Đang tải... (xem toàn văn)
tai lieu dung cho GV day doi tuyen HSG mon toan
TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a +b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x | = | x |b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) + 15 b) 17 + + 45 c) 23 − 19 27 d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhng nhỏ 19 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S 1999 21 Cho S = 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương a số vơ tỉ TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y + ≥2 y x x y2 x y b) + ÷− + ÷ ≥ x y x y a) x y4 x y x y c) + ÷− + ÷+ + ÷ ≥ x y x y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) + b) m + với m, n số hữu tỉ, n n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh : + + ≥ + ÷ y x y x 2 x y z x y z 27 Cho số x, y, z dơng Chứng minh : + + ≥ + + y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b 31 Chứng minh : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 33 Tìm giá trị nhỏ : A = x − 6x + 17 x y z + + với x, y, z > y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= x + 4x − C= D= x − 2x − 1 1− x − E= x+ + −2x x G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh : | A + B | | A | + | B | Dấu = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x − 6x + c) Giải phương trình : 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 43 Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= 1 − 3x B= 2x + + x G= C = − − 9x x + x−2 x −4 D= x − 5x + H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 45 Giải phương trình : x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x +1 ; b) − 13 + n+1 − n (n số nguyên dương) 48 So sánh : a) a = + b= c) n + − n + −1 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 50 Tính : a) 4−2 b) 11 + 27 − 10 e) B = n + n − + n − n − (n > 1) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 51 Rút gọn biểu thức : M = c) 41 45 + 41 + 45 − 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phương trình sau : a) x − x − − x − = d) x − x − 2x + = b) x − + = x e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = k) x + − x − + x + − x − = c) x − x + x + x − = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x−y 56 Rút gọn biểu thức : TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chứng minh 2+ = 58 Rút gọn biểu thức : 6+2 a) C = a) ( + 2 ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = + 20 1+ b) 17 + 12 +1 biểu thức : A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) 11 − 10 c) d) 227 − 30 + 123 + 22 b) c) − − 59 So sánh : 28 − 16 − 60 Cho − 14 + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 63 Giải bất phương trình : x − 16x + 60 < x − 64 Tìm x cho : x − + ≤ x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = 67 Cho biểu thức : A = x + x − 2x x − x − 2x − x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : + ; − ; 2 + 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; + +1 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 76 So sánh + − − − số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2aan = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (x + 2) − 8x b) x− x a +2 ≥ Khi có đẳng thức ? 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 +1 ab − b a 88 Rút gọn : a) A = − b b B= 90 Tính : A = + + − hai cách +5 6,9 b) 2+ 2− + 92 Tính : P = + 2+ − 2− 91 So sánh : a) 13 − 12 7− 93 Giải phương trình : x + + 2x − + x − − 2x − = 2 1.3.5 (2n − 1) < 94 Chứng minh ta ln có : Pn = ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= a+ b≤ a2 b2 + b a x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) 1 − ÷ x −1 x − 4(x − 1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) a b +b a : =a−b ab a− b (a, b > ; a b) TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 14 − 15 − b) + = −2 ÷: 1− 1− − 98 Tính : a) a + a a − a c) 1 + ÷1 − ÷ = − a (a > 0) a + a −1 ; b) + − 13 + 48 − − 29 − 20 c) + 48 − 99 So sánh : a) + 15 28 − 16 ÷ + 48 b) + 15 12 + 16 d) 25 18 + 19 c) 100 Cho đẳng thức : a + a2 − b a − a − b (a, b > a2 b > 0) a± b = ± 2 Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + 2− − 2− ; b) 3− 2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy − x − y − 1 1 1 xy + x − y − a + bx + a − bx a + bx − a − bx 1 với x = a + ÷ , y = b + ÷ a b (a > ; b > 1) 2am với x = b + m , m < ( ) 102 Cho biểu thức P(x) = 2x − x − 3x − 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A= x+2−4 x −2 + x+2+4 x −2 4 − +1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) − x e) − − 3x b) x − x (x > 0) g) 2x − 2x + c) + − x d) x − − h) − − x + 2x + i) 2x − x + 105 Rút gọn biểu thức : A = x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) + 10 + + − 10 + 5 + 48 − 10 + c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ; a 94 − 42 − 94 + 42 b TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a) ( a + b ± a − b = a ± a2 − b ) b) a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 108 Rút gọn biểu thức : A = x + 2x − + x − 2x − 109 Tìm x y cho : x + y − = x + y − a + b2 + c2 + d ≥ 110 Chứng minh bất đẳng thức : ( a + c) + ( b + d) a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ 111 Cho a, b, c > Chứng minh : b+c c+a a+b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a b) + c2 ) ( b2 + c2 ) + (a a+b + b+c + c+a ≤ + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 117 Tìm giá trị lớn A = x + − x 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : x + x − + x − x − = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : − ; 2+ 123 Chứng minh x − + − x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác (a + b) a + b + ≥ a b + b a với a, b a b c + + > với a, b, c > 128 Chứng minh b+c a+c a+b 127 Chứng minh 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ 131 Tìm GTNN, GTLN 132 Tìm giá trị nhỏ 133 Tìm giá trị nhỏ A = x − x −1 + x + x −1 A = 1− x + 1+ x A = x + + x − 2x + A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + − x ( b) A = x 99 + 101 − x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn ) a b + =1 x y (a b số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 + + 138 Tìm GTNN A = biết x, y, z > , xy + yz + zx = x+y y+z z+x 137 Tìm GTNN A = 139 Tìm giá trị lớn : a) A = b) B = ( a+ b ) +( a+ c ) +( ( a+ b a+ d ) +( ) với a, b > , a + b b+ c ) +( b+ d ) +( c+ d ) với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN A = b c + c+d a +b với b + c a + d ; b, c > ; a, d 142 Giải phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = g) x + 2x − + x − 2x − = h) x + − x − + x + − x − = i) x + x + − x = k) − x − x = x − l) 2x + 8x + + x − = 2x + m) x + = x − x − o) x −1 + x + + c) 4x + − 3x + = n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 ( 143 Rút gọn biểu thức : A = 2 − + )( 144 Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta có : + 145 Trục thức mẫu : a) 146 Tính : a) − − 29 − 20 ( Cho a = − + 148 Cho b = 1+ + )( 3− 2 17 − 12 ) 18 − 20 + 2 1 + + + >2 n b) x + x +1 b) + − 13 + 48 c) ( ) n +1 −1 − − 29 − 12 147 ) 10 − Chứng minh a số tự nhiên − 3+ 2 17 + 12 b có phải số tự nhiên khơng ? 149 Giải phương trình sau : a) ( c) ( − x) TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS ) −1 x − x + − = b) − x + ( x − 3) x − 5−x + x −3 =2 ( ) −1 x = ( ) +1 x − 3 d) x + x − = 150 Tính giá trị biểu thức : M = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n 1 1 − + − + 152 Cho biểu thức : P = 2− 3− 4− 2n − 2n + 151 Rút gọn : A = a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 + + + > n 154 Chứng minh : + n 155 Cho a = 17 − Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000 156 Chứng minh : a − a − < a − − a − (a 3) 157 Chứng minh : x − x + > (x 0) 158 Tìm giá trị lớn S = x − + y − , biết x + y = 153 Tính : A = + 2a − 2a : A= + + + 2a − − 2a 159 Tính giá trị biểu thức sau với a = 160 Chứng minh đẳng thức sau : ( ) ( 10 − ) − 15 = ( + ) ( 10 − ) = d) a) + 15 c) − b) + = + 48 = 2 ( ( ) +1 ) + e) 17 − + = − 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5+ 5− + − 10 < 5− 5+ +1 − c) + + ÷ 0, − 1,01 > ÷ − + + + − + −1 2− 3 3 d) + + + 3− > ÷− 2+ 6 2− 2+ 27 + > 48 a) 2+2 e) h) ( 3+ b) −1 + 5+ −2 ) − ( − > 1,9 ) g) 3+ 5+ − + + 2− < 0,8 < n − n − Từ suy ra: n TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 + + + < 2005 1006009 2+ 3+ 163 Trục thức mẫu : a) 2+ 3+ 6+ 8+4 3+ 3− y= 164 Cho x = 3− 3+ 2004 < + b) 2+ + Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 2002 2003 + > 2002 + 2003 2003 2002 x − 3xy + y A= 166 Tính giá trị biểu thức : với x = + y = − x+y+2 6x − = + x − x2 167 Giải phương trình : x − 1− x b) 10x − 14 ≥ c) + 2 + 2x ≥ 168 Giải bất pt : a) 3 + 5x ≥ 72 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A = − − 29 − 12 c) C = b) B = − a + a(a − 1) + a x + + x2 − a −1 a x + 5x + + x − x d) D = 2x − + x − 3x − x + (x + 2) − x 1 1 E= − + − − 1− 2− 3− 24 − 25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A = − − x2 + 171 Tìm giá trị nhỏ A = với < x < 1− x x 172 Tìm GTLN : a) A = x − + y − biết x + y = ; b) B = y−2 x −1 + x y 173 Cho a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 So sánh a với b, số lớn ? 