1 Sở GD và ĐT hải dương Trường THPT Thanh Bình Đề chính thức Đề thi thử đại học, cao đẳng LNI năm học 2012-2013 Môn thi : toán, Khối A,A 1 (Thời gian làm bài 180 phút , không kể giao đề) Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số: 3 2 3 4y x x = - + (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx-2m cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2;0), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình sau: 2 2 3 1 sin 3 cos sin 2 2 sin 0 2 4 x x x x p ổ ử - ổ ử - + + - = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 2) Giải hệ phương trình sau: 3 3 2 3 3 2 1 2 2 x x y y x y ỡ - = - + ù ớ - + - = ù ợ ( ,x y R ẻ ) Câu III (1 điểm). Tính tích phân sau: ( ) e 3 2 1 x 1 ln x x 1 I dx 1 x. ln x - + - = + ũ Câu IV (1 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD, hai mặt phẳng (SBM) và (SAN) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), biết góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S. ABND và khoảng cách giữa SM và AN. Câu V (1 điểm). Cho x, y, z là 3 số thực dương và thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 3 2012 3 2012 3 2012 2013x x y y z z - + - + - Ê . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 1 1 1 1 1 1A x y z x y z ổ ử ổ ử ổ ử = - + - + - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ Phần tự chọn (3,0 điểm). (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần:phần A hoặc B) A.Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD, biết phương trình đường thẳng BD là: 3x - y - 8 = 0, đường thẳng AB đi qua M(1; 5), đường chéo AC đi qua P(2; 3) . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông đã cho. 2) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 1 3 2 1 3 5 : : 2 4 1 1 1 2 x y z x y z + - - - - - D = = D = = - - . và điểm I(2; 0; 6). Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt 1 D và 2 D lần lượt tai A và B sao cho I là trung điểm của AB. Câu VII.a (1 điểm) . Tìm số phức z thoả mãn: 13z = và 2 2 1z i z i + - = + - . B.Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có một tiêu điểm có toạ độ ( ) 110 - và elip (E) đi qua điểm 5 35 1 6 M ổ ử - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ . Viết phương trình chính tắc của elip (E). 2) Trong không gian Oxyz cho 1 2 ( ) : 2 2 0 : 1 2 2 x y z P x y z - + + - = D = = và hai điểm A(0;3;0), B( 0;0; -2). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết C nằm trên trục Ox và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ C đến D . Câu VII.b (1 điểm) Cho khai triển ( ) 2 0 1 2 1 2 . n n n x a a x a x a x + = + + + + * ( )n N ẻ . Tính tổng: A= 1 2 2 . . n a a n a + + + . Biết: 2 3 2 14 1 3 n n C C n + = Cm nthy Phạm Hữu Đảo (quocbaohongvan@gmail.com)giti www.laisac.page.tl 2 Đáp án đề thi thử đại hoc KHốI Khối A,A 1 , B, D - 2013 Câu I Nội dung Điểm 1. Khảo sát hàm số: 3 2 3 4y x x = - + * Tập xác định D R = * Sự biến thiên : - Chiều biến thiên: ( ) ' ' 0 3 2 0 2 x y x