Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng I: I = 1 1 ln dx adx ax b ax b a ax b a β β β α α α = = + + + ∫ ∫ . ►Chú ý: Nếu I = 1 1 1 ( ) . .( ) ( ) (1 ) k k k dx ax b adx ax b ax b a a k β β β α α α − − + = + = + + − ∫ ∫ Dạng II: I = 2 ( 0) dx a ax bx c β α ≠ + + ∫ + Nếu ∆ > 0: 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )ax bx c a x x x x a x x x x x x = = − ÷ + + − − − − − thì I = 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ln ln ln ( ) ( ) ( ) x x dx x x x x a x x x x x x a x x a x x x x β β β α α α − − = − − − = ÷ − − − − − − ∫ + Nếu ∆ = 0: 0 2 2 0 1 1 ( ) 2 b x ax bx c a x x a − = = ÷ + + − thì I = 2 2 0 0 1 1 ( ) ( ) dx dx ax bx c a x x a x x β β β α α α = = − + + − − ∫ ∫ + Nếu ∆ < 0: I = 2 2 1 ( ) dx a x m n β α + + ∫ ; ta đổi biến số: tanx m n t+ = Ví dụ 1: Tính tích phân 1 2 0 6 8 dx I x x = − + ∫ Giải: Ta có: 2 1 1 1 1 1 6 8 ( 2)( 4) 2 4 2x x x x x x = = − ÷ − + − − − − ( ) 1 1 0 0 1 1 1 1 4 1 1 3 ln ln3 ln 2 ln 2 4 2 2 2 2 2 2 x I dx x x x − ⇒ = − = = − = ÷ − − − ∫ Ví dụ 2: Tính tích phân 1 2 0 4 4 1 dx I x x = + + ∫ Giải: 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 . 1 (2 1) 4 6 2 3 1 4 2 2 dx dx I x x x − = = = = − + = + + + ÷ ÷ ∫ ∫ Nhận xét: 1 1 1 2 2 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 . 1 (2 1) 2 (2 1) 2 2 1 2 3 3 dx dx I x x x = = = − = − − = ÷ + + + ∫ ∫ Ví dụ 3: Tính tích phân 1 2 1 2 5 dx I x x − = + + ∫ Giải: 1 2 2 1 ( 1) 2 dx I x − = + + ∫ . Đặt ( ) 2 1 2 tan 2 1 tanx t dx t dt+ = ⇒ = + Khi 1 0x t = − ⇒ = ; Khi 1 4 x t π = ⇒ = ( ) ( ) 2 4 4 2 0 0 2 1 tan 1 1 . 2 2 4 8 4 tan 1 t dt I dt t π π π π + = = = = + ∫ ∫ Dạng III: I = 2 mx n dx ax bx c β α + + + ∫ Biến đổi: ( ) 2 2 2 2 ' 1 . . ax bx c mx n A B ax bx c ax bx c ax bx c + + + = + + + + + + + Vậy I = 2 2 2 ( )' . . ax bx c dx A dx B ax bx c ax bx c β β α α + + + + + + + ∫ ∫ ; trong đó 2 dx ax bx c β α + + ∫ thuộc dạng II. Ta có: 2 2 2 ( )' . .ln ax bx c A dx A ax bx c ax bx c β β α α + + = + + + + ∫ Ví dụ 4: Tính tích phân 1 2 0 ( 4) 3 2 x dx I x x + = + + ∫ Giải: 2 2 2 2 4 1 2 3 5 1 1 2 3 5 1 1 . . . . 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 2 x x x x x x x x x x x x x + + + = + = + − ÷ + + + + + + + + + + ( ) 1 1 2 0 0 1 5 1 1 5 2 1 1 5 4 ln 3 2 ln ln6 ln 2 ln ln ln3 ln 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 x I x x x + ⇒ = + + + = − + − = + ÷ + Nhận xét: 2 4 1 3 1 1 1 3 2 3. 3 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x x x + + = + = + − = − ÷ + + + + + + + + + + + ( ) ( ) 1 1 0 0 3 2 3ln 1 2ln 2 3ln 2 2 ln3 ln 2 5ln 2 2ln3 1 2 I dx x x x x ⇒ = − = + − + = − − = − ÷ + + ∫ Ví dụ 5: Tính tích phân 1 2 0 (3 1) 6 9 x dx I x x − = + + ∫ Giải: 2 2 2 2 3 1 3( 3) 10 3 10 6 9 ( 3) ( 3) 3 ( 3) x x x x x x x x − + = − = − + + + + + + ( ) 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 1 4 5 3 10 3ln 3 10. 3 ln 4 ln 3 10. 3ln 3 ( 3) 3 4 3 3 6 dx dx I x x x x ⇒ = − = + + = − + − = − ÷ + + + ∫ ∫ Ví dụ 6: Tính tích phân 3 2 1 (2 1) 2 5 x dx I x x + = − + ∫ Giải: Ta có: 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 5 2 5 ( 1) 2 x x x x x x x + − = + − + − + − + 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ln 2 5 3 ln8 ln 4 3 ln 2 3 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 dx dx dx I x x x x x ⇒ = − + + = − + = + − + − + − + ∫ ∫ ∫ Đổi biến số: 2 1 2 tan 2(1 tan )x t dx t dt− = ⇒ = + Khi 1 0x t= ⇒ = ; Khi 3 4 x t π = ⇒ = 2 4 4 2 0 0 2(1 tan ) 3 3 3 ln 2 3 ln 2 ln 2 . ln 2 4(1 tan ) 2 2 4 8 t dt I dt t π π π π + = + = + = + = + + ∫ ∫ Ví dụ 7: Tính tích phân 1 0 ( 1)(2 1) xdx I x x = + + ∫ Giải: Ta có: (2 1) ( 1) 1 1 ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 1 2 1 x x x x x x x x x + − + = = − + + + + + + 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 ln3 1 2 2 1 2 2 dx dx I x x x x ⇒ = − = + − + = − + + ∫ ∫ Ví dụ 8: Tính tích phân 1 4 2 0 13 36 xdx I x x = − + ∫ Nhận xét: 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 1 ( 4)( 9) 5 9 4 xdx I x dx x x x x = = − ÷ − − − − ∫ ∫ Giải: Đổi biến số: 2 2t x dt xdx= ⇒ = Khi 0 0x t = ⇒ = ; Khi 1 1x t = ⇒ = 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 9 1 8 9 1 32 ln ln ln ln 2 13 36 2 ( 4)( 9) 10 9 4 10 4 10 3 4 10 27 dt dt t I dt t t t t t t t − = = = − = = − = ÷ ÷ − + − − − − − ∫ ∫ ∫ Ví dụ 9: Tính tích phân 1 5 6 3 0 2 x dx I x x = − − ∫ Giải: 1 3 2 6 3 0 1 .3 3 2 x x dx I x x = − − ∫ . Đổi biến số: 3 2 3t x dt x dx= ⇒ = Khi 0 0x t= ⇒ = ; Khi 1 1x t= ⇒ = 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 . . 3 2 3 ( 2)( 1) 3 2 3 2 1 3 3 2 3 1 tdt t I dt dt dt t t t t t t t t t + − = = = − − = + ÷ ÷ − − − + − − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 0 0 2 1 2 1 1 ln 2 ln 1 (0 ln 2) (ln 2 0) ln 2 9 9 9 9 9 t t= − + + = − + − = −