Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.Các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 .Gọi M là trung điểm của SC.Một mặt phẳng P đi qua AM và song song với BD,cắt SB [r]
(1)HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN KHỐI ĐA DIỆN-THỂ TÍCH (Những bi tập SGK) Bài : Hãy chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện cho tỉ số thể tích hai khối tứ diện này số k > cho trước Giải Xét khối tứ diện ABCD,lấy điểm E trên đoạn CD A cho CE = k.ED (k > 0).Khi đó mặt phẳng (AEB) chia tứ diện ABCD thành hai khối tứ diện là ABCE và ABDE Gọi h là chiều cao tứ diện ABCD h= d(A,(BCD) và d(B,CD) = m.Ta có : 1 V1 = h m.CE Thể tích khối tứ diện ABCE là: 1 V2 = h m.DE Thể tích khối tứ diện ABDE là: D B E C V1 = k.V2 Bài 2: Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết AA’B’D’ là khối tứ diện cạnh a Giải C Vì AA’B’D’ là tứ diện nên đường cao AH B có chân H là trực tâm tam giác A’B’D’ A A’B’D’ D B' A'H = AH AA '2 A ' H C' a 3 và a Vì A’B’C’D’ là hình thoi ,góc A’ 600 nên: a2 SA ' B 'C ' D ' A ' B '.C ' D '.sin 60 2 a a a V B.h A' O H D' Bài 3: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Tính tỉ số thể tích khối hộp đó và thể tích khối tứ diện ACB’D’ (2) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giải Đặt S = SABCD và h = chiều cao khối hộp,suy thể tích khối hộp : V = Sh D C Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’và khối chóp :A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC Ta có: A B SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 và chiều cao khối chóp h nên tổng các thể D' C' S V1 4 h Sh 3 tích là: Thể tích khối tứ diện ACB’D’ là: A' Sh V2 = V – V1 B' Do đó tỉ số thể tích khối hộp đó và thể tích khối tứ diện ACB’D’ Bài 4: Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’bằng V.Tính thể tích khối ACB’D’ Giải Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ và D C khối chóp: A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC (các khối chóp này có chiều cao và băng chiều cao h A khối hộp) B Ta có: SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 VA.A’B’D’=VC.C’B’D’=VB’.BAC =VD’.DAC D' C' A' B' F VACB’D’ B A Bài : Cho tứ diện ABCD, gọi d là khoảng cách AB và CD, là góc hai đường thẳng đó Chứng minh : E C M 11 1 Sh Sh V 6 = 32 1 V 4 V V 6 = N D VABCD= AB.CD.sin (3) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giải Dựng hình hộp AEBF.MDNC (gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện) Vì AEBF // MDNC nên chiều cao hình hộp d = d(AB,CD) Ta có : VABCD 1 V SMDNC d 3 1 MN CD.sin d AB.CD.d sin Bài 6: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB’ và DD’.Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp thành hai khối đa diện.Tính tỉ số thể tích khối đa diện đó Giải Gọi O là tâm hình hộp thì O là tâm D C hình bình hành BB’D’D suy O là trung điểm EF Vì A’ thuộc đường thẳng CO nên A’ thuộc A B mp(CEF) F Ngoài : A’F // CE và A’E // CF Do đó O mặt phẳng (CEF) cắt hình hộp theo thiết E diện là hình bình hành A’ECF Mặt phẳng D' C' (CEF) chia hình hộp thành hai phần : Gọi (H) là khối đa diện có các đỉnh A' B' A,B,C,D,A’,E,F và (H’) là phần còn lại Phép đối xứng tâm O biến các đỉnh A,B,C,D,A’,E,F (H) theo thứ tự thành các đỉnh C’,D’,A’,B’C,F,E hình (H’) Suy phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành hình (H’) Hai hình đa diện (H) và (H’) nhau.Do đó tỉ số thể tích hai khối đa diện đó M A B Bài 7: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh trung điểm cạnh AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ và A’A nằm trên mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích N D C E A' F B' K D' J Giải Tương tự bài C' Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a) Biết AB= a và góc mặt bên và đáy , tính thể tích khối chóp b) Biết trung đoạn d và góc cạnh bên và đáy , tính thể tích khối chóp (4) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giải a) Gọi M là trung điểm CD và O là tâm hình vuông ABCD Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác nên suy SOM vuông nên: SO = OM tan(/2) Vậy a SMO ; OM : 1 a V Bh a2 tan a3tan 3 2 2 S S A A D M O SCO M O C B b) Ta có : D C B và SM = d Đặt CD = 2x OM x; OC x 2; SO x 2.tan x SOM vuông nên :OM2 + SO2 = SM2 Vậy d tan d 3tan 1 V Bh (2 x )2 x tan x tan (1 tan ) tan 3 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.Các cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M là trung điểm SC.Một mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD,cắt SB E và cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF Giải Gọi O là tâm hình vuông và I là giao điểm AM và SO;suy I thuộc EF Vậy mp(P) qua I và song song với BD nên EF // BD Vì BD (SAC) EF (SAC) EF AM và S EF 2a BD 3 M SAC nên : F D I C E O A SAC nên : AM AC 3 a a 2 AM AC 3 a a 2 B (5) HÌNH HOC12(SGK) 1 a 2a a SAEMF AM EF 2 3 Ta có: GV VOÕ SÓ KHUAÂN EF (SAC) và AM(SAC) EF AM (1) SAC SM AM (2) Từ (1)và (2) SM (AEMF) VS AEMF S AEMF SM Vậy: a a a3 3 18 Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có trung đoạn và góc hai mặt bên đối diện 600 Mặt phẳng () qua CD và vuông góc với mp(SAB),cắt SA,SB P1 và P.Tính thể tích khối chóp S.CDP1P S P1 H P B K E O Giải Gọi SE,SK là hai trung đoạn khối chóp Vì CD // AB nên giao tuyến hai mặt phẳng (SAB)và (SCD) song song với AB và CD Ta có:SE CD;SK AB SE và SK C Vậy góc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) góc KSE 60 AB//() PP// AB (SAB) ( ) PP D A Ta có : CDP1P là hình thang cân và EH là đường cao (H = SK P1P) Vì hai mặt phẳng () và (SAB) vuông góc với theo giao tuyến P1P mà EH P1P EH (SAB) EH SH (1) Mặt khác: SH P1P (2) Từ (1) và (2) SH (CDP1P) và SKE cân và có góc S 600 nên là tam giác ,suy H là trung điểm SK Do đó : Vậy: 1 1 P1P AB KE SE 3 2 2 và EH SE 2 1 27 VS CDP1P SCDP1P SH (CD P1P ).SH 3 2 Bài 11: Cho khối tứ diện ABCD.Gọi E,F là trung điểm AB và AD.Mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện thành khối tứ diện a) Kể tên khối tứ diện đó và chứng tỏ khối tứ diện đó có thể tích b) Chứng tỏ khối tứ diện ABCD thì khối tứ diện đó (6) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giải a) Bốn khối tứ diện đó là: ADEF , ACEF ,BDEF ,CDEF Mặt phẳng (ABF) chia khối tứ diện ABCD thành E hai khối tứ diện CABF và DABF có thể tích (Vì F là trungđiểm CD ) Mặt phẳng (CDE) chia khối tứ diện CABF và D B DABF thành hai khối tứ diện có thể tích (Vì E là trungđiểm AB –BT1) F suy khối tứ diện nói trên có thể tích C b) Nếu ABCD là tứ diện thì nó nhận mp(ABF) và mp(CDE) làm các mặt phảng đối xứng và phép đối xứng qua đường thẳng EF biến tứ diện ADEF thành BCEF Suy ra: Khối tứ diện ADEF và ACEF (Vì chúng đối xứng qua mp(ABF)) Khối tứ diện ADEF và BDEF (Vì chúng đối xứng qua mp(CDE)) Khối tứ diện ADEF và BCEF (Vì chúng đối xứng qua trục EF) A Bài 12: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải S ABC và 2a a AM 3 SO SA2 AO a 1 a a a3 VS ABC SABC SO 3 12 C A O AO = M B Bài 13:Cho hình chóp tam giác S.ABC.Biết SA= b và góc mặt bên và đáy .Tính thể tích khối chóp S.ABC S Giải Gọi M là trung điểm BC và SO là đường cao khối chóp và SA = b Đặt BC = x Ta có : SMO C A O B M AM x x x ; AO AM ; OM 3 6 (7) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN 2 SAO vuông nên :SO =SA - AO = SOM vuông có :SO = OM.tan 2 x b2 x tan = x2 x 3.b b tan x V SABC SO S ABC tan Suy ra: x2 x x3 tan tan 24 b3 3.tan (4 tan ) tan Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC có chiều cao h và góc ASB 2 Tính thể tích hình chóp Giải Gọi K là trung điểm AB và SO là đường cao S khối chóp 2 và SO = h Đặt AB = x Ta có : ASB CK x 1x x ; OK CK 3 x cot Trong SAK vuông ta có : SK = AK.cot = SOK vuông nên :SO2 =SK2 - OK2 B C O 12h2 x x 3 h cot x 3cot 2 K A VS ABC 1 x2 S ABC SO h 3 12h2 3h3 h 12 3cot 3cot Bài 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB = a.Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy góc 600 Gọi D là giao điểm SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA a)Tính tỉ số thể tích khối chóp S.DBC và S S.ABC b)Tính thể tích khối chóp S.DBC Giải Gọi E là trung điểm BC và SH là đường cao khối chóp HAE Ta có : D AE C A H B E a 2a a ; AH AE 3 SH AH tan 600 ; a a (8) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN ADE vuông D nên: a 3 3a 2 DE = AE.sin60 = SAH và ADE là các nửa tam giác nên: 5a 12 SA = 2AH ; AE = 2AD ;SD = SA –AD = Vậy tỉ số thể tích khối chóp S.DBC và S.ABC là: VS DBC SD SB SC SD 5a 2a : VS.ABC SA SB SC SA 12 a 1 a2 a3 VS DBC SABC SH a 96 3 12 VS ABC S C J Bài 16: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB = 5a,BC = 6a, CA = 7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó Giải Hạ SH (ABC) và HEAB ; HFBC ; HJCA Vì SEH SFH SJH 60 HE HF HJ r (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) SABC 6 6a Áp dụng công thức Hê-rông: F H E S 6a r SH r.tan 60 2 a p ; B 1 VS ABC SABC SH 6a2 2a 8 3a3 3 Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a; ABC vuông cân B có AB = BC = a.Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Chứng minh SC (AB’C’) S c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ C' d) Tính khoảng cách từ C’ đến mp(SAB) A Giải VS ABC 1 a3 SABC SA AB.BC.SA 3 a) b)Ta có: BCAB và BCSA BC(SAB) suy : AB’BC AB’SB và AB’BC AB’SC AB’SC và AC’SC SC(AB’C’) B' A C B (9) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN c) Ta có : SC2 = SA2+AB2+BC2= 3a2 SC a , AB ' a SB a SA2 a B 'C ' ; SC ' 2 SC ; B’C’2 = SB’2 – SC’2 =a2/6 1 a3 VS AB 'C ' SAB 'C ' SC ' AB '.B ' C '.SC ' 3 36 VS AB 'C ' SA SB ' SC ' SB ' SC ' V SA SB SC SB SC Cách 2: S.ABC Bài 18: Cho tam giác ABC vuông cân A và AB = a.Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABC) ta lấy điểm D cho CD = a.Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD F và cắt AD E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a Giải Ta có: BACD và BACA BA(ADC) suy : ABCE (1) Mà BD(CEF) BDCE (2) Từ (1)và (2) suy ra:CE(ABD) CEEF và CEAD a3 VD.CEF = SCEF DF= = 36 D F E C B Bài 19: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam A giác ABC vuông cân C và SA mp(ABC) ,SC = a.Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn Giải Ta có: SA(ABC) và BCCA BCSC (theo định lý đường vuông góc) suy góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) là SCA SCA x 0<x< suy ra: SA = a.sinx ; AC = a.cosx Đặt : a3 1 VS.ABC = SABC SA= AC.BC.SA = sinx.cos x 3 2 Xét hàm số: f(x) = sinx.cos x Ta có: f’(x)= cos3x – 2cosx.sin2x = cosx(cos2x – + 2cos2x) = cosx(3cos2x – 2) 3cos x cos x = 2 cos x (10) HÌNH HOC12(SGK) 0<x< GV VOÕ SÓ KHUAÂN 2 cos x cos x Goïi laø goùc cho cos = ,0 < < 3 Vì Bảng biến thiên : x f’(x) x + S - f(x) Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn khi f(x) đạt giá trị lớn x= với < < vaø cos = B A và C Bài 20: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a.Với giá trị nào góc mặt bên và mặt đáy khối chóp thì thể tích khối chóp nhỏ Giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO (ABCD); gọi E,H là trung điểm AD và BC suy SE,SH là các trung đoạn hình chóp Vì AD // BC nên AD // (SBC) d(A,(SBC)) = d(E,(SBC)) Dựng EK SH thì EK (SBC) (vì (SEK) (SBC)) EK = d(A,(SBC)) = 2a Ta có: BC SH và BCOH suy góc hai mp (SCB) và (ABC) là SHO SHO = x < x < Ta có: Đặt : 4a3 2a a a V S SO EH ; OH= ; SO= S ABCD ABCD 3cos x.sin x sin x sinx cosx Vậy: Vậy VS.ABCD nhỏ và f(x) = cosx.sin2x đạt giá trị lớn Ta có: f’(x) = – sin3x + 2sinx.cos2x S = sinx(2cos2x – sin2x) = sinx(2 – 3sin2x) 3sin x sin x sin x = K D C E H O A B 10 (11) HÌNH HOC12(SGK) 0<x< Vì GV VOÕ SÓ KHUAÂN sin x sin x Goïi laø goùc cho sin = ,0 < < Bảng biến thiên : x f’(x) x + - f(x) Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị nhỏ và f(x) đạt giá trị lớn x= với < < vaø sin = Bài 21: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là vuông A ;AC = b,góc C 600.Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) góc 300 a) Tính độ dài đoạn AC’ b) Tính thể tích lăng trụ Giải Ta có: BA AC và BA AA’ BA (ACC’A’) AC’ là hình chiếu BC’ lên mặt phẳng (ACC’A’) Theo giả thiết ' A 30 ; AC'=AB.cot30 AC.tan 60 cot 30 3b BC Ta có: CC’2 = AC’2 - AC2 = 9b2 – b2 = 8b2 Vậy thể tích lăng trụ là: V = B.h C' B' A' C B A Bài 22: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a và đỉnh A’cách các đỉnh A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy góc 600 a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhựt c) Tính tổng diện tích các mặt bên lăng trụ 11 (12) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giải C' A' A ' AO 60 A’O= AO.tan600 = a b) BCAO và BCA’O BCAA’ c) Gọi H là trung điểm AB ,ta có : BA HO và BA A’O BA HA’ B' A H Sxq = 2SAA’B’B + SBB’C’C C O B a) Gọi O là tâm tam giácđều ABC Vì A’A = A’B = A’C nên A’Omp(ABC) Bài 23:Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có tất các cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C b) Mặt phẳng qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC,cắt AC và BC E,F.Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE B I A F J C E AB //(P) (P) (ABC) EF AB // EF : AB (ABC) B' K A' Giải b) Gọi I,K là trung điểm AB và A’B’,J là trọng tâm tam giác ABC Gọi (P) mặt phẳng qua A’B’ và trọng tâm J tam giác ABC C' Ta có Do AB(CJK) EF(CJK)(A’B’FE)(CJK)Vậy d(C,(A’B’FE)) = d(C,KJ) Ta có: CI a 1a a ; IJ CI 3 ; 2 a a2 13 2S 2a 13 KJ a SJKC SIKC d (C; KJ ) JKC 12 ; 3 Vậy: KJ 13 5a3 VC A ' B ' FE SA ' B ' FE d (C , KJ ) SA ' B ' FE ( A ' B ' FE ).KJ 18 và Bài 24: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác Mặt phẳng (A’BC) 12 (13) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN tạo với mặt đáy góc 30 và tam giác A’BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi K là trung điểm BC,ta có : C' Ta có: BCAK và BCAA’ BCA’K A' đó AKA ' 30 Đặt: BC = x B' AK x (Vì tam giác ABC đều) thì Tam giác A’AK vuông nên: AK x 3 : x cos30 2 ; x 3 x AA ' AK tan 30 A'K A K B C Mà : SA’BC = (1/2)BC.A’K = (1/2)x.x = x = x2 x VABC.A'B'C' = SABC AA' = =8 Vậy: Bài 25: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có diện tích đáy S và AA’=h Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA’,BB’,CC’ A1,B1,C1.Biết AA1= a,BB1= b,CC1= c a) Tính thể tích hai phần khối lăng trụ chia mp(P) b) Với điều kiện nào a,b,c thì thể tích hai phần đó nhau? Giải Đặt S = SABC ,ta có: A C V =V +V A1 B ABC.A1B1C1 H C1 A' B1 B' C' A1 ABC A1 BCC1B1 1 = a.S+ SBCC1B1 d(A1 ,(BCC1B1 )) 3 1 = a.S+ (b+c)BC.d(A1 ,(BCC1B1 )) 3 1 = a.S+ (b+c).S= (a+b+c).S 3 V =V -V Mặt khác: A1B1C1 A'B'C' ABC.A'B'C'1 ABC.A1B1C1 1 = S.h- (a+b+c).S = [(h-a)+(h-b)+(h-c)].S 3 b) 2(a+b+c)=3h 13 (14) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Bài 26: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách hai đường thẳng AB và A1D và đường chéo mặt bên a) Hạ AK A’D (KA’D).Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ Giải C' B' a) Ta có: AB//A’B’ AB//(A’B’D) d(A,(A’B’D))= d(AB,A’D) A’B’(AA’D’D) A’B’ AK (1) A' D' Mà A’D AK (2) Từ (1) và (2) suy ra: (A’B’D) AK Vậy AK = d(A,(A’B’D))= d(AB,A’D)= b) AA’D vuông có AK là đường cao nên: K AK2 = KA’.KD (*) B C Đặt A’K = x , (*) = x.(5 –x) x2 - 5x + = x = 1;x = A + Với x = 1: D AD AK KD 2 5; AA ' A ' D AD + Với x = 4: V 20 V 10 Bài 27: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông cân cạnh huyền · 'AB là góc nhọn ,góc hai AB = Cho biết (AA’B)(ABC) , AA ' = và A mặt phẳng (A’AC) và (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ A' C' A M K Giải Dựng AK AB và cùng với (AA’B)(ABC) B' A’K (ABC) Vì A· 'AB là góc nhọn nên K thuộc tia AB Kẻ KM AC thì A’M AC (theo định lý đường vuông góc) · 'MK = 60o Vậy A (góc hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC)) B Đặt A’K = x ,ta có: Trong AA’K : C AK A ' A A ' K x Trong MA’K : MK= A’K.tan600 = AMK vuông cân suy : x AK MK x 3 x2 x V 10 Vậy: 14 x (15) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành góc A 600 Các đường chéo AC’ và DB’ tạo với đáy góc 450 và 600 Tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao nó Giải Ta có: C' B' ' AC 45 , B ' DB 60 C ;suy BD 2 cot 60 A' D' B Theo định lý cosin : BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos450 AC2 = CD2 + AD2 – 2CD.AD.cos1350 Trừ vế tương ứng : C A ra: AC = CC’=2 và AB AD 2 SABCD = AB.AD.sin600 = VABCD A ' B 'C ' D ' S ABCD AA ' D AB AD.sin 60 AA ' 4 2 3 2 Bài 29: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh và a, · 'AB = BAD · · 'AD = a (00 < a < 900) A =A Tính thể tích khối hộp Giải Dựng AHAC (1) (HAC) Tam giác A’BD cân (do A’B=A’D )suy BDA’O Vậy BDAC và BDA’O BD(A’AO)BDA’H (2) Từ (1) và (2) A’H(ABCD) cos cos cos Đặt : A'AO= ,ta có hệ thức : Thật vậy: Kẻ A’KAD thì HKAK (theo định lý C' B' đường vuông góc) AH AK AK cos .cos cos AA ' AH AA ' A' D' cos cos cos B C H A O K D Mặt khác :A’H = a.sin = Vậy : cos VABCD A ' B 'C ' D ' SABCD A ' H 15 (16) HÌNH HOC12(SGK) 2a3 sin GV VOÕ SÓ KHUAÂN AB AD.sin A ' H cos2 cos2 2 C' B' A' D' B K A C H Giải Dựng A’H(ABCD) (H(ABCD)) và D M Bài 30 : Cho hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật và AB = 3;AD = Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 và 600 Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên nó HMAD và HKAB (như hình vẽ) Theo định lý đường vuông góc suy ra: ADA’M và ABA’K A'MK= 60 ; A'KH=45 Đặt A’H = x A' H x 2x 4x2 2 A'M AM A ' A A ' M HK sin 60 sin 60 ; Ta có: x2 x x Mà : HK=A’H=x nên: V S A ' H AB AD.x 3 A1 D1 ABCD Vậy: ABCD A ' B 'C ' D ' Bài 31: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có mặt bên ABB1A1 diện tích 4.Khoảng cách cạnh CC1 và mặt (ABB1A1) 7.Tính thể tích khối lăng trụ B1 C1 A B D Giải Ta dựng khối hộp ABCD.A1B1C1D1 và đặt h = d((CDD1C1),(ABB1A1)) = d(CC1,(ABB1A1)) = Khi đó: VABC A1B1C1 VABCD A1B1C1D1 SABB1 A1 h 14 C Bài 32: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M là trung điểm AB.Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giải Gọi I = MB’ AA’ và N = IC’ AC.Mp(B’C’M) cắt hình lăng trụ theo thiết diện là 16 (17) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN hình thang cân B’C’NM Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ làm hai phần : Gọi V1 là phần chứa cạnh AA’ và V2 là phần còn lại Đặt S = SABC và AA’ = h Ta có : 1 V1 =VAMN.A'B'C' =VI.A'B'C' -VI.AMN = SA'B'C' IA'- SAMN IA 1S 7 = S.2hh= Sh = VABC.A'B'C' = (V1 +V2 ) 12 12 3 12 V 1= V2 Bài 32 Bài 33 C A I M A B E' E B A' F C' N C B' B' A' C' F' Bài 33: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi E,F là trung điểm AA’ và BB’.Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ E’ ;đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ F’và gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ a) Tính thể tích khối lăng trụ theo V b) Gọi (H) là phần còn lại khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau cắt bỏ phần khối chóp C.ABFE Tính tỉ số thể tích (H) và B' khối chóp C.C’E’F’ A' Giải Hình chóp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy và chiều cao nên: M C' 1 VC.A'B'C' = V VC.ABB'A' =V- V= V 3 Do EF là đường trung bình hình bình hành B ABB’A’ nên diện tích ABEF nửa diện tích A 17 C (18) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN 1 VC.ABFE = VC.ABB'A' = V ABB’A’,suy ra: V(H) =VABC.A'B'C' -VC.ABFE =V- V= V 3 b) Ta có: Vì EA’ là đường trung bình tam giác E’C’C nên suy A’B’ là đường trung bình tam giác C’E’F’ đó: SC’E’F’ = 4SC’A’B’ V(H) VC.E'F'C' =4VC.A'B'C' = V = VC.E'F'C' vậy: Bài 34:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M là trung điểm AA’.Mặt phẳng qua M,B’,C chia khối lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giải Mặt phẳng (MB’C) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối chóp C.MABB’ và B’.MA’C’C.Hai khối chóp này có chiều cao và có đáy là hai hình thang vuông nên có thể tích Bài 35: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có cạnh đáy a,chiều cao h.Tính thể tích khối chóp A.BC’A’ A B A B I H C C A' B' A' B' I' C' C' C1: Ta có AC//A’C’ AC//(BC’A’) 18 (19) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Gọi J là trung điểm AC thì d(A,(BC’A’))= d(I,(BC’A’)) Gọi I’ là trung điểm A’C’ thì BI’A’C’ Vậy BI’A’C’ và II’A’C’ A’C’(IBI’) Do đó hạ IH BI’ thì IH A’C’ IH (BA’C’) hay d(A,(BC’A’)) = IH VA BC ' A' C2: 11 3a h S BCA' IH BI '.C ' A '.IH 32 12 VA.BC ' A ' VB AA 'C ' 12 3a h VB AA 'C 'C VABC A ' B 'C ' 23 12 Bài 36 :Cho hình chóp tam giác SABC Trên đường thẳng SA, SB, SC lấy điểm VSA 'B'C' SA ' SB ' SC ' V SA SB SC A’, B’, C’ khác với S Chứng minh : SABC A A' C C' S H' B' H B Giải Gọi H,H’ là hình chiếu A và A’ lên mặt phẳng (SBC) Vì ba điểm S,A,A’ thẳng hàng nên ba điểm S,H,H’ thẳng hàng Đặt AH = h và A’H’ = h’,gọi S,S’ là diện tích tam giác SBC và tam giác SB’C’ và BSC= h ' SA ' 1 S ' SB ' SC ' S ' SB '.SC '.sin ; S SB.SC.sin h SA 2 S SB SC Ta có: ; 1 VS ABC VA.SBC S h VS A ' B 'C ' VA '.SB 'C ' S '.h ' 3 và S V SA ' SB ' SC ' S A ' B 'C ' VS ABC SA SB SC M D' D G B' C 19 O A Bài 37: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD chia khối B (20) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN chóp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giải Gọi O là tâm hình bình hành và G = AMSO thì G là trọng tâm tam giác SG SBD,suy ra: SO Vì mp(P) //BD nên nó cắt mp(SBD) theo giao tuyến qua G và song song với SB ' SD ' SG B’D’.Ta có: SB SD SO Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần:khối chóp S.AB’MD’ và khối đa diện ABCDB’MD’ , Ta có: VS AB ' D ' SA SB ' SD ' 2 V S AB ' D ' VS ABD SA SB SD 3 VS ABCD VS MB ' D ' SM SB ' SD ' 2 V S MB ' D ' VS CBD SC SB SD 3 VS ABCD Suy : VS AB ' MD ' VS AB ' D ' VS MB ' D ' VS ABCD VS ABCD VS AB ' MD ' 1 9 VS ABCDB ' MD ' Bài 38: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD.Mặt phẳng () qua AB và trung điểm M cạnh SC.Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng đó Giải Vì mp() // CD nên nó cắt mp(SCD) theo giao tuyến qua M và song song với CD MN // CD Vậy mp(ABM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang ABMN Ta có: VS ANB SN S 1 V VS ADB VS ABCD S ANB VS ADB SD 2 VS BMN SM SN 1 VS BCD SC SD 2 N M D A O C B 1 VS BMN VS BCD VS ABCD VS ABMN VS ANB VS BMN VS ABCD Vậy: VS ABMN Do đó: VS ABMNCD 20 (21) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Bài 39: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V.Gọi B’,D’ là trung điểm AB và AD.Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giải Ta có: SABD = 4SAB’D’ S BDD ' B ' S ABD A S ABD S ABD 4 ; đặt d(C,(ABD)) = h B' D' D B 1 VC AB ' D ' S AB ' D ' h S ABD h 3 ; 1 VC BDD ' B ' S BDD ' B ' h S ABD h 3 VC AD ' B ' VC BDD ' B ' C Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Gọi B’,D’ là hình chiếu A lên SB và SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Giải Ta có: CB AB’ (vì CB(SAB)) và AB’SB AB’SC (1) Tương tự: AD’ SC (2) S (1) và (2) SC (AB’C’D’) SC AC’ Mặt khác (SAC) là mặt phẳng đối xứng hình chóp S.ABCD nên : C' D' VS.AB’C’D’ = 2VS.AB’C’ Ta có: B' A D SB'.SB SC'.SC SA SA 4a2 4a2 = 2= 2= SB2 SC2 SB SC 5a 6a 15 1 a3 VS.ABC = SABC SA= AB.BC.SA= 3 = O B VS.AB'C' SA SB' SC' SB' SC' = = VS.ABC SA SB SC SB SC C a3 8a3 16a3 VS.A'B'C' = = VS.A'B'C'D' = 15 45 45 Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B’,D’ là trung điểm SB và SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’.Tính tỉ số thể tích khối chóp S.AB’C’D’và S.ABCD 21 (22) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giải Gọi O là tâm hình bình hành và I là giao điểm B’D’ với SO;suy I thuộc AC’và B’D’// BD Kẻ AC’’//AC’ SC’ = C’C’’= C’’C S C' B' D' C'' A B O C D SC ' SC Ta có: VS AB 'C ' SA SB ' SC ' VS ABC SA SB SC SB ' SC ' 1 SB SC V S AB 'C ' VS ABCD 12 VS AC ' D ' V 12 Tương tự : S ABCD VS.AB'C'D' VS.AB'C' +VS.AC'D' = = V V S.ABCD Vậy: S.ABCD Bài 42:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng () qua A vuông góc với cạnh SC cắt SB,SC,SD B’,C’D’ a) Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện vuông b) Giả sử góc cạnh SC và mặt bên (SAB) x Tính tỉ số thể tích khối chóp S.AB’C’D’và S.ABCD theo x biết AB = BC ÔN Bài 1:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a SA = h và SA (ABC).Gọi H,I là trực tâm tam giác ABC và SBC a)Chứng minh IH(SBC) b)Tính thể tích tứ diện IHBC theo a và h S F C A Giải a)Gọi E là trung điểm BCsuy ra:ISE; HAE Vì :CB (SAE) CB IH Ta có: BH AC và BH SA BH (SAC) suy ra: BH SC (1) Mà : BI SC (2) (1) và (2) suy ra: SC (BIH) SC IH Tóm lại: CB IH và SC IH IH (SBC) I H E 22 B (23) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN IH IE HE = = b) Hai tam giác vuông ASE và IHE đồng dạng suy ra: SA AE SE a 4h2 +3a2 a AE= ; SE= ; HE= 2 Mà: IH= ah a2 ; IE= 4h +3a2 4h +3a2 1 a4 h VH.IBC = SIBC IH= IE.BC.IH= = 3 36(4h +3a2 ) Vậy: Bài :Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh a và ba góc đỉnh A 600 Tính thể tích khối hộp theo a Giải Dựng A’H (ABCD) và HF AD và HE AB (như hình vẽ) Theo định lý đường vuông góc suy ra: AD A’F và AB A’E Ta có : HE = HF (Vì A’AE = A’AF ) suy H thuộc đường phân giác góc BAD ,hơn ABCD là hình thoi nên HAC Vì A’AE là nửa tam giác nên : D' C' AE a ; A'E= a 2 Vì AHE vuông nên : A' B' D C F A H E B a a HE = AE.tan30 = a A ' H A ' E HE a2 a2 S ABCD 2 S ABD 2 và V =S A'H Vậy: ABCD.A'B'C'D' ABCD a3 Bài : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V và M là trung điểm cạnh bên AA’.Cắt khối lăng trụ hai mặt phẳng (MBC) và (MB’C’) ta ba khối chóp đỉnh M a) Kể tên ba khối chóp đó 23 (24) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN b) Tính thể tích ba khối chóp nói trên theo V A C B M h Sh V S 6 VM.ABC =VM.A’B’C’ = C' A' Giải a) Ba khối chóp đó là: M.ABC ; M.BB’C’C ; M.A’B’C’ b) Gọi S,h là diện tích đáy và chiều cao khối lăng trụ,ta có: VM.BB’C’C = V – (VM.ABC +VM.A’B’C’) B' Bài : Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Chứng minh tứ diện ACB’D’ là tứ diện b) Chứng minh khối tứ diện sau đây có thể tích nhau: D’DAC,B’ABC,AA’B’D’,CC’B’D’.Hãy tính thể tích khối khối đó theo a A B D C A' B' Giải Bốn khối tứ diện D’DAC,B’ABC,AA’B’D’,CC’B’D’là bốn khối chóp tam giác D’.DAC,B’.ABC,A.A’B’D’,C.C’B’D’ D' C' Bài :Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA= 2a; ABC vuông C có · = 300 Gọi H,K là hình chiếu A lên SC và SB AB =2a , CAB a) Tính thể tích khối chóp H.ABC b) Chứng minh AH SB và SB (AHK) c) Tính thể tích khối chóp S.AHK 24 (25) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giải a) Trong mp(SAC) kẻ HI // SA thì HI (ABC) S a3 VH.ABC = SABC IH= = Vậy K H A B VH.ABC =VB.AHC = SAHC BC Cách 2: VS.AHK SA SH SK SH = = V SA SC SB SC b) c) S.ABC SH SC SA2 SC 2 SA2 AC I 2a3 VS.AHK = VS.ABC = = 21 C VS.AHK = SAHK SK Cách 2: Bài :Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là ABC vuông B và AB = a, BC = 2a ,AA’ = 3a Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’ cắt các đoạn thẳng CC’,BB’ M,N a) Tính thể tích khối chóp C.A’AB b) Chứng minh AN A’B c) Tính thể tích khối tứ diện A’AMN d) Tính diện tích tam giác AMN Giải B' VC AA ' B VA ' ABC S ABC AA ' a) = = a3 C' A' N M B A I b) Ta có: CB AB và CB AA’ CB (A’AB) CB AN (1) Theo giả thiết : CA’ (AMN) CA’ AN (2) Từ (1) và (2): AN (CBA’) AN A’B C c) Ta có: VA’AMN = VM.AA’N = VM.AA’B (Vì NB // AA’ d(N,AA’) = d(B,AA’)) = VC.AA’B (Vì MC // (AA’B) d(M,(AA’B)) = d(C,(AA’B)) 25 (26) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN 1 S AA ' B CB a.3a.2a a 3 = 3VA'.AMN a2 14 VA'.AMN = SAMN A'I SAMN = = = A'I d) Ta có: tứ diện ABCD thành hai khối tứ diện là ABCE vaø ABDE Gọi h là chiều cao tứ diện ABCD h= d(A,(BCD) vaø d(B,CD) = m.Ta coù : 1 V1 = h m.CE Thể tích khối tứ diện ABCE là: 1 V2 = h m.DE Thể tích khối tứ diện ABDE là: V1 = k.V2 Bài 