Đang tải... (xem toàn văn)
chuyen de boi duong HSG toan 7 dung cho GV va HS cuc hay
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: 1. Các kiến thức vận dụng : - Tính chất của phép cộng , phép nhân - Các phép toán về lũy thừa: a n = . n a a a 1 2 3 ; a m .a n = a m+n ; a m : a n = a m –n ( a ≠ 0, m ≥ n) (a m ) n = a m.n ; ( a.b) n = a n .b n ; ( ) ( 0) n n n a a b b b = ≠ 2 . Một số bài toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n là số tự nhiên khác không. HD : a) 1+2 + 3 + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n 2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a 2 +… + a n b) Tính tổng : A = 1 2 2 3 1 . . . n n c c c a a a a a a − + + + với a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n – a n-1 = k HD: a) S = 1+ a + a 2 +… + a n ⇒ aS = a + a 2 +… + a n + a n+1 Ta có : aS – S = a n+1 – 1 ⇒ ( a – 1) S = a n+1 – 1 Nếu a = 1 ⇒ S = n Nếu a khác 1 , suy ra S = 1 1 1 n a a + − − b) Áp dụng 1 1 ( ) . c c a b k a b = − với b – a = k Ta có : A = 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n c c c k a a k a a k a a − − + − + + − = 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ) n n c k a a a a a a − − + − + + − = 1 1 1 ( ) n c k a a − Bài 3 : a) Tính tổng : 1 2 + 2 2 + 3 2 + …. + n 2 b) Tính tổng : 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 HD : a) 1 2 + 2 2 + 3 2 + ….+ n 2 = n(n+1)(2n+1): 6 b) 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = ( n(n+1):2) 2 Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 − − − − − + + + + Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 b) ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 B − − = − + + HD : A = 9 28 − ; B = 7 2 Bài 4: 1, Tính: P = 1 1 1 2 2 2 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 + − + − − + − + − 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 Bài 5: a) TÝnh 115 2005 1890 : 12 5 11 5 5,0625,0 12 3 11 3 3,0375,0 25,1 3 5 5,2 75,015,1 + −−+− ++− + −+ −+ =A b) Cho 20052004432 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ++++++=B Chøng minh r»ng 2 1 <B . Bài 6: a) Tính : − + + −− 7 2 14 3 1 12: 3 10 10 3 1 4 3 46 25 1 230. 6 5 10 27 5 2 4 1 13 b) TÝnh 1 1 1 1 2 3 4 2012 2011 2010 2009 1 1 2 3 2011 P + + + + = + + + + HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = …. 2012 2010 1 1 1 1 2011 1 2 2011 MS ⇒ = + + + + + + − 2012 2012 2012 2011 2 2011 = + + + − = 1 1 1 1 2012( ) 2 3 4 2012 + + + + c) 10099 4321 )6,3.212,1.63( 9 1 7 1 3 1 2 1 )10099 321( −++−+− − −−−+++++ = A Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 50 31 . 93 14 1. 3 1 512 6 1 6 5 4 19 2 . 3 1 615 7 3 4. 31 11 1 − −+ −− =A b) Chøng tá r»ng: 2004 1 2004 1 3 1 3 1 2 1 1 2222 >−−−−−= B Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 25 13 :)75,2(53,388,0: 25 11 4 3 125505,4 3 4 4:624,81 2 2 2 2 − + + − = A b) Chøng minh r»ng tæng: 2,0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20042002424642 <−++−+−+−= − nn S Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 1. Kiến thức vận dụng : - . . a c a d b c b d = ⇔ = -Nếu a c e b d f = = thì a c e a b e b d f b d f ± ± = = = ± ± với gt