1 MỞ ĐẦU BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Lý chọn ñề tài Số học lĩnh vực cổ xưa toán học lĩnh vực tồn nhiều tốn khó, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn tốn học nảy sinh Vì thế, việc trang bị kiến thức số PHẠM THỊ LƯƠNG học cho học sinh từ trường phổ thông cần thiết Tuy nhiên, chương trình số học trường phổ thơng nay, mơn số học chưa giành nhiều thời gian, mà học sinh thường tỏ lúng túng giải tốn số học, đặc biệt tốn PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE: LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP kỳ thi học sinh giỏi Một số toán số học thường gặp trường phổ thơng là: Phương trình Diophante (Phương trình vơ định) - phương trình đại số (một hay nhiều ẩn số) với hệ số nguyên, nghiệm tìm tập hợp số ñó tập số nguyên, tập số nguyên dương, tập số hữu tỷ Một cách ngắn gọn, phương trình Diophante có dạng tổng qt: Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 P( x1 , x2 , x3 , , xn ) = P ña thức nhiều biến với hệ số nguyên Tác giả chọn đề tài: “Phương trình Diophante: Lý thuyết phương pháp” với mong muốn tìm hiểu lý thuyết phương trình Diophante phương pháp để giải phương trình Diophante Trong khn khổ luận văn, tác giả cố gắng trình bày lý thuyết TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC cách ñầy ñủ, súc tích, dễ hiểu (ñối với ña số học sinh THPT chuyên) ñưa phương pháp ñể vận dụng giải dạng phương trình Diophante thường gặp Tác giả hy vọng luận văn ñược sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên Đà Nẵng - Năm 2011 học sinh trường THPT 3 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu CHƯƠNG Trình bày đọng số kiến thức có liên quan NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN Nêu cách tổng quát dạng phương trình Diophante Xây dựng phương pháp giải phương trình Diophante Tuyển chọn xây dựng hệ thống tốn (theo mức độ khó dễ khác nhau) phù hợp với phương pháp Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.1 Nhắc lại số khái niệm kí hiệu 1.1.1 Số tự nhiên 1.1.2 Số nguyên 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình Diophante 1.1.3 Các phép tính số nguyên: Cộng, trừ, nhân, chia 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp giải 1.1.4 Định nghĩa 1.4: Nếu a b số nguyên tổ hợp tuyến phương trình Diophante Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu thu thập tài liệu có liên quan đến đề tài tính với hệ số nguyên a b tổng có dạng ma + nb; đó, m, n số nguyên (ñược gọi hệ số tổ hợp tuyến tính) luận văn để phân tích, giải thích, đánh giá, tổng hợp kết có 1.2 Phép chia hết phép chia có dư tài liệu khoa học ñã sưu tập ñược 1.2.1 Định nghĩa 1.5: Cho a, b số nguyên b ≠ Ta nói: a Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài chia hết cho b có số nguyên q cho a = bq Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh chun tốn, nhằm mục đích phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh giáo viên trình dạy học tốn Cấu trúc luận văn Luận văn xây dựng gồm nội dung sau: Kí hiệu a M b hay b a Khi a M b ta nói b ước a Ta cịn nói b chia hết a 1.2.2 Thuật toán chia: Cho a , b số ngun b > Khi đó, tồn số nguyên q r cho a = bq + r với Mở ñầu ≤ r < b Ta gọi a số bị chia, b số chia, q thương số r Chương 1: Những kiến thức liên quan phần dư phép chia a cho b Như vậy, a M b ⇔ r = Chương 2: Tổng quan phương trình Diophante 1.2.3 Các định lý chia hết Chương 3: Phương pháp toán Kết luận 1.2.3.1 Định lý 1.6: Nếu số a1 , a2 , , an chia hết cho b tổng a1 + a2 + + an chia hết cho b 5 1.2.3.2 Định lý 1.7: Nếu hai số a b chia hết cho c hiệu a − b b − a ñều chia hết cho c chia hết số nghĩa b ai với i ∈ {1,2, , n} 1.3.1.4 Định nghĩa 1.18: Một ước chung d n số nguyên 1.2.3.3 Định lý 1.8: Nếu số chia hết cho bi (1 ≤ i ≤ n) tích a1 , a2 , , an khơng đồng thời ñược gọi ước chung lớn a1a2 an chia hết cho tích b1b2 bn a1 , a2 , , an ước chung b số ước d 1.2.3.4 Hệ 1.9: Nếu a chia hết cho b a n chia hết cho b n với Ước chung lớn n số nguyên a1 , a2 , , an ñược ký hiệu n ∈ 1.2.4 Các tính chất 1.2.4.1 Tính chất 1.10: Nếu a M b b M c a M c 1.2.4.2 Tính chất 1.11: Nếu a M c b M c ma + nb M c với m, n ∈ ( a1 , a2 , , an ) 1.3.2 Các tính chất 1.3.2.1 Tính chất 1.21: Cho a, b, q, r số nguyên, a + b ≠ Nếu a = bq + r ( a , b) = (b, r ) 1.3.2.2 Tính chất 1.22: Cho a , b số nguyên, d = ( a, b) 1.3 Ước số chung lớn  d a  Khi đó, ta có: d = ( a, b) ⇔ d b  a b  ,  =  d d  1.3.1 Các ñịnh nghĩa 1.3.2.3 Định lý 1.23: Cho a , b số ngun khơng đồng thời 1.2.4.3 Tính chất 1.12: Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n ( n ≠ ) 1.2.5 Vận dụng 1.3.1.1 Định nghĩa 1.15: Một số nguyên c ñược gọi ước Khi đó, d = ( a, b ) tồn chung hai số ngun a b khơng đồng thời c d = am + bn chia hết a c chia hết b (c a c b) 1.3.2.4 Hệ 1.26: ( a , b ) = tồn số nguyên 1.3.1.2 Định nghĩa 1.16: Một ước chung d hai số nguyên a m n cho ma + nb = b khơng đồng thời ñược gọi ước chung lớn a 1.3.3 Thuật toán Ơ-clit b ước chung c a b ñều ước d Ước chung lớn a b kí hiệu ( a , b ) 1.3.1.3 Định nghĩa 1.17: Một số nguyên b ñược gọi ước số chung n số nguyên a1 , a2 , , an khơng đồng thời b m, n ∈ Z cho (Thuật tốn tìm ước chung lớn hai số nguyên dương) Giả sử: r0 = a, r1 = b số nguyên, b > Ta áp dụng liên tiếp thuật toán chia: rj = rj +1 q j +1 + rj + với ≤ rj + < rj +1 nhận ñược phần dư r1 > r2 > ñến lần ñầu tiên nhận ñược phần dư Mỗi số tự nhiên lớn ñều biểu diễn ñược cách rn = (2 ≤ n ∈ ; < rj + < rj +1 ≤ j < n − 2) Khi đó, (a, b) = rn −1 dạng tích thừa số ngun tố, thừa số (phần dư khác cuối dãy phép chia thuật tốn) ngun tố viết theo thứ tự không giảm 1.4 Số nguyên tố 1.4.3.4 Dạng phân tích tắc 1.4.