Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập về ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình.. Giải phương trình sau:..[r]
(1)1.2 Các dạng bài tập x b a ax b x ax (ax b) a ax b f ( x ) f ( ax b ) x ax b 3 Dạng1: x b a ax b (a>0, x là ẩn) Với hàm đặc trưng f (t ) t at , (a 0) 3 Dạng2: ax bx cx d n ex f m( px u )3 n( px u ) m(ex f ) n ex f Với hàm đặc trưng f (t ) mt nt Bài tập Bài tập ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình Bài Giải phương trình sau: +) Ta có 6(3 x ) x 3 3 x x trên ( ; 2) f ( x) +)Đ\k :x<2+) Xét hàm số f '( x) 3 14 3 x 2 x Lời giải: 2 x x 0, x ; ; Suy f(x) đồng biến trên khoảng Dùng máy tính kiểm tra Vậy phương trình có nghiệm Bài Giải phương trình sau: x x là nghiệm x x 1 (ĐHQG HN-07) x x 0 x 2 x 0 x ; x 2 Lời giải: +) Đ/K: +)Ta thấy x 1 f ( x) x x 1, x ; 2 là nghiệm +) Xét hàm số f '( x) +) Ta có x 4x2 4x 1 0, x ; 2 4x2 1 ; f(x) đồng biến trên Vậy là nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau: Lời giải: Ta có x x2 x x2 x x 2 x 1 2x 2 x 1 0 x 2 2x +)Đặt x 1 x 1 0 x 1 1 t x 1 t 0;1 2x x 1 +) Ta có x 1 ( x 1) x 1 2 x 1 +) Đ/K: x x 2 x 1 .Phương trình trở thành : t t 2t 2t 1 (2) VT 1 1 pt t 0; t 0; thì VP 2 +) Với vô nghiệm 1 2 1 t ;1 t 4t 2t 1 2t 2t 1 t t , bình phương hai vế ta có +) Vời +) Ta thấy t=1 là nghiệm phương trình 1 1 f (t ) , t ;1 t t 2 +) Xét hàm số +) f '(t ) 1 1 1 0, t ;1 f (t ) ;1 t t 2 nghịch biến trên 1 g (t ) 2t 2t 1 , t ;1 2 +) Xét hàm 1 1 g '(t ) 6t 2t 1 4t 2t 1 0, t ;1 f (t ) ;1 2 +) đồng biến trên x 0 x 1 1 x 2 hai nghiệm x=0; x=2 +) Vậy t=1 là nghiệm Với t=1 3 Bài Giải phương trình: x 2 x 3 3 Lời giải: +)Ta có x 2 x x x (2 x 1) 2 x +) Xét hàm số f (t ) t 2t Ta có f '(t ) 3t 0, t f (t ) đồng biến x3 2 x x x (2 x 1) x f ( x) f ( x 1) x 1 x 2 x x x 0 x 1 +) Khi đó 3 Vậy phương trình có ba nghiệm x=1; Bài Giải phương trình: Lời giải: Đ/K: +) Ta có Pt: x x 1 2 x x x 2 x 1 3x 1 x x x 2 3x 1 3x x x 2 0; +) Xét hàm f (t ) 2t t trên x x x x 0 x Bài Giải phương trình: 3x ( x 1) 2 +) f '(t ) 6t 2t 0, t 0 f (t ) đồng biến trên x x 2 0; +) Khi đó phương trình 3 x ( x 1) f ( x) f ( x 1) 3 3 x Vậy phương trình có hai nghiệm x3 15 x 78 x 141 5 x (Olimpic30/04/2011) (3) +) Ta cần phân tích pt dạng: m px u px u m 2x 2x , với hàm cần xét có dạng f (t ) mt 5t x3 15 x 78 x 141 5 x x x 2x 2x f ( x 5) f ( x 9) Với f (t ) t 5t f '(t ) 3t 0, t f(t) đồng biến f ( x 5) f ( x 9) x x x 15 x 73 x 116 0 x 4 TM x 11 Do đó 3 Bài Giải phương trình : x x 12 x x x 19 x 11 (Olympic30/04/09) Lời giải: Ta đưa phương trình dạng m px u px u m x x 19 x 11 x3 x 19 x 11 p 1; m ; u Đồng các hệ số ta tìm x x 12 x x x 19 x 11 1 