trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập 41, số 4A-2012 85 PHáT TRIểN TƯ DUY Và NGÔN NGữ TOáN HọC CHO HọC SINH KHá GIỏI TRONG DạY HọC CHủ Đề DIệN TíCH HìNH TAM GIáC ở TOáN 5 Thái Huy Vinh (a) Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số cách hớng dẫn cho học sinh tiểu học vận dụng công thức tính diện tích hình tam giác trong sách giáo khoa Toán 5 để chứng minh, mở rộng một số định lý hình học quan trọng ở Trung học cơ sở và một số bài toán nâng cao nhằm phát triển t duy và ngôn ngữ toán học cho học sinh. 1. Mở đầu Hình học ở Tiểu học là hình học trực quan, việc hình thành các biểu tợng hình học và xác định tính chất của các hình chủ yếu dựa trên hình ảnh quan sát trực tiếp, thực hành, thực nghiệm; khác với hình học ở Trung học cơ sở (THCS) là hình học nửa trực giác, nửa suy diễn. Tuy nhiên, đối với học sinh (HS) lớp 5, trình độ ngôn ngữ và t duy toán học của các em đã có bớc phát triển; do đó, giáo viên (GV) cần quan tâm đúng mức đến việc phát triển khả năng t duy và ngôn ngữ toán học (NNTH) cho HS. Trong bài báo này chúng tôi bàn đến cách hớng dẫn HS xuất phát từ công thức tính diện tích hình tam giác trong Toán 5, chứng minh, mở rộng các bài toán mà thực chất đó là nội dung một số định lí hình học ở THCS và một số bài toán nâng cao bằng công cụ và NNTH ít ỏi, sơ giản ở Tiểu học để góp phần rèn luyện và phát triển năng lực t duy lôgic; lập luận có căn cứ; trình bày, diễn đạt chính xác, chặt chẽ, mạch lạc cho HS lớp 5. 2. Nội dung các bài toán 2.1. Bài toán 1. Cho M, N, P lần lợt là trung điểm cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng tỏ rằng ba đoạn thẳng AM, BN, CP cắt nhau tại một điểm nằm ở 2 3 của mỗi đờng kể từ đỉnh (Định lí về tính chất ba đờng trung tuyến của một tam giác Phần Hình học lớp 7 Tập 2 - NXB Giáo dục năm 2004) (xem Hình1). Hớng dẫn (HD) cho HS cách giải: Trớc hết GV cần HD cho HS vẽ hình, hiểu nội dung Bài toán, chú ý cụm từ ở 2 3 mỗi đờng kể từ đỉnh; sau đó GV dùng phơng pháp phân tích đi lên để hớng dẫn HS tìm tòi lời giải; chẳng hạn, GV có thể đặt các câu hỏi: Muốn chứng tỏ AG = 2 3 AM ta làm nh thế nào? Giả sử AG = 2 3 AM thì diện tích tam giác nào bằng 2 3 diện tích tam giác nào? Nhận bài ngày 27/6/2012. Sửa chữa xong ngày 05/11/2012. 4 3 2 1 G B C P N A M Hình 1 Thái Huy Vinh PHáT TRIểN TƯ DUY Và NGÔN NGữ TOáN HọC, TR. 85-91 86 Để chứng tỏ S AGC = 2 3 S AMC ta làm nh thế nào? Muốn so sánh diện tích hai tam giác ta căn cứ vào những yếu tố nào? (đáy và chiều cao tơng ứng). Hai tam giác này có cái gì chung rồi? (đờng cao hạ từ C); nếu S AGC = 2 3 S AMC thì S AGC bằng mấy lần S GMC ? (hai lần); nếu S AGC = 2 S GMC thì S 2, S 3 , S 4 nh thế nào? (bằng nhau); nhìn vào hình vẽ trong Bài toán này thì ta thấy S 1 và S 2 , S 3 và S 4 nh thế nào với nhau? (bằng nhau); nh vậy, ta chỉ cần so sánh S 1 với S 3 hoặc S 4 , hay S 2 với S 3 hoặc S 4 (trong trờng hợp này ta so sánh S 1 với S 4 ); muốn so sánh S 1 với S 4 ta làm nh thế nào? Giả sử S 1 = S 4 thì ta có điều gì? (S AMC = S BNC ); muốn chứng tỏ S AMC = S BNC ta làm nh thế nào? (so sánh diện tích các tam giác này với diện tích tam giác ABC) S AMC và S BNC bằng mấy phần S ABC ? (bằng 1 2 ),Từ đó, dẫn dắt HS tìm ra lời giải. Vấn đề quan trọng nữa là GV cần HD cho HS trình bày lời giải (GV thờng dùng phơng pháp ngợc lại với phơng pháp phân tích gọi là phơng pháp tổng hợp). Với cách HD nh thế này, phát huy rất tốt năng lực t duy toán học và rèn luyện kĩ năng