Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 1 TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Cần Thơ 2013 Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xn Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 2 Chương 1. Hàm số lượng giác Chương 2. Tổ hợp – xác suất Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân Chương 4. Giới hạn Chương 5. Đạo hàm TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 3 Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + Tìm điều kiện (nếu có) để bài tốn có nghĩa + Biến đổi để đưa phương trình về một trong các dạng đã biết cách giải + Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp + Kết luận A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cung liên kết a) Cung đối: x và x cos x cos x sin x sin x tan x tan x cot x cot x b) Cung bù: ( x) và x cos x cos x sin x sin x tan x tan x cot x cot x c) Cung phụ: x và x 2 cos x sin x 2 sin x cos x 2 tan( x) cot x 2 cot x tan x 2 d) Cung hơn kém : ( x) và x cos x cos x sin x sin x tan x tan x cot x cot x e) Cung hơn kém 2 : x và x 2 cos / 2 x sin x sin / 2 x cos x tan / 2 x tan x cot / 2 x cot x TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 4 2. Cơng thức lượng giác Cơng thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có sin(a b) sin a cos b sin b cosa cos(a b) cos a cos b sin a sin b tan a tan b tan(a b) 1 tan a tan b Cơng thức nhân đơi 2 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a sin2a 2sin a cosa 2 tan a tan2a ; (a k ) 1 tan a 4 2 Cơng thức nhân ba 3 3 sin3a 3sin a 4sin a cos3a 4cos a 3cosa Cơng thức hạ bậc 2 2 2 1 cos 2a 1 cos 2a 1 cos 2a sin a ; cos a ; tan a 2 2 1 cos2a Cơng thức chia đơi Đặt a t tan 2 , khi đó 2 2 2 2 2t 1 t 2t sin a ; cosa ; tan a 1 t 1 t 1 t Cơng thức biến đổi tổng thành tích a b a b sin a sin b 2sin cos 2 2 a b a b sin a sin b 2 cos sin 2 2 a b a b cos a cosb 2cos cos 2 2 a b a b cos a cosb 2sin sin 2 2 sin(a b) tan a tan b c osa cos b sin(b a) cot a cot b sin a sin b TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 5 Cơng thức biến đổi tích thành tổng 1 sin a sin b [cos(a b) cos(a b)] 2 1 cosa cos b [cos(a b) cos(a b)] 2 1 sin a cos b [sin(a b) sin(a b)] 2 B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUEN THUỘC 1. Các phương trình lượng giác cơ bản u v k2 sin u sin v u v k2 u v k2 cos u cos v u v k2 tan u tan v u v k , (u, v / 2 k ) cot u cot v u v k , (u, v k ) (u,v là các biểu thức chứa ẩn, k ) 2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác Dạng 2 a sin x bsin x c 0 2 a cos x bcos x c 0 2 a tan x b tan x c 0 2 a cot x bcot x c 0 (với a 0 , a, b,c ) Phương pháp giải 2 a sin x bsin x c 0 , đặt t sin x , t 1 2 a cos x bcos x c 0 , đặt t cos x , t 1 2 a tan x b tan x c 0 , đặt t tan x , đk x / 2 k 2 a cot x bcot x c 0 , t cot x , đk x k Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài tốn, suy ra nghiệm x của phương trình Ví dụ: Giải phương trình cos 2x 5 6 cos x Ta có 2 cos2x 5 6cos