các tỉ số dều có nghĩa - Có a c e b d f = = = k Thì a = bk, c = d k, e = fk 2. Bài tập vận dụng Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức Bài 1: Cho a c c b = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + HD: Từ a c c b = suy ra 2 .c a b= khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + Bài 2: Cho a,b,c ∈ R và a,b,c ≠ 0 thoả mãn b 2 = ac. Chứng minh rằng: c a = 2 2 ( 2012 ) ( 2012 ) a b b c + + HD: Ta có (a + 2012b) 2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 .b 2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 .ac = a( a + 2.2012.b + 2012 2 .c) (b + 2012c) 2 = b 2 + 2.2012.bc + 2012 2 .c 2 = ac+ 2.2012.bc + 2012 2 .c 2 = c( a + 2.2012.b + 2012 2 .c) Suy ra : c a = 2 2 ( 2012 ) ( 2012 ) a b b c + + Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu d c b a = th× dc dc ba ba 35 35 35 35 − + = − + HD : Đặt a c k b d = = ⇒ a = kb, c = kd . Suy ra : 5 3 (5 3) 5 3 5 3 (5 3) 5 3 a b b k k a b b k k + + + = = − − − và 5 3 (5 3) 5 3 5 3 (5 3) 5 3 c d d k k c d d k k + + + = = − − − Vậy dc dc ba ba 35 35 35 35 − + = − + Bài 4: BiÕt 2 2 2 2 a b ab c d cd + = + với a,b,c, d ≠ 0 Chứng minh rằng : a c b d = hoặc a d b c = HD : Ta có 2 2 2 2 a b ab c d cd + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ab a ab b cd c cd d + + = = + + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b a b c d c d + + = + + (1) 2 2 2 2 a b ab c d cd + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ab a ab b cd c cd d − + = = − + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b a b c d c d − − = − − (2) Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 T (1) v (2) suy ra : 2 2 ( ) ( ) a b a b a b a b c d c d a b b a c d c d c d d c + = + + = + + = + Xột 2 TH i n pcm Bi 5 : Cho tỉ lệ thức d c b a = . Chứng minh rằng: 22 22 dc ba cd ab = và 22 22 2 dc ba dc ba + + = + + HD : Xut phỏt t d c b a = bin i theo cỏc hng lm xut hin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ab a b a c a b a b cd c d b d c d c d + + = = = = = + + Bi 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau: d dcba c dcba b dcba a dcba 2222 +++ = +++ = +++ = +++ Tính cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = HD : T d dcba c dcba b dcba a dcba 2222 +++ = +++ = +++ = +++ Suy ra : 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + = = = a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + = = = Nu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = = -4 Nu a + b + c + d 0 a = b = c = d cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = = 4 Bi 7 : a) Chứng minh rằng: Nếu cba z cba y cba x + = + = ++ 4422 Thì zyx c zyx b zyx a + = + = ++ 4422 b) Cho: d c c b b a == . Chứng minh: d a dcb cba = ++ ++ 3 HD : a) T cba z cba y cba x + = + = ++ 4422 2 2 4 4a b c a b c a b c x y z + + + + = = 2 2(2 ) 4 4 2 2 a b c a b c a b c a x y z x y z + + + + = = = + + (1) 2( 2 ) (2 ) 4 4 2 2 a b c a b c a b c b x y z x y z + + + + = = = + + (2) 4( 2 ) 4(2 ) 4 4 4 4 4 4 a b c a b c a b c c x y z x y z + + + + = = = + (3) T (1) ;(2) v (3) suy ra : zyx c zyx b zyx a + = + = ++ 4422 Bi 8: Cho zyx t yxt z xtz y tzy