Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
GV: Nguyn Vn Huy (T:093.2421.725) Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thøc sau) 1) 3x −1 8) x2 +3 2) − 2x 9) x2 −2 3) 2x −1 3−x x +3 −x 7) 2x − 5x + 12) 7x + 6) x − 3x + 11) 7x −14 4) 5) 10) x − 5x + 13) x −3 14) 2x − x + 3x −x 6x + x + Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bài 1: Đa thừa số vào dấu a) 5 ; b) x (víi x > 0); x c) ; x (x − 5) d) x ; 25 − x e) x Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) ( 28 −2 14 + ) ⋅ +7 ; d) b) ( −3 + 10 )( −3 0,4) ; e) c) (15 50 +5 200 −3 450 ) : g) 10 ; + + −2 ; 11 +6 − 11 −6 f) 3; 20 +14 + 20 −14 ; +7 −3 −7 h) 26 +15 −3 26 −15 Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) ( 3− − −2 216 )⋅ b) 14 − 15 − + ): 1− 1− 7− c) − + − 15 + 10 Bµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) c) e) (4 + 15 )( 10 − 6) − 15 b) 3+ − 3− − (3 − 5) + +(3 + 5) 4− − 4+ + d) 6,5 + 12 + 6,5 12 +2 Bài 5: Rút gọn biÓu thøc sau: a) c) − 24 +1 +2 + 5− − + 24 +1 −2 5+ b) +1 −1 − 3+ + 3− d) 3 −1 +1 3− 3+ Bµi 6: Rót gän biÓu thøc: a) + − 13 + 48 c) + 1+ Bµi 7: Rót gän biÓu thøc sau: b) + + 48 −10 + + 2+ + + 3+ 99 + 100 3− a) a b +b a ab : a− b , víi a > 0, b > vµ a ≠ b a + a a− a 1 − , víi a > vµ a ≠ b) 1 + a +1 a −1 a a − + 2a − a ; a −4 d) ⋅ 5a (1 − 4a + 4a ) 2a −1 c) e) 3x + 6xy + 3y 2 ⋅ x2 −y Bµi 8: Tính giá trị biểu thức a) A = x − 3x y + 2y, x = −2 ;y = +4 b) B = x +12x − víi x = 4( +1) − 4( −1) ; c) C = x + y , biÕt (x + )( ) x + y + y + = 3; d) D = 16 − 2x + x + − 2x + x , biÕt 16 − 2x + x − − 2x + x = e) E = x + y + y + x , biÕt xy + (1 + x )(1 + y ) = a Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán x x −1 − Bµi 1: Cho biĨu thøc P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 c) Tính giá trị nhỏ nhÊt cña P ) a2 + a 2a + a − + a − a +1 a Bµi 2: XÐt biĨu thøc A = a) Rót gän A b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A Bài 3: Cho biểu thức C = A 1 x − + 1−x x −2 x +2 a) Rót gän biĨu thức C c) Tính giá trị cđa x ®Ĩ C = a a Bµi 4: Cho biĨu thøc M = 2 − 1 + 2 a −b a −b b) Tính giá trị C với x = a) Rót gän M b : 2 a− a −b a = b b) Tính giá trị M c) Tìm điều kiện a, b ®Ĩ M < x −2 x + (1 − x) ⋅ − x + x +1 x −1 Bµi 5: XÐt biĨu thøc P = a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) T×m giá trị lơn P Bài 6: Xét biểu thøc Q = x −9 − x −5 x +6 x + x +1 − x −2 − x a) Rót gän Q b) T×m giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên Bài 7: XÐt biÓu thøc x −y H = − x− y x − y3 x −y a) Rót gän H b) Chøng minh H ≥ c) So sánh H với H Bài 8: XÐt biÓu thøc A = 1 + : ( x− y ) + xy x+ y a a : a −1 − a a + a − a −1 a +1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị cña A nÕu a = 2007 − 3x + 9x − − Bµi 9: XÐt biĨu thøc M = x + x −2 2006 x +1 x −2 + x + 1− x a) Rót gọn M b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P = 15 x −11 x −2 x +3 + − x + x −3 1− x x +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị cđa x cho P = c) So s¸nh P với Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai Bài 1: Giải phơng trình 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x – 2( - 1)x - = Bài 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x – (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = D¹ng 2: Chøng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 2 7) x – 2mx – m – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax + (ab + 1)x + b = Bµi 2: a) Chứng minh với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c phân biệt phơng trình sau có hai nghiệm phân biÕt: 1 + + = (Èn x) x −a x −b x −c c) Chøng minh r»ng phơng trình: c2x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phơng trình bậc hai: (a + b)2x2 (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) 2 x + 4bx + a = (4) Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau): 2b b + c x+ =0 b +c c +a 2c c + a bx − x+ =0 c +a a +b 2a a + b cx − x+ =0 a +b b +c ax − (1) (2) (3) với a, b, c số dơng cho trớc Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = BiÕt a ≠ vµ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình đà cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiƯm nÕu mét hai ®iỊu kiƯn sau đợc thoả mÃn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = D¹ng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 3x = TÝnh: 2 A = x1 + x ; C= B = x1 − x ; 1 + ; x1 − x − D = ( 3x1 + x )( 3x + x1 ); E = x1 + x ; F = x1 + x 1 Lập phơng trình bậc hai có nghiƯm lµ x1 −1 x −1 Bµi 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng trình, tính giá trị biểu thức sau: 3 A = 2x1 − 3x1 x + 2x − 3x1x ; 1 1 x x x x B= + + + − − ; x x + x1 x1 + x1 x C= 3x1 + 5x1x + 3x 2 4x1x + 4x1 x Bµi 3: a) Gäi p vµ q lµ nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng trình hÃy thành p q lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm q p b) Lập phơng trình bậc hai có nghiƯm lµ 1 vµ 10 − 72 10 + Bài 