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.46: Một số tự nhiên a > ñược viết dạng: 1.4.1.1 Định nghĩa 1.32: Số nguyên tố số nguyên dương lớn a = p1a1 p2 a2 pn an , p1 , p2 , , pn số nguyên tố phân biệt có hai ước số dương 1.4.1.2 Định nghĩa 1.34: Hợp số số lớn có nhiều hai a1 , a2 , , an số tự nhiên lớn gọi dạng phân tích tắc số tự nhiên a 1.4.3.5 Vận dụng ước số 1.5 Quan hệ ñồng dư 1.4.1.3 Định nghĩa 1.36: Các số nguyên a b ñược gọi nguyên 1.5.1 Đồng dư thức tố ( a , b ) =1 1.5.1.1 Định nghĩa 1.56: Cho số nguyên m > Nếu hai số nguyên a 1.4.2 Các tính chất b có số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo 1.4.2.1 Tính chất 1.38: Nếu p số nguyên tố, a số modun m, kí hiệu a ≡ b (mod m) nguyên a chia hết cho p a nguyên tố với p 1.5.1.2 Định lý 1.57: a ≡ b (mod m) ⇔ a − bM m 1.4.2.2 Tính chất 1.39: Nếu số nguyên tố p chia hết tích 1.5.1.3 Các phép tốn đồng dư thức: nhiều số p chia hết thừa số tích n n ∑a ≡ ∑b 1.4.2.3 Tính chất 1.40: Nếu a, b, c số nguyên dương a) Phép cộng: Nếu ≡ bi (mod m) (1 ≤ i ≤ n) ( a , b ) =1, a bc a c b) Phép trừ: Nếu a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) a − c ≡ b − d (mod m) 1.4.3 Các ñịnh lý c) Phép nhân: 1.4.3.1 Định lý 1.41: Ước nhỏ lớn số tự nhiên Nếu a1 ≡ b1 (mod m), a2 ≡ b2 (mod m), , ≡ bi (mod m), , an ≡ bn (mod m) lớn số nguyên tố a1a2 an ≡ b1b2 bn (mod m), ∀n ≥ 1.4.3.2 Định lý 1.42: Tập hợp số nguyên tố vô hạn 1.4.3.3 Định lý 1.43: (Định lý số học) i =1 d) Phép nâng lũy thừa: Nếu a ≡ b (mod m) ∀ n ∈ * + ta có a n ≡ b n (mod m) i i =1 i (mod m) 9 10 1.5.2 Vân dụng kí hiệu là: [a0 ; a1 , a2 , , an ] Khi n = 0, ta có [ a0 ] = a0 (liên phân số độ 1.5.2.1: Ví dụ 1.61: Chứng minh n khơng chia hết cho dài 0) Liên phân số [a0 ; a1 , a2 , , an ] ñược gọi ñơn ( ak )k = ⊂ n 32 n + 3n + 1M13 1.6.2.2 Định lý 1.66: Mỗi số hữu tỉ ñều ñược biểu diễn dạng 1.5.2.2 Ví dụ 1.62: (Đề thi vơ địch tốn quốc tế năm 1964) liên phân số đơn hữu hạn a) Tìm tất số tự nhiên n ñể n − 1M7 1.6.3 Giản phân b) Chứng minh rằng, với n ∈ , n + không chia hết cho 1.6.3.1 Định nghĩa 1.69: Liên phân số [ a0 ; a1 , a2 , , ak ] , với k 1.6 Liên phân số số nguyên không âm không vượt n, ñược gọi giản phân thứ k liên phân số [ a0 ; a1 , a2 , , an ] , kí hiệu 1.6.1 Nhắc lại số hữu tỷ số vô tỷ 1.6.1.1 Định nghĩa 1.63: Số thực α ñược gọi số hữu tỷ a b α = , a, b số nguyên, b ≠ Nếu α số hữu tỷ ta nói α số vơ tỷ 1.6.1.2 Định lý 1.64: Nếu α , β số hữu tỷ α + β , α − β , αβ , α ( β ≠ ) số hữu tỷ β 1.6.3.2 Định lí 1.70: Cho liên phân số hữu hạn [ a0 ; a1 , a2 , , an ] , xét hai dãy ( pk )k = ( qk )k =0 ñược ñịnh nghĩa sau n n p0 = a0 q0 = p1 = a0 a1 + q1 = a1 pk = ak pk −1 + pk − 1.6.2.1 Định nghĩa 1.65: Liên phân số hữu hạn có độ dài n (n ∈ ) qk = ak qk −1 + qk − Khi đó, giản phân thứ k liên phân số Ck = [ a0 ; a1 , a2 , , ak ] ñược tính bởi: Ck = biểu thức có dạng: a1 + 1.6.3.3 Định lí 1.72: Cho C k a2 + O + [ a0 ; a1 , a2 , , an ] với an −1 + an đó, ( ak )k = ⊂ , a1 > 0, a2 > 0, , an > Liên phân số n tính giản phân cho ñịnh lý sau: … 1.6.2 Liên phân số hữu hạn a0 + Ck Công thức [ a0 ; a1 , a2 , , an ] pk (0 ≤ k ≤ n, k ∈ ) qk giản phân thứ k (1 ≤ k ≤ n) pk , qk định nghĩa định lí 1.37 Khi pk qk −1 − pk −1 qk = (−1)k −1 với ≤ k ≤ n Từ ñó suy ( pk , qk ) = 11 1.6.3.4 Hệ 1.74: Cho Ck = 12 pk giản phân thứ k liên phân qk CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE số [ a0 ; a1 , a2 , , an ] Khi đó: 2.1 Phương trình Diophante bậc Ck − Ck −1 a (−1) k (−1) k −1 với ≤ k ≤ n, Ck − Ck − = k = qk qk −1 qk qk − với ≤ k ≤ n 2.1.1 Phương trình Diophante bậc hai ẩn (Phương trình Diophante tuyến tính) 1.6.3.5 Định lí 1.75: Cho C k giản phân thứ k liên phân số [ a0 ; a1 , a2 , , an ] Khi đó: 2.1.1.1 Định nghĩa 2.1: C1 > C3 > C5 > C0 < C2 < C4 < ñồng thời giản phân số dạng: ax + by = c Phương trình Diophante bậc hai ẩn phương trình có lẻ lớn giản phân số chẵn với a, b, c số nguyên; x, y hai ẩn số nguyên phương trình 1.6.4 Liên phân số vơ hạn 1.6.4.1 Định lí 1.76: Cho a0 , a1 , a2 , dãy số nguyên ñó a1 , a2 , số dương Với số nguyên k , ñặt Ck = [ a0 ; a1 , a2 , , ak ] Khi đó, tồn giới hạn hữu hạn lim Ck = α k →∞ Vậy, α = [ a0 ; a1 , a2 , ] 1.6.4.2 Định lí 1.77: Cho a0 , a1 , a2 , dãy số ngun a1 , a2 , số dương Khi α = [ a0 ; a1 , a2 , ] số vô tỉ 1.6.4.3 Nhận xét 1.78: Mỗi số vơ tỉ biểu diễn cách dạng liên phân số vô hạn (2.1) Mỗi cặp số ( x0 ; y0 ) ∈ x thỏa mãn ñẳng thức (2.1) ñược gọi nghiệm phương trình (2.1) Giải phương trình (2.1) tức tìm cặp số ( x0 ; y0 ) thỏa mãn ñẳng thức (2.1) 2.1.1.2 Định lý 2.2: Giả sử a + b ≠ 0, d = ( a, b ) Điều kiện cần đủ để phương trình (2.1) có nghiệm nguyên d chia hết c 2.1.1.3 Định lý 2.5: (Nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn): Nếu phương trình (2.1) hệ số a, b nguyên tố ( x0 ; y0 ) nghiệm tất nghiệm phương trình có dạng:  x = x0 + bt (t ∈Ζ )   y = y0 − at (2.5) 2.1.2 Phương trình Diophante bậc nhiều ẩn 2.1.2.1.Định nghĩa 2.11 Phương trình Diophante bậc nhiều ẩn phương trình có dạng: 13 14 a1 x1 + a2 x2 + + an xn = c , ∈ Z, ≠ i =1, n (2.11) Cách giải: Khi giải ta xét hai trường hợp b − ac = b − ac ≠ 2.1.2.2 Định lý 2.12: Điều kiện cần ñủ để phương trình (2.11) có 2.2.2 Phương trình dạng: nghiệm nguyên (a1 , a2 , , an ) | c 2.2.2.1 Nhận xét 2.23 2.1.2.2 Cách giải phương trình (2.11) x − dy = n (2.22) a) Khi d < n < , phương trình (2.22) vơ nghiệm Đưa phương trình (2.11) hai dạng sau: b) Khi d < n > , phương trình (2.22) có hữu hạn a) Có hệ số ẩn 1: Giả sử a1 = , đó: nghiệm x1 = c − a2 x2 − a3 x3 − − an xn ; x2 , x3 , , xn ∈ Z c) Khi d > ta xét trường hợp d : d phương d khơng phương Khi d khơng số phương ta có định lý sau: Nghiệm phương trình (2.11) là: 2.2.2.2 Định lí 2.25: Cho n số nguyên, d số nguyên dương khơng phương n < d Khi ñó, x − dy = n x, y ∈ * (c − a2 x2 − a3 x3 − − an xn , x2 , x3 , , xn ) với x2 , x3 , , xn ∈ Z b) Có hai hệ số nguyên tố nhau: Giả sử (a1 , a2 ) = Khi đó: (2.11) ⇔ a1 x1 + a2 x2 = c − a3 x3 − − an xn x giản phân d y Giải phương trình theo hai ẩn x1 , x2 2.2.2.3 Định lý 2.27: Cho d số ngun dương khơng 2.2 Phương trình Diophante bậc hai (hai ẩn số) phương Đặt: α k = ( Pk + d ) / Qk ak = α k  2.2.1 Định nghĩa 2.14: Dạng chung phương trình Diophante bậc hai, hai ẩn số x y là: ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f = Pk +1 = ak Qk − Pk (2.14) Qk +1 = (d − Pk2+1 ) / Qk với k = 0,1, 2, , α = d Trong a, b, c, d , e, f số nguyên số a, b, c khác khơng Cịn hệ số trước xy, x, y số chẵn không ảnh hưởng đến tính tổng qt phương trình mà để thuận tiện cho việc biến ñổi Giả sử pk giản phân thứ k dạng liên phân số qk Khi đó: pk2 − dqk2 = ( −1) k −1 Qk +1 , 2.2.1.1 Nhận xét 2.15: Khi b − ac ≠ phương trình (2.14) ñưa dạng ñơn giản: ax + 2bxy + cy = m (2.18) Trong luận văn ta d Qkn = Q0 = n chu kì dạng liên phân số d chủ yếu xét phương trình dạng (2.18) d số ngun dương khơng phương Khi r = t s = u 2.2.1.2 Phương trình dạng: ax + 2bxy + cy = m 2.2.2.4 Bổ ñề 2.28: Cho r + s d = t + u d với r , s, t , u số hữu tỉ (2.18) 15 16 * Chú ý 2.30: Khi n = phương trình x − dy = n trở thành Phương trình Pythagoras phương trình có dạng: x + y = z x − dy =1 gọi phương trình Pell loại Khi n = −1 phương Nghiệm ( x, y , z ) phương trình số Pitago trình x − dy = n trở thành x − dy = − gọi phương trình Pell loại Tìm nghiệm phương trình tìm số Pitago ( x, y , z ) 2.3.2 Phương trình Fermat 2.3 Phương trình Diophante phi tuyến 2.3.1 Phương trình Pythagoras Phương trình x n + y n = z n gọi phương trình Fermat với x, y, z ∈ , n ≥ 2.3.1.1 Các số Pitago 2.3.2.1 Định lý lớn Fermat a) Định nghĩa 2.31: Bộ ba số nguyên dương ( x, y , z ) thỏa mãn Phương trình x n + y n = z n khơng có nghiệm ngun dương n ≥ x +y =z 2 ñược gọi số Pitago Như vậy, bội ba số nguyên dương ( x, y , z ) số Pitago tồn tam giác vng có số đo cạnh góc vng x y , số ño cạnh huyền z Rõ ràng, ( x, y , z ) sốPitago với d ∈ * , (dx, dy, dz ) số Pitago Do đó, ta cần xét số Pitago ( x, y , z ) với ( x, y , z ) = b) Định nghĩa 2.33: Bộ số Pitago ( x, y , z ) ñược gọi nguyên thủy ( x, y , z ) = 2.3.2.2 Định lý 2.40: Phương trình x + y = z khơng có nghiệm ngun dương 2.3.2.3 Nhận xét 2.43: Tương tự ta chứng minh phương trình x − y = z khơng có nghiệm ngun dương 2.3.2.4 Phương trình kiểu Fermat Phương trình kiểu Fermat phương trình có dạng x + y = 2z , n ≥ n c) Bổ ñề 2.36: Nếu ( x, y , z ) số Pitago nguyên thủy ( x, y ) = ( x, z ) = ( y, z ) = x, y khơng tính chẵn lẻ z lẻ d) Định lý 2.37: Bộ ba số nguyên dương ( x, y , z ) số Pitago nguyên thủy với y chẵn tồn số nguyên dương m, n với m > n, (m, n) = m, n khơng tính chẵn lẻ cho: x = m2 − n2 y = 2mn z = m2 + n2 2.3.1.2 Phương trình Pythagoras n n Tìm nghiệm phương trình tìm số nguyên dương ( x0 , y0 , z0 ) phân