x ++ = ++ = ++ = ++ chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. zy xt yx tz xt zy tz yx P + + + + + + + + + + + = Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 HD T zyx t yxt z xtz y tzy x ++ = ++ = ++ = ++ y z t z t x t x y x y z x y z t + + + + + + + + = = = 1 1 1 1 y z t z t x t x y x y z x y z t + + + + + + + + + = + = + = + x y z t z t x y t x y z x y z t x y z t + + + + + + + + + + + + = = = Nu x + y + z + t = 0 thỡ P = - 4 Nu x + y + z + t 0 thỡ x = y = z = t P = 4 Bi 9 : Cho 3 s x , y , z khỏc 0 tha món iu kin : y z x z x y x y z x y z + + + = = Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : B = 1 1 1 x y z y z x + + + ữ ữ ữ Bi 10 : a) Cho cỏc s a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh T =x 2011 + y 2011 + z 2011 + t 2011 Bit x,y,z,t tha món: 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z t x y z t a b c d a b c d + + + = + + + + + + b) Tỡm s t nhiờn M nh nht cú 4 ch s tha món iu kin: M = a + b = c +d = e + f Bit a,b,c,d,e,f thuc tp N * v 14 22 a b = ; 11 13 c d = ; 13 17 e f = c) Cho 3 s a, b, c tha món : 2009 2010 2011 a b c = = . Tớnh giỏ tr ca biu thc : M = 4( a - b)( b c) ( c a ) 2 Mt s bi tng t Bi 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2012 2012 2012 2012a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + = = = Tính cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = Bi 12: Cho 3 s x , y , z, t khỏc 0 tha món iu kin : y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt x y z t + + + + + + + + = = = ( n l s t nhiờn) v x + y + z + t = 2012 . Tớnh giỏ tr ca biu thc P = x + 2y 3z + t Dng 2 : Vn dng tớnh cht dóy t s bng nhau tỡm x,y,z, Bi 1: Tỡm cp s (x;y) bit : = = 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x HD : p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: + + = = = = = = 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 => 2 2 5 12 y y x x = vi y = 0 thay vo khụng tha món Nu y khỏc 0 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đợc: 1 3 2 12 2 y y y + = = =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 1 15 Vậy x = 2, y = 1 15 thoả mãn đề bài Bi 3 : Cho a b c b c a = = v a + b + c 0; a = 2012. Tớnh b, c. Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 HD : từ 1 a b c a b c b c a a b c + + = = = = + + ⇒ a = b = c = 2012 Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : 1 2 3 1y x x z x y x y z x y z + + + + + − = = = + + HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2( ) 1 2 ( ) y x x z x y x y z x y z x y z x y z + + + + + − + + = = = = = + + + + (vì x+y+z ≠ 0) Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 1 2 1 4 1 6 18 24 6 y y y x + + + = = HD : Từ 1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 ) 18 24 6 2.18 24 18 24 6 y y y y y y y y x x + + + + − + + + + − + = = = = − + − Suy ra : 1 1 1 6 6 x x = ⇒ = Bài 6: T×m x, y, z biÕt: zyx yx z zx y yz x ++= −+ = ++ = ++ 211 (x, y, z 0 ≠ ) HD : Từ 1 1 1 2 2( ) 2 x y z x y z x y z z y x z x y x y z + + = = = + + = = + + + + + − + + Từ x + y + z = 1 2 ⇒ x + y = 1 2 - z , y +z = 1 2 - x , z + x = 1 2 - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x. Bài 7 : T×m x, y, z biÕt 216 3 64 3 8 3 zyx == vµ 122 222 =−+ zyx Bài 8 : Tìm x , y biết : 2 1 4 5 2 4 4 5 9 7 x y x y x + − + − = = Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y 1. Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép toán cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế - Tính chất về giá trị tuyệt đối : 0A ≥ với mọi A ; , 0 , 0 A A A A A ≥ = − < - Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : A B A B+ ≥ + dấu ‘=’ xẩy ra khi AB ≥ 0; A B A B− ≥ − dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 ( 0) A m A m m A m ≥ ≥ ⇔ > ≤ − ; ( ) A m A m hay m A m A m ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥ − với m > 0 - Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A 2n ≥ 0 với mọi A ; - A 2n ≤ 0 với mọi A A m = A n ⇔ m = n; A n = B n ⇒ A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = ± B ( nếu n chẵn) 0< A < B ⇔ A n < B n ; 2. Bài tập vận dụng Dạng 1: Các bài toán cơ bản Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) 1 2 3 4 2011 2010 2009 2008 x x x x− − − − + − = HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 ⇒ x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013 2011.2012 . 2012.2013 2 x⇒ = 2.2013 2011 x⇒ = b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ 1 2 3 4 2011 2010 2009 2008 x x x x− − − − + − = ( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008 2011 2010 2009 2008 x x x x− + − + − + − + ⇒ + + = 2012 2012 2012 2012 2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 ( 2012)( ) 2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 2 : ( ) 2012 2011 2010 2009 2008 x x x x x x − − − − ⇒ + + − = − ⇒ − + + − = − ⇒ = − + + − + Bài 2 Tìm x nguyên biết a) 1 1 1 1 49 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99x x + + + + = − + b) 1- 3 + 3 2 – 3 3 + ….+ (-3) x = 1006 9 1 4 − Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối • Dạng : x a x b+ = + và x a x b x c+ ± + = + Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b) Bài 1 : Tìm x biết : a) 2011 2012x x− = − b) 2010 2011 2012x x− + − = HD : a) 2011 2012x x− = − (1) do VT = 2011 0,x x− ≥ ∀ nên VP = x – 2012 0 2012x≥ ⇒ ≥ (*) Từ (1) 2011 2012 2011 2012( ô ) 2011 2012 (2011 2012):2 x x v ly x x x − = − = ⇒ ⇒ − = − = + Kết hợp (*) ⇒ x = 4023:2 b) 2010 2011 2012x x− + − = (1) Nếu x ≤ 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 ⇒ x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x 2011 ≥ từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 ⇒ x = 6033:2(lấy) Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Vy giỏ tr x l : 2009 :2 hoc 6033:2 Mt s bi tng t: Bi 2 : a) Tìm x biết 431 =++ xx b) Tìm x biết: 426 22 +=+ xxx c) Tìm x biết: 54232 =+ xx Bi 3 : a)Tìm các giá trị của x để: xxx 313 =+++ b) Tỡm x bit: 2 3 2x x x = Bi 4 : tỡm x bit : a) 1 4x b) 2011 2012x Dng : S dng BT giỏ tr tuyt i Bi 1 : a) Tỡm x ngyờn bit : 1 3 5 7 8x x x x + + + = b) Tỡm x bit : 2010 2012 2014 2x x x + + = HD : a) ta cú 1 3 5 7 1 7 3 5 8x x x x x x x x + + + + + + = (1) M 1 3 5 7 8x x x x + + + = suy ra ( 1) xy ra du = Hay 1 7 3 5 3 5 x x x do x