1 tancot 4 1 tan n xxxxxxxx Dấu "=" xảy ra 2 1 tan 4 1 tancot 4 1 tan 2 xxxx Với 2 n : phương trình 1cot 4 1 tan 2 xx có nghiệm cho bởi: )( 2 1 arctan 2 1 tan Zkkxx Với 2, nZn thì: 1sincossincos 22 xxxx nn Dấu bằng xảy ra ),( 122 2 2 2 2 Zmk mnkhikxhaykx mnkhikx (đều không thoả mãn điều kiện 2 kx của phương trình) Vậy với Znn ,2 thì phương trình vô nghiệm. ĐS )( 2 1 arctan Zkkx V. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông dụng sau: Dùng tính chất đại số Áp dụng tính đơn điệu của hàm số KYNANGLAMTOAN@FACEBOOK.COM GV.Nguyen Thi Thanh Huong Trang 12 Phương trình 0)( xf có 1 nghiệm ),( bax và hàm f đơn điệu trong ),( ba thì 0)( xf có nghiệm duy nhất là x . Phương trình )()( xgxf có 1 nghiệm ),( bax , )(xf tăng (giảm) trong ),( ba , )(xg giảm (tăng) trong ),( ba thì phương trình )()( xgxf có nghiệm x là duy nhất. Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 1cos 2 x x với 0 x Giải Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm 0 x . Đặt 1 2 cos)( 2 x xxf có đạo hàm '( ) sin 0, 0 f x x x x (vì xxx ,sin ) Hàm f luôn đơn điệu tăng trong 0; 0)( xf có 1 nghiệm duy nhất trong 0; Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 0 x . Ví dụ 2. Giải phương trình: 02tansin xxx với 2 0 x Giải Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm 0 x Đặt xxxxf 2tansin)( liên tục trên 2 ;0 Có đạo hàm: 2 ;0,0 cos )1cos)(cos1(cos )(' 2 2 x x xxx xf do 01coscos 2 51 1cos0 2 51 2 xxx f đơn điệu tăng trên 2 ;0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. KYNANGLAMTOAN@FACEBOOK.COM GV.Nguyen Thi Thanh Huong Trang 13 . 2 8cos 4 cos 2 1 cos3 1 0 x x x Giải: 2 2 2 8cos 4 cos 2 1 cos3 1 0 4cos 4 (1 cos 4 ) 1 cos 3 1 0 (4cos 4 4cos 4 1) 1 cos 3 0 (2cos 4 1) 1 cos. KYNANGLAMTOAN@FACEBOOK.COM GV .Nguyen Thi Thanh Huong Trang 11 1cos.sin 1cos.sin 1cos.cos 1cos.cos