trình bày, lập luận, biểu đạt cho HS. Từ đó, ta có thể HD cho HS trình bày lời giải Bài toán này nh sau: Giả sử AM cắt BN ở G. Ta cần chứng tỏ: GA = 2 3 AM và GB = 2 3 BN. Kí hiệu S, S 1, S 2, S 3 , S 4 lần lợt là diện tích tam giác ABC, BGM, MGC, CGN, NGA. Ta có: S 1 = S 2 (1) (vì có đáy MB = MC và có chung đờng cao hạ từ G), S 3 = S 4 (2) (vì có đáy NC = NA và có đờng cao chung hạ từ G), S AMC = 1 2 S ABC (vì MB = MC nên MC = BC và có chung đờng cao hạ từ A), S BNC = 1 2 S ABC (vì NA = NC nên NC = 1 2 AC và có chung đờng cao hạ từ B). Suy ra S AMC = S BNC ; nhng hai tam giác này có phần chung S 2 và S 3 , nên S 1 = S 4 ,kết hợp (1) và (2) ta có: S 1 = S 2 =S 3 =S 4 ; do đó: S AGC = 2 3 S AMC ; mà hai tam giác này có chung đờng cao hạ từ C, nên AG = 2 3 AM. Từ cách lập luận chứng tỏ AG = 2 3 AM, GV hớng dẫn cho HS chứng tỏ BG = 2 3 BN và CG = 2 3 CP gọi là phép tơng tự và HD cho HS cách trình bày (trong trờng hợp này đợc trình bày là: Tơng tự ta có S BGC = 2 3 S BNC; do đó, suy ra: BG = 2 3 BN). Cái khó của HS lớp 5 ở Bài toán này là làm sao chứng tỏ đợc AM, BN và CP trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập 41, số 4A-2012 87 cùng đi qua điểm G. Muốn chứng tỏ AM, BN và CP cùng đi qua điểm G ta làm thế nào? GV cần HD cho HS tự phát hiện và nêu vấn đề. Giả sử CP cắt AM ở G 1 ,bằng cách tơng tự nh trên ta có CG 1 = 2 3 CP; AG 1 = 2 3 AM, kết hợp với AG = 2 3 AM, suy ra G 1 trùng với G. Vậy, ba đoạn thẳng AM, BN, CP cắt nhau tại một điểm nằm ở 2 3 mỗi đờng kể từ đỉnh. Từ Bài toán 1, ta có thể HD cho HS các cách phát biểu khác tơng đơng, chẳng hạn: Gọi M là trung điểm của cạnh BC, G là điểm sao cho GM = 1 3 AM; BG cắt AC tại N chứng tỏ N là trung điểm của cạnh AC; CG cắt AB tại P chứng tỏ P là trung điểm của cạnh AB. Trong Bài toán 1, hãy nối M với N, N với P, P với M và so sánh diện tích các tam giác APN, CMN, BMP: Dễ thấy S BMP = 1 2 S ABM = 1 4 S ABC , tơng tự ta có: S CMN = S APN = 1 4 S ABC . Vậy 3 tam giác đó có diện tích bằng nhau và đều bằng 1 4 diện tích tam giác ABC. Ta có bài toán tổng quát: Cho M, N, P tơng ứng là các điểm trên các cạnh BC, AC, AB sao cho AP = m n AB, BM = m n BC, CN = m n CA (với m, n là số tự nhiên khác 0 và m n <1). Hãy so sánh diện tích các tam giác: APN, CMN, BMP với diện tích tam giác ABC. Tóm tắt cách giải: ta thấy AP = m n AB, nên PB = n m n AB và S BMP = m n n S ABM ; mà S ABM = m n S ABC ; do đó, diện tích tam giác BMP bằng m n n x m n = x(n-m) x m n n diện tích tam giác ABC. Tơng tự ta có diện tích các tam giác CMN, APN cũng đều bằng x(n-m) x m n n diện tích tam giác ABC. Cũng từ Bài toán 1, ta có thể mở rộng và khái quát thành bài toán: Cho AP = 1 n AB, BM = 1 n BC, CN = 1 n AC (với n nguyên dơng lớn hơn 1); giả sử AM cắt BN ở G, BN cắt CP ở E, AM cắt CP ở F, thế thì: AG AM = BE BN = CF CP = x 1 nxn n n n n + . 2.2. Bài toán 2. Chứng tỏ rằng: Đờng thẳng đi qua điểm M là trung điểm của cạnh AB của tam giác ABC và song song với cạnh BC thì sẽ đi qua N trung điểm Thái Huy Vinh PHáT TRIểN TƯ DUY Và NGÔN NGữ TOáN HọC, TR. 85-91 88 của cạnh AC và MN = 1 2 BC. (Định lí về tính chất đờng trung bình của một tam giác Hình học 8 Tập 1 NXB Giáo dục, 2004) (xem Hình 2a và 2b). Hớng dẫn cách giải: a. Giả sử đờng thẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB và song song với BC cắt AC ở N, ta cần chứng tỏ: NA = NC. Thật vậy; ta có S CMB = 1 2 S ABC (vì có MB = MA hay MB = 1 2 AB và chung đờng cao hạ từ C); BMNC là hình