2: Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết AA’B’D’ là khối tứ diện cạnh a Giaûi C Vì AA’B’D’ là tứ diện nên đường cao AH B có chân H là trực tâm tam giác A’B’D’ A A’B’D’ D A'H = AH AA '2 A ' H B' A' O C' H D' a 3 vaø a Vì A’B’C’D’ laø hình thoi ,goùc A’ baèng 600 neân: SA ' B 'C ' D ' a2 A ' B '.C ' D '.sin 60 a a a3 V B.h Bài 3: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Tính tỉ số thể tích khối hộp đó và thể tích khối tứ diện ACB’D’ 26 (27) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giaûi D C A B D' A' Ñaët S = SABCD vaø h = chieàu cao cuûa khoái hoäp,suy theå tích cuûa khoái hoäp : V = Sh Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’vaø khoái choùp :A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC Ta coù: C' SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 vaø chieàu cao cuûa khoái choùp baèng h neân toång caùc S V1 4 h Sh 3 theå tích laø: B' Thể tích khối tứ diện ACB’D’ là: Sh V2 = V – V1 Do đó tỉ số thể tích khối hộp đó và thể tích khối tứ diện ACB’D’ Baøi 4: Theå tích cuûa khoái hoäp ABCD.A’B’C’D’baèng V.Tính theå tích cuûa khoái ACB’D’ Giaûi Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ D C vaø khoái choùp: A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC (các khối chóp này coù chieàu cao baèng vaø baêng chieàu cao A B h cuûa khoái hoäp) Ta coù: SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 D' C' VA.A’B’D’=VC.C’B’D’=VB’.BAC =VD’.DAC A' F B' A B VACB’D’ E 11 1 Sh Sh V 6 = 32 1 V 4 V V 6 = Bài : Cho tứ diện ABCD, gọi d là khoảng cách AB và CD, là góc hai N đường thẳng đó Chứng minh : C 27 M D (28) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN VABCD= AB.CD.sin Giaûi Dựng hình hộp AEBF.MDNC (gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện) Vì AEBF // MDNC neân chieàu cao cuûa hình hoäp baèng d = d(AB,CD) Ta coù : VABCD 1 V SMDNC d 3 1 MN CD.sin d AB.CD.d sin Bài 6: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB’ vaø DD’.Maët phaúng (CEF) chia khoái hoäp thaønh hai khoái ña dieän.Tính tæ soá theå tích khối đa diện đó Giaûi Goïi O laø taâm hình hoäp thì O cuõng laø taâm D C hình bình haønh BB’D’D suy O laø trung ñieåm cuûa EF A B Vì A’ thuộc đường thẳng CO nên A’ thuộc F mp(CEF) O Ngoài : A’F // CE và A’E // CF Do đó E maët phaúng (CEF) caét hình hoäp theo thieát D' C' dieän laø hình bình haønh A’ECF Maët phaúng (CEF) chia hình hoäp thaønh hai phaàn : A' B' Goïi (H) laø khoái ña dieän coù caùc ñænh A,B,C,D,A’,E,F vaø (H’) laø phaàn coøn laïi Phép đối xứng tâm O biến các đỉnh A,B,C,D,A’,E,F (H) theo thứ tự thành các đỉnh C’,D’,A’,B’C,F,E hình (H’) Suy phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành hình (H’) Hai hình đa diện (H) và (H’) nhau.Do đó tỉ số thể tích hai khối đa diện đó M A B N D Baøi 7: Cho khoái hoäp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh trung điểm cạnh AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ vaø A’A naèm treân B' mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối C E A' F K 28 D' J C' (29) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN hoäp thaønh hai phaàn coù theå tích baèng Giaûi Tương tự bài Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a) Biết AB= a và góc mặt bên và đáy , tính thể tích khối chóp b) Biết trung đoạn d và góc cạnh bên và đáy , tính thể tích khối choùp Giaûi a) Goïi M laø trung ñieåm cuûa CD vaø O laø taâm cuûa hình vuoâng ABCD Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác nên suy SOM vuoâng neân: SO = OM tan(α/2) Vaäy a SMO ; OM : 1 a V Bh a2 tan a3tan 3 2 2 S S A M O C B b) Ta coù : SCO A D D M O C B vaø SM = d Ñaët CD = 2x OM x; OC x 2; SO x 2.tan x SOM vuoâng neân :OM2 + SO2 = SM2 Vaäy d tan d 3tan 1 V Bh (2 x ) x tan x tan (1 tan ) tan 3 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.Các cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M là trung điểm SC.Một mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD,cắt SB E và cắt SD F Tính theå tích cuûa khoái choùp S.AEMF 29 (30) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Giaûi Goïi O laø taâm hình vuoâng vaø I laø giao ñieåm cuûa AM vaø SO;suy I thuoäc EF Vậy mp(P) qua I và song song với BD nên EF // BD Vì BD (SAC) EF (SAC) EF AM vaø EF AM AC SAC nên : 3 a a 2 S SAC nên : E VS AEMF SAEMF SM Vaäy: O B A 3 a a 2 Ta coù: EF (SAC) vaø AM(SAC) EF AM (1) SAC SM AM (2) C Từ (1)và (2) SM (AEMF) F I AM AC 1 a 2a a SAEMF AM EF 2 3 M D 2a BD 3 a a a3 3 18 Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có trung đoạn và góc hai mặt bên đối diện 600 Mặt phẳng (α) qua CD và vuông góc với mp(SAB),cắt SA,SB P1 và P.Tính thể tích khối choùp S.CDP1P S P1 H P B K A E O D Giaûi Gọi SE,SK là hai trung đoạn khoái choùp Vì CD // AB neân giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (SAB)vaø (SCD) song song với AB và CD Ta coù:SE CD;SK AB SE vaø SK C Vậy góc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) baèng goùc KSE 60 AB//() PP // AB (SAB) ( ) PP Ta coù : CDP1P là hình thang cân và EH là đường cao (H = SK P1P) Vì hai mặt phẳng (α) và (SAB) vuông góc với theo giao tuyến P1P maø EH P1P EH (SAB) EH SH (1) 30 (31) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Maët khaùc: SH P1P (2) Từ (1) và (2) SH (CDP1P) và SKE cân và có góc S 600 nên là tam giác ,suy H là trung điểm SK Do đó : Vaäy: 1 1 P1P AB KE SE 3 2 2 vaø EH SE 2 1 27 VS CDP1P SCDP1P SH (CD P1P ).SH 3 2 Bài 11: Cho khối tứ diện ABCD.Gọi E,F là trung điểm AB và AD.Mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện thành khối tứ diện a) Kể tên khối tứ diện đó và chứng tỏ khối tứ diện đó có thể tích b) Chứng tỏ khối tứ diện ABCD thì khối tứ diện đó Giaûi a) Bốn khối tứ diện đó là: ADEF , ACEF ,BDEF ,CDEF Mặt phẳng (ABF) chia khối tứ diện ABCD thành E hai khối tứ diện CABF và DABF có thể tích (Vì F laø trungñieåm cuûa CD ) D B Mặt phẳng (CDE) chia khối tứ diện CABF và DABF thành hai khối tứ diện có thể tích F (Vì E laø trungñieåm cuûa AB –BT1) C suy khối tứ diện nói trên có thể tích b) Nếu ABCD là tứ diện thì nó nhận mp(ABF) và mp(CDE) làm các mặt phảng đối xứng và phép đối xứng qua đường thẳng EF biến tứ diện ADEF thành BCEF Suy ra: Khối tứ diện ADEF và ACEF (Vì chúng đối xứng qua mp(ABF)) Khối tứ diện ADEF và BDEF (Vì chúng đối xứng qua mp(CDE)) Khối tứ diện ADEF và BCEF (Vì S chúng đối xứng qua trục EF) A Bài 12: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giaûi C A O B M 31 (32) HÌNH HOC12(SGK) AO = ABC vaø GV VOÕ SÓ KHUAÂN 2a a AM 3 SO SA2 AO VS ABC a 1 a a a3 SABC SO 3 12 Bài 13:Cho hình chóp tam giác S.ABC.Biết SA= b và góc mặt bên và đáy .