174 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 175 Tìm giá trị lớn 176 Tìm giá trị lớn 177 Tìm GTNN, GTLN 178 Tìm GTNN, GTLN 179 Giải phương trình : 5+2 6−x b) B = − x + 2x + A = x 1− x2 A = | x y | biết x2 + 4y2 = A = x3 + y3 biết x, y ; x2 + y2 = A = x x + y y biết x + y = x −1 = x−2 − x + x − 3x + + (x − 2) 180 Giải phương trình : x + 2x − = + 4x + 2x 1 1 + + + < 181 CMR, ∀n ∈ Z+ , ta có : + (n + 1) n 10 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 168 Trớc hết ta chứng minh : a + b ≤ 2(a + b ) (*) (a + b 0) Áp dụng (*) ta có : S = x − + y − ≤ 2(x − + y − 2) = x= x −1 = y − max S = ⇔ ⇔ x + y = y = * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy 180 Ta phải có | A | Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : B = = − − x Ta có : A ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ = 2+ ⇔ B = − ⇔ = − x ⇔ x = Khi max A = 2− ⇔ max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± Khi A = 2x − x + 181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B = Khi : 1− x x 2x − x = (1) 2x − x B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x 0 < x < (2) Giải (1) : 2x2 = (1 x)2 ⇔ | x | = | x | Do < x < nên x = x ⇔ = − +1 Nh B = 2 ⇔ x = - 1 2x − x − 2x − + x + ÷− + + = +1 = Bây ta xét hiệu : A − B = ÷= x 1− x x 1− x x 1− x Do A = 2 + x = - x= 182 a) Điều kiện : x , y Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a+b ≥ ab Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a + b ) A = x − + y − ≤ 2(x − + y − 3) = x − = y − x = 1,5 max A = ⇔ ⇔ x + y = y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x , y Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : Ta xem biểu thức x − , y − tích : x − = 1.(x − 1) , y − = ab ≤ a+b 2(y − 2) 34 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x − 1.(x − 1) + x − 1 = ≤ = x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − = ≤ = = y y 2y 2 x − = 1 2+ max B = + = ⇔ ⇔ 4 y − = Theo bất đẳng thức Cauchy : 183 a = x = y = 1 ,b= Ta thấy 1997 + 1996 < 1998 + 1997 1997 + 1996 1998 + 1997 Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = b) B = với x = max B = với x = với x = x + (1 − x ) = 2 2 x = − x max A = ⇔ ⇔ x= 2 x > 185 Xét x A Xét x A = x (1 − x ) ≤ 186 A = | x y | 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki : 2y x = − 1 2 =− A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) = ⇔ x ⇔ 2 max A = 4 x + 4y = y = 10 x = y = − 10 2 187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : x ≤ x 0 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x + y3 ≤ x + y = ≤ y ≤1 y ≤ y x = x max A = ⇔ ⇔ x = 0, y = V x = 1, y = y = y x+y ≤ Do : b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 2(x2 + y2) = ⇒ x + y ⇒ x +y 3 (x ≥ + y3 ) ( x + y ) (x + y3 )(x + y) = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : ( ) ( x3 + y3 ) ( x) +( y) 2 ≥ ( ) x x + y y = (x2 + y2) = 35 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS ⇔ x=y= 2 A = 188 Đặt x = a ; y = b , ta có a, b 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) = a2 ab + b2 = (a + b)2 3ab = 3ab Do ab nên A max A = ⇔ a = b = ⇔ x = x = 1, y = (a + b) 1 1 = ⇒ ab ≤ ⇒ − 3ab ≥ A = ⇔ x = y = Ta có ab ≤ 4 4 4 189 Điều kiện : x , x nên x Ta có : x −1 =3 x−2 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 − x + (x − 1)(x − 2) − x − ⇔ 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phơng trình xác định với giá trị x Đặt x + 2x + = y 0, phơng trình có dạng : y = y2 - y - 12 = ⇔ (y - )(y + 2 ) = ⇔ y = −2 (loai y ≥ x + 2x + = ⇔ x + 2x + = 18 ⇔ (x 3)(x + 5) = ⇔ x = ; x = -5 1 1 1 = k = k − + − 191 Ta có : ÷= k ÷ ÷ (k + 1)k (k + 1) k k + k k +1 k k +1 k k 1 1 − < 2 − ÷ = 1 + ÷ Do : ÷ k +1 k k +1 (k + 1) k k +1 k Do 1 1 + + + + < 1 − − + + − ÷+ ÷ ÷ (n + 1) n 2 3 n +1 n = 1 − ÷ < (đpcm) n +1 > 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > ; a 0) ab a + b Vậy : 193 Đặt x y = a , x + y = b (1) a, b ∈ Q a) Nếu b = x = y = 0, x , y ∈ Q x−y a a = ⇒ x − y = ∈Q b x+ y b b) Nếu b 1 a x = b + ÷ ∈ Q ; 2 b Từ (1) (2) : ( 199 Nhận xét : ( x2 + a2 + x x+ x +a Do a nên : 2 )≤ )( 5a x2 + a2 (2) 1 a y = b− ÷∈ Q 2 b ) x + a − x = a Do : ( (1) ⇔ x + x + a 2 )≤ x + a + x > x + x = x + x ≥ Suy : ( x2 + a2 + x )( x2 + a2 − x ) x2 + a2 x + a + x > , ∀x 36 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x ≤ 2 2 2 Vì : (1) ⇔ x + a ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔ x > 25x ≤ 9x + 9a x ≤ ⇔ ⇔ x≤ a 0 < x ≤ a − 2a 207 c) Trước hết tính x theo a đợc x = Sau tính + x a(1 − a) a(1 − a) ) ( Đáp số : B = d) Ta có a + = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tơng tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 2 2x + Suy điều phải chứng minh x 1 209 Ta có : a + b = - , ab = - nên : a2 + b2 = (a + b)2 2ab = + = 2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 2a2b2 = − = ; a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = - - = − 4 17 239 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) a3b3(a + b) = − − − ÷( −1) = − 64 64 208 Gọi vế trái A > Ta có A = 210 a) a = ( − 1) = − 2 = − a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 b) Theo khai triển Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B ∈ N Suy : A2 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A − 2B2 Điều kiện A2 2B2 = đợc thỏa mãn (1) * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 − A Điều kiện 2B2 A2 = đợc thỏa mãn (2) 211 Thay a = vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = (b + 2) = -(2a + c) ⇔ Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 2x 2a = ⇔ x(x2 2) + a(x2 2) = ⇔ (x2 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: - a 1 + + + a) Chứng minh A > n − k 212 Đặt A = n : Làm giảm số hạng A : = 2 > =2 k+ k k +1 + k ( ) k +1 − k 37 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS ( ) ( ) ( ) Do A > − + + − + + + − n + n + = =2 ( ) n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − b) Chứng minh A < n − : Làm trội số hạng A : ( ) ( ) 2 = < = k − k −1 k k+ k k + k −1 Do : A < n − n − + + − + − = n − ( ) ( ) 213 Kí hiệu a n = + + + + có n dấu Ta có : a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a 100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Nh < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có = 48 nên < < ⇒ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 215 Đặt x y = a ; x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b x−y a = ⇒ x+ y b x− y= a số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) Ta có : b 1 a x = b + ÷ số hữu tỉ ; 2 b 1 a y = b − ÷ số hữu tỉ 2 b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ n 1 1 = = n − + − ÷= n ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n + n n +1 n n +1 n n 1 = 1 + − − ÷ ÷< ÷ Từ ta giải đợc tốn n +1 n n +1 n +1 n 216 Ta có 217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < < a25 Suy : a1 , a2 , … a25 25 Thế : 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 < + + + + = 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = 24 + 24 23 + 23 2+ ( =2 ( ) 25 − + = ) (2) 38 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn hai số a1 a2 a 25 Từ (1) (2) suy : 25 số a1 , a2 , , a25 218 Điều kiện : x Đặt 2+ x = a ≥ ; − x = b ≥ a2 b2 + = Ta có : ab = − x , a + b = Phương trình : +a −b ⇒ a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab) ⇒ (a2 + b2 + ab) ab(a b) = 2(a b) ⇒ (2 + ab) = (a b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) ⇒ a b = (do ab + 0) 2 Bình phơng : a + b 2ab = ⇒ 2ab = ⇒ ab = ⇒ − x = Tìm đợc x = a −1 219 Điều kiện : < x , a Bình phương hai vế thu gọn : − x = a +1 a Với a 1, bình phương hai vế, cuối đợc : x = a +1 2 Điều kiện x thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = a Với a a +1 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz 0, hiển nhiên x, y, z > x= Từ hệ phương trình cho ta có : 2y 2y ≤ = y 1+ y y Tơng tự y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z Xảy dấu = bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B < 107 A + B số tự nhiên Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : (8+3 7) < ( ⇒ 8−3 107 ) < 107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b ∈ N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do < B < A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 107 Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tơng tự nh câu a 222 Ta thấy với n số phương n số tự nhiên, n khác số phơng n số vơ tỉ, nên n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n ∈ N* có số nguyên an gần n 39 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta chứng minh an lần lợt nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1 < x < 1+ có hai nghiệm tự nhiên 2 1 2− < x < 2+ có bốn nghiệm tự nhiên 2 1 3− < x < 3+ có sáu nghiệm tự nhiên 2 1 Tổng quát : k − < x < k + có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tơng đơng với 2 1 : k2 k + < x < k2 + k + Rõ ràng bất phơng trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 k 4 1− + ; k2 k + ; ; k2 + k Do : 1 1 1 ÷ 1 1÷ 1 1 ÷ + + + = + + + + + ÷+ + + + + ÷ = 2.44 = 88 a1 a2 a1980 1 ÷ 44 42 ÷ 444 4 4 ÷ 44 44 { ÷ 2 1 soá soá 88 soá 223 Giải tơng tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) an Vậy [ an ] = 2 c) Ta thấy : 44 = 1936 < 1996 < 2025 = 45 , 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n 45 < an < 46 Nh với n = [ an ] = 44, với n [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B A < B + Làm giảm làm trội A để đợc hai số tự nhiên liên tiếp Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ⇒ 4n + < 16n + 8n + < 4n + ⇒ 4n2 + 4n + < 4n2 + 16n + 8n + < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + ⇒ (2n + 1)2 < 4n2 + 16n + 8n + < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận (2) Ta chọn y = ( 3− ) 200 − < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) đợc Ta có < chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : x+y = ( 3+ ) 200 + ( 3− ) 200 ( = 5+2 ) 100 ( + 5−2 ) 100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a (3) ; b2 = 10b (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn), 40 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS tức Sn+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2 ≡ - Sn+1 (mod 10) Do Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + )0 + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ cơng thức (5) ta có S2 , S3 , , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 226 Biến đổi ( 3+ ) 250 ( = 5+2 ) 125 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36) 227 Ta có : ( ) ( ) ( ) ( A = + + + + + + + + 15 + 16 + + 24 ) Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x (3 x) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy x x + +3−x ÷ x x x x cho số không âm , , (3 x) ta đợc : (3 x) 2 ÷ = 2 2 ÷ 228 a) Xét x x Viết A dới dạng : A = Do A (1) b) Xét x > 3, A (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận : x = 3− x max A = ⇔ ⇔ x = x ≥ 229 a) Lập phơng hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đợc : x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x - (1) Đặt x − = y ; x + = z Khi x = y2 ; x + = z2 nên z2 y3 = Phương trình cho đa hệ : y + z = (2) z − y = (3) z ≥ (4) Rút z từ (2) : z = y Thay vào (3) : y3 y2 + 6y = ⇔ (y 1)(y2 + 6) = ⇔ y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1 + = 2 a + b = Bình phơng hai vế : a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dơng a, b mà 41 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Bình phơng vế : 4ab = + (a + b)2 2(a + b) ⇒ 2(a + b) = + (a + b)2 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vô tỉ (vì a + b 0), mâu thuẩn m m3 (phân số tối giản) Suy = Hãy chứng minh n n m m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết phân số tối giản n m b) Giả sử + số hữu tỉ (phân số tối giản) Suy : n m3 m 6m = + = + 3 = + ⇒ m = 6n + 6mn (1) ⇒ m M2 ⇒ m M2 Thay m = 2k n n n 231 a) Giả sử ( số hữu tỉ ) (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ⇒ n3 chia hết cho ⇒ n chia hết cho Nh m n chia hết cho 2, trái với giả thiết phân số tối giản 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh m n a+b+c ≥ abc tơng x + y3 + z ≥ xyz hay x3 + y3 + z3 3xyz Ta có đẳng thức : đơng với x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)[(x y)2 + (y z)2 + (z x)2] (bài tập sbt) a+b+c ≥ abc Do a, b, c nên x, y, z 0, x3 + y3 + z3 3xyz Nh : Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : a+ b+c+d 1a+b c+d = + ab + cd ≥ ab cd = abcd ÷≥ 2 2 a+b+c a+ b+c+d Trong bất đẳng thức ta đợc : ÷ ≥ abcd , đặt d = ( ) a+b+c a+b+c+ ÷ a+b+c a+b+c a+ b+ c ⇒ ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3 ÷ a+b+c Chia hai vế cho số dương (trường hợp số a, b, c 0, toán 3 a+b+c a+b+c ≥ abc chứng minh) : ÷ ≥ abc ⇔ 3 Xảy đẳng thức : a = b = c = a+b+c ⇔ a=b=c=1 42 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS b c d a + + ≤ 1− = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy b +1 c +1 d +1 a +1 a +1 b c d bcd ≥ + + ≥ 3 cho số dương : Tơng tự : a +1 b +1 c +1 d +1 (b + 1)(c + 1)(d + 1) 233 Từ giả thiết suy : acd ≥ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd ≥ 3 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : ≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ x2 y2 z2 234 Gọi A = + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y z x 81 x2 y2 z2 x y z 3A = + + ÷(1 + + 1) ≥ + + ÷ z x y z x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : (1) x y z x y z + + ≥ 3 = y z x y z x (2) Nhân vế (1) với (2) : x y z x y z x y z 3A + + ÷ ≥ + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x y z x y z x 235 Đặt x = 3 + 3 ; y = 3 − 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 a3 , ta đợc : b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1 1 2+ + + n + ÷ = + n + n 2! n 3! n n! n n 1 1 < + + + + + ÷ n! 2! 3! 1 1 1 + + + = Dễ dàng chứng minh : + + + ≤ 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n 2 1 − = 1− < n −1 n n Do (1 + )n < n = − + − + + b) Với n = 2, ta chứng minh 3> (1) Thật vậy, (1) ⇔ ( ) ( ) 3 > ⇔ 32 > 22 43 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Với n 3, ta chứng minh (2) ⇔ ( n +1 n +1 ) n(n +1) n < n > n +1 n + ( n) n n(n +1) (2) Thật : n ⇔ (n + 1) < n n n 1 Theo câu a ta có + ÷ < , mà n Do (2) đợc chứng minh ( n +1 (n + 1)n 1 ⇔ < n ⇔ 1 + ÷ < n n n n (3) n nên (3) đợc chứng minh ) 2 237 Cách : A = x + + x + x + ≥ A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ≥ (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + ≥ A = với x = 238 Với x < A (1) Với x 4, xét - A = x2(x 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : x x + +x−2÷ A x x 2x − − = (x − 2) ≤ ÷ = ÷ ≤ 2 ÷ 239 Điều kiện : x - A 32 ⇒ A - 32 A = - 32 với x = x2 x2 2 + +9−x ÷ x x A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤ ÷ = 4.27 2 ÷ ÷ max A = với x = 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với x < A = x(x2 6) Với x Ta có x ⇒ x2 ⇒ x2 Suy x(x2 6) max A = với x = Cách : A = x(x2 9) + 3x Ta có x 0, x2 0, 3x 9, nên A max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 6x = x3 + (2 )3 6x (2 )3 = = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 3 x3 2.2 = 6x Suy x3 6x - A = - với x = 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp x x Cần tìm giá trị lớn V = x(3 2x) x 3-2x x 44 3-2x x x x x TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dơng : 4V = 4x(3 2x)(3 2x) 4x + − 2x + − 2x ÷ = max V = ⇔ 4x = 2x ⇔ x = Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt c) Lập phơng hai vế Đáp số : ; dm 2 − x = a ; x − = b Đáp số : ; ; 10 2x − = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, đợc (x y)(x2 + xy + y2 + 2) = −1 ± ⇔ x = y Đáp số : ; e) Rút gọn vế trái đợc : x − x2 − Đáp số : x = 3 g) Đặt − x = a ; x − = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, vế phải phương a−b a3 − b a3 − b trình cho Phương trình cho trở thành : = a+ b 2 a − b a3 − b 3 = Do a + b = nên ⇒ (a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3) a+b a +b d) Đặt ) ( Do a + b nên : (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta đợc x = Từ ab = ta đợc x = ; x = h) Đặt x + = a ; x − = b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 b3 = (2) Từ (1) (2) : a b = Thay b = a vào (1) ta đợc a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + 0, chia hai vế cho x + Đặt x +1 =a ; x+2 Cách : Đặt x+3 = b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x+2 x + = y Chuyển vế : y3 − + y + = − y Lập phương hai vế ta : y3 + y3 + + 3 y − (- y) = - y3 ⇔ y3 = y y6 − Với y = 0, có nghiệm x = - Với y 0, có y2 = y − Lập phơng : y6 = y6 Vô nghiệm Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phơng trình vơ nghiệm, xem bảng : x x < -2 x > -x x +1 < -1 > -1 x+2 < > k) Đặt + x = a , x = b Ta có : a + b = (1), Theo bất đẳng thức Cauchy mn ≤ m+n , ta có : x+3 < > Vế trái < > ab + a + b = (2) 45 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a + b 1+ a 1+ b + + = 2 1+ a 1+ b a+b = a + b +1≤ + +1= +2 = 2 3= a b + a + b ≤ Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ m4 + n4 = a + b 2x Phương trình cho trở thành : m + n = m + n Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x a , x b để thức có nghĩa Giả sử a b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 (a b không đồng thời 0) Đặt a = x ; b = y , ta có : A = (x = x + x y + y x + 2x y + y − 2x y = = x + xy + y x + xy + y + y ) − (xy) (x = x + xy + y 2 + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 2 = x + y − xy Vậy : A = a + b − ab (với a2 + b2 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x + + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) = x + x + = x − x + ⇔ x = x + x + ≥ Đẳng thức xảy : x + x + = Ta có A 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ⇔ x = 245 Vì + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên 246 Ta có :3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta đợc biểu thức thu gọn : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b ∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18 ∈ Z Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = Nếu q = - p , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = q Vậy + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : 4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b = 2a + b + 18 = p p p3 246 Giả sử số hữu tỉ ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy chứng minh q q q p p q chia hết cho 3, trái với giả thiết phân số tối giản q ( 247 a) Ta có : + = + ) = 1+ 2 + = + 2 46 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Do : ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ) = b) + − = −1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 6a 40 = ⇔ (a 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > ⇒ a = 249 Giải tơng tự 21 250 A = + − 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 9x 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A B)3 = A3 B3 3AB(A B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 u = v3 + b) Đặt u = x - , v = x - , ta : ⇔ u = v = - ⇒ x = v = u + c) Đặt : x + 32 = y > Kết x = 254 Đa biểu thức dạng : A = x3 + + + x + − Áp dụng | A | + | B | = | A + B | A = ⇔ -1 x 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x = y x = y ⇒ P = x + 258 Ta có : P = ( x − a) + ( x − b ) = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x a)(x b) ⇔ a x b Vậy P = b a ⇔ a x b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b − c) + (b + c − a) =b (b + c − a) + (c + a − b) (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a (a + b − c)(b + c − a) ≤ Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy a + b c = b + c a = c + a b ⇔ a = b = c (tam giác đều) 260 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 261 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 Ta có : c a = - (a c) = - [(a b) + (b c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đa pt dạng : ( ) ( 263 Nếu x y = 264 Đặt : ) ( 2 x − −1 + x − = y ≥ M = x − y−3 −2 + ( )( ) z −5 −3 = ) x −1 + − x −1 47 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 2xy Nhng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = 266 Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta : ( a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac ' ) +( a+b ⇔ c b 'c − bc ' ) a+b =0 268 x - ; x -Hết - 48 ... 4 y − = Theo bất đẳng thức Cauchy : 183 a = x = y = 1 ,b= Ta thấy 199 7 + 199 6 < 199 8 + 199 7 199 7 + 199 6 199 8 + 199 7 Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = b) B = với x = max B = với x =... 0 ,99 9 99 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân 20 chữ số a chữ số Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a < ⇒ a(a 1) < ⇒ a2 a < ⇒ a2 < a Từ a2 < a < suy a < a < Vậy 0 ,99 9 99 = 0 ,99 9 99 24... ta có : + (n + 1) n 10 TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 1 + + + + Hãy so sánh A 1 ,99 9 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 183 Cho số x, y x + y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 182 Cho A = 3+ −