thang (vì MN song song với BC) nên S CMB = S BNC (chung đáy BC và các đờng cao hạ từ M, N bằng nhau), do đó: S BNC = 1 2 S ABC , mặt khác hai tam giác này có chung đờng cao hạ từ B nên suy ra: NC = 1 2 AC hay NA = NC. b. Chứng tỏ MN = 1 2 BC. Ta có: S CMN = 1 2 S AMC (vì NC = 1 2 AC và chung đờng cao hạ từ M). Mà S AMC = S BMC (đáy MA = MB và chung đờng cao hạ từ C), nên S CMN = 1 2 S BMC và có đờng cao hạ từ C và M bằng nhau, do đó: MN = 1 2 BC. Bây giờ ta có thể xem xét vấn đề ngợc lại đó là đờng thẳng đi qua các trung điểm M, N của AB, AC của tam giác ABC thì có song song với BC không? Lấy P là trung điểm cạnh BC, nối P với M, N, A. Ta có có S CNP = 1 2 S ACP (1) (Vì NC = 1 2 AC và chung đờng cao hạ từ P); S BMP = 1 2 S ABP (2) (vì MB = 1 2 AB và chung đờng cao hạ từ P), từ (1) và (2) ta có: S CNP = S BMP mà hai tam giác này có đáy PB = PC, nên đờng cao MH và NK phải bằng nhau, nghĩa là MH = NK hay MNKH là hình chữ nhật, hay MN song song với HK hay MN song song với BC. Vấn đề đã đợc giải quyết. B C N M A Hình 2a B C N M A P H K Hình 2b trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập 41, số 4A-2012 89 B C N M A Hình 3 2.3. Bài toán 3. Một đờng thẳng song song với cạnh BC, cắt các cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lợt tại M và N. Chứng tỏ rằng: AM AB = AN AC ; AM MB = AN NC ; MB AB = NC AC (Định lí Talét Hình học 8 Tập 2 - NXB Giáo dục, 2004). Hớng dẫn giải: (xem hình 3) Do MN song song với BC, nên ta có: S BMC = S BNC (vì chung đáy BC và các đờng cao hạ từ M, N xuống BC bằng nhau) và suy ra: S ABN = S ACM (vì đều bằng S ABC trừ đi S BMC hoặc S BNC ). AM AB = CAM CAB S S = BAN BAC S S = AN AC ; AM MB = CMA CMB S S = BNA BNC S S = AN NC ; MB AB = CBM CAB S S = BCN BAC S S = NC AC . Ngoài ra, ta còn có: AM AB = AN AC = MN BC bằng cách hớng dẫn HS lập luận tơng tự. 2.4. Bài toán 4. Từ đỉnh A của một tứ giác lồi ABCD, hãy kẻ một đờng thẳng chia tứ giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hớng dẫn giải: (xem hình 4a và 4b) Ta có thể đa diện tích tứ giác ABCD về thành diện tích tam giác AGD bằng cách từ B kẻ BG song song với AC. Ta có: S AOB = S COG (S ABG = S CBG vì có đáy BG chung và các đờng cao hạ từ A và C bằng nhau, lại có phần S OBG chung) nên S ABCD = S AGD. Lấy I trung điểm DG; ta có: S AID = 1 2 S AGD hay S AID = 1 2 S ABCD. Vậy AI là đờng thẳng cần kẻ (Hình 4 a). ở trên I là điểm nằm giữa hai điểm C và D. Còn nếu I là điểm nằm giữa hai điểm C và G thì sao? Gặp trờng hợp này ta giải quyết nh sau: Từ I kẻ IK song song AC (K thuộc BC và AI cắt KC ở E). Tơng tự nh trên ta có: S AKE = S CIE nên S AKCD = S AID = 1 2 S AGD = 1 2 S ABCD . Hình 4b Hình 4a Thái Huy Vinh PHáT TRIểN TƯ DUY Và NGÔN NGữ TOáN HọC, TR. 85-91 90 Vậy AK là đờng thẳng phải kẻ (Hình 4b). Từ Bài toán 4 có thể mở rộng thành Bài toán 5. 2.5. Bài toán 5. Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh (không trùng với đỉnh) của một tứ giác lồi ABCD, hãy kẻ một đờng thẳng chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau (xem hình 5). Cách giải bài toán này phức tạp hơn, nhng với cách làm tơng tự nh Bài toán 4 ta có thể HD cho HS thực hiện các bớc sau đây: Giả sử M nằm trên cạnh AD. Bớc 1: Chuyển diện tích tứ giác ABCD thành diện tích tam giác AGD nh Bài toán 4. Bớc 2: Đa về Bài toán: Từ một điểm M trên cạnh AD của tam giác AGD, kẻ một đờng thẳng chia tam giác này ra 2 phần có diện tích bằng nhau: Lấy I là trung điểm của cạnh AD, nối M với