Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 157  Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CĂN BẢN 1 . QUAN HỆ SONG SONG I. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG  Đònh nghóa: a // b  a  b =  và a, b  ()  Đònh lí 1:     a // b a b           ()  () = c cùng song song với a và b hoặc trùng với a hoặc b II. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG  Đònh nghóa: a // ()  a  () =   Đònh lí 2: (Tiêu chuẩn song song) a // ()             a// b,b a  Đònh lí 3:           a // a  ()  () = b // a III. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG  Đònh nghóa: () // ()  ()  () =   Đònh lí 4: (tiêu chuẩn song song) () // ()                   a,b cắt nhau a// a ,b // b ,a .b  Đònh lí 5:       // a b                 a // b   a c b a b    a b  a b  a' b'    a b Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 158  Đònh lí 6: (Đònh lí Talet trong không gian) Các mặt phẳng song song đònh trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. () // () //          AB BC AC A B B C A C AA', BB', CC' // ()         AB BC AC A B B C A C 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG  Đònh nghóa: a  ()  a  b, b  ()  Đònh lí 1: (Tiêu chuẩn vuông góc) a  ()          ab ac b,c cắt nhau trong  Đònh lí 2: (Đònh lý 3 đường vuông góc) a có hình chiếu a' trên mặt phẳng  chứa b. a  b  a'  b II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC  Đònh nghóa: ()  ()        ( , ) = 1 vuông  a  b, b  ()  Đònh lí 3: (Tiêu chuẩn vuông góc)        a a          Đònh líù 4:             c               c  ()    C B C’ B’ A A’ a b  a b c  a b a' H S A   a    c Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 159 3. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. ĐỊNH NGHĨA AB là đoạn vuông góc chung của a và b  A a, B b AB a, AB b      II. DỰNG ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG 1. a  b  Qua b dựng mặt phẳng ()  a tại A  Trong () dựng qua A, AB  b tại B AB là đoạn vuông góc chung. 2. a  b Cách 1:  Qua b dựng mặt phẳng () // a  Lấy M trên a, dựng MH    Qua H dựng a' // a cắt b tại B  Từ B dựng BA // MH cắt a tại A AB là đoạn vuông góc chung. Cách 2:  Lấy O trên a  Qua O dựng mặt phẳng   a tại O  Dựng hình chiếu b' của b trên .  Dựng OH  b'.  Từ H dựng đường thẳng // a cắt b tại B.  Qua B dựng đường thẳng // OH cắt a tại A. AB là đoạn vuông góc chung. III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d(a, b) = AB độ dài đường vuông góc chung () chứa b và () // a thì d(a, b) = d(a, ())  Vấn đề 1: HÌNH CHÓP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHÓP I. ĐỊNH NGHĨA Hình chóp là hình đa diện có 1 mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có chung đỉnh. a b A B H A M B b a' a  O A B H O b b'  Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 160 Chiều cao h là khoảng cách từ đỉnh tới đáy. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Đỉnh của hình chóp đều có hình chiếu là tâm của đáy. Hình chóp tam giác còn gọi là tứ diện hình tứ diện. Hình tứ diện là hình chóp tam giác có đáy là mặt nào cũng được, đỉnh là điểm nào cũng được. Hình tứ diện đều là hình tứ diện có các cạnh bằng nhau. II. DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh của hình chóp đều: S xq = 1 2 nad n: số cạnh đáy; a: độ dài cạnh đáy d: độ dài trung đoạn Diện tích toàn phần: S tp = S xq + B B là diện tích đáy III. THỂ TÍCH Thể tích hình chóp: V = 1 3 Bh Thể tích tứ diện: V =  1 dab.sin 6 a, b: độ dài hai cạnh đối d: độ dài đoạn vuông góc chung : góc của hai cạnh đối. Tỉ số thể tích của hai hình chóp tam giác có chung đỉnh và 3 cạnh bên.        