z  Ánh xạ liên tục trên không gian topo Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 3 - Chương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT A. Kiến thức chuẩn bị: 1. Định nghĩa tôpô: Cho tập X ≠ Ø. Một họ  các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a) X   và Ø   ; b) Hợp tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ; c) Giao hữu hạn các tập thuộc  cũng thuộc  . Một tập X được trang bị một tôpô tr ên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu (X,  ). Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô l à X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó. 2. Tập mở, tập đóng, lân cận: Cho không gian tôpô (X,  ). a) Mọi tập thuộc  được gọi là tập mở; tập có phần bù là tập mở gọi là tập đóng. b) Với mỗi điểm x  X, tập V  X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G trong X sao cho x  G  V. Nhận xét: G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó. c) Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu V x . Họ B x  V x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu  V  V x ,  B  B x sao cho x  B  V. 3. Các loại điểm, phần trong, bao đóng: Cho không gian tôpô (X,  ), x  X và tập A  X. a) Các loại điểm: Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 4 - - x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tậ p mở G sao cho x  G  A. - x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x  G  X \ A. - x gọi là điểm biên của A nếu  V  V x , V  A ≠ Ø, và V  (X \ A) ≠ Ø. - x gọi là điểm dính của A nếu  V  V x , V  A ≠ Ø. - x goi là điểm cô lập của A nếu  V  V x : V  A = Ø. Nếu A = X thì x là điểm cô lập của A nếu tập {x} l à tập mở. b) Phần trong của tập A, ký hiệu l à int A hoặc o A , là tập tất cả các điểm trong của A. Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhât chứa trong A. c) Bao đóng của tập A, ký hiệu A , là tập đóng bé nhất trong X chứa A. 4. Tập hợp trù mật, không gian khả ly: a) Trong không gian tôpô X, t ập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X. Nếu int A = Ø thì A gọi là tập thưa ( hay tập không đâu trù mật). b) Không gian tôpô (X,  ) là không gian khả ly nếu tồn tại một tập A  X sao cho A không quá đếm được và A = X, tức là A trù mật trong X. 5. Tập thuộc phạm trù:: Không gian tôpô X g ọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X bằng hợp đếm đ ược các tập không đâu trù mật. Không gian không thu ộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai. 6. Không gian T 1 , T 2 và không gian chuẩn tắc: a) Không gian tôpô X được gọi là T 1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất k ì của X đều có một lân cận của x không chứa y v à một lân cận của y không chứa x. b) Không gian tôpô X đư ợc gọi là không gian Hausdorff (hay T 2 - không gian) nếu bất kì hai điểm khác nhau x, y  X đều tồn tại một lân cận U của x v à lân cận V của y sao cho U  V = Ø. c) Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc (hay T 4 – không gian) nếu X là T 1 – không gian và với hai tập đóng bất k ì A, B không giao nhau c ủa X luôn tồn tại các tập mở U và V sao cho A  U, B  V và U  V = Ø. 7. Không gian tôpô t ổng, tích, thương: Cho   I X    )( , là họ các không gian tôpô. Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 5 - a) Tổng: Đặt X =   X I  . Xét họ  = {G  X: G   X    ,    I}. Khi đó,  là một tôpô trên X và (X,  ) là không gian tôpô t ổng của họ không gian tôpô đ ã cho, ký hiệu X=  I X   . Nếu họ   I X   rời nhau từng đôi th ì tổng gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu X =   X I  . Ký hiệu XXi   : , )x(  i = x, là phép nhúng chính t ắc. b) Tích Descartes: Đặt X =  I X   và   XX : là phép chiếu (hay ánh xạ tọa độ thứ  ). Gọi  là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu   liên tục (định nghĩa ánh xạ li ên tục sẽ được trình bày sau trong ch ương này). Khi đó, (X,  ) gọi là không gian tôpô tích của họ không gian đ ã cho. c) Không gian thương: Cho không gian tôpô (X,  ) và một quan hệ tương đương R trên X. K ý hiệu X/R là tập thương của X theo quan hệ t ương đương R. Xét ánh x ạ  : X  X/R xác định bởi  (x) = x , với x là lớp tương đương chứa x. Khi đó,  gọi là phép chiếu chính tắc và dễ thấy  là toàn ánh. Trên X/R, dễ thấy họ   = {V  X/R:  -1 (V)   } là một tôpô và là tôpô mạnh nhất để  liên tục. Khi đó, (X/R,   ) gọi là không gian thương c ủa không gian X theo quan hệ t ương đương R. B. Các vấn đề về ánh xạ liên tục. 1.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục: Cho hai không gian tôpô (X, τ X ), (Y, τ Y ) và ánh xạ f: X  Y. Khi đó, f được gọi là liên tục tại điểm x 0  X nếu với mỗi lân cận W của f(x 0 )  Y, tồn tại lân cận V của x 0 sao cho f(V)  W. Nếu f liên tục  x  X thì f được gọi là liên tục trên X. Nếu f: (X, X  )  (Y, Y  ) là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh x ạ f là ( X  , Y  )- liên tục. Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 6 - 1.2.Các định lý và tính chất: Với mỗi x, ký hiệu B x là cơ sở lân cận của x. Khi đó, ta có định lý sau: Định lý 1.2.1: Ánh xạ f: X  Y liên tục tại x khi và chỉ khi  W  B f(x) , tồn tại V  ß x sao cho f (V)  W. Chứng minh: Giả sử f liên tục tại x, và W  B f(x) . Vì W là một lân cận của f(x) nên tồn tại lân cận U của x sao cho f(U)  W. Mà B x là cơ sở lân cận của x nên có V  B x sao cho V  U, do đó f(V)  f(U)  W. Ngược lại, gọi G là một lân cận của f(x)   W  B f(x) : W  G. Theo giả thiết,  U  B x : f(U)  W f(U)  G f liên tục tại x.  Định lý 1.2.2: Cho (X, τ X ), (Y, τ Y ) là hai không gian tôpô. Ánh x ạ f: X  Y liên tục tại điểm x  X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) th ì f -1 (W) là lân cận của x. Chứng minh: Giả sử f liên tục tại x và W là lân cận của f(x). Khi đó tồn tại lân cận V của x sao cho f(V)  W  V  f -1 (W)  f -1 (W) là lân cận của x. Ngược lại, gọi W là lân cận của f(x). Theo giả thiết, f -1 (W) là lân cận của x. Đặt V= f -1 (W) thì V là lân cận của x và f(V) = f( f -1 (W))  W  f liên tục lại x.  Định lý 1.2.3: Cho ánh xạ f: (X, τ X )  (Y, τ Y ). Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: a) f liên tục trên X. b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y l à tập mở trong X. c) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y l à tập đóng trong X. d)  A  X f( A )  )(Af . e)  B  Y  )( 1 Bf   f -1 ( B ). f)  B  Y  f -1 (int B)  int f -1 (B). Chứng minh: Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 7 - a)  b): Giả sử G  τ Y (tức G mở trong Y), G ≠ Ø. Với mỗi x  f -1 (G) thì f(x)  G, do G là tập mở nên G là lân cận của f(x). Mà f liên tục nên tồn tại lân cận V của x sao cho f(V)  G x  V  f -1 (G)  f -1 (G) là lân cận của x. Vậy, f -1 (G) là lân cận của mọi điểm thuộc nó n ên f -1 (G) là tập mở. b) c): Gọi F là tập đóng trong Y  Y\F là tập mở trong Y  f -1 (Y\F) = X\ f -1 (F) là tập mở trong X  f -1 (F) đóng trong X. c)  d):  A  X, ta có f -1 ( )(Af ) là tập đóng trong X. Vì f(A)  )(Af nên A  f -1 ( )(Af )  A  f -1 ( )(Af ) f( A )  f (f -1 ( )(Af ))  )(Af d)  e):  B  Y, ta có: f( )( 1 Bf  )  ))(( 1 Bff   B  )( 1 Bf   f -1 ( B ). e)  f):  B  Y f -1 (int B) = f -1 (Y\ BY \ ) = X\f -1 ( BY \ ). Mà )(\ 1 BfX  = )\( 1 BYf   f -1 ( BY \ ) (do e) Nên X\f -1 ( BY \ )  X\ )(\ 1 BfX  = int f -1 (B). Vậy, f -1 (int B)  int f -1 (B). f)  a):  x  X, gọi W là lân cận mở của f(x). Theo giả thiết ta có: x  f -1 (W) = f -1 (int W)  int f -1 (W). Nếu đặt V = int f -1 (W) thì V là lân cận của x và f(V)  W. Do đó, f liên tục trên X.  Nhận xét 1.2.1: a)Từ định lý 1.2.3 ta có thể phát biểu lại định lý 1. 2.2 như sau: “Ánh xạ f: X  Y liên tục tại điểm x  X khi và chỉ khi với mọi lân cận mở W của f(x) thì f -1 (W) là lân cận mở của x”. b) Nếu f:(X, X  )  (Y, Y  ) là ánh xạ liên tục thì với mọi tôpô  trên X mà   X  thì ánh xạ f: (X,  )  (Y, Y  ) cũng liên tục. Thật vậy, với x  X gọi W là lân cận mở của f(x). Vì f là ( X  , Y  )- liên tục nên f -1 (W)  X   f -1 (W)    ánh xạ f là (  , Y  )-liên tục. Ví dụ 1.1: Cho X là không gian tôpô r ời rạc, Y là không gian tôpô tùy ý. Khi đó, mọi ánh xạ f: X  Y đều liên tục. Thật vậy, nếu G là tập mở trong Y thì f -1 (G)  X, mà X rời rạc nên f -1 (G) mở trong X. Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 8 - Ví dụ 1.2: Nếu X là không gian tôpô b ất kỳ và Y là không gian tôpô thô thì m ọi ánh xạ f: X  Y đều liên tục vì  A  X, A ≠ Ø thì f( A ) = )(Af = X ( do đó f( A )  )(Af ). Ví dụ 1.3: Trên tập X trang bị hai tôpô τ 1 và τ 2 . Ánh xạ đồng nhất f: (X, τ 1 )  (X, τ 2 ) liên tục khi và chỉ khi τ 1 ≥ τ 2 (hay τ 1  τ 2 ). Thật vậy, vì ánh xạ đồng nhất f:(X, 2  )  (X, 2  ) liên tục nên theo nhận xét 1.2.1 nếu τ 1 ≥ τ 2 thì ánh xạ đồng nhất f: (X, τ 1 )  (X,τ 2 ) cũng liên tục. Điều ngược lại là hiển nhiên. Ví dụ 1.4: Ánh xạ hằng f: X  Y (y 0 cố định trong Y) là ánh xạ liên tục vì với x  y 0 mọi lân cận W của y 0 thì f -1 (W) = X là lân cận của x  x  X. Định lý 1.2.4: Cho ba không gian tôpô (X, τ X ), (Y, τ Y ), (Z, τ Z ) và hai ánh xạ liên tục f: X  Y, g: Y  Z. Khi đó ánh xạ tích h = g o f: X  Y cũng liên tục. Chứng minh: Giả sử V mở trong Z  g -1 (V) mở trong Y  h -1 (V) = f -1 [g -1 (V)] mở trong X. Do đó, h liên tục.  