biệt cho x0 n , y0 n , z0 n cấp số cộng 2.4 Phương trình bậc cao Ở phần trước ta xét chi tiết cách giải phương trình vơ định bậc bậc hai Nhưng với phương trình vơ định bậc ba bậc cao khó kết nghiên cứu cách giải phương trình Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả ñề cập ñến số toán ñược trình bày chương 17 18 Cho số nguyên dương n ≥ Số nguyên a ñược gọi số CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP VÀ CÁC BÀI TOÁN 3.1 Phương pháp số học phương ( mod n ) tồn x ∈ cho x ≡ a ( mod n ) Định lý 3.5: Cho số nguyên tố p Nếu p = số lẻ a số phương ( mod ) 3.1.1 Sử dụng tính chẵn lẻ Nếu p > a số phương ( mod n ) Bài toán 3.1.1 Giải phương trình sau tập số nguyên tố: a a) x − y = p −1 ≡ 1( mod p ) Cịn a số khơng phương ( mod n ) a b) x y + = z p −1 ≡ −1( mod p ) 3.1.2.3 Hai tính chất đặc trưng Bài tốn 3.1.2 a) Chứng minh phương trình x + y = 2011 khơng có nghiệm 2 ngun b) Chứng minh phương trình x − y = k có nghiệm nguyên k ≠ 4t + với t ∈ a) Tính chất 3.6: Với số nguyên a , số a + khơng có ước ngun tố dạng k + b) Tính chất 3.9: Cho p số nguyên tố dạng k + 3; a, b số nguyên Nếu a + b M p a M p bM p 3.1.2.3 Vận dụng Bài tốn 3.1.3 a) Chứng minh phương trình x − y = z nghiệm Bài tốn 3.1.4 Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau nguyên dương a) 4xy − x − y = z b) Chứng minh phương trình x + y = z khơng có nghiệm b) x − y = nguyên dương Bài toán 3.1.5 (Olympic Serbia năm 2007) 3.1.2 Sử dụng tính chất ngun tố Tìm tất cặp số nguyên dương ( x , n ) thỏa mãn x + x + = 2n 3.1.2.1 Định lý Fermat nhỏ: Cho p số nguyên tố a 3.1.3 Dùng chia hết chia có dư số ngun dương khơng chia hết cho p Khi đó, a p −1 ≡ 1(mod p) 3.1.2.2 Định nghĩa số phương ( mod n ) : 3.1.3.1 Phương pháp: Thông thường ta dùng phương pháp để chứng minh phương trình khơng có nghiệm ngun 19 20 Chứng minh phương trình khơng có nghiệm ngun cách Bài tốn 3.2.1 Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau chứng minh hai vế chia cho số, có số dư khác a) x + y = xy 3.1.3.2 Vận dụng b) x + xy − y = Bài tốn 3.1.6 Tìm nghiệm ngun phương trình sau Bài toán 3.2.2 a) x − y = a) Tìm tất tam giác vng có cạnh số nguyên số ño b) x − y =17 diện tích số đo chu vi c) x14 + x2 + x34 + + x7 = 2008 b) Tìm số có chữ số mà số bội tích chữ số Bài tốn 3.1.7 c) Tìm số nguyên x cho x + x + số phương a) Chứng minh tổng bình phương số nguyên phép 3.3 Phương pháp sử dụng tính đối xứng 2 2 chia cho khơng thể có số dư Từ suy phương trình x + y + z = 71 khơng có nghiệm ngun vai trị ẩn nên giả thiết ≤ x ≤ y ≤ z ≤ b) Tìm chữ số x , y , z thỏa xyz + xzy = zzz 3.3.2 Vận dụng c) Chứng minh phương trình 15 x − y = khơng có nghiệm 3.3.1 Phương pháp: Thường sử dụng cho phương trình đối xứng, nguyên d) Chứng minh không tồn số ngun dương n cho Bài tốn 3.3.1 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a) x + y + z = xyz n + bình phương