x 2cos x 6cos x 4 0 (*) Đặt t cos x, t 1 . Khi đó (*) trở thành 2 t 1 2t 6t 4 0 t 2 (loai) TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 6 Với t 1 cos x 1 x 2k 3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Dạng a sin x b cos x c (với 2 2 a b 0 ) (*) Phương pháp giải + Nếu 2 2 2 a b c thì phương trình vơ nghiệm + Nếu 2 2 2 a b c thì phương trình có nghiệm. Khi đó : Chia 2 vế của (*) cho 2 2 a b . Đặt 2 2 2 2 a b cos ;sin a b a b Khi đó (*) trở thành 2 2 c sin(x ) a b , đây là phương trình cơ bản. Ví dụ: Giải phương trình sin3x 3 cos3x 2 Ta có 2 2 a b 2 2 (c 2) nên phương trình đã cho có nghiệm, chia hai vế của phương trình cho 2 ta được 1 3 2 sin3x cos3x cos sin3x sin cos3x sin 2 2 2 3 3 4 2 3x 2k x k 3 4 36 3 sin 3x sin 5 2 3 4 3x 2k x k 3 4 36 3 4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos Dạng a(sin x cos x) bsin x cos x c 0 (1) hoặc a(sin x cos x) bsin x cos x c 0 (2) Phương pháp giải - Đối với (1), đặt t sin x cos x 2 sin(x ) 4 , đk t 2 . Khi đó 2 t 1 sin x cos x 2 và (1) trở thành 2 2 t 1 at b c 0 bt 2at (2c b) 0 2 Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x ) 4 - Đối với (2), đặt t sin x cos x 2 sin(x ) 4 , đk t 2 . TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 7 Khi đó 2 1 t sin x cos x 2 và (2) trở thành 2 2 1 t at b c 0 bt 2at (2c b) 0 2 , Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x ) 4 . Ví dụ: Giải phương trình sin x cos x 2 6 sin x cos x Đặt t sin x cos x 2 sin(x ) 4 , đk t 2 , 2 1 t sin x cos x 2 . Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2 1 2 6 6 t 6(1 t ) 6t t 6 0 t , t 3 2 thỏa điều kiện t 2 . Với 1 6 6 3 t 2 sin(x ) sin(x ) 3 4 3 4 3 3 3 x arcsin k2 x arcsin k2 4 3 3 4 3 3 5 x arcsin k2 x arcsin k2 4 3 3 4 Với 1 6 6 3 t 2 sin(x ) sin(x ) 2 4 2 4 2 x k2 x k2 4 3 12 5 x k2 x k2 4 3 12 5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos Dạng 2 2 a sin x bsin x cos x c cos x d (*) Phương pháp giải + Nếu cos x 0 là nghiệm của (*) thì ta có nghiệm x k 2 . + Nếu cos x 0 x k 2 , khi đó chia 2 vế cho 2 cos x ta được 2 (a d) tan x b tan x (c d) 0 Giải phương trình bậc hai theo tham số tanx Ví dụ: Giải phương trình 2 2 4sin x 3 3 sin2x 2cos x 4 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 8 + Khi 2 cos x 0 x k sin x 1 2 , ta có VP 4 VT , suy ra x k 2 là nghiệm. + Khi x k 2 chia 2 vế cho 2 cos x ta được 2 2 4 tan x 6 3 tan x 2 4(1 tan x) 6 3 tan x 6 3 tan x tan x tan x k 3 6 6 Kết luận x k 6 hoặc x k 2 . 6. Phương trình chứa căn thức (dạng cơ bản) Phương pháp giải Để giải được phương trình lượng giác chứa căn thức (dạng cơ bản) ta cần phải nắm được một số tính chất sau : 2 2 A, A 0 1) A A A, A 0 2) A B A B 0 B 0 3) A B A B A 0 4) A B C B 0 A B 2 AB C Chú ý : Đối với những dạng 3 3 4 4 A B C, A B C ta thường dùng phương pháp chuyển về hệ đại số (xem bài tập 4 cuối bài giảng). Ví dụ : Giải phương trình 1 cos x sin x 0 2 sin x 0 1 cos x sin x 0 1 cos x sin x 1 cos x 1 cos x sin x 0 sin x 0 sin x 1 x k2 cos x 0 sin x 1 2 cos x 1 x k2 cos x 1 cos x 1 7. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Để giải được phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối ta cần phải nắm được một số tính chất sau : TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 9 2 2 2 2 1) A B A B A B B 0 B 0 2) A B A B A B A 0 3) A B A B B 0 A 0 4) A B A B B 0 Ví dụ : Giải phương trình x x cos 1 3 sin 2 2 2 2 2 x x 3 1 3 sin 0 sin x x 2 2 3 cos 1 3 sin x x x 2 2 x x cos 1 2 3sin 3sin 4sin 2 3sin 0 2 2 2 2 2 x sin 0 x k2 , k . 2 C. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương pháp 1. Dùng các cơng thức biến đổi lượng giác đưa một phương trình lượng giác về một trong các dạng phương trình quen thuộc. Ví dụ : giải phương trình 3 5s in4x.cos x 6sin x 2cos x 2cos 2x + Điều kiện cos 2x 0 x k 4 2 + Phương trình đã cho tương đương với 3 3 2 2 2 3 3 3 6sin x 2cos x 5sin2x.cos x 6sin x 2cos x 10sinx.cos x sin x sinx.cos x 6 2 10 6tan x(1 tan x) 2 10 tan x cos x cos x 6 tan x 4tan x 2 0 Giải ra ta được tan x 1 x k 4 (loại). Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm. Phương pháp 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình tích 1 2 n A (x).A (x) A (x) 0 để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc. Ví dụ : giải phương trình cos x cos 2x cos3x 0 Ta có TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 10 cos x cos 2x cos3x 0 2cos 2x cos x cos2x 0 cos2x(2cos x 1) 0 k 2x k x cos2x 0 2 4 2 ;k 2 2 2cos x 1 x k2 x k2 3 3 Vậy nghiệm của phương trình k x 4 2 ; 2 x k2 3 , k . Phương pháp 3. Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức, .để đánh giá hai vế của phương trình rồi rút ra nghiệm. Ví dụ : giải phương trình 3 3 4 sin x cos x 2 sin x Ta có 3 2 3 3 3 2 1 sin x 1 sin x sin x sin x cos x 1 1 cos x 1 cos x cos x Mặt khác 4 4 0 sin x 1 2 sin x 1 Vậy phương trình đã cho tương đương với 4 3 2 3 2 3 3 sin x 1 sin x 1 sin x sin x x k2 cos x 0 2 cos x cos x sin x cos x 1 D. PHẦN BÀI TẬP Dạng 1. Phương trình cơ bản Bài 1. Giải phương trình 1) cos x sin x 2 sin x 2) cos x sin x 2 cos x 3) sin x cos x 2 cos3x 4) sin x cos x 2 sin5x Bài 2. Giải phương trình 1) 4 4 1 cos x sin x (3 cos6x) 4 2) 6 6 2 1 cos x sin x cos 2x 16 3) 6 6 4 4 6(cos x sin x) 5(cos x sin x) 4) 2 2 cos (x / 4) sin x 1/ 2 Bài 3. Giải phương trình 1) cos x.cos3x cos5x.cos7x 2) 1 sin x.cos2x sin2x.cos3x sin5x 2 3) 2 2 2 2cos 2x cos2x 4sin 2x cos x 4) 3 2 4cos 2x 6sin x 3 5) cos x cos 2xs in3x (1/ 4)sin2x 6) 1 cosx sin2x sin x cos 5x cos 2x 2 7) 2 3 cos10x 2cos 4x 6cos3x cos x cosx 8cos x cos 3x Bài 4. Giải phương trình 1) 3 3 cos x sin x sin x cos x 2 / 8 2) 3 3 cos x cos3x sin x sin3x 2 / 4 3) 3 3 sin x cos3x cos x sin3x 3 / 4 4) 3 3 3 cos xcos3x sin xsin3x cos 4x 1/4 . LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 1 TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Cần. 4x 1/4 TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 11 Bài 5. Giải các phương trình