Nhận xét 1.2.2: Giả sử X là không gian tôpô, R là t ập số thực với tôpô tự nhi ên ( tôpô tự nhiên trên R là tập các khoảng mở của R ). Khi đó, các ánh x ạ f: X  R được gọi là các hàm số. Theo định lý 1.2.1, f liên tục tại x 0  X khi và chỉ khi  ε > 0,  lân cận V của x 0 sao cho  x  V thì | f(x) – f(x 0 ) | < ε. Đặt biệt, nếu X = R th ì ta được hàm số f: R  R. Khi đó, f liên tục tại x 0  R khi và chỉ khi  ε >0,  δ >0 sao cho  x  R thỏa | x – x 0 | < δ thì | f(x) – f(x 0 ) | < ε. Đây là định nghĩa quen thuộc về hàm liên tục trong giải tích cổ điển đối với h àm một biến thực. Định lý 1.2.5: Cho f,g: X  R là các hàm số liên tục. Khi đó, các hàm | f |, -f, f  g, f.g, min{f, g}, max{f, g} là liên tục. Nếu g(x) ≠ 0  x  X thì g f cũng liên tục. Chứng minh: a) Gọi h: R → R là hàm số xác định bởi h(x) = |x|. Khi đó, | f | = h o f là hợp của hai hàm liên tục nên | f | liên tục. b) Do f liên tục nên  x  X,  ε > 0,  lân cận V của x sao cho  x’  V ta có |f(x’) – f(x)| < ε  |(-f)(x’) – (-f )(x)| = |-f(x’) + f(x)| = | f(x’) – f(x)| < ε. Do đó, -f liên tục. Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 9 - c) Đặt φ = f + g.  x  X và  ε > 0, ta có: Vì f liên tục nên  lân cận V của x sao cho  x’  V: |f(x’) – f(x)| < 2  . Vì g liên tục nên  lân cận V’ của x sao cho  x’  V’: |g(x’) – g(x)| < 2  . Đặt V = U  U’ thì V cũng là một lân cận của x v à  x’  V ta có: | φ(x’) – φ(x)| ≤ | f(x’) – f(x)| + |g(x’) – g(x)| < 2  + 2  = ε. Vậy, φ = f +g liên tục. d) Vì f liên tục và –g liên tục nên f – g = f + (-g) liên tục. e) Đặt  = f.g.  x  X và  ε > 0, ta có: Vì f liên tục nên  lân cận V của x sao cho  x’  V: |f(x’) – f(x)| < )'(.2 Vx sup xg    . Vì g liên tục nên  lân cận V’ của x sao cho  x’  V’: |g(x’) – g(x)| < |)(|2 xf  .  |  (x’) -  (x)| = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x) | = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x’) + f(x).g(x’) – f(x).g(x) | = | g(x’).( f(x’) – f(x)) + f(x).(g(x’) – g(x)) |  |g(x’)|.|f(x’) – f(x)| + |f(x)|.|g(x’) – g(x)| < |g(x’)|. )'(.2 Vx sup xg    + |f(x)|. |)(|2 xf  < 2  + 2  =  . Vậy,  liên tục. f) Tính liên tục của min{f, g}và max{f, g} được suy ra từ các đẳng thức sau: min{f, g}= 2 )()( xgxf  - 2 |)()(| xgxf  , max{f, g}= 2 )()( xgxf  + 2 |)()(| xgxf  . g) Nếu g(x)  0  x  X, để chứng minh g f liên tục, ta chỉ cần chứng minh g 1 liên tục. Do g liên tục và |g(x)| > 0  x  X nên với mỗi x 0  X tồn tại lân cận V của x 0 và M > 0 sao cho  x  V thì |g(x)|  M. Mặt khác, g liên tục    > 0,  lân cận U của x 0 sao cho  x  U, Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 10 - |g(x) – g(x 0 )| < M 2 .  . Đặt V’ = V  U. Khi đó V’ là lân c ận của x 0 , và  x  V’, ta có: | )( 1 xg - )( 1 0 xg | = | )().( )()( 0 0 xgxg xgxg  | < MM M . 2  =  . Vậy, g 1 liên tục, do đó g f .  Bổ đề Urysohn: Cho X là một không gian chuẩn tắc; A v à B là hai tập con đóng rời nhau của X. Khi đó, tồn tại hàm liên tục f: X  [0, 1] sao cho f(x) = 0  x  A và f(x) = 1  x  B. Định lý 1.2.6: Gọi {(X α ,   )} α  I là họ các không gian tôpô. Khi đó,  α  I, phép nhúng chính tắc: a). i α : X α   I X   là ánh xạ liên tục. b). i α : X α    X I  là vừa mở vừa đóng. Chứng minh: a). Gọi  là tôpô trên  I X   . Khi đó,  G   , 1  i (G)= G  X α    . Do đó, i α liên tục. b). Giả sử U mở trong X α . Khi đó, U  X α = U    , U  X β = Ø  β ≠ α. Do đó, U  X α     α  I. Vậy, i α (U) = U mở trong   X I  . Bây giờ, giả sử F đóng trong X α . Xét tập G =   X I  \F. Vì G  X α = X α \F    và G  X β = X β  β ≠ α nên G mở trong   X I  . Suy ra, i α (F) = F đóng trong   X I  .  