4: Cho phơng trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chøng minh phơng trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 víi mäi m b) Víi m ≠ 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1 = x1 + 1 vµ y = x + x2 x1 Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị c¸c biĨu thøc sau: x1 x A = ( 3x1 − 2x )( 3x − 2x1 ); B= + ; x − x1 − x + x2 + C = x1 − x2 ; D= + x1 x2 Bµi 6: Cho phơng trình 2x 4x 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Không giải phơng trình hÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 x1 Bài 7: Cho phơng tr×nh 2x2 – 3x – = cã hai nghiệm x1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = x + a) y2 = x2 + x 12 y1 = x2 b) x2 y2 = x Bài 8: Cho phơng trình x2 + x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: x1 x y1 + y = x + x 21 a) ; y1 + y2 = 3x + 3x y2 y1 y1 + y2 = x12 + x22 b) 2 y1 + y2 + 5x1 + 5x2 = Bµi 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2 HÃy lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 + y = 1 1 + vµ + = x1 + x x1 x y1 y Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Bài 1: a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m 1)x m = (ẩn x) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phơng trình có nghiệm a) Cho phơng trình: (m 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: 4x 2( 2m − 1) x − + m2 − m − = 2 x + 2x + x +1 Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phơng trình có nghiệm a) Cho phơng trình: Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mÃn điều kiện cho trớc Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 tho¶ m·n 2x1 – x2 = - 7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà chØ ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 d) x – (2m + 1)x + m + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 2 f) x – 4x + m + 3m = ; x12 + x2 = Bµi 4: a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 (2m 1)x + m = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm b) Ch phơng trình bậc hai: x2 mx + m = Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm x1 ; x2 cho biĨu thøc R = 2x1x + đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn x1 + x + 2(1 + x1x ) c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau b»ng mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số Bài 1: a) Cho phơng trình x2 (2m 3)x + m2 3m = Xác định m để phơng trình có hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 < b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = X¸c định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 tho¶ m·n: - < x1 < x2 < Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a) Chøng minh phơng trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 mx + m = cã nghiƯm tho¶ m·n x1 ≤ - ≤ x2 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 1: a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số m b) Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phơng trình: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2mx – m2 – = a) Chøng minh phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m x1 x + = c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn: x x1 2 Bài 4: Cho phơng trình: (m – 1)x – 2(m + 1)x + m = a) Giải biện luận phơng trình theo m b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - Tìm m cho |x1 x2| Bài 5: Cho phơng trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phơng trình có hai nghiƯm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = D¹ng 8: Mèi quan hƯ nghiệm hai phơng trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phơng trình kia: Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) ®ã c¸c hƯ sè a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta làm nh sau: i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy hệ phơng trình: ax02 + bx0 + c = (*) 22 a'k x0 + b' kx0 + c'= Gi¶i hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4) Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau: i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: (3) < (4) < Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hÖ sau: Δ (3) ≥ Δ (4) ≥ S(3) = S(4) P = P (3) (4) Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau: bx + ay = − c b' x + a' y = c' Để giải tiếp toán, ta làm nh sau: - Tìm điều kiện ®Ĩ hƯ cã nghiƯm råi tÝnh nghiƯm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mÃn y = x2 - Kiểm tra lại kết Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 (3m + 2)x + 12 = 4x2 – (9m 2)x + 36 = Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x + mx – = 0; mx2 – x + = c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = Bài 3: Xét phơng trình sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung Bài 4: Cho hai phơng trình: x2 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2) T×m giá trị tham số m để phơng trình (2) cã mét nghiƯm b»ng hai lÇn mét nghiƯm cđa phơng trình (1) Bài 