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giaûi Gọi M là trung điểm BC và SO là đường cao khối chóp vaø SA = b Ñaët BC = x Ta coù : SMO S AM x x x ; AO AM ; OM 3 SAO vuoâng neân :SO2 =SA2 - AO2 = C A SOM vuoâng coù :SO = OM.tanα b2 x2 x tan = x2 x 3.b b tan x tan Suy ra: VS ABC SABC SO 1 x x tan x tan 3 24 b 3.tan (4 tan ) tan O M B S B C O A K Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC có chieàu cao baèng h vaø goùc ASB baèng 2 Tính theå tích hình choùp Giaûi Gọi K là trung điểm AB và SO là đường cao cuûa khoái choùp 2 vaø SO = h Ñaët AB = x Ta coù : ASB 32 (33) HÌNH HOC12(SGK) x 1x x CK ; OK CK 3 GV VOÕ SÓ KHUAÂN x cot Trong SAK vuoâng ta coù : SK = AK.cotα = 2 12h2 x x 3 h cot x 3cot 2 SOK vuoâng neân :SO2 =SK2 - OK2 1 x2 VS ABC SABC SO h 3 12h2 3h3 h 12 cot 3cot Bài 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB = a.Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy góc 600 Gọi D là giao điểm SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA a)Tính tæ soá theå tích cuûa khoái choùp S.DBC vaø S.ABC b)Tính theå tích khoái choùp S.DBC Giaûi S Gọi E là trung điểm BC và SH là đường cao cuûa khoái choùp HAE Ta coù : AE D a 2a a ; AH AE 3 SH AH tan 600 C A H B E ; a a ADE vuoâng taïi D neân: a 3 3a 2 DE = AE.sin60 = SAH và ADE là các nửa tam giác nên: SA = 2AH ; AE = 2AD 5a 12 SD = SA –AD = Vaäy tæ soá theå tích cuûa khoái choùp S.DBC vaø S.ABC laø: VS DBC SD SB SC SD 5a 2a : VS.ABC SA SB SC SA 12 a 1 a2 a3 VS DBC S ABC SH a 96 3 12 VS ABC 33 (34) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN S C Vì SEH SFH SJH 60 HE HF HJ r (baùn kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) J A Baøi 16: Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù caïnh AB = 5a,BC = 6a, CA = 7a.Caùc maët beân SAB,SBC,SCA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó Giaûi Haï SH (ABC) vaø HEAB ; HFBC ; HJCA H F E B SABC 6 6a Áp dụng công thức Hê-rông: S 6a r SH r.tan 60 2 2a p ; 1 VS ABC SABC SH 6 a2 2a 8 3a3 3 Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a; ABC vuông cân B có AB = BC = a.Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A tam giaùc SAC a) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC b) Chứng minh SC (AB’C’) S c) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.AB’C’ C' d) Tính khoảng cách từ C’ đến mp(SAB) Giaûi VS ABC 1 a3 SABC SA AB.BC.SA 3 a) b)Ta coù: BCAB vaø BCSA BC(SAB) suy : AB’BC AB’SB vaø AB’BC AB’SC AB’SC vaø AC’SC SC(AB’C’) c) Ta coù : SC2 = SA2+AB2+BC2= 3a2 SC a , AB ' B' A C B a SB a SA2 a B 'C ' ; SC ' 2 SC ; B’C’2 = SB’2 – SC’2 =a2/6 VS AB 'C ' 1 a3 SAB 'C ' SC ' AB '.B ' C '.SC ' 3 36 VS AB 'C ' SA SB ' SC ' SB ' SC ' V SA SB SC SB SC Caùch 2: S.ABC 34 (35) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Bài 18: Cho tam giác ABC vuông cân A và AB = a.Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABC) ta lấy điểm D cho CD = a.Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD F và cắt AD E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a Giaûi Ta coù: BACD vaø BACA BA(ADC) suy : ABCE (1) Maø BD(CEF) BDCE (2) Từ (1)và (2) suy ra:CE(ABD) CEEF vaø CEAD a3 VD.CEF = SCEF DF= = 36 D F E C B A Bài 19: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân C và SA mp(ABC) ,SC = a.Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn Giaûi Ta có: SA(ABC) và BCCA BCSC (theo định lý đường vuông góc) suy góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) là SCA SCA x 0<x< suy ra: SA = a.sinx ; AC = a.cosx Ñaët : a 1 VS.ABC = SABC SA= AC.BC.SA = sinx.cos x 3 Xeùt haøm soá: f(x) = sinx.cos2x Ta coù: f’(x)= cos3x – 2cosx.sin2x = cosx(cos2x – + 2cos2x) = cosx(3cos2x – 2) 3cos x cos x = < x < cos x cos x Vì 2 cos x 2 0 Goïi laø goùc cho cos = x Baûng bieán thieân : f’(x) + α S ,0 < < - x B A f(x) 35 C (36) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn và f(x) đạt giá trị lớn x= với < < vaø cos = Bài 20: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a.Với giá trị nào góc mặt bên và mặt đáy khối chóp thì theå tích khoái choùp nhoû nhaát Giaûi Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO (ABCD); gọi E,H là trung điểm AD và BC suy SE,SH là các trung đoạn hình chóp Vì AD // BC neân AD // (SBC) d(A,(SBC)) = d(E,(SBC)) Dựng EK SH thì EK (SBC) (vì (SEK) (SBC)) EK = d(A,(SBC)) = 2a Ta có: BC SH và BCOH suy góc hai mp (SCB) và (ABC) là SHO SHO = x < x < Ta coù: Ñaët : 4a3 2a a a VS ABCD SABCD SO EH ; OH= ; SO= 3cos x.sin x sin x sinx cosx Vaäy: Vậy VS.ABCD nhỏ và f(x) = cosx.sin2x đạt giá trị lớn Ta coù: f’(x) = – sin3x + 2sinx.cos2x S = sinx(2cos2x – sin2x) = sinx(2 – 3sin2x) 3sin x sin x sin x = < x < sin x sin x Vì Goïi laø goùc cho sin = ,0 < < Baûng bieán thieân : x f’(x) 0 D - C E H O A x α + K B 36 (37) f(x) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị nhỏ và f(x) đạt giá trị x= với < < vaø sin = lớn Bài 21: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là vuông A ;AC = b,góc C 600.Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) goùc 300 a) Tính độ dài đoạn AC’ b) Tính theå tích cuûa laêng truï C' B' A' C B A Giaûi Ta coù: BA AC vaø BA AA’ BA (ACC’A’) vaäy AC’ laø hình chieáu cuûa BC’ leân maët phaúng (ACC’A’) Theo giaû thieát ' A 30 ; AC'=AB.cot30 AC.tan 60 cot 30 3b BC Ta coù: CC’2 = AC’2 - AC2 = 9b2 – b2 = 8b2 Vaäy theå tích cuûa laêng truï laø: V = B.h Bài 22: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a và đỉnh A’cách các đỉnh A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy góc 600 a) Tính theå tích khoái laêng truï b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhựt c) Tính toång dieän tích caùc maët beân cuûa laêng truï Giaûi 37 (38) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN C' A' B' A H vaäy A ' AO 60 A’O= AO.tan600 = a b) BCAO vaø BCA’O BCAA’ c) Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB ,ta coù : BA HO vaø BA A’O BA HA’ C O B a) Gọi O là tâm tam giácđều ABC Vì A’A = A’B = A’C neân A’Omp(ABC) Sxq = 2SAA’B’B + SBB’C’C Bài 23:Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có tất các cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C b) Mặt phẳng qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC,cắt AC và BC taïi E,F.Tính theå tích khoái choùp C.A’B’FE Giaûi b) Gọi I,K là trung điểm AB và A’B’,J là trọng tâm tam giác ABC Goïi (P) maët phaúng ñi qua A’B’ vaø troïng taâm J cuûa tam giaùc ABC AB //(P) (P) (ABC) EF AB// EF : AB (ABC) Ta coù Do AB(CJK) EF(CJK)(A’B’FE)(CJK)Vaäy d(C,(A’B’FE)) = d(C,KJ) Ta coù: CI B I A F J C E 2 a2 a2 13 KJ a S S 12 ; JKC IKC 2S 2a 13 d (C; KJ ) JKC KJ 13 Vaäy: SA ' B ' FE ( A ' B ' FE ).KJ vaø B' VC A ' B ' FE K A' a 1a a ; IJ CI 3 ; 5a3 SA ' B ' FE d (C , KJ ) 18 C' 38 (39) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Bài 24: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy góc 300 và tam giác A’BC có diện tích Tính thể tích khoái laêng truï Giaûi C' Goïi K laø trung ñieåm cuûa BC,ta coù : A' Ta coù: BCAK vaø BCAA’ BCA’K đó AKA ' 30 Ñaët: BC = x B' AK x (Vì tam giác ABC đều) thì Tam giaùc A’AK vuoâng neân: A K B C AK x 3 : x cos30 2 ; x 3 x AA ' AK tan 30 A'K Maø : SA’BC = (1/2)BC.A’K = (1/2)x.x = x = x2 x VABC.A'B'C' = SABC AA' = =8 Vaäy: Bài 25: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có diện tích đáy S và AA’=h Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA’,BB’,CC’ A1,B1,C1.Biết AA1= a,BB1= b,CC1= c a) Tính thể tích hai phần khối lăng trụ chia mp(P) b) Với điều kiện nào a,b,c thì thể tích hai phần đó nhau? Giaûi A Ñaët S = SABC ,ta coù: C A1 B VABC.A1B1C1 =VA1 ABC +VA1 BCC1B1 H C1 A' B1 B' C' 1 = a.S+ SBCC1B1 d(A1 ,(BCC1B1 )) 3 1 = a.S+ (b+c)BC.d(A1 ,(BCC1B1 )) 3 1 = a.S+ (b+c).S= (a+b+c).S 3 Maët khaùc: VA1B1C1 A'B'C' =VABC.A'B'C'1 -VABC.A1B1C1 39 (40) HÌNH HOC12(SGK) 1 = S.h- (a+b+c).S = [(h-a)+(h-b)+(h-c)].S 3 b) 2(a+b+c)=3h GV VOÕ SÓ KHUAÂN Bài 26: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách hai đường thẳng AB và A1D và đường chéo mặt bên a) Hạ AK A’D (KA’D).Chứng minh AK = b) Tính theå tích khoái laêng truï Giaûi C' B' a) Ta coù: AB//A’B’ AB//(A’B’D) d(A,(A’B’D))= d(AB,A’D) A' A’B’(AA’D’D) A’B’ AK (1) D' Maø A’D AK (2) Từ (1) và (2) suy ra: (A’B’D) AK Vaäy AK = d(A,(A’B’D))= d(AB,A’D)= K b) AA’D vuông có AK là đường cao nên: B C AK2 = KA’.KD (*) Ñaët A’K = x , A D (*) = x.(5 –x) x2 - 5x + = x = 1;x = + Với x = 1: AD AK KD 2 5; AA ' A ' D AD + Với x = 4: V 20 V 10 Bài 27: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông cân cạnh huyền · 'AB là góc nhọn ,góc hai AB = Cho bieát (AA’B)(ABC) , AA ' = vaø A maët phaúng (A’AC) vaø (ABC) baèng 600 Tính theå tích khoái laêng truï A' C' A M K Giaûi B' Dựng AK AB và cùng với (AA’B)(ABC) A’K (ABC) Vì A· 'AB laø goùc nhoïn neân K thuoäc tia AB Keû KM AC thì A’M AC (theo định lý đường vuông góc) · 'MK = 60o Vaäy A (góc hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC)) B Ñaët A’K = x ,ta coù: Trong AA’K : C AK A ' A A ' K x 40 (41) HÌNH HOC12(SGK) Trong MA’K : MK= A’K.tan600 = AMK vuoâng caân suy : GV VOÕ SÓ KHUAÂN x AK MK x Vaäy: x x2 x V 10 Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành góc A 600 Các đường chéo AC’ và DB’ tạo với đáy góc 450 và 600 Tính theå tích khoái laêng truï bieát chieàu cao cuûa noù baèng Giaûi Ta coù: C' B' ' AC 45 , B ' DB 60 C ;suy BD 2 cot 60 A' D' B vaø Theo ñònh lyù cosin : BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos450 AC2 = CD2 + AD2 – 2CD.AD.cos1350 C Trừ vế tương ứng : AB AD A ra: AC = CC’=2 D 2 SABCD = AB.AD.sin600 = VABCD A ' B 'C ' D ' SABCD AA ' AB.AD.sin 60 0.AA ' 4 2 3 2 Baøi 29: Cho khoái hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù caùc caïnh baèng vaø baèng a, · 'AB = BAD · · 'AD = a (00 < a < 900) A =A Tính theå tích khoái hoäp Giaûi Dựng AHAC (1) (HAC) Tam giác A’BD cân (do A’B=A’D )suy BDA’O Vaäy BDAC vaø BDA’O BD(A’AO)BDA’H (2) Từ (1) và (2) A’H(ABCD) C' B' A' D' B H A A'AO= ,ta có hệ thức : cos cos cos Thaät vaäy: Keû A’KAD thì HKAK (theo ñònh lyù C 41 O K Ñaët : D (42) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN đường vuông góc) cos cos AH AK AK cos AA ' AH AA ' Maët khaùc :A’H = a.sin = Vaäy : cos cos cos cos VABCD A ' B 'C ' D ' SABCD A ' H AB AD.sin A ' H 2a sin C' B' A' D' B K A C H M cos cos Baøi 30 : Cho hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật và AB = 3;AD = Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 và 600 Tính theå tích khoái laêng truï bieát caïnh beân cuûa noù baèng D Giaûi Dựng A’H(ABCD) (H(ABCD)) và HMAD và HKAB (như hình vẽ) Theo định lý đường vuông góc suy ra: ADA’M và ABA’K A'MK= 60 ; A'KH=45 Ñaët A’H = x A' H x 2x x2 2 A' M AM A ' A A ' M HK sin 60 sin 60 ; Ta coù: Maø : HK=A’H=x neân: Vaäy: x2 x x VABCD A ' B 'C ' D ' SABCD A ' H AB AD.x 3 Baøi 31: Cho laêng truï tam giaùc ABC.A1B1C1 coù maët beân ABB1A1 dieän tích baèng 4.Khoảng cách cạnh CC1 và mặt (ABB1A1) 7.Tính thể tích khối lăng truï 42 (43) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN A1 D1 B1 C1 A B D Giaûi Ta dựng khối hộp ABCD.A1B1C1D1 vaø ñaët h = d((CDD1C1),(ABB1A1)) = d(CC1,(ABB1A1)) = Khi đó: VABC A1B1C1 VABCD A1B1C1D1 SABB1 A1 h 14 C Bài 32: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M là trung điểm AB.Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giaûi Goïi I = MB’ AA’ vaø N = IC’ AC.Mp(B’C’M) caét hình laêng truï theo thieát dieän laø hình thang caân B’C’NM Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ làm hai phần : Gọi V1 là phần chứa cạnh AA’ vaø V2 laø phaàn coøn laïi Ñaët S = SABC vaø AA’ = h Ta coù : 1 = S IA'SAMN IA V1 =VAMN.A'B'C' =VI.A'B'C' -VI.AMN A'B'C' 1S 7 = S.2hh= Sh = VABC.A'B'C' = (V1 +V2 ) 3 12 12 12 V 1= V2 43 (44) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Baøi 32 Baøi 33 C A I M A B E' E B A' F C' N C B' B' A' C' F' Bài 33: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi E,F là trung điểm AA’ và BB’.Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ E’ ;đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ F’và gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ a) Tính theå tích khoái laêng truï theo V b) Goïi (H) laø phaàn coøn laïi cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’ sau caét boû ñi phaàn khoái choùp C.ABFE Tính tæ soá theå tích cuûa (H) vaø cuûa khoái choùp C.C’E’F’ Giaûi Hình chóp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy và chiều cao 1 VC.A'B'C' = V VC.ABB'A' =V- V= V 3 neân: Do EF là đường trung bình hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABEF 1 VC.ABFE = VC.ABB'A' = V nửa diện tích ABB’A’,suy ra: V(H) =VABC.A'B'C' -VC.ABFE =V- V= V 3 b) Ta coù: Vì EA’ là đường trung bình tam giác E’C’C nên suy A’B’ là đường trung bình tam giác C’E’F’ đó: SC’E’F’ = 4SC’A’B’ V(H) VC.E'F'C' =4VC.A'B'C' = V = VC.E'F'C' vaäy: Bài 34:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M là trung điểm AA’.Mặt phaúng ñi qua M,B’,C chia khoái laêng truï thaønh hai phaàn.Tính tæ soá theå tích cuûa hai phần đó 44 (45) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN B' A' M C' Giaûi Mặt phẳng (MB’C) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thaønh hai khoái choùp C.MABB’ vaø B’.MA’C’C.Hai khoái choùp naøy coù chieàu cao và có đáy là hai hình thang vuông neân coù theå tích baèng B A C Bài 35: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có cạnh đáy a,chiều cao h.Tính thể tích khối chóp A.BC’A’ A B A B I H C C A' B' A' B' I' C' C' C1: Ta coù AC//A’C’ AC//(BC’A’) Goïi J laø trung ñieåm cuûa AC thì d(A,(BC’A’))= d(I,(BC’A’)) Goïi I’ laø trung ñieåm cuûa A’C’ thì BI’A’C’ Vaäy BI’A’C’ vaø II’A’C’ A’C’(IBI’) Do đó hạ IH BI’ thì IH A’C’ IH (BA’C’) hay d(A,(BC’A’)) = IH 11 3a h VA.BC ' A ' S BCA ' IH BI '.C ' A '.IH 32 12 C2: VA BC ' A ' VB AA 'C ' 12 3a h VB AA 'C 'C VABC A ' B ' C ' 23 12 45 (46) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Bài 36 :Cho hình chóp tam giác SABC Trên đường thẳng SA, SB, SC lấy VSA 'B'C' SA ' SB ' SC ' V SA SB SC điểm A’, B’, C’ khác với S Chứng minh : SABC A A' C C' S H' B' H