Hệ quả 1.2.1: Mỗi tập X α là vừa mở vừa đóng trong   X I  . Định lý 1.2.7: Ánh xạ f:  I X    Y liên tục nếu và chỉ nếu f o i α liên tục  α  I. Chứng minh: Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 11 - Hiên nhiên nếu f liên tục thì f o i α liên tục  α  I. Ngược lại, giả sử mọi f o i α liên tục và G là một tập mở tùy ý của Y. Ta có: f -1 (G)  X α = 1  i (f -1 (G)) = ( f o i α ) -1 (G)    (do f o i α liên tục)  f -1 (G) mở trong  I X   . Vậy, f liên tục.  Định lý 1.2.8: Với mọi α, phép chiếu    I XX    : là ánh xạ mở. Chứng minh: Giả sử G là tập mở tùy ý của  I X   . Lấy a    (G). Khi đó, tồn tại x  G sao cho   (x) = a. Do G mở nên  i U  (i = 1, 2,…, n ) mở trong X i  sao cho x  V =  n i 1 1 i   ( i U  )  G. Từ đó, a    (V)    (G). Và:   (V) =    Do đó,   (V) là tập mở trong X  và   (G) là tập mở.  Định lý 1.2.9: Ánh xạ f: Z   I X   liên tục khi và chỉ khi   o f liên tục    I. Chứng minh: Hiển nhiên, nếu f liên tục thì   o f cũng liên tục    I. Ngược lại, giả sử   o f liên tục    I. Giả sử G là tập mở trong  I X   . Khi đó, G = 1   (U), với U    ,  nào đó thuộc I. Và ta có: f -1 (G) = f -1 ( 1   (U)) = (   o f) -1 (U) là tập mở trong Z (vì   o f liên tục).  Định lý 1.2.10: Cho không gian tôpô (X,  ) và một quan hệ tương đương R trên X. Khi đó, ánh xạ f: X/R  Y liên tục nếu và chỉ nếu f o  liên tục. Trong đó,  : X  X/R là phép chiếu chính tắc. Chứng minh: i U  nếu  = i  , i = 1, 2,…, n X  nếu  ≠ i  , i = 1, 2,…, n [...]... 4 Ch t àn ánh liên t x x X X không gian tôpô X không là không gian liên thông khi và ch f: X ▪ Giải: Gi ph mâu thu ìm không liên thông àn ánh liên t f: X Y, v ên thông thì theo à không gian r 2.1 thì Y c ì không liên thông Do ày Ø A, B trong X sao cho A B = Ø và X = A B Goi Y là không gian r f(x) = a ( x A) và f(x) = b ( x B) D - 24 - f: X f là toàn ánh liên t Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV:... 1 liên t ì f là Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Chương 2 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ COMPACT VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ LIÊN THÔNG A Kiến thức chuẩn bị: 1 Không gian tôpô compact: a) Các định nghĩa: X và {G } I là h A N G là các t G - Trên không gian tôpô X, cho A {G } I à phủ c ì phủ g I à phủ mở c t à không gian compact n àv {G } I c T phủ mở c n ch I (i i sao cho -T trên. .. là không gian compact - Không gian tôpô X g àt i 1 G i X compact n ên A b à compact địa phương n m b) Các tính chất: -T -T àt con compact c àt 2 .Không gian tôpô liên thông: a) v à không gian liên thông n ào ài Ø và X Hay m ãn m - X không bi - X không bi b) T không gian liên thông à tập liên thông n - 20 - à Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô M hai t X sao cho: U A SV: Đào Thanh B ình Ø, V A à tập liên. . .Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô Nếu f liên tục thì hiển nhiên fo SV: Đào Thanh B ình liên tục Ngược lại, giả sử fo liên tục Khi đó, G mở trong Y thì -1(f -1(G)) mở trong X Theo định nghĩa tôpô trên X/R thì f -1(G) mở trong X/R Do đó, f liên tục 1.3 Phép đồng phôi: Định nghĩa 1.3.1: Cho hai không gian tôpô X và Y Ánh x ạ f: X một phép đồng phôi nểu f là song ánh, f liên tục và f -1 liên tục. .. Hausdorff Y thì f V f là song ánh liên t 1.1 f là ánh x ào không gian Chứng minh: 1.2, f là ánh x f Hệ quả 2.1.2: Gi ên X trang b gian compact, (X, 2 ) là không gian Hausdorff thì lý 1.3.1 1 và 2 ( 1= 2 1 2 ) N Chứng minh: Ánh x idX: (X, 1 ) (X, 2 ) là song ánh liên t (X, 1 ) vào không gian Hausdorff (X, 2 ) nên theo h 1= 2 - 21 - idX 1 ) là không Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình... x1 = x 2 f là f là toàn ánh Khi f là song ánh thi ánh xạ g xác định như trong định lý hiển nhiên là ánh xạ ngược của f Vậy f là song ánh có ánh xạ ngược liên tục nên nó là phép đồng phôi Ví dụ 1.3.2: Ánh xạ f: R (-1; 1), f(x) = x là phép đồng phôi 1 |x| Thật vậy, ta có f liên tục Xét ánh xạ g: (-1; 1) R xác định bởi g(x) = x , dễ 1 |x| thấy g liên tục và fog, gof là các ánh xạ đồng nhất Do đó, f là... tập mở trong Y f là ánh xạ mở b) c): Giả sử F là tập đóng trong X X\F là tập mở trong X Do f là ánh xạ mở nên f(X\F) = f(X)\f(F) = Y\ f(F) là tập mở trong Y f(F) là tập đóng trong Y f là ánh xạ đóng - 12 - Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình c) a): Do f là song ánh liên tục nên ta chỉ cần chứng minh f -1 liên tục Gọi F là tập đóng bất kỳ trong X Do f là ánh xạ đóng nên f(F) là... nhất Do đó, f là phép đồng phôi 1.4 Thác triển liên tục Định nghĩa 1.4: Với ánh xạ liên tục f: M tôpô X vào không gian tôpô Y, t à thác tri ên t f trên X; f ã bi t r con M c f |M: M liên t ìv F|M = f D tri f: X Y) c à có t Y từ không gian con M của không gian ên t F: X Y sao cho F|M = f, thì F à thác tri ên t ên X Y liên t ên t ì ánh x ên t f trên không gian f: M Y F: X Y sao cho ào b ên t Định lý 1.4.1... 1.2.3 f liên tục Định lý 1.3.2: Ánh xạ f: X Y là phép đồng phôi khi và chỉ khi f liên tục và có một ánh xạ liên tục g: Y X sao cho fog = 1Y và gof = 1X Ở đây, 1X và 1Y tương ứng là các ánh xạ đồng nhất từ X vào Y và từ Y vào X Chứng minh: Nếu f là phép đồng phôi thì g = f -1 Ngược lại, nếu có ánh xạ liên tục g: Y cho fog = 1Y và gof = 1X Ta chứng minh f là song ánh: - Giả sử ta có f(x1) = f(x2) đơn ánh. .. là hai t Vì f liên t Th B suy ra A không liên thông (trái gi f(A) ph ên thông Nhận xét 2.2.1: T Yc ên thông Định lý 2.2.2: Gi X, f(a) < f ên, n f là toàn ánh liên t f: X R là hàm liên t k R th f(a) < k < f(b), - 22 - ìt ên thông ta suy ra ên không gian liên thông X và a, b c X sao cho f(c) = k Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Chứng minh: Vì X liên thông nên f(X) liên thông trong . z  Ánh xạ liên tục trên không gian topo Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 3 - Chương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ. triển liên tục. Định nghĩa 1.4: Với ánh xạ liên tục f: M  Y từ không gian con M của không gian tôpô X vào không gian tôpô Y, t ồn tại ánh xạ liên tục F: