Đang tải... (xem toàn văn)
c Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất... PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016 m¤N: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: 11.329 915 A 2.314 b) Tìm số nguyên x, biết: (x 5) (x 10) (x 15) (x 60) 450 98 c) Cho S 1 Tính S và chứng minh S chia hết cho 10 Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng 162 và ƯCLN chúng là 18 Tìm hai số đó b) Tìm số nguyên tố p cho: p + và p + là các số nguyên tố Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm tất các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc cba 6b3 b) Chứng minh rằng: Nếu ab cd eg 11 thì abc deg11 Bài 4: (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 5cm Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = AM a) Tính BN BM = 2cm b) Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay cho BAx 400 , BAy 1100 Tính yAx, NAy c) Xác định vị trí điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn Bài 5: (2,0 điểm) a) Cho 1000 điểm phân biệt, đó có đúng điểm thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo hai 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: n S(n) 2016 , đó S(n) là tổng các chữ số số tự nhiên n Họ và tên thí sinh: (2) Số báo danh: Phòng PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Bài (5,0 điểm) 11.329 915 A 2.314 a) Tính giá trị biểu thức: b) Tìm số nguyên x, biết: (x 5) (x 10) (x 15) (x 60) 450 98 c) Cho S 1 Tính S và chứng minh S chia hết cho 10 Câu Nội dung 15 a) 1.5đ 11.329 A 2.314.2.314 11 3 329 A 22.328 11.329 330 22.328 0.5đ 8.329 22.328 0.5đ A 6 Þ b) 1.5đ Điểm ( x + 5) +( x +10) +( x +15) + +( x + 60) = 450 (x + x + + x) +( +10 +15 + + 60) = 450 1444442444443 0.5đ 0.5đ 12soá x 12.x - ( + 60) 12 = 450 12x 390 450 x 5 Þ 0.5đ 0.5đ 98 Cho S 1 Tính S và chứng minh S chia hết cho 10 +) Ta có c) 2.0đ S 1 32 34 36 398 32.S 32 34 36 3100 2 100 98 S S (3 ) (1 ) 3100 96 98 +) Ta có S (1 ) (3 ) (3 ) 8S 3100 S 96 S 10 10 10 + Suy S chia hết cho 10 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng 162 và ƯCLN chúng là 18 Tìm hai số đó b) Tìm số nguyên tố p cho: p + và p + là các số nguyên tố (3) Câu a) 2.0đ b) 2.0đ Nội dung Điểm Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b, giả sử a b 0.5đ Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên tồn các số tự nhiên m và n khác 0, cho: m n a = 18m; b = 18n và ƯCLN(m, n) = 1, (1) 0.5đ Ta có a b 18m 18n 162 m n 9 (2) Từ (1) và (2) suy ta chọn các cặp số nguyên tố cùng m, n có tổng và m n sau: m n a 18 36 72 b 144 126 90 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 18 và 144; 36 và 126; 72 và 90 + Với p = p 4; p 6 p + và p + là các hợp số p = không thỏa mãn + Với p = p + = là số nguyên tố p + = là số nguyên tố p = thỏa mãn + Với p là số nguyên tố và p > 0.75đ 0.25đ 0.5đ * p có thể có dạng p = 3k + p = 3k + (k N ) * Nếu p = 3k + thì p + = 3k + + = 3k + 3 và p + > p + là hợp số (trái với đề bài) 0.5đ * Nếu p = 3k + thì p + = 3k + + = 3k + 3 và p + > p + là hợp số (trái với đề bài) Vậy p = thì p + và p + là các số nguyên tố 0.5đ 0.5đ Bài (4,0 điểm) a) Tìm tất các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc cba 6b3 b) Chứng minh rằng: Nếu Câu ab cd eg 11 thì abc deg11 Nội dung Điểm Điều kiện a 0,c 0 Vì abc cba 6b3 100a 10b c 100c 10b a 6b3 0.5đ 99 a c 6b3 a) 2.0đ 6b399 b 9 a c 693 : 99 7 a 7 c Do a 9 c 9 c 1 c 2 0.5đ 0.5đ (vì c 0 ) Với c = suy a = Với c = suy a = Vậy a = 9, b = 9, c = a = 8, b = 9, c = b) 2.0đ 0.5đ Ta có: abc deg 10000.ab 100.cd eg 0.5đ 0.5đ y cd eg) = (9999.ab 99.cd) (ab x (4) 400 N ) A (9999.ab 99.cd) 11 (ab cd eg)11 Do và theo bài Suy ra: abc deg 11 M B 0.5đ 0.5đ Bài (5,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 5cm Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = AM a) Tính BN BM = 2cm b) Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay cho BAx 400 , BAy 1100 Tính yAx, NAy c) Xác định vị trí điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn 0 0 · · 0.5đ hay 110 + NAy =180 Þ NAy = 180 - 110 = 70 Vì BN = AB + AN = + AN 0.5đ Suy BN có độ dài lớn AN có độ dài lớn c) 1.5đ Mà AN = AM BN có độ dài lớn AM có độ dài lớn Có AM AB AM lớn AM = AB đó điểm M trùng với điểm B Vậy điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn Bài (2,0 điểm): 0.5đ 0.5đ (5) a) Cho 1000 điểm phân biệt, đó có đúng điểm thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo hai 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: n S(n) 2016 , đó S(n) là tổng các chữ số số tự nhiên n Câu a) 1.0đ Nội dung 1000.999 Số đường thẳng tạo 1000 điểm phân biệt là: đường thẳng 3.2 3 Số đường thẳn tạo điểm không thẳng hàng là: đường thẳng Theo bài vì có điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm là: – = đường thẳng Điểm 0.5đ 0.5đ 1000.999 499498 Vậy số đường thẳng tạo thành là: ( đường thẳng) Nếu n là số ít chữ số suy n 999 và S(n) 27 n S(n) 1026 2016 (không thỏa mãn) Vì n n S(n) 2016 n 2016 n không có chữ số Vậy n có chữ số Suy S(n) 9.4 36 n 2016 36 1980 b) 1.0đ Vì 1980 n 2016 nên n 19ab n 20cd +) Với n 19ab 19ab a b 2016 11a 2b 106 (1) 1.0đ a 2 Vì 11a = 106 – 2b 106 – 2.9 = 88 a 9 và a 2 a 8 , thay a = vào (1) b = +) Tương tự n 20cd suy c = và d = Vậy số cần tìm là 1989 2007 *) Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống *) Chấm và cho điểm phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn (6)