SGDTTHIBèNH TrngTHPHThỏiPhỳc THITHIHCLN1NM2013 Mụn:Toỏn Thigian:180phỳt(Khụngkthigiangiao) I.PHNCHUNGCHOTTCCCTHSINH(7im) CõuI(2im Cho hàm số : 3 1 2 x y x - = + (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(0; -11), cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB gấp 2 lần diện tích tam giác OMB. CõuII(2im). 1.Gii phngtrỡnh: p + + + + = - 4 sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2) 3 1 1 2 cos x x x x x 2.Giihphngtrỡnh: ( ) ( ) 3 7 1 2 1 2 4 5 x x y y y x y x y - + = - - ỡ ù ớ + + + = ù ợ CõuIII(1im). Tớnhtớchphõn:I= 2 1 ln ln( . ) ln 1 + + ũ e x x x e dx x x . . CõuIV(1im). Cho hình chóp SABCD.Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CDvà SB. CõuV(1im). Cho , ,x y z lcỏcsthcdngthomón: 2 1xy xz + = .Tỡmgiỏtrnhnhtca biuthc: 3 4 5yz zx xy P x y z = + + II.PHNTCHN(3im): Thớsinhchcchnmttronghaiphn 1.Theochngtrỡnhchun: CõuVIa(2im). 1. Trong mặt phẳng Oxy, Cho ABC D có trọng tâm 1 1 ( ) 3 3 G - , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2 ;-1), 1 : 2 0A d x y ẻ - + = , trung điểm M của BC nằm trên d 2 : x+y+3=0. Tìm toạ độ A, B, C. 2. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối S.ABC bằng 36. CõuVIIa(1im). Tìm phần thực của số phức (1 ) n z i = + ,bitrng: ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4 - + + =n n ( * nẻ Ơ ). 2.Theochngtrỡnhnõngcao: CõuVIb(2im). 1.TrongmtphngtaOxy,chohaingtrũn(C 1 ): ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 5 - + + = v(C 2 ): ( ) ( ) 2 2 x 1 y 3 9 + + + = Vitphngtrỡnh ngthng D tipxỳc(C 1 )vct(C 2 )tihaiimA,BthamónAB=4. 2.TrongkhụnggiantaOxyz,chongthng x 1 y 2 z d : 2 1 1 - + = = vmtphng (P)cúphng trỡnh:x+2yz3=0.Vitphngtrỡnhngthng Dthuc(P),vuụnggúcvidvcúkhong cỏchgiadv Dbng 2 . CõuVIIb(1im). Trong các số phức z thỏa mãn 3 1z i - = . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất. .Ht Thớsinhkhụngcsdngtiliu.Cỏnbcoithikhụnggiithớchgỡthờm. Cm nthyNgụTtK( th123@mail.com)giti www.laisac.page.tl PNTHITHIHCLN1 Cho hàm số : 3 1 2 x y x - = + (C). 1.0 ngthngcúhsgúcmiquaMcúpt:y=mx ư11 Xét phương trình: 3 1 11 2 x mx x - = - + 2 2( 7) 21 0( 2 )mx m x do x KTM + - - = = - Điều kiện tồn tại A, B phân biệt là: 2 0 0 ' 7 49 0 m m m m ạ ỡ ạ ớ D = + + > ợ 0.5 Gọi 1 1 2 2 ( 11) ( 11)A x mx B x mx - - . Theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 14 2 21 . m x x x x m m - - + = = 1 2 ( , ). ( , ). 2 2 OAB OBM S S d O AB AB d O BM BM AB BM D D = ị = = (M, A, B thẳng hàng) ( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 (1 ) 4 (1 ) 0 = ộ - + = + ờ + = ở x x x x m x m x x 0.25 CõuI 2 Vi 1 2 3 x x = . Kết hợp định lí Viet ta có: 2 2 1 7 3(7 ) 14 49 0 7 2 2 - - = = => + + = = - m m x x m m m m m . Vậy m=- 7 thoả đề. Vi 1 2 0 x x + = ,tngtcúm=7. cúhaingthngthamón . 