nguyờn nờn x {3;4;5} b) ta cú 2010 2012 2014 2010 2014 2012 2x x x x x x + + + + (*) M 2010 2012 2014 2x x x + + = nờn (*) xy ra du = Suy ra: 2012 0 2012 2010 2014 x x x = = Cỏc bi tng t Bi 2 : Tỡm x nguyờn bit : 1 2 100 2500x x x + + + = Bi 3 : Tỡm x bit 1 2 100 605x x x x+ + + + + + = Bi 4 : Tìm x, y thoả mãn: x 1 x 2 y 3 x 4 + + + = 3 Bi 5 : Tỡm x, y bit : 2006 2012 0x y x + HD : ta cú 2006 0x y vi mi x,y v 2012 0x vi mi x Suy ra : 2006 2012 0x y x + vi mi x,y m 2006 2012 0x y x + 0 2006 2012 0 2012, 2 2012 0 x y x y x x y x = + = = = = Bi 6 : Tìm các số nguyên x thoả mãn. 2004 4 10 101 990 1000x x x x x= + + + + + + + Dng cha ly tha ca mt s hu t Bi 1: Tỡm s t nhiờn x, bit : a) 5 x + 5 x+2 = 650 b) 3 x-1 + 5.3 x-1 = 162 HD : a) 5 x + 5 x+2 = 650 5 x ( 1+ 5 2 ) = 650 5 x = 25 x = 2 b) 3 x-1 + 5.3 x-1 = 162 3 x -1 (1 + 5) = 162 3 x 1 = 27 x = 4 Bi 2 : Tỡm cỏc s t nhiờn x, y , bit: a) 2 x + 1 . 3 y = 12 x b) 10 x : 5 y = 20 y HD : a) 2 x + 1 . 3 y = 12 x 2 1 1 2 3 2 3 2 3 x y x y x x x + = = Nhn thy : ( 2, 3) = 1 x 1 = y-x = 0 x = y = 1 b) 10 x : 5 y = 20 y 10 x = 10 2y x = 2y Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2 m + 2 n = 2 m +n b) 2 m – 2 n = 256 HD: a) 2 m + 2 n = 2 m +n ⇒ 2 m + n – 2 m – 2 n = 0 ⇒ 2 m ( 2 n – 1) –( 2 n – 1) = 1 ⇒ (2 m -1)(2 n – 1) = 1 ⇒ 2 1 1 1 2 1 1 n m m n − = ⇒ = = − = b) 2 m – 2 n = 256 ⇒ 2 n ( 2 m – n - 1) = 2 8 Dễ thấy m ≠ n, ta xét 2 trường hợp : + Nếu m – n = 1 ⇒ n = 8 , m = 9 + Nếu m – n ≥ 2 thì 2 m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9 Bài 4 : Tìm x , biết : ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + − − − = HD : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − = ⇔ − − − = ( ) ( ) ( ) 1 10 8 6 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x x + ÷ = = + − = − − = − = ⇒ = − = ⇒ ⇔ − − − = ⇔ ⇔ Bài 5 : Tìm x, y biết : 2012 2011 ( 1) 0x y y− + − = HD : ta có 2011 0x y− ≥ với mọi x,y và (y – 1) 2012 ≥ 0 với mọi y Suy ra : 2012 2011 ( 1) 0x y y− + − ≥ với mọi x,y . Mà 2012 2011 ( 1) 0x y y− + − = ⇒ 2011 0 2011, 1 1 0 x y x y y − = ⇒ = = − = Các bài tập tương tự : Bài 6 : Tìm x, y biết : a) 2012 5 (3 4) 0x y+ + − = b) 2 2 (2 1) 2 8 12 5.2x y x− + − − = − Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức : 1 . Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương - Tính chất chia hết của một tổng , một tích - ƯCLN, BCNN của các số 2. Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 22 23)2004(7 yx −=− c) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6 d) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x 2 -2y 2 =1 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 HD: a) T 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 13 y) do 3,17 l s NT nờn x 2M m x NT x = 2. Li cú 1000 13y 51M , 1000 13y > 0 v y NT y = b) T 22 23)2004(7 yx = (1) do 7(x2004) 2 0 2 2 23 0 23 {0,2,3,4}y y y Mt khỏc 7 l s NT 2 13 7y M vy y = 3 hoc y = 4 thay vo (1) suy ra : x= 2005 ,y =4 hoc x = 2003, y = 4 c) Ta cú xy + 3x - y = 6 ( x 1)( y + 3) = 3 1 1 3 3 x y = + = hoc 1 1 3 3 x y = + = hoc 1 3 3 1 x y = + = hoc 1 3 1 1 x y = + = d) x 2 -2y 2 =1 2 2 2 1 2 ( 1)( 1) 2x y x x y = + = do VP = 2y 2 chia ht cho 2 suy ra x > 2 , mt khỏc y nguyờn t 1 2 3 1 2 x y x x y y + = = = = Bi 2 a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7 b) Tỡm ,x y Ơ bit: 2 2 25 8( 2012)y x = HD : a) T x y + 2xy = 7 2x 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) T 2 2 25 8( 2012)y x = y 2 25 v 25 y 2 chia ht cho 8 , suy ra y = 1 hoc y = 3 hoc y = 5 , t ú tỡm x Bi 3 a) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 1 1 1 x y 5 + = b) Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn : b aa 553 23 =++ và c a 53 =+ HD : a) T 1 1 1 x y 5 + = 5 ( x + y) = xy (*) 5 5 5 x xy y M M M + Vi x chia ht cho 5 , t x = 5 q ( q l s t nhiờn khỏc 0) thay vo (*) suy ra: 5q + y = qy 5q = ( q 1 ) y . Do q = 1 khụng tha món , nờn vi q khỏc 1 ta cú 5 5 5 1 1 1 q y Z q q q = = + (5) , t ú tỡm c y, x b) b aa 553 23 =++ a 2 ( a +3) = 5 b 5 , m c a 53 =+ a 2 . 5 c = 5( 5 b 1 1) 1 2 1 5 1 5 b c a = Do a, b, c nguyờn dng nờn c = 1( vỡ nu c >1 thỡ 5 b 1 - 1 khụng chia ht cho 5 do ú a khụng l s nguyờn.) . Vi c = 1 a = 2 v b = 2 Bi 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 2 2 2 2 5 2013 5 p p q+ = + HD : 2 2 2 2 2 2 2 5 2013 5 2013 25 25 2013 25 (25 1) p p p p p p q q q+ = + = = Do p nguyờn t nờn 2 2 2013 25q M v 2013 q 2 > 0 t ú tỡm c q Bi 5 : Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: 12 n chia hết cho 7 HD : Vi n < 3 thỡ 2 n khụng chia ht cho 7 Vi n 3 khi ú n = 3k hoc n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2 ( * k N ) Xột n = 3k , khi ú 2 n -1 = 2 3k 1 = 8 k 1 = ( 7 + 1) k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7M Xột n = 3k +1 khi ú 2 n 1 = 2 3k+1 1 = 2.8 3k 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng chia ht cho 7 Xột n = 3k+2 khi ú 2 n 1 = 2 3k +2 -1 = 4.8 3k 1 = 4( 7A + 1) 1 = 7 A + 3 khụng chia ht cho 7 . Vy n = 3k vi * k N * Tỡm x , y biu thc cú giỏ tr nguyờn, hay chia ht: Bi 1 Tìm số nguyên m để: a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1. Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 [...]... + 6c M 17 nếu a - 11b + 3c M 17 (a, b, c Z) Bi 6 : a) Chứng minh rằng: 3a + 2b M 17 10a + b M 17 (a, b Z ) b) Cho đa thức f ( x ) = ax 2 + bx + c (a, b, c nguyên) CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 17 17 17 HD a) ta cú 17a 34 b M v 3a + 2b M 17 a 34b + 3a + 2b M 2(10a 16b) M 17 10a 16b M vỡ (2, 7) = 1 10a + 17b 16b M 10a + bM 17 17 17 b) Ta cú... x = 2 4 9 3 7n 8 Bi 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất 2n 3 7n 8 7 2 (7 n 8) 7 14n 16 7 5 = = = (1 + ) HD : Ta cú 2n 3 2 7( 2n 3) 2 14n 21 2 14n 21 7n 8 5 ln nht thỡ ln nht 14n 21 > 0 v 14n 21 cú giỏ tr nh nht 14n 21 2n 3 21 3 n> = v n nh nht n = 2 14 2 * Dng vn dng A 0, A , A 0, A A + B A + B , A, B du = xy ra khi A.B 0 Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 A B A B... rằng: A = 3638 + 4133 chia hết cho 7 HD: a) Ta cú 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k l s t nhiờn khỏc khụng) 4 = 3.1 + 1 Suy ra : A = 101998 4 = ( 9.k + 1) ( 3.1+1) = 9k -3 chia ht cho 3 , khụng chia ht cho 9 b) Ta cú 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + 1 ( k N*) 4133 = ( 7. 