số nguyên dương (Đề chọn ñội tuyển b) x + y = y + x Hoa Kì thi IMO năm 2008) Bài tốn 3.3.2 Một tam giác có số đo đường cao số 3.2 Phương pháp phân tích nguyên dương bán kính đường trịn nội tiếp Chứng minh 3.2.1 Phương pháp: Khi giải phương trình vơ định phương tam giác pháp phân tích ta thường biến đổi phương trình cách đặt nhân tử Bài tốn 3.3.3 Tìm ba số tự nhiên biết tổng nghịch đảo chúng chung để đưa phương trình dạng: Một vế tích biểu thức chứa ẩn, vế số 3.4 Phương pháp loại trừ 3.2.2 Vận dụng 21 22 3.4.1 Phương pháp: Ta thường dùng phương pháp loại trừ ñể giải phương trình Diophante bậc cao Đặc trưng phương pháp dựa vào đặc điểm phương trình ñể ñoán nghiệm chứng Bài toán 3.6.1 Giải phương trình sau a) 75 x + 17 y = minh nghiệm Hoặc biến ñổi ñưa phương trình mà b) 114 x − 41 y = hai vế lũy thừa dựa vào ñiều kiện ẩn ñể loại trừ trường hợp, dẫn đến loại nghiệm khơng thỏa mãn ñiều kiện Bài toán 3.6.2 (Đề thi học sinh giỏi miền Bắc 1974) Tìm tất số tự nhiên n cho 3.4.2 Vận dụng a) n M n + 1M 25 Bài tốn 3.4.1 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau b) n M 21 n + 1M165 a) x − xy + 13 y = 100 3.6.2 Phương trình dạng: x − dy = ± b) ( x + 2) − x = y 3.6.2.1 Tính chất 3.23: Giả sử d số nguyên dương khơng 3.5 Phương pháp xuống thang phương, 3.5.1 Phương pháp: Cơ sở phương pháp xuống thang tính thứ tự tốt Mọi tập khơng rỗng * có phần tử d (k = 1, 2,3, ) n chu kì liên phân số Khi đó: i) Nếu n chẵn nghiệm nguyên dương x − dy =1 bé x = p jn −1 , y = q jn −1 ( j = 1, 2,3, ) x − dy = −1 vơ nghiệm 3.5.2 Vận dụng Bài tốn 3.5.1 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau b) x + y + z = x y 2 ii) Nếu n lẻ nghiệm nguyên dương x − dy =1 x = p2 jn −1 , y = q2 jn −1 ( j = 1, 2,3, ) nghiệm nguyên dương a) x3 − y − z = pk giản phân thứ k biểu diễn liên phân số vô hạn qk x − dy = − x = p(2 j −1) n −1 , y = q(2 j −1) n −1 ( j = 1, 2,3, ) c) x + y + z + t = xyzt 3.6 Phương pháp dùng liên phân số Ta áp dụng phương pháp liên phân số ñể giải dạng 3.6.2.2 Tính chất 3.24: Giả sử ( x1 , y1 ) nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình Pell x − dy =1, d số ngun dương khơng phương Khi nghiệm phương trình ( xk , yk ) ñược xác ñịnh bởi: xk + yk d = ( x1 + y1 d ) k với k = 1, 2,3, phương trình sau: 3.6.2.3 Tính chất 3.25: (Công thức nghiệm) Giả sử (a, b) nghiệm 3.6.1 Phương trình bậc hai ẩn dạng: ax + by = c nguyên dương nhỏ phương trình Pell: x − dy =1 23 24 ( b số nguyên dương nhỏ ñể + db số phương) Xét hai dãy ( xn ), ( yn ) ñược xác ñịnh hệ thức truy hồi sau: 3.7 Bài tập tham khảo Bài toán (England 1992).Cho p số nguyên tố lẻ Chứng x0 = 1, x1 = a, xn + = 2axn +1 − xn minh tồn số nguyên dương m, n cho y0 = 0, y1 = b, yn + = 2ayn +1 − yn m = n (n + p ) Hãy tìm m, n biểu thức p Khi đó, dãy ( x n , y n ) ∞n =1 tất nghiệm phương trình Pell Bài tốn (Irland 1995).Tìm tất số nguyên n cho phương 