Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm giá trị tham số của pt thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 [r]
(1)Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 CHUYÊN ĐỀ 1: THỰC HIỆN TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC I Kiến thức: - Sử dụng các phép tính, các phép biến đổi trên thức để giải - Các dạng bài tập: + Thực tính với biểu thức số + Rút gọn các biểu thức đại số + So sánh các biểu thức số II Bài tập tổng hợp: Tiết 1: Bài : 1) Đơn giản biểu thức : P = 14 14 x 2 x x 1 x x x x Q= 2) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức Q Q b) Tìm x để > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Hướng dẫn : P = a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : Q = xx91222 m22 m69m22 m15 b) Q > - Q x > c) x = 2;3 thì Q Z Bài : Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức sau P x x 1 x x b) Tính giá trị biểu thức P x = Hướng dẫn : x 1 a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : P = x (2) Giáo án Ôn thi HSG Toán b) Với x = thì P = - – 2 Năm học 2015 - 2016 x x 1 x x 1 Bài : Cho biểu thức : A = x a) Rút gọn biểu thức sau A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để Hướng dẫn : A = A a) ĐKXĐ : x 0, x Biểu thức rút gọn : A = x x 1 b) Với x = thì A = - c) Với x < thì A < A d) Với x > thì = A 1 a Bài : Cho biểu thức : A = a a a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A > Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a > và a 9 Biểu thức rút gọn : A = a 3 b) Với < a < thì biểu thức A > Tiết 2: x x x 4x x 2003 x x 1 x2 x A= Bài : Cho biểu thức: 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A 3) Với x Z ? để A Z ? Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≠ ; x ≠ (3) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 x 2003 x b) Biểu thức rút gọn : A = với x ≠ ; x ≠ c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z x x x x 1 x x 1 : x x x x x A= Bài : Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Hướng dẫn : x 1 x a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A = b) Với < x < thì A < c) x = 4;9 thì A Z x2 x A = x x x x 1 x Bài : Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng: < A < Hướng dẫn : x1 : a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A = x x b) Ta xét hai trường hợp : +) A > x x > luôn đúng với x > ; x ≠ (1) +) A < x x < 2( x x ) > x x > đúng vì theo gt thì x > (2) Từ (1) và (2) suy < A < 2(đpcm) Bài : Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = a 3 a a1 a a (a 0; a 4) a 2 Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a 4 Biểu thức rút gọn : P = b) Ta thấy a = ĐKXĐ Suy P = a (4) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Tiết 3: a a a a a 1 a N= Bài : Cho biểu thức: 1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a 1 Biểu thức rút gọn : N = – a b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ Suy N = 2005 P x x 26 x 19 x x x2 x x1 x 3 Bài 10 : Cho biểu thức a Rút gọn P b Tính giá trị P x 7 c Với giá trị nào x thì P đạt giá trị nhỏ và tính giá trị nhỏ đó Hướng dẫn : a ) ĐKXĐ : x 0, x 1 Biểu thức rút gọn : b) Ta thấy x 7 ĐKXĐ Suy c) Pmin=4 x=4 P P x 16 x 3 103 3 22 x x 3x x P 1 : x x x x Bài 11 : Cho biểu thức P a Rút gọn P b Tìm x để c Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn : a ) ĐKXĐ : x 0, x 9 Biểu thức rút gọn : P b Với x thì c Pmin= -1 x = P x 3 a 1 a1 Bài 12: Cho A= a1 a a a 1 a với x>0 ,x 1 a Rút gọn A (5) Giáo án Ôn thi HSG Toán b Tính A với a = 4 Năm học 2015 - 2016 15 10 15 ( KQ : A= 4a ) Tiết 4: x x 9 x x3 1 : x x x x Bài 13: Cho A= x 2 x với x 0 , x 9, x 4 a Rút gọn A b x= ? Thì A < c Tìm x Z để A Z (KQ : A= 15 x 11 x 2 x x 3 Bài 14: Cho A = x x x x 2) với x 0 , x 1 a Rút gọn A b Tìm GTLN A c Tìm x để A = 2 x d CMR : A (KQ: A = x ) x2 x 1 Bài 15: Cho A = x x x x 1 x với x 0 , x 1 a Rút gọn A b Tìm GTLN A ( KQ : A = x x x 1 ) x x x x x với x 0 , x 1 Bài 16: Cho A = a Rút gọn A b CMR : A 1 ( x KQ : A x x 1 ) III Bài tập nhà: x x 25 x : x 25 x x 15 Bài 17: Cho A = x 3 x 5 x 5 x a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z = (6) Giáo án Ôn thi HSG Toán a a a Bài 18: Cho A = Năm học 2015 - 2016 a a 1 a 3 a với a 0 , a 9 , a 4 a Rút gọn A b Tìm a để A < c Tìm a Z để A Z x x 7 x 2 : x x x Bài 19: Cho A= x 2 x x x với x > , x 4 a Rút gọn A b So sánh A với A 3 x y x y : x y y x Bài 20: Cho A = x y xy x y với x 0 , y 0, x y a Rút gọn A b CMR : A 0 x x x x 1 x 1 x 1 x x x1 x 1 Bài 21 : Cho A = x x x x Với x > , x 1 a Rút gọn A b Tìm x để A = x 2 : x Bài 22: Cho A= x x x x x x với x 0 , x 1 a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z c Tìm x để A đạt GTNN x x 3x x : x 3 x x x Bài 23 : Cho A = với x 0 , x 9 a Rút gọn A b Tìm x để A < - x 1 x x x x : x x x x Bài 24 : Cho A = x với x 0 , x 1 a Rút gọn A b Tính A với x = c CMR : A 1 (7) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 CHUYÊN ĐỀ : GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp chung : Để giải phương trình chứa dấu ta tìm cách khử dấu - Tìm ĐKXĐ phương trình - Biến đổi đưa phương trình dạng đã học - Giải phương trình vừa tìm - So sánh kết với ĐKXĐ kết luận nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ: a/ Phương pháp1: Nâng lên luỹ thừa (Bình phương lập phương vế PT): Giải phương trình dạng : Ví dụ 1: f ( x) g ( x) Giải phương trình : x x (1) ĐKXĐ : x+1 0 x -1 Với x -1 thì vế trái phương trình không âm Để phương trình có nghiệm thì x-1 0 x 1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình : x+1 = (x-1)2 x2 -3x= x(x-3) = x 0 x 3 Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 Ví dụ 2: Giải phương trình: x 13 x x x 13 x 0 x 1 ( 1) ĐKXĐ : 13 x 0 x 13 x 13 (2) (8) Giáo án Ôn thi HSG Toán Bình phương hai vế (1) ta : x (13 x) Năm học 2015 - 2016 x 27 x 170 0 Phương trình này có nghiệm x1 10 và x2 17 Chỉ có x1 10 thoã mãn (2) Vậy nghiệm phương trình là x 10 f ( x ) h( x ) g ( x ) * Giải phương trình dạng : Ví dụ 3: 1 x Giải phương trình: x 1 x ĐKXĐ: x 1 (1) x 0 x 0 x 1 x x 1 Bình phương hai vế phương trình (1) ta : x 1 2 x x x x 0 Phương trình này có nghiệm Vậy nghiệm phương trình là Ví dụ 4: Giải phương trình: x x 1 thoã mãn (2) 1 x x 2 (1) Lập phương trình hai vế (1) ta được: x x 33 ( x 1)(7 x) 8 x =-1 x =7 (x-1) (7- x) = (đều thoả mãn (1 ) (đều thoả mãn (1 ) Vậy x 1; x 7 là nghiệm phương trình f ( x) h( x) g (x) * Giải phương trình dạng : Ví dụ5: x - x = 12 x Giải phương trình x = 12 x + x (1) ĐKXĐ: x 0 12 x 0 x 0 x x 12 x 12 x 7 (9) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Bình phương hai vế ta được: x- = (12 x)( x 7) (3) Ta thấy hai vế phương trình (3) thoã mãn (2) vì bình phương vế phương trình (3) ta : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) 5x2 - 84x + 352 = 44 Phương trình này có nghiệm x1 = và x2 = thoả mãn (2) 44 Vậy x1 = và x2 = là nghiệm phương trình f ( x) h( x) g (x ) * Giải phương trình dạng : Ví dụ 6: + q(x) Giải phương trình : x + x 10 = x + x (1) x 0 x 10 0 x 0 x 0 ĐKXĐ : x x 10 x x x ≥ -1 (2) Bình phương hai vế (1) ta : x+1 + x+ 10 + ( x 1)( x 10) = x+2 + x+ + ( x 2)( x 5) ( x 1)( x 10) 2+ = ( x 2)( x 5) (3) Với x -1 thì hai vế (3) dương nên bình phương hai vế (3) ta ( x 1)( x 10) = 1- x Điều kiện đây là x -1 (4) x Ta việc kết hợp (2) và (4) x x = là nghiệm nhầt phương trình (1) + / Bài tập nhà: x = x- 3 x 45 - x 16 =1 x = x - (2 x 5) 3 x + x =3 2 x x = x+ x 1+ x = 2x b / Phương pháp : đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : (10) Giáo án Ôn thi HSG Toán Ví dụ1: ĐKXĐ: Năm học 2015 - 2016 x 24 x 16 x Giải phương trình: 9 x 24 x 16 0 x (1) (3 x 4) 0x x 4 3x x 3x = -x + 3x x Phương trình (1) x≤4 x 2 x 0 Với x= x = là nghiệm phương trình (đều thoả mãn x ) x x 4 + Ví dụ : Giải phương trình : Phương trình tương đương : Lập bảng xét dấu : x + x x x x 16 = - x- - x R =5 x- ĐKXĐ: + + - + Ta xét các khoảng : + Khi x < ta có (2) 6-2x =5 x = 0,5(thoả mãn x 2) + Khi x ta có (2) 0x + =5 + Khi x > ta có (2) 2x – =5 vô nghiệm x =5,5 (thoả mãn x > ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5 Ví dụ : Giải phương trình: x x 3 + x x = ; ĐKXĐ: x Phương trình viết lại là : ( x 1) x + ( x 1) x = ( x 2) 2 + ( x 3) = x 1 - Nếu x < ta có (1) 2- x + - x = + x 1 =1 (1) x =2 x= không thuộc khoảng xét - Nếu x 10 thì (1) 0x = Phương trình có vô số nghiệm - Nếu x> 10 thì (1) -5 = phương trinh vô nghiệm Vậy phương trình có vô số nghiệm : x 10 Bài tập nhà: 10 (11) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 x x + x x = 2 x x + x 10 x 25 = x x + x x = 2 c.Phương pháp : đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 + 3x + x 3x =33 ĐKXĐ : x R Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x +9 + x 3x - 42= (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > (Chú ý học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y) Ta phương trình : y + y – 42 = y1 = , y2 = -7 Có nghiệm y =6 thoả mãn y> Từ đó ta có x x =6 2x2 + 3x -27 = Phương trình có nghiệm x = 3, x2 =-2 Cả hai nghiệm này chính là nghiệm phương trình đã cho Ví dụ 2: Đặt Giải phương trình: x = y 0 x+ x = 12 (ĐKXĐ : x 0) x = y2 ta có phương trình y2 + y -12 = phương trình có nghiệm là y= và y = - (loại) x = x = 81 là nghiệm phương trình đã cho + / Bài tập nhà: 1/ x2 – + x = 2/ x x - 2x 3 3/ x - x =20 4/ x = 2x2 – 6x +4 x = 20 d Phương pháp : đưa phương trình tích : Ví dụ 1: Giải phương trình: x 10 x 21 = x + x - (1) ĐKXĐ : x -3 Phương trình (1) có dạng : ( x 3)( x 7) - x + x +6 = 11 (12) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 x x ( x 3) -2( x 3) ) =3 ( x 3) ( x ) =0 x x 9 x 4 x 2 x 1 ĐKXĐ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 x + x =1 ĐKXĐ : x -2 3 Đặt x = t Khi dó x = t Phương trình (1) 3 3 t2 + t = t = 1- t 3- t3 = (1-t) t3 - 4t2 + 3t + =0 (t-2) ( t2 -2t -1) = Từ phương trình này ta tìm x=2 ; x= + 2 là nghiệm phương trình (1) + /.Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp đưa phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau + Tìm tập xác định phương trình + Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng f(x) g(x) ….