3 x 1 x 1 x x 19 x 11 x3 x 19 x 11 2 3 Khi đó pt: f ( x 1) f ( x x 19 x 11) f (t ) t t f '(t ) t 0, t f (t ) 2 Vời đồng biến f ( x 1) f ( x3 x 19 x 11) x x x 19 x 11 Ta có x 1 x x 19 x 11 x 1, x 2, x 3 Vậy phương trình có nghiệm x 1, x 2, x 3 3 Bài 8.Giải phương trình: x 36 x 53x 25 3x Lời giải: Ta cần đưa phương trình dạng m px u px u m Đồng hệ số ta tìm 3x 3x m 1; u p 2 Phương trình x 36 x 53 x 25 3 x x 3 x f (2 x 3) f ( 3x 5) 3x 3x (4) Với f (t ) t t f '(t ) 3t 0, t f (t ) đồng biến Ta có f (2 x 3) f ( 3x 5) x 3x x 3 3x x 2, x Vậy phương trình có nghiệm x 2, x 5 5 3 Bài Giải phương trình 27 x 27 x 13 x 2 x (HSG Hải Phòng 2010) Lời giải : Ta có 27 x3 27 x 13x 2 x x 1 x 1 x 1 x Xét hàm số f (t ) t 2t , t f '(t ) 3t 0, t f (t ) đồng biến 3x 1 3x 1 x 1 x f (3 x 1) f ( x 1) x x 3x 1 2 x x 0 Vậy phương trình có nghiệm x=0 Bài10 Giải phương trình Đ/K: x x3 x x 3x x (HSG Quảng Bình 2012) Tacó: x3 3x x x 3x x 1 ( x 1) ( 3x 1)3 x Xét hàm số f (t ) t t , t x 1 f '(t ) 3t 0, t f (t ) đồng biến ( x 1) ( x 1)3 x f ( x 1) f ( x 1) x 0 x x x 1 3x x 1 Phương trình: Vậy phương trình có hai nghiệm Bài11:Giải phương trình: Lời giải :+) ĐKXĐ:a có: x=0, x=1 x 8 x3 x ( Chuyên Lê Quý Đôn- Bà Rịa vũng Tàu) x 8 x x x x (6 x 1) x 3 Xét hàm số f (t ) t t , t f '(t ) 3t f (t ) đồng biến Ta có 2x x (6 x 1) x f (2 x) f ( x 1) x x x3 x 0 x3 x +) Xét x 1;1 Đặt x =cost, t 0; , phương trình trở thành 1 2 4cos3 t 3cos t cos3t t k ,k 2 (5) 5 7 5 7 t 0 t ; t ; t x cos ; x cos ; x cos 9 suy 9 Mà Do phương trình là bậc ba nên có không quá ba nghiệm 5 7 x cos ; x cos ; x cos 9 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm Bài 12.Giải phương trình : 3x x x ( x x 1) 0 ;0 +) Ta thấy phương trình có nghiệm khoảng Ta có 3x x x (1 x x ) 0 ( x)(2 ( x) (2 x 1)(2 (2 x 1) 3) u (2 u 3) v(2 v 3) Với u x, v 2 x 1, u, v f (t ) 2t t 3t , t f '(t ) 2 Xét hàm số biến trên 2t 3t t 3t 0, t f (t ) 0; Ta có u (2 u 3) v(2 v 3) f (u ) f (v) u v x 2 x x Vậy phương trình có nghiệm Bài 13 Giải phương trình x x 1 2x x x (HSG Nghệ An2012) x x 13 Lời giải:+) ĐKXĐ: +) Phương trình đã cho tương đương với x 2 x 2x x 1 x x 2x 2x (1) +)Xét hàm số f t t t f ' t 3t 0, t Suy hàm số f t liên tục và đồng biến trên Khi đó: đồng ; Pt(1) f x f 2x x 2x 1 (6) x x 0 x x x 0 x 1 x 1 2x 1 x x x 0 x 1 2x log ( ) 3 x x x 1 Bài 14 Giải phương trình sau: Lời giải: +) ĐKXĐ: log ( 2x (HSG Thái Bình 2011) x 0 x x 1 x ) 3 x x log ( 2x 2 ) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 2 log x 1 x 1 log x 1 x 1 f (t ) log t t / 0; f '(t ) +) Xét hàm số biến trên 0, t hs f ( x) t ln đồng 0; log x 1 x 1 log 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x +) Phương trình 3 x 1 2 f (2 x 1) f (3 x 1 ) x 2 x Vậy phương trình có nghiệm Bài 15: Giải phương trình sau: x 1 x log x x Lời giải: +) ĐKXĐ: x x 1 x log x x 1 x log (1 x) f (t ) t log t , t 0; f '(t ) 1 +) Xét hàm số đồng biến +) Phương trình 0, t 0; f (t ) t ln 3x x 1 x log (1 x) f (3x ) f (1 x) 3x 1 x 3x x 0 x x x +) Xét hàm g ( x) 3 x g '( x) 3 ln g "( x) 3 ln phương trình g(x)=0 có nhiều là hai nghiệm, mà g(0)=g(1)=0 Vậy phương trình có hai nghiệm x=0, x=2 1 ( )sin x ( )sin x sin 3x 81 Bài16 Giải phương trình : 27 ( HSG Hải Dương ) Lời giải: +) ĐKXĐ : +) Ta có : (7) 1 ( )sin x ( )sin x sin 3x 27 81 1 3 3sin x 1 3sin x 3 1 3 3sin x 1 3 4sin x 3sin x 4sin x 4sin x 4sin x t t t 1 1 1 f (t ) t , t 4;4 f '(t ) ln ln 0, t 3 3 3 +) Xét hàm số f (t ) nghịch biến 1 +) Phương trình 3sin x 1 3sin x 3 sin x 4sin x f (3sin x) f (4sin x) 3sin x 4sin x 3sin x 4sin x 0 sin 3x 0 3x k x k ,k x k ,k Vậy phương trình có nghiệm 2.2 Bài tập ứng dụng tính đơn điệu vào giải hệ phương trình f ( x, y ) 0 (1) Hệ loại này ta gặp nhiều hai dạng f ( x) f ( y ) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D Nhiều ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu Một phương trình hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu x 5x y3 5y x y 1 Bài1 Giải hệ phương trình Giải Từ PT (2) ta có Xét hàm số biến trên 1 2 x 1; y 1 x 1; y 1 f t t 5t; t 1;1 có f ' t 3t 0; t 1;1 đó f(t) nghịch khoảng (-1;1) hay PT (1) x y thay vào PT (2) ta PT : x x 0 Đặt a=x ≥0 và giải phương trình ta Bài2 Giải hệ : x x x y y y 5(1) 2 x y x y 44(2) x 0 Dk : y 5 Lời giải : a 1 1 y x 4 2 (8) Từ pt(1) ta xét hàm hs đồng biến Khi đó f (t ) t t t f '(t ) 1 0, t t t 2 t 4 x x x y y y f (x) f (y 5) x y x 10 Thay vào(2) :hệ có nghiệm y 2 10 (4 x 1) x ( y 3) y 0 (1) 2 Bài3 Giải hệ : 4 x y x 7 (2) (x, y R) (Đề thi ĐH 2010-KA) x Lời giải ĐK : (4 x 1) x ( y 3) y 0 (2 x)3 x y 1 y Pt (1) (2 x)3 x 5 2y 2y Xét hàm : f (t ) t t f '(t ) 3t 0t hs đồng biến Pt (2 x)3 x 5 2y y f (2 x) f ( y ) x y y 4x2 x 2x y y 5 x Nghĩa là : 25 x x x 7 (*) Pt (2) trở thành Xét hàm số f ( x) 4 x x 25 4x trên 3 0; f '( x ) 4 x (4 x 3) 3x < 1 1 f 7 Mặt khác : nên (*) có nghiệm x = và y = x = và y = 3x y y x (1) 2 x xy y 12 (2) Bài (Đề thi thử Hà Tĩnh 2013) Giải hệ phương trình: (I) x y Hướng dẫn cách giải:Biển đổi phương trình (1) dạng + x = + y (3) Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + tChứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y Cách giải: x y 3 x 3 + y (3) 2 x xy y 12 (I) Xét hàm số: f(t) = 3t + t f’(t) = 3tln3 + >0 t f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y x y 2 Nên (I) x xy y 12 x = y = 2Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2) (9) x y 4 2y 3 + x = Bài 5.(Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 5- 2012)Giải hệ (1) (2) (I) Hướng dẫn cách giải: Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại nên có nghiệm x = y - Lấy (1) – (2) và đưa phương trình dạng x x y y 2t Thiết lập hàm số: f(t)= t , t [- ;4] Cách giải: Điều kiện - x, y 4 2x Lấy (1) – (2) và đưa phương trình dạng Xét hàm số: f(t)= x 2y 3 f(t) đồng biến trên (- ;4) (3) 1 0 2t 4 t t (- ;4) t , t [- ;4] f’(t) = 2t 4 y (3) ⇔ f ( x )=f ( y ) ⇔ x = y √ x +3+√ 4−x=4 Suy ra: (pt vô tỉ dạng bản) 11 Giải pt nghiệm : x=3, x= (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ có nghiệm (3; 3), 11 11 ; 9 ( ) x 3x y Bài 6.G hệ phương trình: x y x 0 y 8 x y (1) VT 1 VP 1 0 x, y +) Với y 0 thì , Hệ phương trình có nghiệm với y +) Vì y nên từ phương trình (2) hệ suy x 1 x x y 2 x y Thay x x y y 1 vào x 2 x y y x y phương trình (3) (3) ta x x 2 x y y x y 1 1 2 y y y x x x (2) +) Xét hàm số: f t t t t với t f ' t 1 t t2 1 t 1 với t 1 f f y 2 y xy f t 0; x là hàm đồng biến trên Mà x +) Thay xy 1 x 4 y vào phương trình (2) hệ ta có : được: (10) x 4 y 8 Thử lại thấy thỏa mãn hệ phương trình đã cho Kết luận : Hệ phương trình đã có nghiệm x, y 4; 1 8 x 3x x 22 y y y (1) 2 x y x y (2) Bài 7: (ĐH 2012)Giải hệ phương trình (x, y R) Lời giải :Pt x3 x x 22 y y y x 1 12 x 1 y 1 12 y 1 1 1 2 x y x y x y 1 2 2 Pt 2 x 2 3 y 2 3 3 f (t ) t 12t / ; f '(t ) 3t 12 0, t ; 2 2 suy hàm số nghịch Xét hàm số 3 x 1 12 x 1 y 1 12 y 1 f ( x 1) f ( y 1) y x biến , pt x y 2 x x 0 3 1 x y ; ; ; 2 Vậy hệ có nghiệm 2 2 Thay vào (2): 3.Bài tập tự luyện: Bài1: Giải các phương trình sau: 3 x 18 x 27 x 14 x 13 2 x x x x x 14 3 x x 1 x 3 x 0 x x 3 x x 0 15 16 3 x x3 x x 23 x 10 x 17 x 2 x x x sin x 2010 x x (HSG Lâm Đồng) 3x 2 x x3 x 0 (HSG Ninh Bình) 8sin x sin x x x 1 (HSGQuảng Nam) Bài2 Giải các hệ phương trình: 3 x x 3 x 1 x x x 7 x3 x 2 16 x 3 x −2 y = ( y − x ) ( xy +2 ) x + y =2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 1) x +2 x =3 + y y + y =3 + x ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 3) ln x −ln y= y− x x + y −6 x−2 y+ 6= ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 2) 4) log √ x +3=1 + log y log √ y +3 =1+ log y ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (11) x3 x 3x 17 3 x 21x 10 11 x3 x x 4 1 3x 18 x 24 2x x 5x 6 sin 12 2011 2 x x 5x 2011cos x cos x x 42 x y 51 x y 1 22 x y 1 x y ln x 3 ln y 3 5) 1 2 (HSG 2013) x x x 3 y x y y y 3 6) 2 x x 1 y y 2 x y xy 1 7) ( HSG HD 2012) 3 xy y x 1 x x (9 y 1) 4( x 1) x 10 8) (i Dương 13-14) x x y y x x y 1 y y 0 9) KA 13 (12)