0.25 CõuII Giiphngtrỡnh: p + + + + = - 4 sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2) 3 1 1 2 cos x x x x x 1.01 Đk: 2 3 x k p p ạ + 2 1 2.cos(2 ) 5( 3sin cos ) 5 0 4.sin ( ) 10sin( ) 4 0 3 6 6 sin( ) 1/ 2 2 6 3 2 sin( ) 2 ( ) 6 p p p p p p p p p - + + + + = + + + + = ộ + = - ộ ờ = - + ờ ờ ờ ờ = + + = - ở ờ ở PT x x x x x x x k x k x VN (L) Vậy { } 2S k p p = + 0.5 Giihphngtrỡnh: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 7 1 2 1 1 2 4 5 2 ỡ - + = - - ù ớ + + + = ù ợ x x y y y x y x y iukin: 2 0 4 0 x y x y + ỡ ớ + ợ 0,25 (1) ( ) ( ) 3 7 1 2 1x x y y y - + = - - ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 3 7 1 2 2 0 3 1 2 0 2 4 = + ộ - - + - = - + - = ờ = ờ ở y x x y x y y x y x y x y 0,25 2 ã Thay(3)vo(2)tac: 0,25 7 2 7 1 5x x + + + = iukin: 1 7 x - ( ) 2 11 11 7 0 17 76 7 49 21 2 11 7 d 175 119 17 25 25 25 x x x x x x y tm k x x ỡ Ê ù - ỡ ù + + = - = ị = ớ ớ = ợ ù = ù ợ ã Thay(4)vo(2)tac: 4 9 5 1y y y + = = =>x=2(tmdk) Vyhphngtrỡnhcúnghim:(xy) ( ) 17 76 21 , 25 25 ỡ ỹ ổ ử ẻ ớ ý ỗ ữ ố ứ ợ ỵ 0,25 CõuIII Tớnhtớchphõn:I= 2 1 ln ln( . ) ln 1 e x x x e dx x x + + ũ . 1.0 ( ) 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ( ln 1) ln 1 (ln 1) ln 1 1 ln ln 1 1 ln( 1) + + + + = = + + + + = + + = + + = - + + = - + + ũ ũ ũ ũ e e e e e e x x x x I dx dx dx x x x x d x x x d x x x dx x x e x x e e 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 Gọi H = AC ầ BD => SH ^ (ABCD) & BH = 3 1 BD Kẻ HE ^ AB => AB ^ (SHE) => g((SAB);(ABCD)) = ã 0 60SHE = . 0.25 Mà HE = 3 1 AD = 3 2a => SH = 3 32a => V SABCD = 3 1 .SH.S ABCD = 3 3 3 a 0.25 Gọi O là trung điểm AD=>ABCO là hv cạnh a =>DACD có trung tuyến CO = 2 1 AD CD ^ AC => CD ^ (SAC) và BO // CD hay CD // (SBO) & BO ^ (SAC). d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)). 0.25 Cõu IV Tính chất trọng tâm tam giác BCO => IH = 3 1 IC = 6 2a => IS = 6 25 22 a HSIH = + kẻ CK ^ SI mà CK ^ BO => CK ^ (SBO) => d(C;(SBO)) = CK Trong tam giác SIC có : S SIC = 2 1 SH.IC = 2 1 SI.CK => CK = 5 32. a SI ICSH = Vậy d(CD;SB) = 5 32a 0.25 I H A D B C S O E K Cho , ,x y z lcỏcsthcdngthomón: 2 1xy xz + = .Tỡmgiỏtrnhnhtca biuthc: 3 4 5yz zx xy P x y z = + + 1.0 Ta có 3 4 5 2 3 ổ ử ổ ử ổ ử = + + = + + + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ yz zx xy yz zx yz xy zx xy P x y z x y x z y z 0,25 2 . 2.2 . 3.2 . 2 4 6 ị + + = + + yz zx yz xy zx xy P z y x x y x z y z 0.25 ( ) ( ) ( ) 4 2 4.2 2.2 4 2 4 ị + + + + = + =P x y x z xy xz xy xz 0.25 CõuV Dấu đẳng thức xảy ra khi : 1 3 2 1 x y z x y z xy xz = = ỡ ù = = = ớ + = ù ợ Vậy min 1 4 3 P khi x y z = = = = 0.25 Trong mặt phẳng Oxy, Cho ABC D có trọng tâm 1 1 ( ) 3 3 G - , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2 ;-1), 1 : 2 0A d x y ẻ - + = , trung điểm M của BC nằm trên