= Từ đó ta suy f(x) = ; g( x) = ;… là phương trình quen thuộc + Nghiệm phương trình là tập hợp các nghiệm các phương trình f(x) = g( x) = ;… thuộc tập xác định + /.Bài tập nhà: 1/ x x = 2 2/ x x - x x = 3/ x(x+5) = x x x 4/ 2( x + 2x + 3) = x 3x 3x e Phương pháp : đưa hệ phương trình : 2 Ví dụ 1: Giải pt: 25 x - 15 x =2 (ĐKXĐ: x2 15)Đặt: 25 x = a (a 0) (* ) 15 x = b ( b 0) ( ** ) 12 (13) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Từ phương trình đã cho chuyển hệ phương trình : a b (a b)(a b) 2(a b) a b a b a b 5 49 Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Ví dụ 2: Đặt: Giải phương trình: x 1 = a ; 3 ( x 1) 51 51 x = x= ( ĐKXĐ ) 51 3 + ( x 1) + x = a2 = ( x 1) x = b nên ta có: a b ; b2 = ( x 1) ab = x Ta phương trình : a2 + b + ab = ( 1) a x b x Ta phương trình : a3 – b3 = (2) a b ab 1 3 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : a b Từ hệ phương trình ta suy a –b = b = a – Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = a =1 Từ đó ta x = Vậy nghiệm phương trình là : x = + /.Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau : 1 x + x2 = 3 x + x 21 = x 2 x = x3 + 4 3 1 x + 4x = x 13 x =1 (14) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH (tiết 9-12) Tiết I CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các phương pháp giải hệ phương trình: a/ Phương pháp b/ Phương pháp cộng đại số c/ Phương pháp đặt ẩn phụ d/ Phương pháp dùng định thức: (Để nhớ định thức ta nhớ câu: Anh Bạn Cầm Bát Ăn Cơm) Từ hệ phương trình (I) ta có: 14 (15) Giáo án Ôn thi HSG Toán D a b a' b' ab ' a ' b; Năm học 2015 - 2016 Dx c b c' b' cb ' c ' b Dy a c a' c' ac ' a ' c Dy Dx và y = D D - Nếu D 0 , thì hệ phương trình có nghiệm nhất: - Nếu D = và Dx 0 Dy 0 , thì hệ phương trình vô nghiệm - Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm Các hệ pt đặc biệt và cách giải a) Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y: x ax bxy cy d (1) a ' x b ' xy c ' y d '(2) -Hệ có dạng: - Cách giải: Nhân vế phương trình (1) và phương trình (2) với k và k’ cho: k.d = k’.d’ trừ vế hai phương trình cho ta phương trình dạng: Ax2 + Bxy + Cy2 = (*) +/ Xét y = +/ Xét y 0, ta đặt: x = yt pt (*) trở thành: Ay2t2 + By2t + Cy2 = At2 + Bt + C = Giải phương trình trên tìm t b) Hệ đối xứng loại - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x và y cho thì phương trình hệ không thay đổi - Cách giải: (đưa pt bậc hai) Ta quy hệ phương trình biết tổng và tích hai nghiệm: Biến đổi các phương trình hệ dạng: x + y và x.y x y S Đặt: x y P ĐK: S2 – 4P (*) Thay vào hệ phương trình (I), ta hệ phương trình có hai ẩn là S và P Hệ phương trình (I) có nghiệm Hệ phương trình ẩn S và P có nghiệm thỏa mãn (*) c) Hệ đối xứng loại 2: - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x và y cho thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2) trở thành phương trình (1) f ( x; y ) 0(1) (I ) g ( x ; y ) 0(2) Hệ có dạng: - Cách giải: (đưa pt tích) 15 (16) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Trừ vế phương trình (1) và (2) ta phương trình dạng: x y 0 A( x; y ) 0 (x – y) [A(x; y)] = x y 0 ( II ) f ( x ; y ) A( x; y ) 0 ( III ) f ( x; y ) 0 Hệ phương trình (I) Giải hệ (II) và (III) để tìm nghiệm II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT BIỂU THỨC SỐ Phương pháp * Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ và vào phương trình còn lại * Nhận dạng Phương pháp này thường hay sử dụng hệ có phương trình là bậc ẩn nào đó (1) 2 x y 5 2 Bài Giải hệ phương trình 3x y y 4 (2) Lời giải 3y 3y 3 x y y 0 vào (2) ta Từ (1) ta có 3(25 30 y y ) y y 16 23 y 82 y 59 0 y 1, y 59 23 31 59 ; 1;1 ; 23 23 Vậy tập nghiệm hệ phương trình là 2 x x y x y 2 x (1) (2) Bài Giải hệ phương trình x xy 6 x Phân tích Phương trình (2) là bậc y nên ta dùng phép Lời giải TH : x = không thỏa mãn (2) 6x x2 x 0, (2) y 2x TH : vào (1) ta 2 6x x2 6x x x 2x x 2 x x x 2 (6 x x ) x x (6 x x ) 2 x x( x 4)3 0 4 x 0 x 16 (17) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 17 4; 4 Do x 0 nên hệ phương trình có nghiệm Chú ý.: Hệ phương trình này có thể theo phương pháp sau: x x 2 x xy 2 x 2 x x x x xy x2 x x xy - Hệ - Phương pháp thường là công đoạn cuối cùng ta sử dụng các phương pháp khác Tiết 2: Phương pháp cộng đại số * Cơ sở phương pháp Kết hợp phương trình hệ các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình này là khả thi có lợi cho các bước sau * Nhận dạng Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k Bài 1: Giải hệ phương trình y 2 3 y x 3 x x 2 y Lời giải.(hệ đối xứng loại 2) - ĐK: xy 0 2 (1) 3x y y 2 (2) Trừ vế hai phương trình ta 3 y x x - Hệ x y 0 x y xy y x 3xy ( x y ) ( x y )( x y ) 0 3xy x y 0 - TH x y 0 y x vào (1) ta 3x x 0 x 1 x2 y2 y y 3x x xy x y y x - TH Từ , 3xy x y Do đó TH không xảy - Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1) 17 (18) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 2 3x xy y 38 2 Bài Giải hệ phương trình 5 x xy y 15 Phân tích Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự và thực phép trừ vế Lời giải 45 x 75 xy 60 y 570 2 145 x 417 xy 54 y 0 190 x 342 xy 114 y 570 - Hệ 145 y x, y x 18 vào hai phương - Giải phương trình này ta trình hệ ta thu kết (3;1); ( 3; 1) * Chú ý - Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải trên chứng tỏ hệ phương trình này hoàn toàn giải cách đặt y tx, x 0 đặt x ty, y 0 Tiết 3: Phương pháp đặt ẩn phụ x y xy 2 Bài Giải hệ phương trình x y xy 7 Lời giải Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến ( x y ) xy ( x y ) 3xy 7 Hệ S P x y S S 1, P S 4, P 3 xy P x, y S 4 P Đặt ta S 3P 7 S 1 x y 1 x 1, y 2 P xy x 2, y TH S x y x 1, y P 3 xy 3 x 3, y Vậy tập nghiệm hệ là TH S = ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1) Chú ý - Nếu hệ pt có nghiệm là ( x; y ) thì tính đối xứng, hệ có nghiệm là ( y; x) Do vậy, để hệ có nghiệm thì điều kiện cần là x y 18 (19) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 - Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I giải theo cách trên Đôi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải tốt x y xy 3 x y 4 Bài 2: Giải hệ phương trình : - ĐK: x 1, y 1, xy 0 x y xy 3 x y xy 3 x y ( x 1)( y 1) 16 x y x y xy 14 - Hệ x y a, xy b a 2, b 0, a 4b - Đặt ta hệ pt a 3 b a b 3 a 3 b 2 a a b 14 2 b b 11 b 3b 26b 105 0 b 3 x 3 a 6 y 3 (thỏa mãn đk) Tiết 4: III GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: Cách 1: Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = thì hệ có vô số nghiệm - Nếu b thì hệ vô nghiệm ii) Nếu a thì (1) ⇒ x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc đó hệ a phương trình có nghiệm Cách 2: Dùng định thức để giải và biện luận hpt Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình: ¿ mx − y =2m(1) x − my=m+6(2) ¿{ ¿ Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + ⇔ (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) Nếu m2 – Khi đó y = - (2 m+3)( m−2) m+3 = m+2 m2 − m m+3 m Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m+2 m+2 m+2 hay m ± thì x = 19 (20) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 ii) Nếu m = thì (3) thỏa mãn với x, đó y = mx -2m = 2x – Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x R iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m ± thì hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( m+3 m ;- m+2 ) m+2 - Nếu m = thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x - Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ¿ mx + y =3 m−1 x+ my=m+1 2) ¿{ ¿ 1) ¿ mx+ y=10 − m x +my=4 ¿{ ¿ 3) R ¿ (m− 1) x − my=3 m−1 x − y =m+5 ¿{ ¿ Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số k Viết x, y hệ dạng: n + f (m) với n, k nguyên Tìm m nguyên để f(m) là ước k Ví dụ 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm là nghiệm nguyên: HD Giải: ¿ mx+2 y=m+1 x + my=2 m− ¿{ ¿ ¿ mx+ y =2m+2 ⇔ mx+m2 y =2m −m ¿{ ¿ ¿ (m2 − 4) y=2 m2 − m−2=(m −2)(2 m+1) x+ my=2m −1 ¿{ ¿ ¿ mx +2 y=m+1 x + my=2 m− ¿{ ¿ ⇔ ±2 để hệ có nghiệm thì m2 – hay m ± hệ phương trình có nghiệm Vậy với m ¿ ( m−2)(2 m+1) 2m+1 y= = =2 − m+2 m+ m −4 m− x= =1− m+2 m+2 ¿{ ¿ 20 (21) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 { 1;− 1; ; −3 } Để x, y là số nguyên thì m + Ư(3) = Vậy: m + = ± 1, ± => m = -1; -3; 1; -5 VD 2: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước Cho hệ phương trình: ¿ mx+ y=9 x+ my=8 ¿{ ¿ Với giá trị nào m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 m −4 =3 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m ± - Giải hệ phương trình theo m ¿ mx + y=9 x+ my=8 ¿{ ¿ - Thay x = ⇔ ¿ mx+ y=9 mx+m2 y=8 m ¿{ ¿ m−32 m −4 ¿ (m − 4) y=8 m −9 x+ my=8 ¿{ ¿ ⇔ ⇔ ¿ m− y= m −4 m−32 x= m −4 ¿{ ¿ m−9 vào hệ thức đã cho ta được: m −4 m−32 m−9 38 + + =3 2 m −4 m −4 m2 − ;y= => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 ⇔ 3m2 – 26m + 23 = ⇔ m1 = ; m = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 IV BÀI TẬP VỀ NHÀ (Bài tập tổng hợp) Bài 1: ¿ mx+ y=10 − m x +my =4 Cho hệ phương trình ¿{ ¿ a) Giải hệ phương trình m = √ (m là tham số) b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định các giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị nào m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương Bài 2: 21 (22) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 ¿ (m− 1) x − my=3 m−1 x − y =m+5 ¿{ ¿ Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên nào m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho hệ phương trình ¿ x+2 y=4 x − y =m ¿{ ¿ a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị nào m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: Cho hệ phương trình: ¿ mx+ y=9 x+ my=8 ¿{ ¿ a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị nào m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị nào m thì hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm Bài 5: Cho hệ phương trình: a) b) c) d) ¿ x +my=9 mx −3 y=4 ¿{ ¿ Giải hệ phương trình m = Với giá trị nào m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) Chứng tỏ hệ phương trình luôn luôn có nghiệm với m Với giá trị nào m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 m +3 -3 Bài 6: Cho hệ phương trình: ¿ mx − y =2 x+ my=5 ¿{ ¿ a) Giải hệ phương trình m=√ 22 (23) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ m2 thức x+ y=1 − m +3 Bài 7: Cho hệ phương trình a) b) c) d) ¿ x − my=− mx+2 y=16 ¿{ ¿ Giải hệ phương trình m = Chứng tỏ hệ phương trình luôn luôn có nghiệm với m Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy Ngày soạn: 21/3/2015 Ngày giảng: 24/3/2015 CHUYÊN ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ET (tiết 13-16) Tiết 1: I Kiến thức cần nhớ Các ứng dụng thường gặp hệ thức Vi-ét Tìm hai số biết tổng và tích chúng Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt cho không phụ thuộc vào tham số Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Xác định dấu các nghiệm phương trình bậc hai Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm II Nội dung Tìm hai số biết tổng và tích chúng Nếu hai số có Tổng S và Tích P thì hai số đó là hai nghiệm phương trình : x Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = và tích P = ab = Vì a + b = và ab = nên a, b là nghiệm phương trình : x 3x 0 giải phương trình trên ta x 1 và x2 Vậy a = thì b = a = thì b = Bài tập áp dụng: Tìm số a và b biết Tổng S và Tích P S = và P=2 S = và P=6 S = và P = 20 S = 2x và P = x2 y2 23 (24) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Bài tập nâng cao: Tìm số a và b biết a + b = và a2 + b2 = 41 a b = và ab = 36 a2 + b2 = 61 và ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng hai số a và b , để áp dụng hệ thức VIÉT thì cần tìm tích a v à b Từ 2 a b 9 a b 81 a 2ab b 81 ab 81 a b 20 x 4 x x 20 0 x2 5 Suy : a, b là nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = thì b = a = thì b = 2) Đã biết tích: ab = 36 đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đặt c = b ta có : a + c = và a.c = 36 x x x 36 0 x2 9 Suy a, c là nghiệm phương trình : Do đó a = thì c = nên b = a = thì c = nên b = Cách 2: Từ a b 2 2 a b 4ab a b a b 4ab 169 a b 13 a b 132 a b 13 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm phương trình : x x 13 x 36 0 x2 Vậy a = thì b = *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm phương trình : x 4 x 13x 36 0 x2 9 Vậy a = thì b = 3) Đã biết ab = 30, đó cần tìm a + b: a b 11 a b 2ab 61 2.30 121 11 a b 11 2 a b T ừ: a2 + b2 = 61 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm phương trình: x x 11x 30 0 x2 Vậy a = thì b = ; a = thì b = 24 (25) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm phương trình : x 5 x 11x 30 0 x2 6 Vậy a = thì b = ; a = thì b = Tiết 2: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt cho nghiệm không phụ thuộc vào tham số Để làm các bài toán loại này, ta làm theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa hệ thức liên hệ các nghiệm x1 và x2 m 1 x 2mx m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình trên có nghiệm x1 và x2 th ì : m 1 m 0 ' 0 m (m 1)( m 4) 0 m 1 5m 0 m 1 m Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m x1 x2 m x x m m x1 x2 2 m (1) x x 1 (2) m Rút m từ (1) ta có : 2 x1 x2 m m x1 x2 (3) Rút m từ (2) ta có : 3 1 x1 x2 m m 1 x1 x2 (4) Đồng các vế (3) và (4) ta có: x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 25 (26) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 m 1 x 2mx m 0 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm phương trình : Chứng minh A 3 x x x x không phụ thuộc giá trị m biểu thức Để phương trình trên có nghiệm x1 và x2 th ì : m 0 ' 0 m 1 m (m 1)( m 4) 0 m 1 5m 0 m 1 m Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m x1 x2 m x x m m thay vào A ta có: 2m m 6m 2m 8(m 1) 8 0 m m m m m Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m Vậy A = với m 1 và A 3 x1 x2 x1 x2 3 Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng các vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x m x 2m 1 0 có nghiệm x1; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho x1; x2 độc lập m 2 m 2m 1 m2 4m m Hướng dẫn: Dễ thấy đó phương trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 m x1.x2 2m m x1 x2 2(1) x1 x2 m (2) Từ (1) và (2) ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 26 (27) Giáo án Ôn thi HSG Toán x 4m 1 x m 0 Cho phương trình : Năm học 2015 - 2016 Tìm hệ thức liên hệ x1 và x2 cho chúng không phụ thuộc vào m 2 Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1) 4.2(m 4) 16m 33 đó phương trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 (4m 1) 4m ( x1 x2 ) 1(1) x1.x2 2(m 4) 4m 2 x1 x2 16(2) Từ (1) và (2) ta có: ( x1 x2 ) 2 x1 x2 16 x1 x2 ( x1 x2 ) 17 0 Tiết 3: Tìm giá trị tham số pt thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Đối với các bài toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm mx m x m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 và x2 l à : m 0 ' m 21 9(m 3)m 0 m 0 2 ' 9 m 2m 1 9m 27 0 6(m 1) x1 x2 m x x 9(m 3) m Theo h ệ thức VI- ÉT ta c ó: m 0 ' 9 m 1 0 m 0 m v à t gi ả thi ết: x1 x2 x1 x2 Suy ra: 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 9m 27 3m 21 m 7 m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = thì phương trình đã cho có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 27 (28) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Ví dụ 2: Cho phương trình : 2 x 2m 1 x m 0 x x x x 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 là : ' (2m 1) 4( m2 2) 0 4m 4m 4m 0 4m 0 m x1 x2 2m Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x2 m và từ giả thiết 3x1 x2 x1 x2 0 Suy 3(m 2) 5(2m 1) 0 3m 10m 0 m 2(TM ) 3m 10m 0 m ( KTM ) Vậy với m = thì phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 x1 x2 0 Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx m x m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 0 Cho phương trình : x m 1 x 5m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 3x2 1 Hướng dẫn cách giải: 16 m 0 & m 15 BT1: - ĐKX Đ: (m 4) x1 x2 m (1) x x m m -Theo VI-ÉT: x1 x2 3x2 2( x1 x2 ) 9 x1 x2 - Từ x1 x2 0 Suy ra: 2( x1 x2 ) 3x1 (2) 28 (29) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m 127m 128 0 m1 1; m2 128 BT2: - ĐKXĐ: m 22m 25 0 11 96 m 11 96 x1 x2 1 m (1) x1 x2 5m - Theo VI-ÉT: x1 1 3( x1 x2 ) x1 x2 3( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) 1 x 4( x x ) 2 x1 x2 7( x1 x2 ) 12( x1 x2 ) x1 x2 1 - Từ : Suy ra: m 0 12m( m 1) 0 m 1 - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (2) (thoả mãn ĐKXĐ) Tiết 4: Xác định dấu các nghiệm pt bậc (bổ sung chuyên đề pt bậc 2) Cho phương trình: ax bx c 0 (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm … Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm trái dấu cùng dấu, cùng dương, cùng âm x1 x2 + + S x1 x2 P x1 x2 S>0 S<0 P<0 P>0 P>0 P>0 0 0 0 0 Điều kiện chung ; P < 0 ;P>0 0 ;P>0;S>0 ; P > ; S < Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: x 3m 1 x m m 0 có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu thì 0 P (3m 1) 4.2.(m2 m 6) 0 m2 m P (m 7) 0m 2m3 P ( m 3)( m 2) Vậy với m thì phương trình có nghiệm trái dấu Bài tập: mx m x m 0 3mx 2m 1 x m 0 m 1 x x m 0 có nghiệm cùng dấu có nghiệm âm có ít nghiệm không âm 29 (30) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta luôn phân tích được: Am C k B (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là số) Thì ta thấy : C m (v ì A 0 ) C m A 0 C k (v ì B 0 ) (*) max C k B 0 x 2m 1 x m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương trình Tìm m để : A x12 x22 x1 x2 có giá trị nhỏ Bài giải: Theo VI-ÉT: x1 x2 (2m 1) x1 x2 m Theo đề bài : A x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2m 1 8m 4m2 12m (2m 3) Suy ra: A 2m 0 hay m 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x mx m 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương B trình Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức sau: Giải: Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : x1 x2 m x1 x2 m B x1 x2 x x22 x1 x2 1 2 x1 x2 x1 x2 2( m 1) 2m 1 2 x x2 x1 x2 1 ( x1 x2 ) m2 m 2 Giải: Đưa giải phương trình bậc với ẩn là m và B là tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với m B 2m Bm2 2m B 0 m 2 (Với m là ẩn, B là tham số) (**) Ta có: 1 B(2 B 1) 1 B B Để phương trình (**) luôn có nghiệm với m thì hay B B 0 B B 0 B 1 B 1 0 30 (31) Giáo án Ôn thi HSG Toán B 2 B 0 B B 1 2 B 0 B B 0 B 1 Vậy: max B=1 m = 1 B m 2 Năm học 2015 - 2016 2 B 1 Bài tập áp dụng Cho phương trình : trị nhỏ x 4m 1 x m 0 .Tìm m để biểu thức A x1 x2 có giá 2 Cho phương trình x 2(m 1) x m 0 Tìm m cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều 2 kiện x1 x2 10 2 Cho phương trình : x 2(m 4) x m 0 xác định m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 3x1 x2 đạt giá trị lớn 2 b) B x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình : x (m 1) x m m 0 Với giá trị nào m, biểu thức C x12 x22 dạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình x (m 1) m 0 Xác định m để biểu thức E x1 x2 đạt giá trị nhỏ Ngày soạn: 23/3/2015 Ngày giảng: 26/3/2015 CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tiết 1: I/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Công thức nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = ( a 0 ) Một số bài toán nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình: ax2 + bx + c = ( a 0 ) có hai nghiệm x1; x2 và x1 + x2 = S, x1.x2 = P thì ta có các bài toán tổng quát sau: Xét dấu các nghiệm phương trình: ax + bx + c = (a 0) (1) Điều kiện để phương trình (1) - Có hai nghiệm trái dấu P < - Có hai nghiệm cùng dấu là 0 và P > 31 (32) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 - Có hai nghiệm cùng dương là 0 , P > 0, S > - Có hai nghiệm cùng âm là 0 , P > 0, S < */ Chú ý: Ta lưu ý đến điều kiện a # để phương trình có hai nghiệm So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số * Số nằm hai nghệm: x1 < < x2 a f ( ) a f ( ) S * Số nằm phía trái hai nghiệm: < x1 < x2 a f ( ) S * Số nằm phía phải hai nghiệm: x1 < x2 < x1 x2 * So sánh nghiệm với số ; x1 x2 f ( ) f ( ) II/ BÀI TẬP Bài toán 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – = (1) a/ Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt cùng dấu c/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm thỏa mãn: -2 < x < Giải a/ Phương trình (1) có: ' = (- m)2 – m2 + = m – m2 + > phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với m b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu: ' 0(câu a) m 1 P m2 m P 0 Vậy với m > m < - thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt cùng dấu c/ Để phương trình có nghiệm thỏa mãn: -2 < x < 32 (33) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 a f ( 2) S 2 x1 x x1 x2 x1 x2 a f (4) S (I) ( II ) Giải (I) ta được: m > - Giải (II) ta được: m < Vậy với - < m < thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn -2 < x < Tiết 2: Bài toán 2: Cho phương trình: x2 – (a2 + )x +a2 + = (*) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt HD 0(1) S 0(2) P 0(3) Để pt có hai nghiệm dương phân biệt: a 3 4.(a 2) a 2a (a 1) 0a Ta có: Vậy (1) luôn đúng với a Ta có: S = x1 + x2 = a2 + 3 a Vậy (2) luôn đúng với a Ta có: P = x1.x2 = a + a Vậy (3) luôn đúng với a KL: Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt dương với a Bài 3: Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - = (1) (m là tham số) a/ Giải phương trình (1) với m = b/ Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 x1 x2 Giải a)Với m = ta có PT (3+1 )x - 2(3 - 1)x + - = 4x2 - 4x + = (2x 1) 0 (Hoặc tính hay ' ) Suy PT có nghiệm kép x = 1/2 33 (34) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 m 0 ' m 2m (m 1)(m 2) b)Để PT có nghiệm phân biệt thì m m 0 2 m ' m 2m m m Mà theo ĐL Vi-ét ta có: x1 x m (*) m 2(m 1) m ; x1 x m 1 m 1 1 x1 x x x 2 Từ ta có: x1x 2(m 1) m 2(m 1) m : m 1 m m 1 m 2 2(m 1) 4m 3m m thoả mãn (*) m Vậy m phải tìm là -2 Tiết 3: Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x mx m 0 (1) a/ Giải phương trình với m = - 2 3 b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm phương trình Tính x1 x ; x1 x theo m 2 c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 x 9 d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm còn lại f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu g/ Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào giá trị m Giải a/ Thay m = - vào phương trình (1) ta có phương trình : x 2x 0 (x 1) 0 x 0 x 1 Vậy với m = - phương trình có nghiệm x = b/ Phương trình : x mx m 0 (1) m 4(m 3) m 4m 12 Phương trình có nghiệm x1 ; x 0 (a) x1 x m (b) Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : x1x m 34 (35) Giáo án Ôn thi HSG Toán 2 2 *) x1 x (x1 x ) 2x1x ( m) 2(m 3) m 2m Năm học 2015 - 2016 3 3 *) x1 x (x1 x ) 3x1x (x1 x ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1 ; x 0 2 Khi đó x1 x m 2m 2 2 Do đó x1 x 9 m 2m 9 m 2m 15 0 '(m) ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; (m) 4 1 1 m1 5; m 1 => phương trình có hai nghiệm : Thử lại : +) Với m 5 => loại +) Với m 9 => thỏa mãn 2 Vậy với m = - thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 x 9 d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1 ; x 0 x1 x m Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : x1x m (a) (b) Hệ thức : 2x1 + 3x2 = (c) Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình : x1 x m 3x 3x 3m x 3m x 3m 2x1 3x 5 2x1 3x 5 x m x1 x 2m x1 3m Thay x 2m vào (b) ta có phương trình : ( 3m 5)(2m 5) m 6m 15m 10m 25 m 6m 26m 28 0 3m 13m 14 0 (m) 132 4.3.14 1 => phương trình có hai nghiệm phân biệt : 13 2.3 13 m2 2.3 m1 Thử lại : +) Với m 0 +) Với m 7 25 0 => thỏa mãn => thỏa mãn m 2; m phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = Vậy với e/ Phương trình (1) có nghiệm x1 ( 3) m.( 3) m 0 2m 12 0 m 6 35 (36) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Khi đó : x1 x m x m x1 x ( 3) x Vậy với m = thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac 1.(m 3) m m Vậy với m < - thì phương trình có hai nghiệm trái dấu g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi đó theo định lí Vi-et, ta có : x1 x m x1x m m x1 x x1 x x1x m x1x Tiết 4: III/ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.Phương trình chứa ẩn số mẫu: Ví dụ 1: giải phương trình: 4 0 2 x 3x x 12 x x x x (a) 4 (a) (2 x 3)( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) ( x 2)(2 x 3) x 3 x 0 x 0 x 0 x 2 x Điều kiện: Thu gọn: x x 0 (b) Phương trình (b) có hai nghiệm: x1 1; x2 5 Lưu ý: Tìm miền xác định phương trình, cuối cùng phải nhận định kết và trả lời Phương trình đưa dạng tích: *Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x 0 x3 x x 0 x3 x x 0 ( x 1)(2 x x 2) 0 x x 0 x 2; x x x 0 b) Vậy phương trình (a) có nghiệm: x1= -1; x2= -2; x3= Chú ý: phương trình bậc 3: ax + bx + cx+ d= Nếu a+ b+ c + d = thì phương trình có nghiệm x =1 Nếu a – b + c – d = thì phương trình có nghiệm x = -1 Phương trình bậc bốn: Phương trình bậc bốn là phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e = đó a, b, c, d ,e là các số cho trước, a 0 3.1 Phương trình trùng phương: a) Dạng tổng quát: 36 (37) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Phương trình có dạng: ax + bx + c = đó x là ẩn số; a,b,c là các hệ số, a 0 b) Cách giải: Loại phương trình này giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t từ đó ta đưa đến phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0 Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau đó trả biến: x2 = t *Ví dụ 3: Giải phương trình: 3x x 0 (a) đặt x2 = t 0 (a) <=> 3t2-2t -1 = Nghiệm phương trình (b) : t1= 1; t2 = thoả mãn t 0 Với t1= =>x2 = 1=> x = 1 1 Với t2 = => x2 = => x= Vậy phương trình có nghiệm * VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x 1 x1 1; x2 1; x3 1 ; x4 3 x2 x x 7 x 2x4 + 5x2 -7=0 đặt x2=t với t > ta đợc 2t2 +5t -7 =0 Cã :2+5-7=0 nªn t1=1(tho¶ m·n) ; t2= (lo¹i) víi t1=1 suy x2=1 suy x1=1 ; x2=-1 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1=1 ; x2=- 3.2 Phương trình dạng ax4+bx3 +cx2 ± kbx +k2a = 0.(Phương trình hồi quy) Chúng ta hay gặp dạng phơng trình này trờng THCS đó là phơng trình đối xứng a) Phương pháp giải: x = không phải là nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x2 ta k2 k a ( x + ) + b( x ± ) + c = x x : k k2 k2 2 t x t x 2k x t 2k x x x đặt Ta có phương trình bậc hai: a (t + 2k ) + bt + c = Ví dụ 6: Giải phương trình x4 + = 5x( x2 -2) Giải Ta có (1) x – 5x +10x +4 = (1) 37 (38) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 x = không phải là nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x2 ta - 5( x - ) = x x 4 xt x t x x ta có x x Đặt t = t 1 Ta có phương trình t - 5t + = t 4 x2 + x x 0 x x Với t = ta có : x x 1 x x 0 x 2 Với t = ta có : x - 1; 2; ± x { } Vậy S = 3.3 Phương trình dạng a[(fx)]2 +bf(x) + c = (1) Trong đó a 0 ; (fx) là đa thức biến x; x là ẩn số phương trình Cách giải: - Sau tìm TXĐ phương trình đổi biến cách đặt (fx) = t Ta đưa phương trình dạng : at2 + bt +c =0 (2) Ví dụ 7: Giải phương trình x + x + x - 12 x + = (1) Giải VT = x + x + x - 12 x + 2 = x + x +9 x - x - 12 x + 2 = ( x + 3x) - 4( x + 3x) + 2 Vậy phương trình (1) Tương đương với ( x + 3x) - 4( x + 3x ) + = Đặt x + 3x = t (2) Ta phương trình bậc hai sau t - 4t + = (3) Giải phương trình (3) ta hai nghiệm là: t1 = 1; t2 = Với t1 = từ (2) ta có x + 3x = phương trình này có hai nghiệm phân biệt là x1 13 13 x2 2 và Với t2 = từ (2) ta có phương trình này có hai nghiệm phân biệt là x1 21 21 x2 2 và Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 13 13 21 21 x2 x3 x4 2 2 ; ; và 4 3.4 Ph¬ng tr×nh d¹ng x a x b 0 x lµ Èn ; a; b; c lµ hÖ sè x1 * c¸ch gi¶i : 38 (39) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Ta biến đổi biến : t x a b x a a bt x b t a b a b phơng trình đã cho trở thành : a b a b 2t 12. t 2. c 0 Phơng trình này trùng phơng ẩn t ta đã biết cách giải * VÝ dô 8: gi¶i ph¬ng tr×nh x 3 x 5 đặt t x 2 (a) 35 x a t 4 t 1 2 2t 12t 2 t 6t 0 t t 0 t t 0 t 0 VËy x + = x = - Ph¬ng tr×nh (a) cã nghiÖm kÐp x = - 3.5 Ph¬ng tr×nh d¹ng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m hÖ sè a , b ,c ,d thµnh hai cÆp - mçi cÆp hai sè cã tæng b»ng nhau, ch¼ng h¹n a+c=b+d * VÝ dô : gi¶i ph¬ng tr×nh (x + 4) (x + 5) (x + 7) (x + 8) = (a) NhËn xÐt : + = + a x 4 x 8. x 5 x 4 x 12 x 32 x 12 x 35 4* đặt : x2 + 12x + 32 = t * t t 3 4 t 3t 0 b V× 1+3- =0 nªn ph¬ng tr×nh (b) cã hai nghiÖm : t1 =1 ; t2= - + ) t = t1 =1 39 (40) Giáo án Ôn thi HSG Toán x 12 x 32 1 x 12 x 31 0 Năm học 2015 - 2016 x x + ) t =t2 =- x 12 x 32 x 12 x 36 0 x1, VËy ph¬ng tr×nh ®Çu cã nghiÖm x1 x x x Ngày soạn: 25/3/2015 Ngày giảng: 28/3/2015 40 (41) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 CHUYÊN ĐỀ 6: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 41 (42) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Một số định nghĩa, định lí, tính chất và kiến thức liên quan đến các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương trình ax2 + bx + c = Nếu có nghiệm nguyên là x0 thì c x0 Phương trình có nghiệm nguyên ( ') là số chính phương, ( ') không âm Phương trình đưa dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải các hệ phương trình f ( x) m g ( x ) n với m.n = k Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương trình nghiệm nguyên đa dạng và phong phú Không có cách giải chung cho phương trình, nhiên để giải các phương trình đó ta thường dựa vào số phương pháp giải sau: Phương pháp I : Phương pháp đưa dạng tích Biến đổi phương trình dạng: Vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích các số nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x y ) 3 xy Lời giải: Ta có: 2( x y ) 3xy 3xy x y 5 y (3 x 2) (3 x 2) 5 (3 x 2)(3 y 2) 19 3 Do x, y nguyên dương nên x 1; y 1 mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có các 3x 1 (I) y 19 khả sau: ; 3x 19 (II) 3 y 1 Giải các hệ phương trình trên, ta đươc nghiêm nguyên phương trình là 42 (43) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 (x; y) (1; 7); (7; 1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + x + = y2 Lời giải: Ta có: x2 + x + = y2 4x2 + 4x + 24 = 4y2 (2x + 1)2 – 4y2 = -23 ( 2x – 2y + 1)(2x + 2y + 1) = - 23 2x y Suy ra: 2x+2 y 23 2x y 1 2x+2 y 23 2x y 23 2x+2 y 2x y 23 2x+2 y 1 Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta các nghiệm nguyên (x, y) là (5; 6); (5; -6) ; (-6;- 6); (- 6; 6) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Lời giải: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 (x+1)4 – y2 = x 1 – x 1 x 1 – x 1 2 [(x+1) –y][(x+1) +y] =1 y 1 y 1 y 1 y 1 y y 1 y y y = (x+1)2 = x+1 = 1 x = x = -2 Thử lai các giá trị tương ứng x và y ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là ( x, y ) {( 0, ); ( - 2, )} Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : y3 - x3 = 91 (1) Lời giải Ta có (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*) Vì x2 + xy + y2 > với x, y nên từ (*) => y - x > 43 (44) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 2 Mặt khác 91 = 91 = 13 và y - x ; x + xy + y có giá trị nguyên dương nên ta có bốn khả sau: y - x = 91 và x2 + xy + y2 = (I) y - x = và x2 + xy + y2 = 91 (II) y - x = và x2 + xy + y2 = (III) y - x = và x2 + xy + y2 = 13 (IV) Đến đây, bài toán coi giải Phương pháp II : Sử dụng tính chất chia hết - Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm tìm nghiệm phương trình - Hai vế phương trình nghiệm nguyên chia cho cùng số có số dư khác thì phương trình đó không có nghiệm nguyên Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : xy + x - 2y = (3) Lời giải Ta có (3) tương đương y(x - 2) = - x + Vì x = không thỏa mãn phương trình nên (3) tương đương với: y x 3 y x x Ta thấy: y là số nguyên nên x - là ước hay x - = x - = -1 với x = x = Từ đó ta có nghiệm nguyên (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0) Chú ý: Có thể dùng phương pháp để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (3) dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = tương đương (x - 2)(y + 1) = 2 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x 2 y (4) Lời giải Ta thấy: x = y = là nghiệm (4) x0 y0 , 1 x , y ( x , y ) d ( x , y ) 0 0 0 Nếu và là nghiệm (4) Gọi , suy d d (*) 44 (45) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 2 x x y y x02 2 y02 2 4 d chẵn và d d d Ta có: (mâu thuẫn với (*) ) Vậy phương trình (4) có nghiệm nguyên là (0; 0) Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 Lời giải: Ta có: 2x2 + 4x + = 21 - 3y2 2(x + 1)2 = 3(7 - y2) (2) Ta thấy 3(7 - y2) 2 - y2 2 y lẻ Ta lại có - y2 0 nên có thể y2 = Khi đó (2) có dạng: 2(x + 1)2 = 18 Ta : x + = 3 đó x1 = 2, x2 = -4 Các cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thoả mãn nên là các nghiệm nguyên pt Phương pháp V: Đưa dạng tổng Biến đổi phương trình dạng : Vế trái là tổng các bình phương, vế phải là tổng các số chính phương Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 - x - y = (1) Lời giải (1) 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32 (4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y + 1) = 34 (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng hai số chính phương 32 và 52 Do đó phương trình thỏa mãn hai khả : 2x 3 2y 5 2x 5 2y 3 Giải các hệ trên, suy phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là (x ; y) {2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)} 45 (46) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình x – 4xy + 5y2 = 169 Lời giải Ta có: x2 – 4xy + 5y2 = 169 (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = + 132 = 52 + 122 Do đó phương trình thỏa mãn bốn khả : x 2y 0 x 2y 13 x 2y 5 y 13 y y 12 x 2y 12 y 5 Giải ta các nghiêm nguyên phương trình là (x, y) {(29, 12); (19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0)} Phương pháp VIII: Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Lời giải Ta có phương trình: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + = (*) Coi x là tham số phương trình bậc (*) với ẩn y, ta có: y = -(2x + 1) ' x Do y nguyên, x nguyên ' x nguyên ' Mà x = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – x2 – = n2 (n ) (x- n) (x+ n) = x = (do x - n và x + n cùng tính chãn lẻ) Vậy phương trình có nghiệm nguyên là (x; y) {(2; -5); (-2, 3)} Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + = Lời giải 46 (47) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Ta có: x – (y+5)x + 5y + = coi y là tham số ta có phương trình bậc ẩn x Giả sử phương trình bậc có nghiệm x1, x2 x1 x y x x 5y Theo định lý Viet, ta có : 5x1 5x 5y 25 x1x 5y x1 + 5x2 – x1x2 = 23 (x1 -5) (x2 -5) = mà = 1.2 = (-1)(-2) x1 + x2 = 13 x1 + x2 = y = y = Thay vào phương trình ta tìm các cặp số (7; 8); (6; 8); (4; 2); (3; 2) là các nghiệm nguyên phương trình Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên phương trình: x + y + xy = x2 + y2 (1) Lời giải Viết (1) thành phương trình bậc x x2 - (y + 1)x + (y2 - y) = (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm là = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = y2 + 2y + - 4y2 + 4y = -3y2 + 6y + 2 * y y 0 3( y 1) 4 Do đó (y - 1)2 Suy -1 y - y-1 -1 y 2 Với y = 0, thay vào (2) ta x - x = Ta có x1 = 0; x2 = Với y = 1, thay vào (2) x2 - 2x = Ta có x3 = 0; x4 = Với y = 2, thay vào (2) ta x2 - 3x + = Ta có x5 = 1; x6 = Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng phương trình Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2), (2;2) 47 (48) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 CHUYÊN ĐỀ 7: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I PHƯƠNG PHÁP : DÙNG ĐỊNH NGHĨA Kiến thức: Để chứng minh A > B Ta chứng minh A –B > Lưu ý dùng bất đẳng M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : 2 2 2 a) x + y + z xy+ yz + zx ; b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz 2 c) x + y + z +3 (x + y + z) 2 Giải: a) Ta xét hiệu: x + y + z - xy – yz – zx = 2 ( x + y + z - xy – yz – zx) 2 = ( x y ) ( x z ) ( y z ) 0 đúng với x; y; z R 2 Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z 2 2 2 2 b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) 0 đúng với x;y;z R 2 Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z R Dấu xảy x+y=z 2 2 2 c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 2 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2 b2 a b 2 ; a) b) a2 b2 c2 a b c 3 Giải: a) Ta xét hiệu 2a 2b a b 2ab a b2 a b a2 b2 a 2ab b 4 = a2 b2 a b a b 0 ; Dấu xảy a=b =4 Vậy 48 = (49) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 2 2 a b c a b c a b b c c a 0 3 b)Ta xét hiệu: =9 a2 b2 c2 a b c 3 ; Dấu xảy a = b =c Vậy II PHƯƠNG PHÁP : DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng 2 Chú ý các đẳng thức sau: A B A 2 AB B A B A3 3 A2 B AB B3 A B C A B C AB AC BC ; Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng: a2 a) 2 b2 ab 2 2 b) a b ab a b c) a b c d e a b c d e Giải:a) đúng) a2 b2 ab 4a b 4ab 4a 4ab b 0 2a b 0 (BĐT này luôn b2 ab Vậy (dấu xảy 2a=b) 2 2 b) a b ab a b 2(a b 2(ab a b) 2 a 2ab b a 2a b 2b 0 (a b) (a 1) (b 1) 0 (BĐTnàyluôn a2 đúng) 2 Vậy a b ab a b Dấu xảy a=b=1 2 2 2 2 2 c) a b c d e a b c d e 4 a b c d e 4a b c d e 2 2 2 2 a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c 0 2 2 a 2b a 2c a 2d a 2c 0 (BĐT này luôn đúng) Vậy ta có điều phải chứng minh 1 Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dương có tổng Chứng minh : a b Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ; 3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 4ab + 4ab (a + b)2 4ab (BĐT này luôn đúng) Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho số a, b thoả mãn a + b = CMR a3 + b3 + ab 49 (50) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 1 3 Giải : Ta có : a + b + ab a + b + ab - 1 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - a2 + b2 - Vì a + b = 2a2 + 2b2 - 2a2 + 2(1-a)2 - ( vì b = a -1 ) 4a2 - 4a + ( 2a - )2 3 Bất đẳng thức cuối cùng đúng 1 Vậy a + b + ab Dấu '' = '' xảy a = b = 3 III PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC Một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a b 2 c) b a 2 a) x y 2 xy b) x y 4 xy a1 a a a n n a1 a a3 a n n 2) Bất đẳng thức Cô si: a 2 2 n 3) 2 2 n Bất a a x x a1 x1 a2 x2 an xn đẳng Với thức Bunhiacopski: 2 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 4 xy 2 Tacó a b 4ab ; b c 4bc ; c a 4ac a b b c c a 64a b c 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy a = b = c 2 Ví dụ 2: Cho x , y là số thực thoả mãn : x2 + y2 = x y y x Chứng minh : 3x + 4y Giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 2 x 1 y 1 (x2 + y2)2 = ( x y y x )2 ( ; ) (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x2 + y2 1 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 2 x y 1 x 0, y x y x 5 y x Điều kiện : Đẳng thức xảy Ví dụ 3: Cho a, b, c ; a + b + c = Chứng minh : a, a b b c c a ; b, a b c 3,5 50 (51) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Giải : a, Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với số ta có : => a b b c c a 1 1 a b b c c a a b 3.(2a 2b ac) 6 => bc ca a b b c c a Dấu '' = '' xảy : a = b = c = a 1 b, Áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : b b 1 1 Tương tự : Cộng a 1 b 1 c 1 (a 1) a 1 2 c c 1 1 ; vế bất đẳng thức trên ta : a b c 3,5 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = Vậy : a b c 3,5 Ví dụ : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = Chứng minh : 1 9 a b c a b 0 Giải : Ta có : b a ,a,b>0 1 1 1 1 ( ) ( ) a b c a b c = a b c (a + b + c) Ta có : = 1 a a b b c c a b b c c a 1 1 ( ) ( ) ( ) b c a c a b b a c b a c = 3+2+2+2=9 1 1 9 => a b c Dấu ''='' xảy : a = b = c = Ví dụ 5: Cho 2 số (a c) (b d ) a b c d a,b,c,d chứng minh rằng: 2 2 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ac + bd a b c d 2 2 2 2 2 2 2 mà a c b d a b 2 ac bd c d a b a b c d c d (a c) (b d ) a b c d 2 2 Ví dụ 6: Chứng minh rằng: a b c ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có : 51 (52) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 2 2 2 2 2 1 (a b c ) 1.a 1.b 1.c a b c a b c 2 ab bc ac a b c ab bc ac Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c IV PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC Kiến thức: Nếu a; b; c là số đo ba cạnh tam giác thì: a; b; c> 0; và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a; b; c là số đo ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b, abc > (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) Giải: a)Vì a,b,c là số đo cạnh tam giác nên ta có a a (b c) b b(a c) c c ( a b) 0 a b c 0 b a c 0 c a b Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có : a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) (đpcm) 2 b) Ta có a > b-c a a (b c) > 2 b > a-c b b (c a) > 2 c > a-b c c (a b) Nhân vế các bất đẳng thức ta a 2b c a b c b c a c a b 2 a 2b c a b c b c a c a b abc a b c . b c a . c a b Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh 1 2 ( ) p a p b p c a b c tam giác) Chứng minh : bc a 0 Giải: Ta có : p - a = ; Tương tự : p - b > ; p - c > ; 1 1 4 áp dụng bất đẳng thức x y x y ta ; p a p b ( p a) ( p b) c 1 1 Tương tự : p b p c a ; p a p c b 2( 1 1 1 ) 4( ) p a p c p c a b c => điều phải chứng minh => Dấu '' = '' xảy : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi đó tam giác ABC là V PHƯƠNG PHÁP 5: ĐỔI BIẾN SỐ a b c Ví dụ 1: Chứng minh : Nếu a , b , c > thì : b c c a b a 52 (53) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 x yz Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = yz x zx y x y z 2 => a = , b= , c= yz x zx y x y z a b c x y 2z b c c a b a Khi đó : VT = = y x z x z y 3 ( ) ( ) ( ) 1 2 = x y x z y z 1 9 Ví dụ 2: Cho a, b, c > và a + b +c < Cmr a 2bc b 2ac c 2ab (1) 2 2 Giải: Đặt x = a 2bc ; y = b 2ac ; z = c 2ab Ta có x y z a b c 1 1 9 x y z (1) Với x+y+z < và x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x y z 3 xyz 1 1 x y z xyz x y z . 9 x y z 1 9 x y z Mà x+y+z < Vậy (đpcm) VI BÀI TẬP VẬN DỤNG: x Bài 1: Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng: Giải:Ta x y x y x y x y xy x y có 2 y2 8 x y2 (vì xy = 1) 4. x y 4 2 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với x y 4 x y 8. x y x y 4 x y 0 x y 2 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải cm 1 2 Bài 2: Cho xy Chứng minh rằng: x y xy 1 1 1 0 2 2 x y y xy x y xy Giải : Ta có xy x xy y x( y x) y( x y) 0 0 2 2 1 x .1 xy 1 y .1 xy x 1 xy y 1 xy y x xy 1 0 2 x y 1 xy BĐT cuối này đúng xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 3: Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 53 (54) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Giải : Áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) và (a,b,c) 2 2 2 2 Ta có 1.a 1.b 1.c 1 1. a b c a b c 3. a b c a2 b2 c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) Bài 4: Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng: a b c . 9 a b c (1) a b a c b c a a b b c c 9 9 b a c a c b b c a c a a Giải : (1) x y 2 y x Áp dụng BĐT phụ Với x,y > 1 a b c . 9 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng Vậy Bài 5: Cho a ,b ,c 2 ,d a b > c (đpcm) Chứng minh : a b b c cd d a 3 a b c b c d c d a d a b a b a b a b d Giải : Vì a ,b ,c ,d > nên ta có a b c d a b c a b c d (1) b c b c bc a d a d a d a c a b c d b c d a b c d (2) a b c d d a b a b c d (3) Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có : 2 a b b c cd d a 3 a b c b c d c d a d a b (đpcm) 1 Bài 6: Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh tam giác nên ta có a, b, c > Và a < b + c; b < a + c; c < a + b a b c 2 b c c a a b a a a 2a a a Từ (1) b c a b c a b c Mặt khác b c a b c a a 2a b b 2b Vậy ta có a b c b c a b c Tương tự ta có a b c a c a b c c c 2c a b c b a a b c Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có: 1 a b c 2 b c c a a b (đpcm) 54 (55) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 CHUYÊN ĐỀ 8: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ I KIẾN THỨC CƠ BẢN Các kiến thức thường dùng 1.1 Luỹ thừa: a) x2 x |R x2k x |R, k z - x2k Tổng quát : f (x)2k x |R, k z - f (x)2k Từ đó suy : f (x)2k + m m x |R, k z 2k M - f (x) M b) x x ( x )2k x0; k z Tổng quát: ( A )2k A 0 (A là biểu thức) 1.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a) |x| x|R b) |x + y| |x| + |y| ; "=" xảy x.y c) |x - y| |x| - |y| ; "=" xảy x.y và |x| |y| 1.3 Bất đẳng thức côsi : a1 a a n n a1 a .a n , n n ; i= : ai dấu "=" xảy a1 = a2 = = an 1.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta có : nN, n 2 2 2 2 (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ( a1 a a n ).(b1 b2 bn ) Dấu "=" xảy bi = Const (i = 1, n ) 1 a b 2 b a a b 1.5 Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp b a suy từ bất đẳng thức (A+B)2 a2 + b2 2ab; (a + b)2 4ab; 2(a2 + b2 ) (a + b)2 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp 01: Sử dụng phép biến đổi đồng Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và số Từ đó : 1.Để tìm Max f(x, y, ) trên miền |D ta : f ( x, y ) M ( x , y ) | R cho f(x0, y0, ) = M Để tìm Min f(x, y, ) trên miền |D ta : 55 (56) Giáo án Ôn thi HSG Toán f ( x, y ) m ( x , y ) | R Năm học 2015 - 2016 cho f(x0,y0, ) = m I Các ví dụ: x 10 x ( x 1) x x 1 Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức A4 = 2( x x 1) 6( x 1) x 10 x 2 2 x ( x 1) ( x 1) Giải :Ta có: A = x x 2 1 3 1 0 x = - x vì - x 0 A4 Max = x x = -2 Vậy : A4 Max = x = -2 y x x y y x Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A5 = x Giải :Ta có:A = y ( x A5 = y x x với x, y>0 x xy y x y y x y xy = y ).( x y ) xy ( x y ) ( x xy = x( x y ) y( x y) xy y) 0 x,y > A = x y x = y Vậy : A5 = x = y > Ví dụ : Tìm giá trị lớn A7 = xy + yz + zx - x - y2 - z2 Giải :Ta có : A7 = xy + yz + zx - x - y - z = - (2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz) A7 = - {(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2} 0, x,y,z A7 Max = x=y = z 2 Vậy : A7 Max = x = y = z Ví dụ : Tìm GTLN biểu thức: y Giải: Ta có thể viết: y x x 1 1 x x 1 1 x 2 2 1 3 y x x Dấu “=” xảy Vì 4 Do đó ta có: 1 y x Vậy: GTLN II Nhận xét: Phương pháp giải toán cực trị đại số cách sử dụng các phép biến đổi đồng áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác Song đôi học sinh thường gặp khó khăn công việc biến đổi để đạt mục đích 56 (57) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 III Bài tập nhà: Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau: a A = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c C = x3 + y3 + xy biết x + y = Tìm giá trị lớn các biểu thức : 3x 8x b B = x x (x 1) x2 2 b B = x a A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 Phương pháp 02: Sử dụng các bất đẳng thức Ta biết rằng: Từ bất đẳng thức, cách chuyển ta đưa bất đẳng thức và các phép biến đổi tương đương mà vế là số Vì vậy: Sử dụng các bất đẳng thức và các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm cực trị biểu thức nào đó I Các ví dụ: 1 Ví dụ 1: Cho a > b > Tìm GTNN B1 = a + b(a b) b(a b) 1 b.(a b) b( a b) b ( a b) Giải: Ta có: B1 = a + = b + (a-b) + (theo Côsi) a 2 b 1 Vậy: B1 = 1 2 Ví dụ : Cho a,b > và a + b = Tìm GTNN B2 = ab + a b 1 xy x y x y B1 B1 = b = a-b = b(a b) Giải: Theo bđt Côsi: (x + y)( (1) )2 .2 a 2 b 1 1 = (với x, y > 0) x y x y a b 1 Ta có : ab ( ) = ab (2) a+b = ; a,b > Áp dụng bất đẳng thức (1) và kết (2) ta có : 1 1 1 4 ( ) 2 2ab a b 2ab 2ab a b 2ab a b B2 = ab a b 6 ( a b ) B2 + a + b = B2min = a = b = Vậy: B2min = a = b = Ví dụ 3: Cho xy + xz + yz = Tìm GTNN B3 = x4 + y4 + z4 Giải :Do xy + xz + yz = 16 = (xy + xz + yz)2 (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) (Theo Bunhiacôpxki) 16 (x2+y2+z2)2 (x4 + y4 + z4) (12+12+12) 57 (58) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 16 16 4 B3 = x + y + z B3min = x = y = z = 16 Vậy : B3min = x = y = z = Ví dụ 4: Cho xyz = và x + y + z = Tìm GTNN B8 = x16 + y16 + z16 Giải : Cách : Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 a,b,c a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 B8 x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 B8 (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 B8 (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 B8 (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (do xyz = và x + y + z = 3) B8min = x = y = z = Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : = x + y + z = (x+ y + z)2 (x2 + y2 + z2).3 (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 + z2)2 (x4 + y4 + z4).3 x4 + y4 + z4 (x4 + y4 + z4)2 (x8 + y8 + z8).3 x8 + y8 + z8 (x8 + y8 + z8)2 (x16 + y16 + z16).3 B8 = x16 + y16 + z16 B8min = x = y = z = Vậy : B8min = x = y = z = Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN và GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = (x + y)2 x y x y x y x y - Xét x y Dấu “=” xảy x y x y x y - Xét x y Dấu “=” xảy x y x y Vậy x + y đạt GTNN là Ví dụ 6: Tìm GTLN hàm số: y x x 58 (59) Giáo án Ôn thi HSG Toán x 0 x 4(*) x Giải: Điều kiện: Năm học 2015 - 2016 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) a b Dấu “=” xảy và c d Chọn a x 2; c 1; b x ; d 1 với x 4 Ta có: 2 y x x x x 12 12 y x x y 4 y 2 Vì y > nên ta có: y 2 Dấu “=” xảy x x x 4 x x 3 (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y là x = x 1994 Ví dụ 7: Tìm GTNN biểu thức: M = x 1994 ( x 1995) Giải: M = = x 1994 x 1995 ( x 1995) áp dụng bất đẳng thức: a b a b ta có: M = x 1994 x 1995 x 1994 1995 x => M x 1994 1995 x 1 Dấu “=” xảy và (x – 1994) (1995 – x) <=> 1994 x 1995 Vậy GTNN M = 1994 x 1995 II Nhận xét: Rõ ràng áp dụng số bất đẳng thức bản, bài toán giải nhanh Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó Một vấn đề đặt là: Hai phương pháp vừa nêu chưa đủ để giải hết các bài toán cực trị đại số THCS Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có phương pháp khác tối ưu và thực yêu cầu bài toán III Bài tập nhà: 1 1 Cho a, b, c > và a + b + c = Tìm GTNN A = (1+ a ) (1+ b ) (1+ c ) 2 Cho a, b, > và a + b = Tìm GTNN B = ab a b Cho a, b, c > a b c a) Tìm GTNN C = b c c a a b a b c bc c a a b a b c b) Tìm GTNN D = b c c a a b 59 (60) Giáo án Ôn thi HSG Toán Cho x, y, z và x+y+z =1.Tìm GTLN Năm học 2015 - 2016 E= x y z Cho a,b,c và a + b + c = 1.Tìm GTLN F = a b a c b c Cho x Tìm GTLN G = 4x2 - 3x3 Cho x ; Cho y Tìm GTLN H = (3 - x)(4 - y)(2x + 3y) Cho x, y, z, t và 2x + xy + z + yzt = Tìm GTLN I = x2y2z2.t Cho x, y, z, t và xt + xy + z + yzt = Tìm GTLN K = xyzt 10 Tìm GTNN M = | x-2 | + | y-3 | + |x+y - 2007 | Phương pháp 03: Sử dụng phương pháp đặt biến phụ Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tương đương Sử dụng các bất đẳng thức ta có thể chuyển biến thức đã cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị I Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Giải : C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = (x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 - (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt: x2 + 3x + = a C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a - 3)2 + 8 (a - 3)2 a x C1min = a - = a = x2 + 3x + = x x Vậy : C = x x2 x y y2 y x Ví dụ 2: Tìm GTNN C2 = - 5 y x với x, y > 2 y y x x 2 x = a2 - Giải: Đặt: y x = a 2 y C2 = 2(a2 - 2) - 5a + = 2a2 - 5a + Ta thấy: a C2 = 2a2 - 5a + C2min = a = x = y > Vậy : C2min = x = y > y x y x x Ví dụ 3: Tìm GTNN C3 = y x - y + 2004 với x, y>0 y x y x x = a 2 y x = a2 – Khi đó: Giải: Đặt: y C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004 C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + + 2002 = (a-1) (a-2) + 2000 60 (61) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Do ta có : a a - 1> ; a - 20 (a-1) (a-2) 0 C3 = (a-1) (a-2) + 2000 2000 C3 = 2000 a = x = y ; xy > Vậy C3 = 2000 x = y và xy > II Bài tập nhà: 1 Tìm GTNN A = x2 + - x + x x 50 ; Tìm GTLN B = a 2a 50 3a với a 1 Cho a - ; b - ; c - và a+ b + c = Tìm GTLN C = 2a 2b 2c x y y2 x2 3 x y x Cho x, y > Tìm GTNN D = y Phương pháp 04: Sử dụng biểu thức phụ Để tìm cực trị biểu thức nào đó, đôi người ta xét cực trị biểu thức khác có thể so sánh với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị Ví dụ: Để tìm cực trị biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị biểu thức: A , -A, kA, k + A, |A| , A2 I Các vị dụ: (k là số) x2 Ví dụ 1: Tìm GTLN A = x