5: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng Bài 6: Cho hai phơng trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = cã nghiệm phân biệt Bài 7: Cho phơng trình: x2 – 5x + k = (1) x2 – 7x + 2k = (2) Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1) Chủ đề 3: Hệ phơng trình A - Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng Bài 1: Giải hệ phơng trình 3x y=− 42 4x− y= 32 2x+ y= 53 1) ; 2) ; 3) 2 x+ y= 6x− y= 53 4x+ 6y= 10 3x− 4y+ 2= 2x+ y= 35 4x− y= 96 4) ; 5) ; 6) 5 x+ 2y= 14 3x− 2y= 14 10x 15y=− 18 Bµi 2: Giải hệ phơng trình sau: ( 3x+ 2)( 2y− 3) = 6xy 1) ; ( 4x+ 5) ( y− 5) = 4xy ( 2x-3)( 2y+ 4) = 4x( y− 3) + 54 2) ; ( x+ 1)( 3y− 3) = 3y( x 1) −+ 12 y-2 5x y+ 27 7x+ 5y-2 = − 5=+ − 2x x+ 3y 3) ; 4) x+ y=+ 6y− 5x x-6 3y+ 10 = 5x+ 6y Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ Giải hệ phơng trình sau 10 3x x+ 3y + =3 − =4 + =7 x+ 2y y+ 2x x+ y+ x− y+ 1) ; 2) ; 3) ; 2x − =1 − =9 − =4 x+ 2y y+ 2x x+ y+ x− y+ () () x2 − 2x + y =+ 5x −− 3y+ = 4) ; 5) 2 3x − 2x − y =++ 4x − 8x ++ y + 4y =+ 13 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mÃn điều kiện cho trớc Bài 1: a) Định m n để hệ phơng trình sau cã nghiƯm lµ (2 ; - 1) 2mx − ( n + 1) y = m − n ( m + 2) x + 3ny = 2m b) Định a b biết phơng tr×nh: ax2 - 2bx + = cã hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2 Bµi 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m Bài 3: Cho hệ phơng tr×nh mx + 4y = 10 − m (m lµ tham sè) x + my = a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải biện luận hệ theo m c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiÖm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị nguyên cđa m th× hƯ cã nghiƯm (x ; y) víi x, y số nguyên dơng 11 e) Định m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) cho S = x2 y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tơng tự với S = xy) f) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) điểm M(x ; y) nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác ( m 1) x − my = 3m − Bµi 4: Cho hƯ phơng trình: 2x y = m + a) Giải biện luận hệ theo m b) Với giá trị nguyên m hệ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) mµ P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ d) Xác ®Þnh m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) thoả mÃn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2) e) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm (x ; y) điểm D(x ; y) luôn nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác x + my = Bài 5: Cho hệ phơng trình: mx 2y = a) Giải hệ phơng trình m = b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mµ x > vµ y < c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x y đạt giá trị lớn B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I x + y + xy = 11 VÝ dô: Giải hệ phơng trình x + y2 + 3( x + y) = 28 Bài tập tơng tự: Giải hệ phơng trình sau: 12 x + y x++ y = x2 + xy+ y2 = 1) 2 2) x + y + xy = x+ xy+ y = 2 xy x++ y = 19 x − 3xy+ y −= 3) 2 4) 2 yx + xy = 84 3x − xy+ 3y = 13 ( x+ )(y1 + 1) = x2+ y1 2+ = 10 5) 6) ( xx 1) ++ ( yy 1) ++ xy = 17 ( x+ y)( xy− 1) = x+ xy+ y 2+= x2 + xy+ y2 = 19( x− y) 7) 2 8) 2 x + y = x − xy+ y = ( x7 − y) 22 ( )( ) ( x− y) − ( x− y) = 9) 2 x + y = 5xy () x y + y x = 30 10) x x + y y = 35 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II x + = 2y VÝ dơ: Gi¶i hệ phơng trình y3 + = x Bài tập tơng tự: Giải hệ phơng trình sau: 13 x2 + 1= 3y 1) y + 1= 3x x2y + = y2 2) 2 xy + = x x3 = 2x + y 3) y = 2y + x x2 + xy + y = 4) x + xy + y = y x − 3y = x 6) y − 3x = x y x2 − 2y2 = 2x + y 5) 2 y − 2x = 2y + x 13 2x + y = x 7) 2y + = x y x3 = 3x + 8y 8) y = 3y + 8x x2 − 3x = y 9) y − 3y = x x3 = 7x + 3y 10) y = 7y+ 3x D¹ng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số Giải hệ phơng trình sau: 14 x + y − 1= 1) x + xy + = x − xy − y = 12 2) 2 xy − x + y = 2xy − x2 + 4x −= 3) x − 2xy + y − 5x = 2( x + y) − 3( x + y) − 5= 5) x− y− 5= x − 2y + = 7) 2y − x = 2 x + y − 2xy = 9) 2 2x + 2y − 2xy − y = 3x + 2y = 36 1) ( x − 2) ( y − 3) = 18 x + y + xy − = 4) xy + y − x = 5( x − y) + 3( x − y) = 6) x + y = 12 x2 − y = 8) x− y+ 2= x − 3y = 10) 2 x − y = 40 xy + 2x − y − 2= 12) xy − 3x + 2y = xy + x − y = 1 3) x + y − 4x − 4y − 8= 14) 2 2 2 15 Chủ đề 4: Hàm số đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x ; Bài 2: Vẽ đồ thị hµm sè y = ax2 khi: a) a = ; b) y = - 0,5x + b) a = - Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5) b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) ®i qua N(1 ; - 5) vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300 e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x 3; (): y = 3x điểm g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k 1)x + k – víi k lµ tham sè a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y = c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = d) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1) e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol Bài 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) HÃy tìm a vẽ đồ thị (P) b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hoành độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB Bµi 2: Cho hµm sè y = x a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc víi (P) Bµi 3: Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): y = − x đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P) b) Tìm m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c) Chøng tá r»ng (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bµi 4: Cho hµm sè y = x a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hoành độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm Bài 5: Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx + b 1) Tìm k b cho biết (D) ®i qua hai ®iĨm A(1; 0) vµ B(0; - 1) 2) T×m a biÕt r»ng (P) tiÕp xóc víi (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2) 4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C ;1 có hệ số góc m a) Viết phơng trình (d) b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vuông góc với 16 Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) Bài 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quÃng đờng AB thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Một ngời ®i xe m¸y tõ A ®Õn B c¸ch 120 km với vận tốc dự định tr ớc Sau đợc quÃng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h quÃng đờng lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngợc Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) Bài 1: Hai ngời thợ làm chung công việc 12 phút xong NÕu ng êi thø nhÊt lµm giê vµ ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc việc xong? Bài 2: Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc chảy 30 phút đợc hồ Bài 3: công việc Hỏi ngời làm công 4 hồ Nếu vòi A chảy vòi B hồ Hỏi chảy mỗI vòi chảy đầy Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tỉ I vỵt møc 15%, tỉ II vỵt møc 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy? Bài 2: Năm ngoái tổng số dân cđa hai tØnh A vµ B lµ triƯu ngêi Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay? Dạng 4: Toán có nội dung hình học Bài 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vên) réng m TÝnh kÝch thíc cđa vên, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2 Bài 2: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 3: 17 Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông Dạng 5: Toán tìm số Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng vµ sè d lµ Bµi 3: NÕu tư sè phân số đợc tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Nếu tử số Tìm phân số 24 Bài 4: Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng Tìm phân số Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu Giải phơng trình sau: x x +3 + =6 x − x −1 2x −1 x +3 b) +3 = x 2x −1 2 t 2t + 5t c) +t = t t +1 a) Dạng 2: Phơng trình chứa thức A (hayB 0) Loại A = B ⇔ A= B B≥ Lo¹i A = B ⇔ A= B Giải phơng trình sau: a) 2x 3x −11 = x −1 c) 2x + 3x − = x +1 b) d) ( x + 2) = 3x − 5x +14 ( x −1)( 2x − 3) = −x − e) ( x 1) x 3x Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải phơng tr×nh sau: a) x −1 + x = x + b) x + − 2x +1 = x + 2x + c) x + 2x + + x + x = x − 4x d) x +1 − x 4x + = 3x Dạng 4: Phơng trình trùng phơng Giải phơng trình sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; c) 2x4 + 5x2 + = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 = 18 Dạng 5: Phơng trình bậc cao Giải phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai: Bài 1: a) 2x3 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; 4 c) x + x – 2x – x + = ; d) x = (2x2 – 4x + 1)2 Bµi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = c) x − x + x − x + = e) x2 + x −5 3x + +4 =0 x x + x −5 ( ) ( ) g) 2x + 3x − − 2x + 3x + + 24 = i) 2x 13x + =6 2x − 5x + 2x + x + 1 d) 4 x + − 16 x + + 23 = x x 21 f) − x + 4x − = x − 4x + 10 x 48 x 4 h) − − 10 − = x 3 x k) x − 3x + + x = 3x + Bµi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bµi tËp vỊ nhà: Giải phơng trình sau: a) + = 2( x − 1) x − b) 4x x +3 + =6 x +1 x c) 2x + x −2 −x = x −4 d) x + 2x − 2x − + =8 x2 −9 x − 3x + a) x4 – 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 – = e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = b) x4 – 7x2 – 144 = d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = (a ≠ 0) a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = a) x3 – x2 – 4x + = c) x3 – x2 + 2x – = e) x3 – 2x2 – 4x – = b) 2x3 – 5x2 + 5x – = d) x3 + 2x2 + 3x – = a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = c) x2 – 4x – 10 - ( x + 2)( x − 6) = 2x −1 2x −1 d) − 4 +3 = e) x + − x + x(5 − x ) = a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 1 c) 3 x + − 16 x + + 26 = x x x +2 x +2 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 1 d) 2 x + − 7 x − + = x