x y x = ộ = - = ô ờ = ở Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) 0 -Ơ và ( ) 2+Ơ , hàm số nghịch biến trên khoảng( 0; 2) 0,25 - Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x=0, y CĐ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y ct = 0 - Giới hạn : lim lim x x y y đ+Ơ đ-Ơ = +Ơ = -Ơ 0,25 - Bảng biến thiên: x -Ơ 0 2 +Ơ y' + 0 - 0 + y 4 +Ơ -Ơ 0 0,25 * Đồ thị : đồ thị cắt Ox tại (-1; 0) và (2;0) cắt Oy tại ( 0; 4) f(x)=x^3ư3x ^2+4 ư8 ư6 ư4 ư2 2 4 6 8 ư5 5 x y 0,25 2. Tìm m Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là : 0,25 3 ( ) ( ) 3 2 2 2 2 3 4 2 2 ( 2) ( 2) 2 ( 2 ) 0 2 (20) ( ) (2 ) 0 (*) x x mx m x x x m x x x x m x A g x x x m - + = - - - - = - - - - - = = ị ộ ờ = - - + = ở Đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(2;0), B, C Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 0 9 0 (2) 0 4 m g D > ỡ - < ạ ớ ạ ợ 0,25 Gọi ( ) ( ) 1 1 1 1 B x y C x y ỡ ù ớ ù ợ trong đó 1 2 1 2 1 (2 ) x x x x m + = ỡ ớ = - + ợ 3 2 2 3 4 ' 3 6y x x y x x = - + ị = - Tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau 1 2 '( ). '( ) 1y x y x = - 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 6 . 3 6 1 3 18 36 1 9 18 1 0 3 2 2 ( / ) 3 x x x x x x x x x x x x m m m t m - - = - - + + = - + + = - = 0,25 CâuII: 1. Giải pt : 2 2 3 1 sin 3 cos sin 2 2 sin 0 2 4 x x x x p ổ ử - ổ ử - + + - = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ + Phương trình đã cho tương đương: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin 3 cos 3 1 sin .cos sin cos 0 sin sin cos 3 cos sin cos sin cos 0 sin cos sin 3 cos 1 0 sin cos 0 sin 3 cos 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x - + - + - = - + - + - = - + + = - = ộ ờ + + = ở 0,5 sin cos 0 tan 1 ( ) 4 x x x x k k Z p p - = = = + ẻ 0,25 5 2 1 2 6 3.cos sin 1 0 cos cos ( ) 6 2 3 2 2 x k x x x k Z x k p p p p p p ộ = + ờ ổ ử + + = - = - = ẻ ờ ỗ ữ ố ứ ờ = - + ờ ở Vậy phương trình đã cho có ba họ nhiệm 5 2 2 ( ) 2 4 6 x k x k x k k Z p p p p p p = + = - + = + ẻ 0,25 2. Giải hệ pt: 3 3 2 3 3 2 (1) 1 2 2 (2) x x y y x y ỡ - = - + ù ớ - + - = ù ợ + Đk: 1 2 x y ỡ ớ ợ 0,25 + Phương trình (1) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 3 1 ( ) 1x x y y f x f y - = - - - = - 0,25 4 Xét hàm số 3 ( ) 3f t t t = - với 1t 2 '( ) 3 3 0 1f t t t = - " ị hàm số f(t) đồng biến trên [ ) 1+Ơ do đó: ( ) ( ) 1 1f x f y x y = - = - 0,25 + Thay 1x y = - vào (2) ta có 2 2 2 2 1 3 2 ( / )y y y y x t m - + - = - = = ị = Vậy hpt có 1 nghệm (x;y) là (2;3) 0,25 Câu III: Tính tích phân: ( ) e 3 2 1 x 1 ln x x 1 I dx 1 x. ln x - + - = + ũ Ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 .ln 1 .ln e e e I x x x x x dx x dx dx x x x x = + - + + = - + + ũ ũ ũ =I 1 -I 2 0,25 + 3 2 3 1 1 1 1 1 3 3 e I e e x dx x = - = = ũ 0,25 2 1 ln 1 1 .ln e I x dx x x = + + ũ đặt t = 1+ x.ln x (1 ln )dt x dx ị = + Khi x= 1 suy ra t = 1, khi 1x e t e = ị = + 1 2 1 1 ln ln(1 ) 1 e e dt I t e t + + ị = = = + ũ 0,25 Vậy: 3 1 ln(1 ) 3 e I e - = - + 0,25 Câu IV: Cho hình chóp . Hình vẽ phải vẽ chính xác Gọi ( ) ( )H AN BM SAN SBM SH = ầ ị ầ = Do (SAN) và (SBM) cùng vuông góc với mp(ABCD) nên ( )SH ABCD ^ . Ta có HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mp(ABCD), suy ra góc ã 0 60SAH = . 