HƯỚNG DẪN ƠN THI TNTHPT NĂM 2011 (Ban cơ bản) A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH PHẦN 1: HÀM SỐ Bài tốn 1: Khảo sát hàm số 1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y / = 3ax 2 + 2bx + c với ∆ / = b 2 − 3ac ∆ / ≤ 0 ∆ / > 0 y / cùng dấu với hệ số a •KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) y / = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 •KL: hàm số tăng? Giảm? •Hàm số không có cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? + Giới hạn: • )(lim 23 dcxbxax x +++ +∞→ =    <∞− >+∞ )0( )0( a a • )(lim 23 dcxbxax x +++ −∞→ =    <∞+ >−∞ )0( )0( a a + Bảng biến thiên: x − ∞ + ∞ x − ∞ x 1 x 2 + ∞ y / + y / + 0 − 0 + y − ∞ + ∞ y − ∞ CĐ CT + ∞ x − ∞ + ∞ x − ∞ x 1 x 2 + ∞ y / − y / − 0 + 0 − y + ∞ − ∞ y − ∞ CT CĐ − ∞ Chú ý : dù y / = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ? • ; điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT 2.Hàm phân thức : y = dcx bax + + ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) + TXĐ : D = R\       − c d + Đạo hàm : y / = 2 )( dcx bcad + − ad−bc < 0 ad−bc > 0 y / < 0 ∀ x ∈D y / > 0 ∀ x ∈D Hàm số không có cực trò Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D + Tiệm cận: • x = c d − là tiệm cận đứng vì dcx bax cdx + + −→ / lim = ∞ • y = c a là tiệm cận ngang vì dcx bax x + + ∞→ lim = c a +Bảng biến thiên : x − ∞ −d/c + ∞ x − ∞ −d/c + ∞ y / − || − y / + || + y a/c − ∞ ||+ ∞ a/c y a/c + ∞ ||− ∞ a/c + Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt − Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận . 3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y / = 4ax 3 + 2b.x =2x.(2a x 2 + b) a,b cùng dấu a, b trái dấu y / = 0 ⇔ x = 0 •KL: tăng? Giảm y / = 0 ⇔ 2x (2ax 2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x 1,2 =± a b 2 − •KL: tăng? Giảm? •Giá trò cực trò : y(0) = c có một cực trò • Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(± a b 2 − ) =− a4 ∆ Có 3 cực trò + Giới hạn : )(lim 24 cbxax x ++ ±∞→ =    <∞− >+∞ )0( )0( a a + Bảng biến thiên : x − ∞ 0 + ∞ x − ∞ x 1 0 x 2 + ∞ y / − 0 + y / − 0 + 0 − 0 + a > 0 a < 0 Điểm uốn I(− a b 3 ;f(− a b 3 )) x= −d/ c y= a/c x= −d/ c y= a/c a < 0 a > 0 c y + ∞ CT + ∞ y + ∞ CT CĐ CT + ∞ x − ∞ 0 + ∞ x − ∞ x 1 0 x 2 + ∞ y / + 0 − y / + 0 − 0 + 0 − y − ∞ CĐ − ∞ y + ∞ CĐ CT CĐ + ∞ + Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương 4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y = fex cbxax 2 + ++ (đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu ) + TXĐ: D = R\       − e f + Đạo hàm : y / = 2 2 ).( )(.2. fxe cebfxafxae + −++ có ∆ / =(af) 2 −(bf−c e).ae ∆ / < 0 ∆ / > 0 y / cùng dấu với ae y / = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 Hàm số không có cực trò • Giá trò cực trò tính theo CT : y = e bax + 2 + Tiệm cận : • x = − e f là tiệm cận đứng vì )(lim xf e f x −→ = ∞ • Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x); )]()([lim BAxxf x +− ∞→ = (x) ε ∞→ x lim =0 => y = e a x + ( e b − 2 e af ) là t/c xiên + Bảng biến thiên : x − ∞ −f/e + ∞ x − ∞ x 1 −f/e x 2 + ∞ y / + || + y / + 0 − || − 0 + y − ∞ + ∞ ||− ∞ + ∞ y − ∞ CĐ − ∞ ||+ ∞ CT + ∞ x − ∞ −f/e + ∞ x − ∞ x 1 −f/e x 2 + ∞ y / − || − y / − 0 + || + 0 − y + ∞ ∞ ||+ ∞ − ∞ y + ∞ + ∞ || CĐ CT − ∞ − ∞ + Vẽ đồ thò : ( như hàm phân thức ) (ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này) Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến : 1. Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là : Từ x 0 tính f(x 0 ) ; • Đạo hàm : y / = f / (x) => f / (x 0 ) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f / (x 0 )(x− x 0 ) + f(x 0 ) 2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thò h/s y =f(x) + Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x 1 ) + y 1 + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là hệ phương trình : (1) = − + =    f(x) k(x x ) y 1 1 / f (x) k (2) có nghiệm Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận 3. Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a 1 + giả sử M(x 0 ; f(x 0 )) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f / (x 0 ). + Giải phương trình f / (x 0 ) = k => x 0 = ? −> f(x 0 ) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x 0 ) + f(x 0 ) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k 1 .k 2 = −1 + Hai đường thẳng song song nhau : k 1 = k 2 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò : + Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) . + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m) + y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (C) + Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = M Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ? + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) xét dấu y / + BXD (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) * y / > 0 thì hàm số tăng ; y / < 0 thì hàm số giảm a> 0 b>0 a< 0 b <0 a< 0 b>0 a> 0 b <0 a.e > 0 a.e < 0 c đứng Xiên Xiên Xiên Xiên đứng đứng + Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng . Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m): a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f / (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f / (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b). Bài tốn 5: Cực trị hàm số • Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) xét dấu y / + BBT : (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính y CĐ ; y CT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b). 2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0. 3) x 0 là cực trị của hàm số  / ( ) 0 0 / ( ) =    y x y x • Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y / = ? y // = ? cho y / = 0 ( nếu có ) => x 1 , x 2 … . + Tính y // (x 1 ); y // (x 2 )……. Nếu y // (x 0 ) > 0 thì hàm số đạt CT tại x 0 , y CT = ? Nếu y // (x 0 ) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x 0 , y CĐ = ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y / khó xét dấu * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y = phần dư của phép chia f(x) cho f / (x). Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ : Cho h/s y = u v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D Và y / = u v v u 2 v ′ ′ − = g(x) 2 v dấu của y / là dấu của g(x) Nếu h/s đạt cực trò tại x 0 thì y / (x 0 )= 0 => g(x 0 ) = 0 <=> u / v−v / u = 0 => u u v v ′ = ′ . Do đó giá trò cực trò y(x 0 ) = u (x ) 0 v (x ) 0 ′ ′ Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]: + Miền đang xét [a;b] + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) _ x 1 , x 2 … . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b] + Tính y(x 1 ) ; y(x 2 ) ………. So sánh → KL y(a) ; y(b) + max y [a;b] = ? min y [a;b] = ? 2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ : + Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 ( nếu có ) xét dấu y / + BBT: * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT 1 min y [a;b] 2 = y CT * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ max y [a;b] = y CĐ * Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b). Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó : + nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 + nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2 Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong). 1. Cho hai đồ thò (C 1 ) : y = f(x) ; (C 2 ) : y = g(x) Hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1) • pt(1) vô nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung • pt(1) có n nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung * Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong. 2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ) <=> hệ pt f (x) g(x) f (x) g (x) = ′ ′ =    có nghiệm Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận : *Tiệm cận đứng : f (x) lim x x 0 = ∞ → => x = x 0 là tiệm cận đứng Chú ý : tìm x 0 là những điểm hàm số không xác đònh *Tiệm cận ngang : f (x) y lim 0 x = →∞ => y = y 0 là tiệm cận ngang Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang * Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này): Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x) lim ∞→ x [f(x) –(ax + b)] = (x) lim x ε →∞ = 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; f (x) a lim x x = →∞ ; [ ] b f (x) ax lim x = − →∞ ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên Phần 2: Hàm số mũ và logarit Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit đổi dấu qua x 0 a − n = n a 1 ; a 0 = 1 0 ; m m n n a a= ( m; n nguyên dương , n > 1) • Các quy tắc: a x .a y = a x+y (a.b) x =a x .b x x a x y a y a − = x x a a x b b =    ÷   ( ) ( ) x y y x.y x a a a = = • Hàm