3.6.2.4 Tính chất 3.26: (Điều kiện để phương trình Pell loại có nghiệm) Gọi (a, b) nghiệm nhỏ phương trình Pell loại liên kết với trình x + nxy + y = có vơ hạn nghiệm nguyên khác phương trình Pell loại Khi đó, phương trình Pell loại có nghiệm Bài tốn (Korea 1988).Tìm bốn số ( a, b, c, d ) nguyên không âm  a = x + dy hệ phương trình  có nghiệm nguyên dương b = xy thỏa mãn: a + b2 + c + d = a b c Bài tốn Chứng minh khơng tồn số ngun khơng âm  a = x + dy 3.6.2.5 Tính chất 3.27: (Công thức nghiệm) Giả sử hệ  b = xy có nghiệm (u, v) Xét dãy ( xn ), ( yn ) ñược cho hệ thức truy hồi: x0 = u, x1 = u + 3duv , xn + = 2axn +1 − xn y0 = v, y1 = dv + 3u v, yn + = 2ayn +1 − yn Khi đó, dãy ( xn , yn ) tất nghiệm nguyên dương phương trình Pell loại Bài tốn 3.6.4 Giải phương trình sau a) x − 13 y = b) x − 10 y = −1 Bài tốn 3.6.5 Chứng minh phương trình x − 34 y = −1 vô nghiệm Bài tốn 3.6.6 Chứng minh phương trình: a + b3 = c có vơ hạn nghiệm ngun dương m, n thỏa mãn: m ! + 48 = 48 ( m + 1) n Bài toán (Serbia 2008) Tìm tất nghiệm ngun khơng âm phương trình 12 x + y = 2008 z Bài toán Giả sử a, b, n số nguyên dương a > b, n > b Chứng minh c > thỏa mãn a n + b n = c n c khơng phải số ngun Bài tốn Chứng minh tồn vô hạn nghiệm nguyên dương phương trình: x − 3x + = y + y Bài toán (Romani 2003) Cho m, n hai số nguyên m, n > Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x n + y n = 2m Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy yz zx + + = z x zy 25 KẾT LUẬN 1) Về mặt lý luận: Luận văn ñã nghiên cứu ñầy ñủ lý thuyết phương trình Diophante nêu ñược số phương pháp để giải dạng phương trình Diophante Tuy nhiên, phương pháp mà tác giả trình bày luận văn chưa nhiều tác giả hy vọng phương pháp tối ưu để vận dụng giải dạng phương trình Diophante 2) Về mặt thực tiễn: Luận văn ñã ñề cập ñến nhiều dạng toán ñề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế mà có liên quan đến phương trình Diophante 3) Hướng mở rộng đề tài: Phương trình Diophante mảng kiến thức thường xuyên có mặt kì thi tốn quốc gia quốc tế nên hàng năm lượng kiến thức phương trình Diophante tăng lên Trong luận văn này, tác giả chưa đề cập nhiều đến phương trình Diophante phi tuyến phương trình Diophante bậc cao Tác giả tiếp tục nghiên cứu thời gian tới  ... LUẬN 1) Về mặt lý luận: Luận văn ñã nghiên cứu đầy đủ lý thuyết phương trình Diophante nêu ñược số phương pháp ñể giải dạng phương trình Diophante Tuy nhiên, phương pháp mà tác giả trình bày luận... = − gọi phương trình Pell loại Tìm nghiệm phương trình tìm số Pitago ( x, y , z ) 2.3.2 Phương trình Fermat 2.3 Phương trình Diophante phi tuyến 2.3.1 Phương trình Pythagoras Phương trình x n... = phương trình x − dy = n trở thành Phương trình Pythagoras phương trình có dạng: x + y = z x − dy =1 gọi phương trình Pell loại Khi n = −1 phương Nghiệm ( x, y , z ) phương trình số Pitago trình