x Giải: a) Xét x = A = giá trị này không phải là GTLN A vì với x ta có A > b) Xét x đặt P = A đó Amax Pmin x4 x2 1 x x x với cách đặt trên ta có : P = 1 2 x 2 x ta có : x2 + x (theo côsi) P + = Pmin = x = 1 Do đó : Amax = x = x 2 Ví dụ 2: Tìm GTNN B = ( x 2002) với x > Giải: Đặt P1 = - B P1max Mmin x Ta có : P1 = ( x 2002) với x > P > 61 (62) Giáo án Ôn thi HSG Toán Đặt P = P1 > với x > đó P 2 Năm học 2015 - 2016 Min ( x 2002) x 2.x.2002 2002 x x P2 = 2 x 2.x.2002 2002 4.x.2002 x P2 = P1 Max ( x 2002) 4.2002 4.2002 8008 x P2 = ( x 2002) x (do 0 x > 0) P2 Min = 8008 x = 2002 P1 Max = 8008 x = 2002 1 BMin = - 8008 x = 2002 Vậy BMin = - 8008 x = 2002 Ví dụ 3: Cho a, b, c dương và a + b + c = Tìm GTLN C = 5a 4b 5b 4c 5c 4a Giải: Do a, b, c > C > Đặt: P = C2 đó PMax CMax Ta có: P = 5a 4b 5b 4c 5c 4a P (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P 3.9(a + b + c) = 81 a + b + c = PMax = 81 a = b = c = C Max = 81 a = b = c = CMax = a = b = c = Vậy CMax = a = b = c = Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > y t y xy x tx t x tx y xy t Tìm GTNN D = y t Giải : Đặt P = 2D ta có : 2y 2(t x) 2( x y ) x 2( y t ) 2t x tx y xy t P = y t 2x y t 2y x y 3 y t t x x t t x 2t y t 2x t x 2y x y 2t x y t P= 2x y t 2y x y 3 y t t x x y t x 2t y t 2x t x 2y x y 2t x x y y t t P= P + + + 6 (theo côsi) 62 (63) Giáo án Ôn thi HSG Toán P 15 PMin = 15 x = y = t > DMin =t II Các bài tập : Năm học 2015 - 2016 15 15 = x = y = t b Vậy DMin = x = y Cho x,y, z > và x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN A xy yz zx z x y x8 x 1 x4 Cho x Tìm GTNN B = x8 16 Cho x Tìm GTLN C = x x Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b + 3c Cho a,b > và a + b = Tìm GTNN E = a b a b bc cd d a Cho a, b, c, d > Tìm GTNN F = b c d c d a d a b a b c 2 2 Cho a,b |R Tìm GTNN G = a (1 b) b (1 a) Phương pháp 05: Phương pháp miền giá trị Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho có thể có hai biến số và đưa dạng tam thức bậc thì ta có thể sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải Phương pháp chung: Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y là giá trị nào đó f(x) với x D Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số) Thường đưa đến biểu thức sau: m yM Từ đó Min f(x) = m với x D Max f(x) = M với x D I Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + Giải: Gọi y là giá trị f(x) Ta có : y = x2 + 4x + 63 (64) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 x + 4x + - y = (có nghiệm) ' = - + y y1 Vậy f(x) Min = x = -2 Ví dụ 2: Tìm GTLN f(x) = - x2 + 2x - Giải: Gọi y là giá trị f(x) Ta có: y = - x2 + 2x - x2 - 2x + y + (có nghiệm) ' = - y - y-6 Vậy f(x)Max = -6 x = x 4x Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN f(x) = x x Giải: Gọi y là giá trị f(x) x 4x Ta có : y = x x yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = (y - 1)x2 + (y - 2).x + 3y - = (có nghiệm) * Nếu y = x = - * Nếu y ' = (y - 2)2 + (3y - 6) (1 - y) y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y - - 2y2 + 5y + y Ta thấy : < < Do : f(x) Min = x = -3; f(x) Max = x = CHUYÊN ĐỀ 9: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tiết : A) TÓM TẮT Lí THUYẾT Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình: a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ các đại lượng Bước 2: Giải phương trình 64 (65) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Bước 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời Chú ý: Tuỳ bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và kiến thức thực tế B) CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Toán quan hệ các số Những kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số: ab 10a b ( víi 0<a 9; b 9;a, b N) + Biểu diễn số có ba chữ số: abc 100a 10b c ( víi 0<a 9; b,c 9;a, b, c N) + Tổng hai số x; y là: x + y + Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2 + Bình phương tổng hai số x, y là: (x + y)2 1 + Tổng nghịch đảo hai số x, y là: x y Ví dụ 1: Một số phân số lớn tử số nó là đơn vị Nếu tăng tử và mẫu nó thêm đơn vị thì phân số phân số đã cho Tìm phân số đó? Giải: Gọi tử số phân số đó là x (đk: x 3 ) Mẫu số phân số đó là x + Nếu tăng tử và mẫu thêm đơn vị thì: Tử số là x + Mẫu số là x + + = x + Được phân số ta có phương trình x 1 x 4 2(x 1) x x 2( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n) Vậy phân số ban đầu đã cho là Ví dụ 2: Tổng các chữ số số có hai chữ số là Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó? Giải Gọi chữ số hàng chục là x ( (0 < x 9, x N) Chữ số hàng đơn vị là y (0 < y 9, y N) Vì tổng chữ số là ta có x + y = (1) 65 (66) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Số đó là xy 10x y Số viết ngược lại là yx 10y x Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì số viết theo thứ tự ngược lại ta có xy 63 yx 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2) x y 9 x y 9 2x 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 9x 9y 63 x y 7 x y 9 x 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) y Vậy số phải tìm là 18 Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương nó là 85 Giải Gọi số bé là x ( x N ) Số tự nhiên kề sau là x + Vì tổng các bình phương nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85 x x 2x 85 2x 2x 84 0 x x 42 0 b 4ac 12 4.1.( 42) 169 169 13 Phương trình có hai nghiệm 13 x1 6(tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) 13 x2 7(lo¹i) Vậy hai số phải tìm là và Bài tập: Bài 1: Đem số nhân với trừ thì 50 Hỏi số đó là bao nhiêu? Bài 2: Tổng hai số 51 Tìm hai số đó biết số thứ thì số thứ hai Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số nó là Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho thì số đó giảm 45 đơn vị Bài 4: Tìm hai số kém đơn vị và tích chúng 150 Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số đó lập phương số tạo chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn số đã cho theo thứ tự đó ĐÁP SỐ: Bài 1: Số đó là 19; 66 (67) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Bài 2: Hai số đó là 15 và 36 Bài 3: Số đó là 61 Bài 4: Hai số đó là 10 và 15 -10 và -15; Bài 5: Số đó là 32 Tiết 2: Dạng 2: Toán chuyển động Những kiến thức cần nhớ: Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì: s s v ;t t v S = v t ; Gọi vận tốc thực ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 tì vận tốc ca nô xuôi dòng nước là v = v1 + v2 Vân tốc ca nô ngược dòng là v = v1 - v2 Ví dụ 1: Xe máy thứ trên quảng đường từ Hà Nội Thái Bình hết 20 phút Xe máy thứ hai hết 40 phút Mỗi xe máy thứ nhanh xe máy thứ hai km Tính vận tốc xe máy và quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình? Giải: Gọi vận tốc x thứ là x (km/h), đk: x>3; Vận tốc xe tứ hai là x - (km/h) 10 Trong 20 phút (= giờ) xe máy thứ 11 Trong 40 phút (= giờ) xe máy thứ 10 x(km) 11 (x 3)(km) Đó là quảng đường tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phương trình 10 11 x (x 3) x 33 3 (thoả mãn điều kiện bài toán) Vậy vận tốc xe máy thứ là 33 km/h Vận tốc xe máy thứ hai là 30 km/h Quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km Ví dụ 2: Đoạn đường AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A và ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp D cách A là 60 km Tính vận tốc ô tô và xe máy ? Giải Gọi vận tốc ô tô là x (km/h), đk: x > Gọi vận tốc xe máylà y (km/h), đk: y > 80 Thời gian xe máy để gặp ô tô là y (giờ) 67 (68) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 100 Quảng đường ô tô là 100 km nên thời gian ô tô là y (giờ) 100 80 y (1) ta có phương trình x 60 Quảng đường xe máy là 60 km nên thời gian xe máy là y (giờ) 120 Quảng đường ô tô lag 120 km nên thời gian ô tô là y (giờ) Vì ô tô trước xe máy 54 phút = 10 nên ta có phương trình 120 60 (2) x y 10 100 80 100 80 x y x y 0 120 60 40 20 x y 10 y 10 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x 2 2 x x 9 m 2m 9 m 2m 15 0 Vậy vận tốc ô tô là 50 km/h Vận tốc xe máy là 40 km/h Ví dụ 3: Một ô tô trên quảng đường dai 520 km Khi 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h và hết quảng đường còn lại T ính vận tốc ban đầu ô tô biết thời gian hết quảng đường là Giải: Gọi vận tốc ban đầu ô tô là x (km/h), đk: x>0 Vận tốc lúc sau ô tô là x+10 (km/h) 240 Thời gian ô tô hết quảng đường đầu là x (giờ) 280 Thời gian ô tô hết quảng đường đầu là x 10 (giờ) Vì thời gian ô tô hết quảng đường là nên ta có phương trình 240 280 8 x 55x 300 0 x x 10 68 (69) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 2 b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 4225 65 55 65 55 65 x1 60(TMDK);x 5(loai) 2 Phương trình có hai nghiệm Vậy vận tốc ban đầu ô tô là 60 km/h Bài tập: Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h Qua 15 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A cùng hướng với ô tô thứ với vận tốc 40 km/h Hỏi sau thì ô tô gặp nhau, điểm gặp cách A bao nhiêu km? Một ca nô xuôi dòng 50 km ngược dòng 30 km Biết thời gian xuôi dòng lâu thời gian ngược dòng là 30 phút và vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngược dòng là km/h Tính vận tốc lúc xuôi dòng? Hai ô tô cùng khởi hành cùng lúc từ A đến B cách 150 km Biết vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút Tính vânl tốc ô tô Một thuyền trên dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 10 phút Tính vận tốc thực thuyền biết bè thả phải 10 xuôi hết dòng sông Một người xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc đó ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp là 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe? Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc đó bè nứa trôi tự từ A đến B Ca nô đến B thì quay lại A ngay, thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết 15 Trên đường ca nô ngược A thì gặp bè nứa điểm cách A là 50 km Tìm vận tốc riêng ca nô và vận tốc dòng nước? Đáp án: (giê) 20 km/h Vận tốc ô tô thứ 60 km/h Vận tốc ô tô thứ hai là 50 km/h 25 km/h Vận tốc ca nô là 15 km/h Vận tốc dòng nước là km/h Tiết 3: Dạng 3: Toán làm chung công việc Những kiến thức cần nhớ: 69 (70) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 - Nếu đội làm xong công việc x thì ngày đội đó làm x công việc - Xem toàn công việc là Ví dụ 1: Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì hoàn thành 25% công việc Hỏi làm riêng thì người hoàn thành công việc bao lâu? Giải: Ta có 25% = Gọi thời gian mình người thứ hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ) Gọi thời gian mình người thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ) Trong người thứ làm x công việc Trong người thứ hai làm y công việc Hai người cùng làm thì xong 16 Vậy hai người cùng làm 16 công việc 1 (1) Ta có phương trình: x y 16 Người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì 25%= công x y (2) việc Ta có phương trình 1 1 3 3 1 1 x y 16 x y 16 x y 16 1 1 3 x y x y y 16 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x 24 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) y 48 Vậy làm riêng thì người thứ hoàn thành công việc 24 Người thứ hai hoàn thành công việc 48 Ví dụ 2: Hai thợ cùng đào mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc Nếu họ làm riêng thì đội hoàn thành công việc nhanh đội là Hỏi làm riêng thì đội phải làm bao nhiêu thì xong công việc? Giải: 70 (71) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Gọi thời gian đội làm mình xong công việc là x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm mình xong công việc là x + (giờ) c«ng viÖc Mỗi đội làm x c«ng viÖc Mỗi đội làm x 11 35 Vì hai đội thì sau 55 phút = 12 12 (giờ) xong 12 Trong hai đội làm 35 công việc 1 12 35x 70 35 12x 24x Theo bài ta có phương trình x x 35 12x 46x 70 0 6x 23x 35 0 Ta có ( 23)2 4.6.( 35) 529 840 1369 1369 37 23 37 23 37 VËy ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 5(thoa m·n); x 2(lo¹i) 12 12 Vậy đội thứ hoàn thành công việc Đội hai hoàn thành công việc Chú ý: + Nếu có hai đối tượng cùng làm công việc biết thời gian đại lượng này hơn, kém đại lượng ta nên chọn ẩn và đưa phương trình bậc hai + Nếu thời gian hai đại lượng này không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để giải Ví dụ 3: Hai người thợ cùng sơn cửa cho ngôi nhà thì ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày thì xong việc Hỏi người làm mình thì bao lâu xong công việc? Giải: Gọi thời gian để mình người thứ hoàn thành công việc là x (x > 2; ngày) Gọi thời gian để mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (x > 2; ngày) Trong ngày người thứ làm x công việc Trong ngày người thứ hai làm y công việc 71 (72) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Cả hai người làm xong ngày nên ngày hai người làm 1 công việc Từ đó ta có pt x + y = (1) Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày thì xong công việc ta có pt: 1 x y (2) 1 1 1 1 x y 2 x 6 x y (tho¶ m·n ®k) y 3 1 1 x Từ (1) và (2) ta có hệ pt x y Vậy người thứ làm mình xong công việc ngày Người thứ hai làm mình xong công việc ngày Bài tâp: Hai người thợ cùng làm công việc thì xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì 1/3 công việc Hỏi người làm mình thì bao lâu xong công việc? Để hoàn thành công việc hai tổ phải làm Sau làm chung thì tổ hai điều làm việc khác Tổ đã hoàn thành công việc còn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thì bao lâu xong công việc đó? Hai đội công nhân cùng đào mương Nếu họ cùng làm thì ngày xong công việc Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh đội là ngày Hỏi làm riêng thì đội phải làm bao nhiêu ngày để xong công việc? Hai bình rỗng giống có cùng dung tích là 375 lít Ở bình có vòi nước chảy vào và dung lượng nước chảy là Người ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình sau thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình cùng đầy lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ Tính xem vòi thứ chảy bao nhiêu lít nước Kết quả: 1) Người thứ làm mình 54 Người thứ hai làm mình 27 2) Tổ thứ làm mình 10 Tổ thứ hai làm mình 15 3) Đội thứ làm mình ngày Đội thứ hai làm mình ngày 4) Mỗi vòi thứ chảy 75 lít 72 (73) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Tiết 4: Dạng 4: Toán có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ: - Diện tích hình chữ nhật S = x.y (x là chiều rộng; y là chiều dài) S x.y - Diện tích tam giác (x là chiều cao, y là cạnh đỏy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền: c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a, b là các cạnh góc vuông) n(n 3) - Số đường chéo đa giác (n là số đỉnh) Ví dụ 1: Tính các kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2, biết tăng kích thước thêm cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2 Giải: Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y (cm; x, y > 0) Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là x.y (cm2) Theo bài ta có pt x.y = 40 (1) Khi tăng chiều thêm cm thì diện tích hình chữ nhật là Theo bài ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + = 48 x + y = 13(2) Từ (1) và (2) suy x và y là nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = Ta có ( 13) 4.40 9 3 13 13 X1 8;X 5 2 Phương trình có hai nghiệm Vậy các kích thước hình chữ nhật là (cm) và (cm) Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vuông m Hai cạnh góc vuông kém 1m Tính các cạnh góc vuông tam giác? Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ là x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vuông thứ hai là x + (m) Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình 2 x2 + (x + 1)2 = 52 2x 2x 24 x x 12 0 12 4.( 12) 49 7 Ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1 1 x1 3 (tho¶ m·n); x 4(lo¹i) 2 Vậy kích thước các cạnh góc vuông tam giác vuông là m và m Bài tâp: 73 (74) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần và chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không thay đổi Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh? Bài 4: Một cái sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy m và giảm chiều cao tương ứng m thì diện tích không đổi? Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35 m hai đáy 30 m và 50 m người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng Các tim đứng là đường trung bình hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường đó biết diện tích phần làm đường diện tích hình thang Đáp số: Bài 1: Diện tích hình chữ nhật là 60 m2 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật là 3750 m2 Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh Bài 4: Cạnh đày tam giác là 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường là m Dạng 5: Toán lãi suất, tăng trưởng: Những kiến thức cần nhớ: x + x% = 100 + Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm tỉnh A là x a a 100 x x x Sè d©n n¨m sau lµ (a+a ) (a+a ) 100 100 100 Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58 Gọi lãi suất cho vay là x (%), đk: x > 2000000 x 20000 100 (đồng) Tiền lãi suất sau năm là Sau năm vốn lẫn lãi là 200000 + 20000 x (đồng) Riêng tiền lãi năm thứ hai là (2000000 20000 x ) x 20000 x 200 x (đồng) 100 74 (75) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả là 2000000 +20000x + 20000x + 200x2(đồng) 200x2 + 40000x +2000000 (đồng) Theo bài ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x – 2100 = Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn) Vậy lãi suất cho vay là 10 % năm Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ là bao nhiêu Giải Gọi x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 – x (sản phẩm) 18 Số sản phẩm vượt mức tổ I là 100 (sản phẩm) 21 (600 x ) 100 (sản phẩm) Số sản phẩm vượt mức tổ II là x Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ là 120 sản phẩm ta có pt 18x 21(600 x ) 120 100 100 x = 20 (thoả mãn yêu cầu bài toán) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I là 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II là 400 (sản phẩm) Bài tập: Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả là 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm năm? Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ đã sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ là bao nhiêu? Kết quả: Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay là 9% năm Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm Dạng 6: Các dạng toán khác 75 (76) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Những kiến thức cần nhớ : m (V lµ thÓ tich dung dich; m lµ khèi l îng; D lµ khèi l îng riªng) D Khèi l îng chÊt tan - Khối lượng nồng độ dung dịch = Khèi l îng dung m«i (m tæng) V Ví dụ : (Bài trang 59 SGK) Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước là x (g) đk x > 40 % Nồng độ muối dung dịch đó là x 40 Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng dung dịch là: 40 % x 240 Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình 40 40 10 x 280x 70400 0 x 40 x 240 100 Giải pt ta x1 = -440 (loại); x2 = 160 (thoả mãn đk bài toán) Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ nó là 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng Giải Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ là x (g/cm3) Đk x > 0,2 Khối lượng riêng chất lỏng thứ là x – 0,2 (g/cm3) (cm3 ) Thể tích chất lỏng thứ là x (cm3 ) x , Thể tích chất lỏng thứ hai là (cm3 ) x x , Thể tích hỗn hợp là 14 14x 12, 6x 1,12 0 x x , , Theo bài ta có pt Giải pt ta kết x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk) Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ là 0,8 (g/cm3) Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/cm3) Bài tập: 76 (77) Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016 Bài 1: Một phòng họp có 240 ghế xếp thành các dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế thì phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành bao nhiêu dãy ghế Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 thì số sách giá thứ số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu ngăn? Bài 3: Người ta trồng 35 cây dừa trên đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng là 20 m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng cây ngoài cùng trồng trên biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp? Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng tôi số trứng anh thì tôi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng tôi số trứmg đồng thôi” Hỏi người có bao nhiêu trứng? anh tôi bán Bài 5: Một hợp kim gồm đồng và kẽm đó có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì hợp kim mà đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim? Kết quả: Bài 1: Có 60 dãy ghế Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng là 5m Bài 4: Người thứ có 40 Người thứ hai có 60 Bài 5: 25 gam 10 gam 77 (78)