d 2 : x+y+3=0. Tìm toạ độ A, B, C. 1.0 Cõu VIa 1 Gọi 2 ( 3) ( 2 12 7)M a a d A a a - - ẻ => - - + Do : 1 3 / 2A d a ẻ = - => A(2 ;4), 3 3 ( ) 2 2 M - - . Phương trình BC qua M và vuông góc với IM=> BC : 7x+y+12=0 Gọi B(b ; -7b-12)=> C(-3-b ; 7b+9) Ta có : IA=IB 1 ( 1 5) ( 22) 2 ( 22) ( 1 5) b B C b B C = - => - - - ộ ờ = - => - - - ở Vậy A(2 ;4) ; B(-1 ;-5) ; C(-2 ;2) hoặc A(2 ;4) ; B(-2 ;2) ; C(-1;-5) 0.25 0.25 0.25 0.25 Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối S.ABC bằng 36. 1.0 2 Phương trình (ABC): x+y+z-3=0 D ABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA= 3 2 => S ABC = 9 3 / 2 . Do hình chóp S.ABC đều nên PT SG qua G và vuông góc với (ABC) => 1 : 1 (1 1 1 ) 1 x t SG y t S t t t z t = + ỡ ù = + ị + + + ớ ù = + ợ Ta có : V S.ABC =36= 1 SG. 3 S ABC 8, 8t t = = - Vậy: S(9;9;9) ; S(-7;-7;-7) 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 Xét pt : ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4, * - + + = ẻ Ơn n n . Hàm số f(x) = ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6x x - + + là hàm số đồng biến trên (3; +) và f(19) = 4. Do đó phương trình ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4n n - + + = có nghiệm duy nhất 19n = . 0.25 ịz= 19 2 9 9 9 (1 ) [(1 ) ] (1 ) (2 ) (1 ) 512 (1 ) i i i i i i i + = + + = + = + 512 (1 ) 512 512 i i i = + = - + 0.5 Cõu VIIa Vy z có phần thực là a = -512 0.25 Cõu VIb 2.0 1 ( )C cútõm 1 (1 2)I - vbỏnkớnh 1 5R = 2 ( )C cútõm 2 ( 1 3)I - - vbỏnkớnh 2 3.R = Tacú: 1 ( ) 5 (1).d I = D Gi 2 ( ),h d I = D tacú: 2 2 2 2 5 (2).AB R h h = - = 0,5 T(1)v(2)suyra D songsongvi 1 2 I I hoc D iquatrungim 5 (0 ) 2 M - ca 1 2 I I . 0,25 1 Vỡ Mnmtrong 1 ( )C nờnkhụngxyrakhnng D qua M,doú 1 2 / / ,I I D suyra phngtrỡnh D cúdng 2 0,x y m - + = khiú: 1 5 ( ) 5 5 0 10. 5 m d I m m + = = = = - D 0.25 (211) d u = uur ( ) (12 1), P n = - uuur doú D cúvectchphngl ( ) 1 , (1 1 1). 3 P d u n u ộ ự = = - - ở ỷ D uur uuur uur 0,25 Gi(Q)lmtphngcha D vsongsongvi d,tacú: ( ) 1 , (01 1). 3 Q d n u u ộ ự = - = - ở ỷ D uuur uur uur Phngtrỡnh(Q): 0.y z m - + = Chn (1 20) ,A d = - ẻ tacú: ( ,( )) 2 0 4.d A Q m m = = = 0,25 Vi 0,m = vỡ ( ) ( )P Q = ầ D nờn D iqua (300),B = phngtrỡnh 3 : . 1 1 1 x y z - = = - - D 0,25 2 Vi 4,m = vỡ ( ) ( )P Q = ầ D nờn D iqua (704),C = phngtrỡnh 7 4 : . 1 1 1 x y z - - = = - - D 0,25 Đặt z = x + iy, , x y ẻR, ta có 2 2 3 1 ( 3) 1z i x y - = + - = 0.25 Từ 2 2 ( 3) 1x y + - = ta có 2 ( 3) 1 2 4y y - Ê Ê Ê 0.25 Do đó 2 2 2 2 ( 3) 6 9 6 8 4 2 = + = + - + - = - =z x y x y y y 0.25 Cõu VIIb Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 đạt khi z = 2i 0.25 Chỳý : +)Trờnõylỏp ỏntúmtt.Bilmcathớsinhcnlplunchtch,,ỳngmichoimtia. +)Micỏchgiikhỏcỳnguchoimtngng. Cm nthyNgụTtK( th123@mail.com)giti www.laisac.page.tl