6 1)33 = 7. q 1 ( q N*) Suy ra : A = 3638 + 4133 = 7k + 1 + 7q 1 = 7( k + q) M7 Bi 5 : a) Chứng minh rằng: 3n... ME hay M l trung Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 im ca DE + T bi 1.3 ta thy vi M l trung im ca DE thỡ tia MA DE , ngc li nu H l trung im ca BC thỡ tia KA s vuụng gúc vi DE, ta cú bi toỏn 1.4 Bi 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gi H trung im ca BC Chng minh rng tia HA vuụng gúc vi DE HD : T bi 1.3 ta d dng gii bi... vi vn tc 4m/s, trờn cnh th t vi vn tc 3m/s Hi di cnh hỡnh vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy Bi 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau Bi 3 : Một ô tô phải đi từ A đến... 2n = 3n + 2 + 3n 2n+ 2 2 n = 3n (32 + 1) 2n (22 + 1) Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 = 3n ì 2n ì = 3n ì 2n1 ì 10 5 10 10 = 10( 3n -2n) Vy 3n + 2 2n+ 2 + 3n 2 n M 10 vi mi n l s nguyờn dng Bi 2 : Chng t rng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 l s chia ht cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 = 75 .( 42005 1) : 3 + 25 = 25( 42005 1 + 1) = 25 42005 chia ht cho 100... + EAK = 900 à + ã 1 b) ta cú BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) M AI AK DE BC , DE = BC khi K trựng vi I khi ú ABC vuụng cõn ti A Bi 4: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M l trung im ca BC ng thng i qua M v vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A ti H ct hai tia AB, AC ln lt ti E v F Chng minh rng: Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 EF 2 a) + AH 2 = AE 2 4 ã à 2BME = ã ACB B b) A c) BE =... I, K lần lợt là giao điểm của DE với AB và AC a) Chng minh : Tam giỏc ADE cõn ti A b) Tính số đo các góc AIC và AKB ? *Phõn tich tỡm hng gii - Xột TH gúc A < 900 a) cm ADE cõn ti A cn cm : AD = AH = AE ( p dng t/c ng trung trc) b) D oỏn CI IB , BK KC Do IB, KC tia phõn giỏc gúc ngoi ca HIK nờn HA l tia phõn giỏc trong Do ã AHC = 900 nờn HC Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 l tia phõn giỏc ngoi nh H Cỏc... 450 c) Cho AB = 4 cm, tớnh chu vi tam giỏc DEK HD : a) Cm ABD = HBD ( cnh huyn gúc nhn) b) Qua B k ng thng vuụng gúc vi EK , ct EK ti I Ta cú : ã ABI = 900 , Cm HBK = IBK ( cnh huyn cnh gúc vuụng) à ả à ả ã B3 = B4 m B1 = B2 DBK = 450 c) Chu vi tam giỏc DEK = DE + EK + KD = = 2.4 = 8 cm ã * T bi ta thy khi DBK = 450 thỡ chu vi DEK = 2 AB vy nu cú chu vi DEK = 2 thỡ ta ã cng cm c DBK = 450 Ta cú... im ca DE k tia M A thỡ MA BC t ú ta cú bi toỏn 1.2 Bi 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gi M l trung im ca DE k tia M A Chng minh rng : MA BC Phõn tớch tỡm hng gii HD: Gi H l giao im ca tia MA v BC CM MA BC ta cn CM AHC vuụng ti H CM AHC vuụng ti H ta cn to ra 1 tam giỏc Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7 vuụng . ta cú 17a 34 b 17M v 3a + 2b 17 17 34 3 2 17 2(10 16 ) 17a b a b a b + + M M M 10 16 17a b M vỡ (2, 7) = 1 10 17 16 17 10 17a b b a. 1 = ( 7 + 1) k -1 = 7. A + 1 -1 = 7. A 7M Xột n = 3k +1 khi ú 2 n 1 = 2 3k+1 1 = 2.8 3k 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng chia ht cho 7