x 19 a) x − 4x = x +14 b) 2x + x − = x −1 c) 2x + 6x +1 = x + d) x + 3x + = x − e) 4x − 4x +1 + x − = x − f) x + x = x + x +1 Định a để phơng trình sau có nghiệm a) x4 – 4x2 + a = c) 2t4 – 2at2 + a2 – = b) 4y4 – 2y2 + 2a = Phần II: Hình học Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L a) Chøng minh DI = IL = LE b) Chøng minh tứ giác BCED hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có đờng chéo vuông góc víi t¹i I a) Chøng minh r»ng nÕu tõ I ta hạ đờng vuông góc xuống cạnh tứ giác đờng vuông góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác đà cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác Bài 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng tròn đờng kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) (O2) lần lợt M N a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì? c) Gọi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào? Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía hình vuông Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K lần lợt hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I M a) Chứng minh I trung ®iĨm cđa AP b) Chøng minh PH, BI, AM ®ång qui c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn Bài 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh ®iĨm O, B, I, O' cïng thc mét đờng tròn c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2: Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm M cđa BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng tròn.Xác định tâm O đờng tròn b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng tròn Bài 3: 20 Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đờng tròn Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vuông góc AD Gọi M trung điểm DE Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c ABEF, DCEF néi tiếp đợc b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc Bài 5: Từ điểm M bên đờng tròn (O) ta vÏ hai tiÕp tun MA, MB víi ®êng tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF ⊥ MB Gäi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bµi 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đờng cao BD CE a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng tròn b) Chøng minh r»ng xy// DE, tõ ®ã suy OA DE Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC c)* Gäi D lµ giao ®iĨm cđa AB vµ CM Chøng minh r»ng: 1 + = AM MB MD Bµi 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định Bài 9: Từ điểm A bên đờng tròn ( O; R) vÏ hai tiÕp tun AB, AC víi ®êng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D a) Chứng minh MB2 = MC MN b) Chøng minh r»ng AB// CD c) T×m ®iỊu kiƯn cđa ®iĨm A ®Ĩ cho tø gi¸c ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi Bài 10: Cho đờng tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh MAB = ∠ AO'D d) Chøng minh r»ng ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD ( E ∈ AD) a) Chøng minh r»ng AHEC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC 21 c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đờng tròn nói biết AC= 6cm, ACB = 300 Bài 12: Cho đờng tròn tâm O có ®êng kÝnh BC Gäi A lµ Mét ®iĨm thc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đờng vuông góc với BC D cắt AC ë E, c¾t tia BA ë F a) Chøng minh ADCF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AME = ∠ACB c) Chøng minh r»ng AM lµ tiÕp tuyến đờng tròn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600 Bài 13: Cho nửa đờng tròn tâm O, ®êng kÝnh AB = 2R §iĨm M thc nưa ®êng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm) a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh CD tiếp tuyến đờng trßn (O) c) TÝnh tỉng AC + BD theo R d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt ∠AOM = 600 Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm t¬ng øng M, N, P a) Chøng minh r»ng ®iĨm B, M, O, I, N n»m trªn mét ®êng tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài 2: Từ điểm C đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy ®iĨm D b) Chøng minh r»ng c¸c tiÕp tun cđa đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài 3: Cho hai đờng tròn ( O; R) vµ ( O'; R' ) tiÕp xóc ngoµi A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đ ờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đờng tròn (O) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O) Bài 4: Cho đờng tròn (O) (O) tiếp xúc C AC BC đờng kính (O) vµ (O’), DE lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi (D (O), E (O)) AD cắt BE M a) Tam giác MAB tam giác gì? b) Chứng minh MC lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O’) c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB OO Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 22 Bài 1: Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lµ lín nhÊt Bµi 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chøng minh MA.MB = MI.MN d) Chøng minh: IM.IN = IA2 Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN a) So s¸nh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành d) Đờng thẳng d qua N vuông góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm cđa CD a) Chøng minh ®iĨm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K Chứng minh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học Bài 1: Cho đờng tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chøng minh MA2 = MC.MD b) Chøng minh MB.BD = BC.MD c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Gọi R1, R2 bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R + R2 không đổi C di động AB Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E a) Chứng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2 c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vuông góc M AB + Chøng minh r»ng: HA FA = HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi M di động nửa đờng tròn Bài 3: 23 Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đờng thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng: 1 = + PQ PB PC Bµi 4: Cho góc vuông xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chøng minh c¸c hƯ thøc: 1 + = a) 2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2 Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích Bài 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung ngoµi BC (B ∈ (O); C ∈ (O’)) a) Chøng minh góc OOB 600 b) Tính độ dài BC c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng tròn Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng trßn (O) ë E Gäi M, N theo thø tù giao điểm EA, EB với nửa đ êng trßn (I), (K) a) Chøng ming r»ng EC = MN b) Chøng minh r»ng MN lµ tiÕp tuyÕn chung nửa đờng tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 3: Từ điểm A bên đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng tròn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC vµ cung nhá BC Bµi 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK a) Chøng minh r»ng: ®iĨm B, I, C, K cïng thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng tròn (O) c) Tính bán kính đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB a) Chứng minh AOM vuông O b) OM cắt đờng tròn C D Điểm C điểm E ë cïng mét phÝa ®èi víi AB Chøng minh ACM đồng dạng với AEC c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm vµ AEC lµ TÝnh AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Toán quỹ tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng tròn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm cđa BD víi CM a) Chøng minh ∆BPM c©n b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng tròn (O) Bài 2: 24 Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ a) Chøng minh r»ng gãc QMO b»ng gãc QPO vµ đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d b) Xác định vị trí M để MQOP hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động d Bài 3: Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI a) Chứng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB cã chu vi lín nhÊt Chđ ®Ị 8: Mét số toán mở đầu hình học không gian Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD Biết AB = cm; AC = cm vµ A’C = 13 cm TÝnh thĨ tÝch vµ diƯn tÝch xung quanh hình hộp chữ nhật Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có diện tích mặt chéo ACCA 25 cm2 TÝnh thĨ tÝch vµ diƯn tÝch toµn phần hình lập phơng Bài 3: Cho hình hép chø nhËt ABCDA’B’C’D’ BiÕt AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vµ gãc A’AC’ b»ng 60 TÝnh thể tích diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCABC Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AAB 300 Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC b) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích toán phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cã chiÕu cao 15 cm vµ thĨ tÝch lµ 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm 2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhá vµ chiỊu cao lµ cm TÝnh thĨ tÝch hình chóp cụt Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 11: Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa nã 25 Bµi 12: Một hình nón có bán kính đáy cm vµ diƯn tÝch xung quanh b»ng 65π cm2 TÝnh thĨ tích hình nón Bài 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt 36 cm2 Tính thể tích hình cầu 26 ... 2(m + 1) x + m – = ; (4x1 + 1) (4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1) x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 d) x – (2m + 1) x + m + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2)... + 19 = ; 7) ( + 1) x + x + - = ; 8) x2 – 11 x + 30 = ; 9) x2 – 12 x + 27 = ; 10 ) x2 – 10 x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm 1) ... bậc hai cho trớc Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng tr×nh: x2 – 3x – = TÝnh: 2 A = x1 + x ; C= B = x1 − x ; 1 + ; x1 − x − D = ( 3x1 + x )( 3x + x1 ); E = x1 + x ; F = x1 + x 1 vµ Lập phơng trình