0,25 Vì ABCD là hình vuông nên AN BM ^ tại H S A B C D N H M K 5 Xét tam giác ABM có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 5 4 a AH a AH AB AM a a = + = + = ị = Xét tam giác SHA có: tan60 0 = 0 15 .tan 60 5 SH a SH AH AH ị = = Ta có ABND là hình thang vuông tại A và D nên diện tích của ABND là 2 1 1 3 ( ) 2 2 2 4 ABND a a S AB ND AD a a ổ ử = + = + = ỗ ữ ố ứ 2 3 1 1 3 15 15 . . . 3 3 4 5 20 ABND ABND a a a V S SH = = = 0,25 Ta có ( ) AN SH AN SBM AN BM ^ ỡ ị ^ ớ ^ ợ Dựng HK SM ^ ị HK là đoạn vuông góc chung của AN và SM ( ) ,d AN SM HK ị = 0,25 Xét tam giác AHM có 2 2 2 2 4 5 2 5 a a a HM AM AH = - = - = Xét tam giác SHM có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 20 5 65 195 3 3 65 a HK HK HM HS a a a = + = + = ị = Vậy ( ) 195 , 65 a d AN SM = 0,25 Câu V: Cho x, y, z là 3 số thực dương và thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 3 2012 3 2012 3 2012 2013x x y y z z - + - + - Ê . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 1 1 1 1 1 1A x y z x y z ổ ử ổ ử ổ ử = - + - + - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ Từ giả thiết: ( ) ( ) ( ) 3 2012 3 2012 3 2012 2013x x y y z z - + - + - Ê ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2012 2013 3 2013 2012 x y z x y z x y z x y z + + - + + Ê + + Ê + + + 0,25 Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpki, ta có ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1x y z x y z x y z + + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2013 2012 2012 2013 0 0 2013 x y z x y z x y z x y z x y z ị + + Ê + + + + + - + + - Ê < + + Ê 0,25 Ta có 2 2 2 1 1 1 1 1 1A x y z x y z ổ ử ổ ử ổ ử = - + - + - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ( ) ( ) 1 1 1 9 x y z x y z x y z x y z ổ ử = + + - + + Ê + + - ỗ ữ + + ố ứ do 1 1 1 9 x y z x y z + + + + 0,25 Đặt t= x+y+z, 9 ( ) ( 0 2013)A t f t t t = - = < Ê 6 Ta có: ( ] 2 9 ( ) 1 0 0 2013f t t t = + > " ẻ f(t) max=f(2013)=2013- 9 4052160 2013 2013 = dấu "=" xảy ra khi : x= y =z = 2013 3 Vậy 4052160 max 2013 A = , khi : x= y =z = 2013 3 0,25 Phần tự chọn A- Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a 1. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD 0,5 Ta có : 3 0AC BD AC x y m ^ ị + + = Mặt khác AC đi qua P(2;3) 11m ị = - vậy: AC: x+3y-11=0 Gọi 7 5 2 2 I AC BD I ổ ử = ầ ị ỗ ữ ố ứ 0,25 Gọi ( ) ( ) 2 2 0n a b a b = + ạ r là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB ( ) : 1 ( 5) 0 ( 5 ) 0AB a x b y ax by a b ị - + - = + - + = Đường thẳng BD có véc tơ pháp tuyến là ( ) ' 3 1n = - r Do ABCD là hình vuông nên góc giữa AB và BD bằng 45 0 ( ) 0 2 2 2 2 3 1 cos 45 cos ' 2 3 2 0 2 . 