số mũ : y = x a với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ ) + a > 1 ; h/s đồng biến : x 1 > x 2 ⇔ 1 x a > 2 x a + 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x 1 > x 2 ⇔ 1 x a < 2 x a * Hàm số logarit: α = log a N ⇔ a α = N log a x = b ⇔ x= a b • Đặc biệt : x a a log = x ; log a x a = x ; log a 1 = 0 • Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có: log a (B.C) = log a B + log a C log a B C    ÷   = log a B − log a C log α a B β = β α log a B • Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có : log c a.log a b = log c b ⇔ log b c log b a log a c = 0 < a, b ≠ 1 : log a b = 1 log a b Chú ý : log 10 x = lg x ; log e x = ln x • Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R + a > 1 ; h/s đồng biến : x 1 > x 2 > 0 ⇔ log a x 1 > log a x 2 + 0 < a < 1;h/s ngh biến: x 1 > x 2 > 0 ⇔ log a x 1 <log a x 2 Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit (e x ) / = e x −> ( e u ) / = u / .e u ( a x ) / = a x .lna −> ( a u ) / = u / .a u .lna (lnx) / = 1 x x ∈(0;+∞) −> (lnu) / = u u ′ (log a x) / = 1 x ln a −> (log a u ) / = u u. ln a ′ Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit : • Dạng cơ bản: f (x) a = g(x) a ⇔ f(x) = g(x) v(x) u = 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến ) f (x) a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b log a f(x) = log a g(x) ⇔ f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x) > > =    dạng: log f (x) b a 0 a 1 = < ≠    ⇔ f(x) = b a log v(x) u(x) = b ⇔ [ ] v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1 b v(x) u(x) > > ≠ =      • Đặt ẩn phụ : α. 2f (x) a +β. f (x) a + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a Đk t > 0 α. b f (x) a + +β. b f (x) a − + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a Đk t > 0 α. f (x) a +β. f (x) b + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f (x) a ; 1 t = f (x) b α. 2f (x) a +β. ( ) f (x) a.b + γ. 2f (x) b = 0 ; Đặt t = f (x) a b    ÷   • Logarit hoá hai vế : Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit • Dạng cơ bản : 1 0 f (x) a > g(x) a ⇔ f (x) g(x) khi a 1 f (x) g(x) khi 0 a 1 > > < < <    2 0 f (x) a > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1 f(x) < log a b nếu 0 < a < 1 3 0 f (x) a < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1 f(x) > log a b nếu 0 < a < 1 •log a f(x) > log a g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1 (a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0 •log a f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > b a * Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < b a •log a f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < b a * Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > b a hoặc • ( ) v(x) u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) > 0 • ( ) )( )( xv xu < 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) < 0 Lưu ý: *) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dang hơn. 1 0 f (x) a > g(x) a  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0. 2 0 log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0. *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên. *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số. Phần 3: Nguyên hàm. Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản). dx x C= + ∫ x .dx α = ∫ 1 x α+ α + 1 + C (α ≠-1 ) dx x ∫ = lnx + C ( x≠ 0) x e .dx ∫ = e x + C x a .dx ∫ = x a ln a + C 1 (ax b) (ax b) dx C a( 1) α+ + α + = + ∫ α + (α ≠-1) dx ax b ∫ + = 1 a lnax+ b + C 1 ax b e .dx a + = ∫ e ax+b + C x a .dx α +β ∫ = x b 1 a C ln a α + + α Cosx.dx ∫ = Sinx + C Sinx.dx ∫ = − Cos x + C dx 2 Cos x ∫ = 2 (tg x 1).dx+ ∫ = tgx dx 2 Sin x ∫ = 2 (Cotg x 1).dx + ∫ = −Cotgx Cos(ax b).dx+ ∫ = 1 a Sin(ax+ b) + C Sin(ax b).dx+ ∫ = − 1 a Cos(ax+ b) + C dx 2 Cos (ax b) ∫ + = 1 a tg(ax+ b) + C dx 2 Sin (ax b) ∫ + = − 1 a Cotg(ax+ b) + C Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Dạng 1: Tính I = f[u(x)].u '(x)dx ∫ bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) dt u'(x)dx ⇒ =  I = f[u(x)].u '(x)dx f (t)dt= ∫ ∫ Dạng 2: Tính I = f (x)dx ∫ Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: 1 2 2 a x ; 2 2 a x − − thì đặt x = asint 1 2 2 a x ; 2 2 a x + + thì đặt x = atant. Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx= − ∫ ∫ Hay udv uv vdu = − ∫ ∫ ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv @ Dạng 1 sin ( ) ∫         ax f x cosax dx ax e với f(x) là đa thức: Đặt ( ) '( ) sin sin cos = = ⇒ = = ∫                               u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx ax ax e e Sau đó thay vào công thức udv uv vdu = − ∫ ∫ để tính @ Dạng 2: ( ) ln( )+ ∫ f x ax b dx Đặt . ln( ) ( ) ( ) = + = ⇒ + = = ∫         a dx u ax b du ax b dv f x dx v f x dx Sau đó thay vào công thức udv uv vdu = − ∫ ∫ để tính @ Dạng 3: sin . ∫       ax ax e dx cosax Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e ax Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx ∫ ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx ∫ . * Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân. Dạng 2: n m sin ax.cos axdx ∫ (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax. *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax. *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc). *) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax. Dạng 3: R(sinx,cosx)dx ∫ R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học). *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx. *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx. *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx. Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ Yêu cầu tính f (x) dx g(x) ∫ trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x. Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) h(x) g(x) h(x) = + . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). Nên f (x) r(x) ( )dx h(x)dx dx g(x) h(x) = + ∫ ∫ ∫ .Như vậy h(x)dx ∫ ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính r(x) dx g(x) ∫ theo trường hợp sau. Trường hợp 2: tính r(x) dx g(x) ∫ với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x). *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức. *) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C 2 2 g(x) (x x ) (x x ) a(x ).(x x ) (x x ) 1 2 1 2 2 = = + + − − − α − − (*) ( x 1 ; x 2 là nghiệm của g(x). *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng). *) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính. Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức . Phần 4: Tích phân. Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản. Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Dạng 1: Tính I = b / f[u(x)]u dx a ∫ bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) dt u'(x)dx ⇒ =  Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b)  I = b / f[u(x)]u dx a ∫ = u(b) u(a) f (t)dt ∫ Dạng 2: Tính I = f (x)dx β ∫ α Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: 1 2 2 a x ; 2 2 a x − − thì đặt x = asint 1 2 2 a x ; 2 2 a x + + thì đặt x = atant. Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I = b b b udv u.v vdu a a a = − ∫ ∫ phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv @ Dạng 1 sin ( ) ∫         ax f x cosax dx ax e β α với f(x) là đa thức: Đặt ( ) '( ) sin sin cos = = ⇒ = = ∫                               u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx ax ax e e Sau đó thay vào công thức udv uv vdu= − ∫ ∫ để tính @ Dạng 2: ( ) ln( )+ ∫ f x ax b dx β α Đặt . ln( ) ( ) ( ) = + = ⇒ + = = ∫         a dx u ax b du ax b dv f x dx v f x dx Sau đó thay vào công thức udv uv vdu= − ∫ ∫ để tính @ Dạng 3: sin . ∫       ax ax e dx cosax β α Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e ax Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). Dạng 1: sin(ax+b)sin(cx+d)dx β ∫ α ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx β ∫ α cos(ax+b).cos(cx+d)dx β ∫ α . * Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân. Dạng 2: n m sin ax.cos ax.dx β α ∫ (n,m là các số ngun dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax. *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax. *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đó dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ bậc). *) n,m ∈ Z nếu n+m là số ngun chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax. Dạng 3: R(sinx,cosx)dx β ∫ α R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học). *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx. *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx) thì ta đặt t = sinx. *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx. Bài tốn 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ u cầu tính f (x) dx g(x) β ∫ α trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x. Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) h(x) g(x) h(x) = + . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). Nên f (x) r(x) dx h(x)dx dx g(x) h(x) β β β = + ∫ ∫ ∫ α α α . Như vậy h(x)dx β ∫ α ta tích được bằng bảng ngun hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính r(x) dx g(x) β ∫ α theo trường hợp sau. Trường hợp 2: tính r(x) dx g(x) β ∫ α với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x). *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức. *) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: 2 2 1 2 1 2 2 r(x) r(x) A B C g(x) (x x ) (x x ) a(x ).(x x ) (x x ) = = + + − − − α − − (*) ( x 1 ; x 2 là nghiệm của g(x). *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng). *) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính. Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức . Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối. Tính b f (x) dx a ∫ +) Tìm nghiệm của f(x) = 0. Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng khơng có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại khơng thuộc [a;b] thì b f (x) dx a ∫ = b f (x)dx a ∫ Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì b f (x) dx a ∫ = c b f (x)dx f (x)dx a c + ∫ ∫ *Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)). 2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân. Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể tròn xoay. Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng • Hình phẳng giới hạn bởi : y f (x) x a;x b =   = = =  hàm số liên tục trên [a;b] trục hoành y 0; Diện tích : S = b | f (x) | .dx a ∫ Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0 • Hình phẳng giới hạn bởi : y f(x) y g(x) x b =   =   = =  hàm số liên tục trên [a;b] hàm số liên tục trên [a;b] x a; Diện tích : S = b | f (x) g(x) | .dx a − ∫ Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x) 2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thong qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình. Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay : * Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường : y f(x) x a;x b =   = = =  hàm số liên tục trên [a;b] trục hoành y 0; quay quanh trục Ox và f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì V = b 2 f (x) .dx a π   ∫   * Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường : f (y) c;y d =   = = =  hàm số x liên tục trên [c;d] trục tung x 0;y quay quanh trục Oy và f(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V = d c 2 f (y) .dyπ   ∫   a b x y a b x y y=f(x) y=g(x) b x b x Phần 6: Số phức Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,… Cho hai số phức a+bi và c+di. 1) a+bi = c+di  a = c; b = d. 2) mơđun số phức 2 2 z a bi a b= + = + 3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi. * z+ z = 2a; z. z = 2 2 2 z a b= + 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i. 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i 7) z = c di 1 [(ac+bd)+(ad-bc)i] 2 2 a bi a b + = + + Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0. với ∆ = b 2 − 4ac. Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép b x x 1 2 2a = = − (nghiệm thực) Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: b x 2a − ± ∆ = Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức b i x 2a − ± ∆ = B. HÌNH HỌC. Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (S xq ), diện tích tồn phần(S tp ) của khối nón,trụ,cầu.  Khối nón: S xq = πrl; S tp = πr(r + l).  Khối trụ: S xq = 2πrl; S tp = 2πr(r + l).  Khối cầu: S = 4πr 2 . Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình. * Khối hình chóp V = 1 Bh 3 ; * Khối nón V = 2 1 r h 3 π * Khối hình trụ V = πr 2 h ; * Khối cầu V = 3 4 r 3 π * Khối lăng trụ: V= Bh. Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian a → = (x;y;z) ⇔ a → = x. i → + y. j → + z. k → Tính chất : Cho a → = (a 1 ;a 2 ; a 3 ) , b → = (b 1 ;b 2 ; b 3 ) • a → ± b → =(a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ; a 3 ± b 3 ) • a → k. = (ka 1 ;ka 2 ;ka 3 ) k ∈ R Tích vô hướng : a . b → → = a 1 .b 1 + a 2 .b 2 +a 3 .b 3 = a → . b → Cos ϕ Cos ϕ = a b a b a b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 a a a . b b b 1 2 3 1 2 3 + + + + + + a b → → ⊥ ⇔ a 1 .b 1 + a 2 .b 2 + a 3 .b 3 = 0 a → cùng phương b → ; a → ≠ 0 → ⇔ b → = k. a → ⇔ [ a → , b → ] = 0 → Toạ độ điểm: M = (x;y;z)⇔ OM → = x. i → + y. j → + z. k → AB → = ( x B − x A ; y B −y A ;z B −z A ) • M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 ( MA → = k MB → ) Thì M: x k.x B A x M 1 k y k.y B A y M 1 k z k.z B A z M 1 k −  =  −  −  =  −   − =  −  • I là trung điểm của AB thì I: x x B A x M 2 y y B A y M 2 z z B A z M 2 +  =   +  =    + =   • G là trọng tâm tam giác ABC thì G: 1 x (x x x ) B G A C 3 1 y (y y y ) B G A C 3 1 z (z z z ) B G A C 3  = + +    = + +    = + +   • Tích có hướng của 2 véc tơ : [ a → , b → ] = a a a a a a 2 3 3 1 1 2 ; ; b b b b b b 2 3 3 1 1 2    ÷  ÷   * [ a → , b → ] ⊥ a → ; [ a → , b → ] ⊥ b → • Đk đồng phẳng của 3 véc tơ : a → , b → , c → đồng phẳng ⇔ [ a → , b → ]. c → = 0 • ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB → , AC → , AD → không đồng phẳng <=> [ AB → , AC → ]. AD → ≠ 0 • Diện tích tam giác ABC : S ABC = 2 1 2 2 AB AC (AB.AC) 2 → → − Hoặc S ABC = 2 1 .[ AB → , AC → ] • Thể tích tứ diện ABCD : V ABCD = 1 6 [ AB → , AC → ]. AD →  • Thể tích hình hộp : V ABCD.A'B'C 'D' = [ AB → , AD → ]. AA → ′  Bài tốn 1:Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học . Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ : Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện: Phần 3: Mặt cầu. Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là : (x −a) 2 + (y − b) 2 + (z−c ) 2 = R 2 Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S): x 2 + y 2 + z 2 + 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 −D > 0 có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = 2 2 2 A B C D+ + − Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) + Bán kính R = IM 1 = 2 2 2 (x a) (y b) (z c) 1 1 1 − + − + − • Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : + Tâm I là trung điểm AB => I( x x B A 2 + ; y y B A 2 − ; z z B A 2 − ) + Bán kính R = IA • Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S) x 2 + y 2 + z 2 + 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1) Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α) bán kính R = d(I; (α)) Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng (α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a) 2 + (y−b) 2 +(z−c) 2 = R 2 Tính d(I; (α)) = ? Nếu:• d(I; α ) > R <=> α và S không có điểm chung ( rời nhau) • d(I; α ) = R <=> α tiếp xúc với S ( α là mp tiếp diện) (α) ∩ (S) ={M 0 } ; Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M 0 nhận → IM 0 làm VTPT • d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) tâm H; bán kính r * P.t đ.tròn (C ) A x + B y + Cz +D = 0 (x −a) 2 + (y−b) 2 + (z−c) 2 = R 2 + Tâm H là hình chiếu của I lên mp α + bán kính r = 2 2 R [ ; )]− α d(I Cách xác đònh H: + Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận → α n làmVTCP (d) x a At y b Bt z c Ct = +   = +   = +  thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M 0 : +) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) +) Tính → IM 0 +) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M 0 nhận → IM 0 làm VTPT. Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S)và mặt phẳng(α). + bán kính r = 2 2 R [ ; )]− α d(I Cách xác đònh H: + Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận → α n làmVTCP (d) x a At y b Bt z c Ct = +   = +   = +  thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng. Bài tốn 1: các viết phương trình mặt phẳng: * (ABC): +) tính AB ? ; AC ?= = uuur uuur +) VTPT của (ABC) là n [AB,AC]= r uuur uuur => viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n r . * (a,b) : nếu a//b thì VTPT a n [u ,AB]= r uur uuur với A∈ a; B ∈ b. Nếu a cắt b thì a b n [u ,u ]= r uur uur *(A;a) thì VTPT a n [u ,AB]= r uur uuur với B∈ a. * (α) //(β) thì VTPT n n α β = uur uur * (α) ⊥a thì VTPT a n u α = uur uur * (α) có hai vectơ chỉ phương a,b r r thì n [a,b] α = uur r r . *(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP a r thì a n [u ,AB] α = uur uur uuur ( thay a u uur = a r ) *(α) vng góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT P Q n [n ,n ] α = uur uur uuur * Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. +) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB. +) Tính vectơ AB uuur . Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB uuur . * (α) song song đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng thì a n [n ,u ] α β = uur uur uur . * (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β) . +) chọn M trên đ.thẳng (D). +) VTPT của (α) là D n [u ,n ] α β = uur uuur uur * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d / ). +) chọn M trên đ.thẳng (d). +) VTPT của (α) là / P d d n [u ,u ]= uur uur uuur => Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT / P d d n [u ,u ]= uur uur uuur Bài tốn 2 viết phương trình đường thẳng. *∆ đi qua điểm A và có VTCP u r * ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A có VTCP AB uuur . *∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A có VTCP D u uuur . *∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là n α uur . * ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) thì +) VCTP của ∆ là u [n ,n ] α β = r uur uur . +) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn còn lại tìm điểm M? => ∆ đi qua M có VTCP là u [n ,n ] α β = r uur uur u [n ,n ] α β = r uur uur * ∆ là hình chiếu của đ.thẳng (D) lên mp (β) *) Viết phương trình mp(P) chứa (D) và vng góc mp(β) +) chọn M trên đ.thẳng (D). +) VTPT của (α) là P D n [u ,n ] β = uur uuur uur * ) VTCP của ∆ là P u [n ,n ] ∆ β = uur uur uur * ) cho một ẩn x = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai mặt phẳng (P) và (β)=> M? => ∆ đi qua M có VTCP P u [n ,n ] ∆ β = uur uur uur * Cách viết phương trình đường cao AH của ∆ABC. +) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC]= r uuur uuur = ?. +) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u [BC,n]= r uuur r = ? => Viết PT đường cao AH đi qua A có VTCP u [BC,n]= r uuur r . * Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ∆ABC. +) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC]= r uuur uuur = ?. +) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u [BC,n]= r uuur r = ?. +) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC. => Đường trung trực cạnh BC của ∆ABC là đường thẳng đi qua M có VTCP u [BC,n]= r uuur r . i tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng. * Tìm hình chiếu H của M lên (α) +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là n α uur . +) giải hệ gồm PTmp( ) PT(D) α    +) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên. * Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D). +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là D u uuur . +) giải hệ gồm PTmp( ) PT(D) α    +) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên. Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A / đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp * Đối xứng qua mp(α) +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là n α uur . +) giải hệ gồm PTmp( ) PT(D) α    +) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên. +) Tọa độ điểm đối xứng A / : x 2x x H / A y 2y y H / A z 2z z H / A  = −   = −   = −   * Đối xứng quađường thẳng (D). +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là D u uuur . +) giải hệ gồm PTmp( ) PT(D) α    +) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên. +) Tọa độ điểm đối xứng A / : x 2x x H / A y 2y y H / A z 2z z H / A  = −   = −   = −   Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp. * Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q). (P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A / x + B / y + C / z + D / = 0 với n → =(A;B;C) và n → ′ =(A / ; B / ; C / ) (P) ≡ (Q) <=> A / A = B / B = C / C = D / D (P) // (Q)<=> A / A = B / B = C / C ≠ D / D (P) cắt (Q)<=> A / A ≠ B / B ∨ B / B ≠ C / C ∨ C / C ≠ A / A Chú ý :• α ⊥ α / <= > n → . n → ′ = 0 <=> AA / + BB / + CC / = 0 • α cắt α / <=> n → và n → ′ không cùng phương * vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Xác định các VTCP u → =(a;b;c) , / u → =(a / ;b / ; c / ) ;Tính [ u → , / u → ] Nếu :[ u → , / u → ]= 0 → +) chọn M 1 ∈(d 1 ). Nếu M 1 ∉ d 2 thì d 1 // d 2 Nếu M 1 ∈(d 2 ) thì d 1 ≡ d 2 Nếu [ u → , / u → ] ≠ 0 → . Ta giải hệ { 1 2 d d= theo t và t / (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ). +) hệ có nghiệm duy nhất t và t / thì d 1 cắt d 2 => giao điểm. +) nếu hệ VN thì d 1 chéo d 2 * Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).