SA B C SABC V SA .SB .SC V SA.SB.SC HÌNH CHÓP CỤT I. ĐỊNH NGHĨA Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều. A'B'C'D' ∽ ABCD      SH SA A B SH SA AB  A S H B C A A ’ B C C’ S B’ A D’ A’ D C C’ B’ B H H’ S Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 161 II. DIỆN TÍCH S tp = s xq + B + B' Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều: S xq = 1 2 (na + na').d n: số cạnh đáy; a, a': cạnh đáy d: độ dài trong đoạn, chiều cao của mặt bên III. THỂ TÍCH V = V 1 – V 2 V: thể tích hình chóp cụt V 1 : thể tích hình chóp V 2 : thể tích hình chóp trên      3 1 2 V SH V SH V = 1 3 h(B + B' +  BB ) B, B' là diện tích đáy h là chiều cao B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Giải ª Tính thể tích khối chóp S.BCNM.            SAB ABC SA ABC SAC ABC        .        BC// SMN MN// BC SMN ABC MN        .        0 AB BC giả thiết (SBC),(ABC) SBA 60 SB BC BC (SAB)           .  Trong tam giác vuông SBA ta có SA = AB.tan SBA 2a 3 .  Diện tích hình thang BCNM là S =     2 1 1 3a BC MN BM 2a a a 2 2 2     .  V S.BCNM = 2 3 BCNM 1 1 3a S .SA 2a 3 a 3 3 3 2    . S A B C N M I H Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 162 ª Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN. Dựng một mặt phẳng chứa SN và song song với AB bằng cách vẽ NI song song với AB sao cho AMNI là hình vuông. Suy ra AB // (SNI). Ta có AB // (SNI)  d(AB,SN) = d(A, (SNI)). Vẽ AH vuông góc với SI tại H. Dễ dàng thấy AH  (SNI)  d(AB,SN) = d(A, (SNI)) = AH. Trong tam giác vuông SAI ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 13 AH SA AI 12a a 12a      . Suy ra: d(AB, SN) = AH 2a 39 13  . Cách 2: Bài toán trên ta sử dụng cách 2 bằng cách xây dựng mặt phẳng (SNI) chứa SN và song song với AB, và khi đó d(AB, SN) = d(A, (SNI)). Cách 3: Xét hệ trục Oxyz như hình vẽ.  A Oy nên x A = z A = 0, còn y A = BA = 2a  A(0; 2a; 0)  B  O  B(0; 0; 0)  C Ox nên y C = z C = 0, còn x C = BC = 2a  C(2a; 0; 0)  S (Oyz) nên x S = 0, còn y S = BA = 2a và z S = SA = 2a 3  S(0; 2a; 2a 3 )  M Oy nên x M = z M = 0, còn y M = BM = a M(0; a; 0)  N (Oxy) nên z N = 0, còn x N = BP = a và y N = BM = a  N(a; a; 0) Ta có: d(AB, SN) = AB,SN BN AB,SN     2a 39 13  . Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và 0 SBC 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Giải  Vẽ SH vuông góc với BC tại H. Vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC). S A B  O C N M x z y P Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 163  SH = SB.sin30 0 = a3 .  S ABC = 1 2 AB.BC = 6a 2 .  V S.ABC = 1 3 SH.S ABC = 3 2a 3 .  Vẽ HM vuông góc với AC tại M  BC  (SHM). Vẽ HK vuông góc với SM tại K  HK  (SAC)  HK = d(H, (SAC)).  BH = SB.cos30 0 = 3a  HC = a  BC = 4HC  d(B, (SAC)) = 4d(H, (SAC))  AC = 22 AB BC 5a  BCA đồng dạng MCH  HM AB HC AC   AB.HC 3a HM AC 5  .  SAM vuông tại H có HK là đường cao nên: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 25 1 28 HK HM SH 9a 3a 9a       3a 7 HK 14   Vậy d(B,(SAC)) = 6a 7 4HK 7  Cách 2: Ta có thể tính: d(B,(SAC)) = SABC SAC 3V S  . Ta có: +) AB  (SBC)  AB  SB  22 SA SB AB a 21   . +) 22 SC SH HC 2a   . Mà AC = 5a nên SA 2 + SC 2 = AC 2 , suy ra tam giác SAC vuông tại S. Do đó: S SAC = 1 2 SA.SC = 2 a 21 Vậy d(B,(SAC)) = SABC SAC 3V S  = 3 2 3.2a 3 6a 7 7 a 21  . Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30 0 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a. 30 0 S B A C H 3a 4a 2a 3 M K Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 164 Giải BC vuông góc với mặt phẳng SAB Góc SBA = 30 0 nên SA = 3 a d(M,(SAB)) = 1 2 d(C,(SAB)) = BC a 22  Vậy V S.ABM = V M.SAB = 11 . 3 2 2 3 aa a    = 3 a3 36 Cách 2: V S.ABC = ABC 1 S .SA 3  = 3 a3 18 ABM ABC S SM 1 S SC 2     V S.ABM = 3 a3 36 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Giải S (NDCM) =       2 2 2 1 a 1 a 5a aa 2 2 2 2 8 (đvdt)  V (S.NDCM) =  23 1 5a 5a 3 a3 3 8 24 (đvtt)    2 2 a a 5 NC a 42 Ta có 2 tam giác vuông AMD và NDC bằng nhau Nên góc NCD = ADM . Vậy DM vuông NC Vậy ta có:     2 2 a 2a DC HC.NC HC a 5 5 2 Ta có tam giác SHC vuông tại H, và khoảng cách của DM và SC chính là chiều cao h vẽ từ H trong tam giác SHC Nên        2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 1 19 2a 3 h 19 h HC SH 4a 3a 12a . a H 1 1 N M C B A D 1 A C S M B 30 0 a Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 165 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,  AC AH 4 . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải Ta có        2 2 a 2 a 14 SH a 44         2 22 14a 3a 2 32a SC a 2 16 4 16 = AC Vậy SCA cân tại C nên đường cao hạ từ C xuống SAC chính là trung điểm của SA. Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên MK = 1 2 SH Ta có     3 2 1 1 a 14 a 14 V(S.ABC) a . 3 2 4 24 (đvdt) Nên V(MABC) = V(MSBC) = 1 2 V(SABC) = 3 a 14 48 (đvdt) Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45 0 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Giải Gọi H là trung điểm AB. Ta có tam giác vuông SHC, có góc SCH = 0 45 nên là tam giác vuông cân Vậy      2 2 a a 5 HC SH a 42  3 2 1 a 5 a 5 Va 3 2 6 (đvtt) S A B C D H a B A D C S K H M Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 166 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải (SIB)  (ABCD) và (SIC)  (ABCD) Suy ra SI  (ABCD) Kẻ IK  BC (K  BC)  BC  (SIK)   o SKI 60 Diện tích hình thang ABCD: S ABCD = 3a 2 Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng 2 3a 2 Suy ra S IBC = 2 3a 2              2 2 IBC 2S 3 5a BC AB CD AD a 5 IK BC 5 3 15a SI IK.tanSKI 5 Thể tích khối chóp: S.ABCD: V =  3 ABCD 1 3 15a S .SI 35 (đvtt) Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a2 . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP. Giải Gọi I là trung điểm AB Ta có: MN // AB // CD và SP  CD  MN  SP SIP cân tại S, SI 2 =  22 2 a 7a 2a 44  SI = SP = a7 2 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO 2 = SI 2 – OI 2 =     2 22 7a a 6a 4 2 4  SO = a6 2 , H là hình chiếu vuông góc của P xuống mặt phẳng SAB Ta có         SIP 1 1 SO.IP a 6 2 a 6 S SO.IP PH.SI PH a 2 2 SI 2 a 7 7 S D I A B K C . CDBT từ các ĐTQG Toán học – 157  Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CĂN BẢN 1 . QUAN HỆ SONG SONG I. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG  Đònh nghóa: a // b .      2 2 IBC 2S 3 5a BC AB CD AD a 5 IK BC 5 3 15a SI IK.tanSKI 5 Thể tích khối chóp: S.ABCD: V =  3 ABCD 1 3 15a S .SI 35 (đvtt) Bài 8: CAO ĐẲNG