10 a b n n a ab b a b - ị = = - - = + r ur 2 2 2 3 2 0 1 2 a a a b ab b b ộ = ờ ổ ử ổ ử - - = ờ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ờ = - ờ ở 0,25 + 2 a b = chọn a=2; b= 1 khi đó AB: 2x+y-7=0 ( ) 23A AC AB A = ầ ị ( ) 31B AB BD B = ầ ị Từ đó ta tìm được C(5;2), D(4;4) 0,25 + 1 2 a b = - chọn a=-1; b= 2 khi đó AB: -x+2y-9=0 ( ) 14A AC AB A = ầ ị - ( ) 5 7B AB BD B = ầ ị 0,25 A B D C . . M P I 7 Từ đó ta tìm được C(8;1), D(2;-2) 2. Viết phương trình đường thẳng D Do A, B lần lượt thuộc 1 2 ,V V nên ( ) 1 2 3 4 2A t t t - + - + ; ( ) 1 3 5 2B s s s + - + 2 6 4 7 2 2 2 2 t s t s t s I + - - + + ổ ử ị ỗ ữ ố ứ 0,25 Theo giả thiết I(2;0;6) 2 2 2 1 6 4 0 2 2 7 2 6 2 t s t t s s t s + ỡ = ù ù = ỡ - - ù ị = ị ớ ớ = ợ ù + + ù = ù ợ 0,25 Khi đó: ( ) ( ) 1 13 , 319A B - 0,25 Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm A, B nên có phương trình: 1 1 3 1 1 3 x y z - + - = = 0,25 Câu VII.a Tìm số phức z . Gọi z =a+bi (a, b thuộc R) z a bi ị = - Theo gt: 13 13 2 2 1 ( 2) ( 1) 2 ( 1) ( 1) z z z i z i a b i a b i ỡ ỡ = = ù ù ớ ớ + - = + - + + - = + - + ù ù ợ ợ 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 13 2 ( 1) 2 1 ( 1) a b a b a b ỡ + = ù ớ + + + = + + + ù ợ 2 3 9 2 2 a a b b = ỡ = ỡ ớ ớ = - = - ợ ợ 0,5 Vậy: z =-3-2i hoặc z= 3-2i 0,25 B- Theo chương trình nâng cao Câu VI.b 1. Viết pt chính tắc của elip(E) Goị phương trình chính tắc của elip(E) là 2 2 2 2 1 ( 0) x y a b a b + = > > Theo giả thiết ta có: 2 2 2 2 2 2 11 11 1 875 1 875 1 1 36 36 c a b a b a b ỡ ỡ = - = ù ù ớ ớ + = + = ù ù ợ ợ 0,5 2 2 2 4 2 2 11 36 36 515 9625 0 25 a b a b b b ỡ ỡ = + = ù ù ớ ớ - - = = ù ù ợ ợ Vậy (E) có pt: 2 2 1 36 25 x y + = 0,5 2. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Gọi C(a;0;0) thuộc trục Ox. Ta có ( ) 2 ( ) 3 a d C P = 0,25 8 ( ) MC u d C u D D ộ ự ở ỷ D = uuuur uur uur Trong đó: ( ) ( ) 10 2 , ( 10 2), 12 2M MC a u D - = - = uuuur uur , ( ) 4 4 2 2 2MC u a a D ộ ự = - - - ở ỷ uuuur uur 0,25 Theo gt: ( ) ( ) 2 2 8 24 36 ( ) 3 3 3 a a a d C P d C a - + = D = = 0,25 Vậy: (ABC) có phương trình: 1 3 1 2 x y z + + = - 0,25 Câu VII.b Tính tổng: A= 1 2 2 . . n a a n a + + + . Giải phương trình 2 3 2 14 1 3 n n C C n + = tìm được n =9 0,5 Với n=9 ta có ( ) 9 2 9 0 1 2 9 1 2 .x a a x a x a x + = + + + + Lấy đạo hàm hai vế ta được : ( ) 8 8 1 2 9 9 2 1 2 2 . 9x a a x a x + = + + + 0,25 Cho x= 1 ta được A= ( ) 8 1 2 9 2 . 9. 9 2 1 2a a a + + + = + . 0,25 Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa. Giáo viên biên soạn: Phạm Hữu Đảo Cm nthy Phạm Hữu Đảo (quocbaohongvan@gmail.com)giti www.laisac.page.tl . ) (2 ) 0 (*) x x mx m x x x m x x x x m x A g x x x m - + = - - - - = - - - - - = = ị ộ ờ = - - + = ở Đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(2;0),. x x x m m m t m - - = - - + + = - + + = - = 0,25 CâuII: 1. Giải pt : 2 2 3 1 sin 3 cos sin 2 2 sin 0 2 4 x x x x p ổ ử - ổ ử - + + - = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