SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CAO CP (A2) (Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2006 =====(===== HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG Gii thiu môn hc 5 0. GII THIU MÔN HC 1. GII THIU CHUNG: Toán cao cp A 1 , A 2 , A 3 là chng trình toán đi cng dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuc khi k thut. Ni dung ca toán cao cp A 1 , A 3 ch yu là phép tính vi tích phân ca hàm mt hoc nhiu bin, còn toán cao cp A 2 là các cu trúc đi s và đi s tuyn tính. Có khá nhiu sách giáo khoa và tài liu tham kho vit v các ch đ này. Tuy nhiên vi phng thc đào to t xa có nhng đc thù riêng, đòi hi hc viên làm vic đc lp nhiu hn, do đó cn phi có tài liu hng dn hc tp thích hp cho tng môn hc. Tp tài liu hng dn hc môn toán cao cp A 2 này đc biên son cng nhm mc đích trên. Tp tài liu này đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi hc k thut, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông biên son nm 2001 và theo kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình này cng có th dùng làm tài liu hc tp,tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc và cao đng. Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đ ó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và chng minh rõ ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc m rng tng quát hn các kt qu. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ: đt bài toán, chng minh s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thu t toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Sau các chng có phn tóm tt các ni dung chính và cui cùng là các câu hi luyn tp. Có khong t 30 đn 40 bài tp cho mi chng, tng ng vói 3 -5 câu hi cho mi tit lý thuyt. H thng câu hi này bao trùm toàn b ni dung va đc h c. Có nhng câu kim tra trc tip các kin thc va đc hc nhng cng có nhng câu đòi hi hc viên phi vn dng mt cách tng hp và sáng to các kin Gii thiu môn hc 6 thc đ gii quyt. Vì vy vic gii các bài tp này giúp hc viên nm chc hn lý thuyt và kim tra đc mc đ tip thu lý thuyt ca mình. Các bài tp đc cho di dng trc nghim khách quan, đây là mt phng pháp rt phù hp vi hình thc đào to t xa. Hc viên có th t kim tra và đi chiu vi đáp án  cui sách. Tuy nhiên phng pháp trc nghi m cng có nhng mt hn ch ca nó, chng hn phng pháp này không th hin đc kh nng trình bày kt qu, kh nng lp lun, mà đây là mt trong nhng yêu cu chính ca vic hc toán. Mt bài toán có th gii cho đúng kt qu nhng cách gii sai thm chí sai c v bn cht. Hai ln sai du tr bin thành du cng và cho kt qu đúng nhng thc cht là sai. Mt khác có th gii bài toán trc nghim bng cách th các trng hp và loi tr, nhng cách làm này khá tiêu cc.  khc phc nhng hn ch ca phng pháp kim tra trc nghim chúng tôi khuyên ngi đc nên t gii quyt các bài toán theo phng pháp t lun, sau đó mi đi chiu vi các trng hp a, b, c, d đ chn phng án đúng. Giáo trình g m 7 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit): Chng I: Lô gích toán hc, lý thuyt tp hp, ánh x và các cu trúc đi s. Chng II: Không gian véc t. Chng III: Ma trn. Chng IV: nh thc. Chng V: H phng trình tuyn tính Chng VI: Ánh x tuyn tính. Chng VII: Không gian véc t Euclide và dng toàn phng. Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa hc khác, toán hc còn đc xem là mt ngành khoa hc có ph ng pháp t duy lp lun chính xác cht ch. Vì vy vic hc toán cng giúp ta rèn luyn phng pháp t duy. Các phng pháp này đã đc ging dy và cung cp tng bc trong quá trình hc tp  ph thông, nhng trong chng I các vn đ này đc h thng hoá li. Ni dung ca chng I đc xem là c s, ngôn ng ca toán hc hin đi. Mt vài ni dung trong chng này đã đc hc  ph thông nhng ch vi mc đ đn gin. Các cu trúc đi s thì hoàn toàn mi và khá tru tng vì vy đòi hi hc viên phi đc li nhiu ln mi tip thu đc. Các chng còn li ca giáo trình là đi s tuyn tính. Kin thc ca các chng liên h cht ch vi nhau, kt qu ca chng này là công c ca ch ng khác. Vì vy hc viên cn thy đc mi liên h này. c đim ca môn hc này Gii thiu môn hc 7 là tính khái quát hoá và tru tng cao. Các khái nim thng đc khái quát hoá t nhng kt qu ca hình hc gii tích  ph thông. Khi hc ta nên liên h đn các kt qu đó. 2. MC ÍCH MÔN HC Cung cp cho sinh viên các kin thc c bn v đi s : Mnh đ, tp hp, ánh x , cu trúc đi s và đi s tuyn tính bao gm các khái nim v không gian vecto, ma trn, đnh th c, ánh x tuyn tính, dng song tuyn tính, dng toàn phng ., làm c s đ tip thu các môn k thut đin và đin t. 3. PHNG PHÁP NGHIÊN CU MÔN HC  hc tt môn hc này, sinh viên cn lu ý nhng vn đ sau : 1- Thu thp đy đ các tài liu : ◊ Bài ging: Toán cao cp A2. Lê Bá Long, Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005. ◊ Sách hng dn hc tp và bài tp: Toán cao cp A2. Lê Bá Long, Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005. Nu có điu kin, sinh viên nên tham kho thêm: Các tài liu tham kho trong mc Tài liu tham kho  cui cun sách này. 2- t ra mc tiêu, thi hn cho bn thân: X t ra mc các mc tiêu tm thi và thi hn cho bn thân, và c gng thc hin chúng Cùng vi lch hc, lch h ng dn ca Hc vin ca môn hc cng nh các môn hc khác, sinh viên nên t đt ra cho mình mt k hoch hc tp cho riêng mình. Lch hc này mô t v các tun hc (t hc) trong mt k hc và đánh du s lng công vic cn làm. ánh du các ngày khi sinh viên phi thi sát hch, np các bài lun, bài kim tra, liên h vi ging viên. X Xây dng các mc tiêu trong chng trình nghiên c u Bit rõ thi gian nghiên cu khi mi bt đu nghiên cu và th thc hin, c đnh nhng thi gian đó hàng tun. Suy ngh v thi lng thi gian nghiên cu đ “Tit kim thi gian”. “Nu bn mt quá nhiu thì gi nghiên cu”, bn nên xem li k hoch thi gian ca mình. 3- Nghiên cu và nm nhng kin thc đ ct lõi: Gii thiu môn hc 8 Sinh viên nên đc qua sách hng dn hc tp trc khi nghiên cu bài ging môn hc và các tài liu tham kho khác. Nên nh rng vic hc thông qua đc tài liu là mt vic đn gin nht so vi vic truy cp mng Internet hay s dng các hình thc hc tp khác. Hãy s dng thói quen s dng bút đánh du dòng (highline maker) đ đánh du các đ mc và nhng ni dung, công thc quan trng trong tài liu. 4- Tham gia đy đ các bui hng dn hc tp: Thông qua các bui hng dn hc tp này, ging viên s giúp sinh viên nm đc nhng ni dung tng th ca môn hc và gii đáp thc mc; đng thi sinh viên cng có th trao đi, tho lun ca nhng sinh viên khác cùng lp. Thi gian b trí cho các bui hng dn không nhiu, do đó đng b qua nhng bui hng d n đã đc lên k hoch. 5- Ch