G; từ I kẻ IK song song với GM, nối M với K, I với G, MK cắt GI ở O, ta thấy S MOI = S KOG (vì S GIM = S MKG do hai tam giác này chung đáy MG, hai đờng cao hạ từ I, K xuống đáy MG bằng nhau và có chung phần diện tích OMG). Ta có: S DMK = S DIG , mà S DIG = 1 2 S AGD = 1 2 S ABCD , vậy MK là đờng cần tìm. Từ các Bài toán 4, 5 ta có thể khái quát thành Bài toán: Từ một điểm M bất kỳ trên đỉnh hoặc trên cạnh của một đa giác lồi, hãy kẻ một đờng thẳng chia đa giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Từ những bài toán trên ta có thể tìm kiếm và sáng tác nhiều bài toán khó và hay xung quanh chủ đề diện tích hình tam giác, mà trong khuôn khổ bài viết này chúng tôi cha có điều kiện nêu ra. Qua việc HD cho HS giải và khai thác các bài tập nh trên sẽ rèn luyện cho HS kỹ năng quan sát, nhìn nhận hình hình học trên nhiều khía cạnh khác nhau; cách so sánh độ dài, tỉ lệ độ dài các đoạn thẳng qui về so sánh diện tích các tam giác; quan hệ giữa diện tích, đáy và đờng cao của một tam giác và các tam giác, đó là, những hoạt động cần thiết để rèn luyện, phát triển t duy và NNTH cho HS. Tuy nhiên, khi hớng dẫn HS cần lu ý sử dụng đúng lúc, đúng chỗ các thuật ngữ: suy ra, do đó, cho nên, mặt khác, kết hợp, mà, ta có, tơng tự, dễ thấy, và các thuật ngữ này phải dùng phù hợp với HS tiểu học. Cha dùng thuật ngữ chứng minh mà dùng thuật ngữ chứng tỏ hoặc giải thích hoặc so sánh; cha dùng thuật ngữ dựng hình mà chỉ dùng thuật ngữ kẻ hoặc vẽ; cha dùng thuật ngữ và kí hiệu bình phơng của một số (ví dụ: n 2 thì viết là n x n); cha dùng kí hiệu hai đờng thẳng song song, vuông góc. Cũng nh các phép biến đổi, thực hiện các phép tính bằng số và trên các biểu thức có chứa chữ đợc vận dụng trong phạm vi kiến thức, NNTH ở Tiểu học. Hình 5 trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập 41, số 4A-2012 91 3. Kết luận Qua thực tế giảng dạy và bồi dỡng HS giỏi Toán lớp 5, chúng tôi nhận thấy rằng, việc khai thác, đào sâu, mở rộng, khái quát các bài toán xung quanh phần tính diện tích hình tam giác là những bài toán hay, hấp dẫn và đây cũng là một cơ hội tốt để kết hợp ngôn ngữ các yếu tố hình học với biểu thức chứa chữ và các phép tính giải quyết các bài toán trên; hớng dẫn HS tìm tòi lời giải và cách trình bày, lập luận, biểu đạt có căn cứ là biện pháp tích cực, hữu hiệu để rèn luyện, phát triển năng lực t duy và NNTH cho HS, nhất là đối với HS học khá giỏi về môn Toán. TàI LIệU THAM KHảO [1] Nguyễn á ng, Nguyễn Hùng, Một trăm bài toán về chu vi và diện tích các hình lớp 4,5; NXB Giáo dục, Hà Nội, 1995. [2] Phạm Đình Thực, Một câu hỏi và đáp về việc dạy Toán ở tiểu học, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2004. [3] Phạm Đình Thực, Giảng dạy các yếu tố hình học, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005. [4] Đỗ Đình Hoan (chủ biên), Toán 5, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005. summary DEVELOPING MATHEMATICAL THINKING AND LANGUAGE FOR strong pupils in TEACHING AREA OF A TRIANGLE IN MATHEMATICS PROGRAMME FOR THE 5 th FORM In the article, we have presented several ways of instructing primary school pupils to apply the formula for calculating the area of a triangle in the mathematics textbook for the 5 th form to prove, expand some essential geometric theorems at primary schools and some advanced mathematical problems to develop mathematical thinking and language for the pupils. (a) Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An.