đng liên h vi bn hc và ging viên: Cách đn gin nht là tham d các din đàn hc tp trên mng Internet. H thng qun lý hc tp (LMS) cung cp môi trng hc tp trong sut 24 gi/ngày và 7 ngày/tun. Nu không có điu kin truy nhp Internet, sinh viên cn ch đng s dng hãy s dng dch v bu chính và các ph ng thc truyn thông khác (đin thoi, fax, .) đ trao đi thông tin hc tp. 6- T ghi chép li nhng ý chính: Nu ch đc không thì rt khó cho vic ghi nh. Vic ghi chép li chính là mt hot đng tái hin kin thc, kinh nghim cho thy nó giúp ích rt nhiu cho vic hình thành thói quen t hc và t duy nghiên cu. 7 -Tr li các câu hi ôn tp sau mi chng, bài. Cui mi chng, sinh viên cn t tr  li tt c các câu hi. Hãy c gng vch ra nhng ý tr li chính, tng bc phát trin thành câu tr li hoàn thin. i vi các bài tp, sinh viên nên t gii trc khi tham kho hng dn, đáp án. ng ngi ngn trong vic liên h vi các bn hc và ging viên đ nhn đc s tr giúp. Nên nh thói quen đc và ghi chép là chìa khoá cho s thành công ca vic t hc! Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 9 1. CHNG 1: M U V LÔGÍCH MNH , TP HP ÁNH X VÀ CÁC CU TRÚC I S 1.1 MC TIÊU, YÊU CU, Ý NGHA ây là chng m đu làm c s, làm ngôn ng và công c không nhng cho toán hc mà còn cho các ngành khoa hc khác. Ta bit rng toán hc là mt ngành khoa hc lý thuyt đc phát trin trên c s tuân th nghiêm ngt các qui lut lp lun ca t duy lôgich hình thc. Các qui lut c bn ca lôgich hình thc đã đc phát trin t thi Aristote (Arít-xtt ) (th k th 3 tr c công nguyên) cùng vi s phát trin rc r ca vn minh c Hy Lp. Tuy nhiên mãi đn th k 17 vi nhng công trình ca De Morgan ( Mocgan), Boole . thì lôgích hình thc mi có mt cu trúc đi s đp đ và cùng vi lý thuyt tp hp giúp làm chính xác hoá các khái nim toán hc và thúc đy toán hc phát trin mnh m. Vic nm vng lôgich hình thc giúp hc viên không nhng hc tt môn toán mà còn có th vn dng trong thc t và bit lp lun chính xác. Hc tt môn lôgich là c s đ hc tt đi s Boole, vn dng đ gii các bài toán v s đ công tc rle, các s đ đin và công ngh thông tin. Yêu cu ca phn này là phi nm vng khái nim mnh đ toán hc, các phép toán liên kt mnh đ và các tính cht ca chúng. Khái nim tp hp, ánh x và các cu trúc đi s là các khái nim c bn: va là công c va ngôn ng ca toán hc hin đi. Vì vai trò nn tng ca nó nên khái nim tp hp đc đa rt sm vào chng trình toán ph thông (lp 6). Khái nim tp hp đc Cantor đa ra vào cui th k 19. Sau đó đc chính xác hoá bng h tiên đ v tp hp. Có th tip thu lý thuyt tp hp theo nhiu mc đ khác nhau. Chúng ta ch tip cn lý thuyt tp hp  mc đ trc quan kt hp vi các phép toán lôgich hình thc nh "và", "hoc", phép kéo theo, phép tng đng, lng t ph bin, lng t tn ti. Vi các phép toán lôgích này ta có tng ng các phép toán giao, hp, hiu các tp hp con ca các tp hp. Trên c s tích Descartes (-các) ca hai tp hp ta có khái nim quan h hai ngôi mà hai trng hp đc bit là quan h  tng đng và quan h th t. Quan h tng đng đc dùng đ phân mt tp nào đó thành các lp không giao nhau, gi là phân hoch ca tp đó. Quan h đng d môđulô p (modulo) là mt quan h tng đng trong tp các s nguyên. Tp thng ca nó là tp p ; các Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 10 s nguyên môđulô p. Tp p ; có nhiu ng dng trong lý thuyt mt mã, an toàn mng. Quan h th t đc dùng đ sp xp các đi tng cn xét theo mt th t da trên tiêu chun nào đó. Quan h ≤ trong các tp hp s là các quan h th t. Khái nim ánh x là s m rng khái nim hàm s đã đc bit. Khái nim này giúp ta mô t các phép tng ng t mt tp này đn t p kia tho mãn điu kin rng mi phn t ca tp ngun ch cho ng vi mt phn t duy nht ca tp đích và mi phn t ca tp ngun đu đc cho ng vi phn t ca tp đích.  đâu có tng ng thì ta có th mô t đc di ngôn ng ánh x. S dng khái ni m ánh x và tp hp ta kho sát các vn đ ca gii tích t hp, đó là các phng pháp đm s phn t. Gii tích t hp đc s dng đ gii quyt các bài toán xác sut thng kê và toán hc ri rc. Ta có th thc hin các phép toán cng các s, hàm s, đa thc, véc t hoc nhân các s, hàm s, đa thc . Nh vy ta có th thc hi n các phép toán này trên các đi tng khác nhau. Cái chung cho mi phép toán cng hay nhân  trên là các tính cht giao hoán, kt hp, phân b . Mt tp hp có phép toán tho mãn điu kin nào đó đc gi là có cu trúc đi s tng ng. Các cu trúc đi s quan trng thng gp là nhóm, vành, trng, không gian véc t. i s hc là mt ngành ca toán hc nghiên cu các cu trúc đi s. Lý thuyt Nhóm đc Evarist Galois (Galoa) đa ra vào đu th k 19 trong công trình "Trong nhng điu kin nào thì mt phng trình đi s có th gii đc?", trong đó Galoa vn dng lý thuyt nhóm đ gii quyt. Trên c s lý thuyt nhóm ngi ta phát trin các cu trúc đi s khác. Vic nghiên cu các cu trúc đi s giúp ta tách ra khi các đi tng c th mà thy đc cái chung ca tng cu trúc đ kho sát các tính cht, các đc trng c a chúng. Chng hn, tp các ma trn vuông cùng cp, các t đng cu tuyn tính, các đa thc . có cu trúc vành không nguyên nên có nhng tính cht chung nào đó. Các cu trúc đi s có tính khái quát hoá và tru tng cao vì vy ngi ta ngh rng khó áp dng vào thc tin. Tuy nhiên thc t cho thy đi s Boole đc ng dng rt hiu qu trong vic gii quyt các bài toán v s đ mch đin, vào máy tính. Lý thuy t nhóm đc ng dng vào c hc lng t. Lý thuyt v nhóm và vành đc ng dng trong lý thuyt mt mã, lý thuyt Ôtômát. 1.2 TÓM TT NI DUNG 1.2.1 Lôgíc mnh đ a. Mnh đ Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 11 b. Liên kt mnh đ: X Phép ph đnh: p đc không p X Phép hi: q p ∧ đc p và q X Phép tuyn: q p ∨ đc p hoc q X Phép kéo theo: qp ⇒ đc p kéo theo q, p suy ra q X Phép tng đng: q p ⇔ đc p tng đng q X Lng t ph bin: ∀ đc vi mi X Lng t tn ti: ∃ đc tn ti. 1.2.2 Tp hp và phn t a. Tp hp X a là phn t ca A ký hiu Aa∈ , đc a thuc A X a không phi là phn t ca A ký hiu Aa∉ , đc a không thuc A. X T p rng φ X T p con: ( ) BxAxBA ∈⇒∈⇔⊂ X Tp bng nhau ( ) )()( ABBABA ⊂∧⊂⇔= b. Các phép toán trên tp hp X Hp ( ) BxAxBAx ∈∨∈⇔∪∈ X Giao ( ) BxAxBAx ∈∧∈⇔∩∈ X Hiu ( ) BxAxBAx ∉∧∈⇔∈ \ X Phn bù AXAXA \, =⊂ X Tp tt c các tp con ca X : ( ) { } XAAX ⊂=P X Tích đ các { } BbAabaBA ∈∈=× ,),( { } CcBbAacbaCBA ∈∈∈=×× ,,),,( c. Quan h X Quan h hai ngôi R trên X là tp con XX ×⊂R , gi là có tính: o phn x nu Xxxx ∈∀,R Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 12 o đi xng nu xyyx RR ⇒ o bc cu nu zxzyyx RRR ⇒∧ o phn đi xng nu y xxyyx =⇒∧ RR X Quan h hai ngôi R trên X đc gi là quan h tng đng nu nó có tính phn x đi xng bc cu, ký hiu ~. X L p tng đng ca y, ký hiu { } yxXxy ~∈= X Quan h hai ngôi R trên X đc gi là quan h th t nu nó có tính phn x phn đi xng và bc cu, ký hiu ≤. X Quan h th t ≤ trên X đc gi là quan h th t toàn phn nu hai phn t bt k y x, ca X đu có th so sánh đc vi nhau, ngha là y x ≤ hoc xy ≤ . Quan h th t không toàn phn đc gi là quan h th t b phn. 1.2.3 Ánh x a. Ánh x: Ánh x t tp X vào tp Y là mt quy lut cho ng mi X x∈ vi mt và ch mt Yy∈ , ký hiu YXf →: , b. Phân loi: )( xfy = hoc )(xfyx =a đc gi là công thc xác đnh nh. X f là mt đn ánh nu yxyfxf =⇒= )()(. X f là mt toàn ánh nu YXf =)( . X f là mt song ánh nu f va đn ánh va toàn ánh. X Nu f là mt song ánh thì có ánh x ngc XYf → − : 1 xác đnh bi: )()( 1 yfxxfy − =⇔= cng là mt song ánh. c. Các phép toán X Hp ca hai ánh x YXf →: và ZYg →: là ánh x ZXfg →:o xác đnh bi ( ) )()( xfgxfg =o . X Lc lng ca tp hp : Hai tp hp gi là cùng lc lng nu có mt song ánh t tp này lên tp kia. Tp có cùng lc lng vi { } n .,,2,1 Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 13 đc gi là tp hu hn có n phn t. Tp rng là tp hu hn có 0 phn t. Tp không hu han đc gi là tp vô hn. X Tp cùng lc lng vi tp s t nhiên Ï đc gi là tp vô hn đm đc. Tp s thc 5 không đm đc. 1.2.4 Gii tích t hp X S các hoán v n phn t là ! nP n = X S các chnh hp lp chp p ca n phn t là p n X S các chnh hp không lp chp p ca n phn t là )!( ! )1) .(1( pn n pnnnA p n − =+−−= X S các t hp chp p ca n phn t là !)!( ! ! ppn n p A C p n p n − == X Nh thc Niu-tn ∑ = −−− =+++=+ n p pnpp n n n nn n nn n n baCbCbaCaCba 0 011 .)(. X S lc v phép đm o Công thc cng: BABABA +=∩+∪ , o Công thc nhân: kk AAAA ⋅⋅=×× 11 , o Chnh hp có lp: {} B ABAf =→: , A A 2)( =P . o Nu BAf →: song ánh thì BA = . 1.2.5 Các cu trúc đi s Lut hp thành trong, hay còn gi là phép toán hai ngôi, trên tp X là mt ánh x t XX × vào X , ký hiu XXX → ×:* yxyx *),( a Lut hp thành trong * ca tp X đc gi là: X Có tính kt hp nu zy xzyxXzyx ∗∗=∗∗∈∀ )()(:,, X Có tính giao hoán nu xyyxXyx ∗=∗∈∀ :, [...]... nhân có tính k t h p, X Lu t nhân có tính phân ph i hai phía i v i lu t c ng, ngh a là: z) x y x z phân ph i bên trái y) z x z y z phân ph i bên ph i x, y , z A: x (y x, y , z A : (x X N u tho mãn thêm i u ki n: Lu t nhân có tính giao hoán thì ( A, , ) là vành giao hoán n v là 1 thì ( A, , ) là vành có Lu t nhân có ph n t X Vành không có Tr c a K cc a 0 ng là m t vành giao hoán có u kh ngh ch (có ph... viên u có kh n ng c ch n nh nhau, h i có bao nhiêu cách ch n? a) Có 2100 cách b) Có 2300 cách c) Có 4860 cách d) Có 2280 cách Câu 27: M t cái h p ng 10 qu c u trong ó có 7 qu c u tr ng và 3 qu c u H i có bao nhiêu cách: a) L y ra 4 qu c u t h p b) L y ra 4 qu c u, trong ó có úng 2 qu c u c) L y ra 4 qu c u, trong ó có nhi u nh t 2 qu c u d) L y ra 4 qu c u, trong ó có ít nh t 2 qu c u Câu 28: Hãy ch... h p tác xã có 225 xã viên H mu n b u m t ng i làm ch nhi m, m t th ký, m t th qu mà không kiêm nhi m Gi s m i xã viên u có kh n ng c ch n nh nhau, h i có bao nhiêu cách ch n? a) Có 12600 cách b) Có 13800 cách c) Có 14580 cách d) Có 13680 cách Câu 26: M t h p tác xã có 225 xã viên H mu n b u m t h i ng qu n tr g m m t ch nhi m, m t th ký, m t th qu mà không kiêm nhi m Gi s m i xã viên u có kh n ng c... và các c u trúc is n v ) là e X Có ph n t trung hoà (hay có ph n t x X :x e e x x X Gi s * có ph n t trung hoà e X Ph n t x' X ph n t i x ng c a x X n u x x' x' x e T p khác tr ng G v i lu t h p thành * k t h p và có ph n t trung hoà X n u c g i là c g i là m t v nhóm n u * có tính X V nhóm là m t nhóm n u m i ph n t c a G X N u * có tính giao hoán thì nhóm (G ,*) u có ph n t i c g i là nhóm giao... n tính n u: n 0 c g i là ph thu c tuy n tính c g i là c l p tuy n tính t i ic a S n u nó là h c l p tuy n tính và n u thêm b t k véc t nào c a S thì ta có h ph thu c tuy n tính M i h véc t S u có h con c l p tuy n tính t i i, s véc t c a các h u b ng nhau và ta g i là h ng c a S , ký con c l p tuy n tính t i i c a S hi u r (S ) M i h sinh N u B c l p tuy n tính c a V c g i là m t c s c a V e1, ,... con c l p tuy n tính t i i c a m t h véc t cho tr c Tìm h ng c a m t h véc t , tìm chi u c a không gian con Công th c chi u c a t ng hai không gian véc t con, chi u c a giao c a hai không gian véc t con Th y c m i liên h gi a h con c l p tuy n tính t i i c a h sinh và c s , liên h gi a h ng c a h sinh và chi u c a không gian sinh b i h sinh này ( nh lý 2.17) Liên h v i nh ng phép toán và tính ch t véc... vói m c tr u t ng cao, còn các mô hình c th là các không gian 2 chi u, 3 chi u ta ã bi t i t ng c a ta ây là các không gian véc t h u h n chi u ó là các không gian có h sinh h u h n Trong không gian này m i véc t u có th bi u di n thành t h p tuy n tính c a các véc t c a h sinh Mu n cho bi u di n này là duy nh t thì h sinh ph i c l p tuy n tính, lúc ó ta g i là m t c s c a không gian véc t Các h s trong... c) T p các hàm s kh vi trên a, b ( có o hàm t i m i i m) d) T p các hàm s trên a, b sao cho f (b) 1 Câu 3: T p h p các véc t có d ng nào sau ây không là không gian con c a 53 a) Các véc t có d ng ( x,0, z ) b) Các véc t có d ng ( x, y,1) c) Các véc t có d ng ( x, y, z ) tho mãn x y d) Các véc t có d ng ( x, y, z ) , 2 x 0, x y z z 0 y 4z 0 Câu 4: T p h p các véc t có d ng nào sau ây không là không... 14: Tìm chi u c a các không gian con c a 5 4 a) Các véc t có d ng ( x, y,0, t ) b) Các véc t có d ng ( x, y, z , t ) v i z x y và t c) Các véc t có d ng ( x, y, z , t ) v i x y y z t d) Các véc t có d ng ( x, y, z , t ) v i x 2 y x z 3t Câu 15: Tìm h ng r c a h véc t sau c a không gian 5 : 4 v1 (1,2,3,4) ; v2 a) r (3,4,5,6) ; v4 (2,3,4,5) ; v3 4 c) r (4,5,6,7) 2 d) r 1 b) r 3 Câu 16: Tìm chi u c... phép tính v i các ma tr n b t k và ma tr n ngh ch o (1858) Peano là ng i u tiên a ra cách bi u di n m t ánh x tuy n tính qua các ma tr n Còn Gauss là ng i u tiên s d ng ma tr n nghiên c u các d ng toàn ph ng Ký hi u ma tr n cô ng, r t có ích và thu n ti n trong khi th c hi n các phép bi n i tuy n tính (ch ng 6) và cho phép ta phát tri n m t ph ng pháp hoàn ch nh gi i các h ph ng trình vi phân tuy n tính . mt v nhóm nu * có tính kt hp và có phn t trung hoà. X V nhóm là mt nhóm nu mi phn t ca G đu có phn t đi. X Nu * có tính giao hoán thì. chn nh nhau, hi có bao nhiêu cách chn? a) Có 12600 cách. b) Có 13800 cách. c) Có 14580 cách. d) Có 13680 cách. Câu 26: Mt hp tác xã có 225 xã viên.