B Giaûi Gọi H,H’ là hình chiếu A và A’ lên mặt phẳng (SBC) Vì ba điểm S,A,A’ thaúng haøng neân ba ñieåm S,H,H’ cuõng thaúng haøng Ñaët AH = h vaø A’H’ = h’,goïi S,S’ laø dieän tích cuûa tam giaùc SBC vaø tam giaùc SB’C’ vaø BSC= h ' SA ' 1 S ' SB ' SC ' S ' SB '.SC '.sin ; S SB.SC.sin 2 S SB SC Ta coù: h SA ; VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 1 VS ABC VA.SBC S h VS A ' B 'C ' VA '.SB 'C ' S '.h ' V SA SB SC 3 S ABC vaø Bài 37: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD chia khối chóp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giaûi Goïi O laø taâm cuûa hình bình haønh vaø G = AMSO thì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc SG SO SBD,suy ra: Vì mp(P) //BD nên nó cắt mp(SBD) theo giao tuyến qua G và song song với SB ' SD ' SG B’D’.Ta coù: SB SD SO 46 (47) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Maët phaúng (P) chia khoái choùp thaønh hai phaàn:khoái choùp S.AB’MD’ vaø khoái ña dieän ABCDB’MD’ , Ta coù: VS AB ' D ' SA SB ' SD ' 2 VS AB ' D ' VS ABD SA SB SD 3 VS ABCD VS MB ' D ' SM SB ' SD ' 2 V S MB ' D ' VS CBD SC SB SD 3 VS ABCD S M Suy : D' G D B' C VS AB ' MD ' VS AB ' D ' VS MB ' D ' VS ABCD VS ABCD VS AB ' MD ' 1 9 VS ABCDB ' MD ' O B A Bài 38: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD.Mặt phẳng (α) qua AB và trung điểm M cạnh SC.Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng đó Giaûi Vì mp(α) // CD nên nó cắt mp(SCD) theo giao tuyến qua M và song song với CD MN // CD Vaäy mp(ABM) caét hình choùp theo thieát dieän laø hình thang ABMN Ta coù: S VS ANB SN 1 V VS ADB VS ABCD S ANB VS ADB SD 2 VS BMN SM SN 1 VS BCD SC SD 2 N M D A O C B 1 VS BMN VS BCD VS ABCD VS ABMN VS ANB VS BMN VS ABCD Vaäy: VS ABMN Do đó: VS ABMNCD 47 (48) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Bài 39: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V.Gọi B’,D’ là trung điểm AB và AD.Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giaûi Ta coù: SABD = 4SAB’D’ A S BDD ' B ' S ABD B' ñaët d(C,(ABD)) = h D' D B S ABD S ABD 4 ; 1 VC AB ' D ' S AB ' D ' h S ABD h 3 ; 1 VC BDD ' B ' S BDD ' B ' h S ABD h 3 VC AD ' B ' VC BDD ' B ' C Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Gọi B’,D’ là hình chiếu A lên SB và SD.Maët phaúng (AB’D’) caét SC taïi C’.Tính theå tích cuûa khoái choùp S.AB’C’D’ Giaûi Ta coù: CB AB’ (vì CB(SAB)) vaø AB’SB AB’SC (1) Tương tự: AD’ SC (2) (1) vaø (2) SC (AB’C’D’) SC AC’ Mặt khác (SAC) là mặt phẳng đối xứng hình choùp S.ABCD neân : VS.AB’C’D’ = 2VS.AB’C’ D Ta coù: S C' D' B' A O B C VS.AB'C' SA SB' SC' SB' SC' = = VS.ABC SA SB SC SB SC = SB'.SB SC'.SC SA SA 4a2 4a2 = 2= 2= SB2 SC2 SB SC 5a 6a 15 48 (49) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN 1 a3 VS.ABC = SABC SA= AB.BC.SA= 3 a3 8a3 16a3 VS.A'B'C' = = VS.A'B'C'D' = 15 45 45 Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B’,D’ là trung ñieåm cuûa SB vaø SD.Maët phaúng (AB’D’) caét SC taïi C’.Tính tæ soá theå tích cuûa khoái choùp S.AB’C’D’vaø S.ABCD Giaûi Gọi O là tâm hình bình hành và I là giao điểm B’D’ với SO;suy I thuộc AC’vaø B’D’// BD Keû AC’’//AC’ SC’ = C’C’’= C’’C S C' B' D' C'' A B O D C SC ' SC Ta coù: VS AB 'C ' SA SB ' SC ' VS ABC SA SB SC SB ' SC ' 1 SB SC V S AB 'C ' VS ABCD 12 VS AC ' D ' V 12 Tương tự : S ABCD VS.AB'C'D' VS.AB'C' +VS.AC'D' = = V V S.ABCD Vaäy: S.ABCD Bài 42:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với cạnh SC cắt SB,SC,SD B’,C’D’ a) Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện vuông b) Giả sử góc cạnh SC và mặt bên (SAB) x Tính tỉ số thể tích khối choùp S.AB’C’D’vaø S.ABCD theo x bieát raèng AB = BC 49 (50) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN ÔN Bài 1:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a SA = h và SA (ABC).Gọi H,I là trực tâm tam giác ABC và SBC a)Chứng minh IH(SBC) b)Tính thể tích tứ diện IHBC theo a và h S F C A I H E B Giaûi a)Goïi E laø trung ñieåm cuûa BCsuy ra:ISE; HAE Vì :CB (SAE) CB IH Ta coù: BH AC vaø BH SA BH (SAC) suy ra: BH SC (1) Maø : BI SC (2) (1) vaø (2) suy ra: SC (BIH) SC IH Toùm laïi: CB IH vaø SC IH IH (SBC) b) Hai tam giác vuông ASE và IHE đồng dạng suy IH IE HE = = SA AE SE ra: a 4h +3a2 a AE= ; SE= ; HE= 2 Maø: IH= ah ; IE= a2 4h +3a2 4h2 +3a2 1 a4 h VH.IBC = SIBC IH= IE.BC.IH= = 3 36(4h +3a2 ) Vaäy: Bài :Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh a và ba góc đỉnh A baèng 600 Tính theå tích khoái hoäp theo a Giaûi Dựng A’H (ABCD) vaø HF AD vaø HE AB (nhö hình veõ) 50 (51) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Theo định lý đường vuông góc suy ra: AD A’F và AB A’E Ta có : HE = HF (Vì A’AE = A’AF ) suy H thuộc đường phân giác góc BAD ,hơn ABCD là hình thoi nên HAC Vì A’AE là nửa tam giác nên : D' a a C' AE ; A'E= Vì AHE vuoâng neân : A' B' D C F A H B E a a HE = AE.tan300 = a A ' H A ' E HE a2 a2 S ABCD 2 S ABD 2 vaø V =S A'H Vaäy: ABCD.A'B'C'D' ABCD a3 Baøi : Cho khoái laêng truï tam giaùc ABC.A’B’C’ coù theå tích baèng V vaø M laø trung ñieåm cuûa caïnh beân AA’.Caét khoái laêng truï baèng hai maët phaúng (MBC) vaø (MB’C’) ta ba khối chóp đỉnh M a) Kể tên ba khối chóp đó b) Tính theå tích ba khoái choùp noùi treân theo V A M C B C' A' Giaûi a) Ba khối chóp đó là: M.ABC ; M.BB’C’C ; M.A’B’C’ b) Gọi S,h là diện tích đáy và chiều cao cuûa khoái laêng truï,ta coù: h Sh V S 6 VM.ABC =VM.A’B’C’ = VM.BB’C’C = V – (VM.ABC +VM.A’B’C’) B' 51 (52) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN Baøi : Cho khoái laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh baèng a a) Chứng minh tứ diện ACB’D’ là tứ diện b) Chứng minh khối tứ diện sau đây có thể tích nhau: D’DAC,B’ABC,AA’B’D’,CC’B’D’.Hãy tính thể tích khối khối đó theo a A D B C A' Giaûi Bốn khối tứ diện D’DAC,B’ABC,AA’B’D’,CC’B’D’laø boán khoái choùp tam giaùc D’.DAC,B’.ABC,A.A’B’D’,C.C’B’D’ D' B' C' Bài :Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA= 2a; ABC vuông C có · = 300 Gọi H,K là hình chiếu A lên SC và SB AB =2a , CAB a) Tính theå tích cuûa khoái choùp H.ABC b) Chứng minh AH SB và SB (AHK) c) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.AHK Giaûi a) Trong mp(SAC) keû HI // SA thì HI (ABC) S a3 VH.ABC = SABC IH= = Vaäy K H A B I C VH.ABC =VB.AHC = SAHC BC Caùch 2: VS.AHK SA SH SK SH = = V SA SC SB SC S.ABC b) c) SH SC SA2 SC 2 SA2 AC 52 (53) HÌNH HOC12(SGK) GV VOÕ SÓ KHUAÂN 2a VS.AHK = VS.ABC = = 21 VS.AHK = SAHK SK Caùch 2: Bài :Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là ABC vuông B và AB = a, BC = 2a ,AA’ = 3a Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’ cắt các đoạn thẳûng CC’,BB’ M,N a) Tính theå tích khoái choùp C.A’AB b) Chứng minh AN A’B c) Tính thể tích khối tứ diện A’AMN d) Tính dieän tích tam giaùc AMN Giaûi B' VC AA ' B VA ' ABC S ABC AA ' a) = = a3 C' A' N M B A I b) Ta coù: CB AB vaø CB AA’ CB (A’AB) CB AN (1) Theo giaû thieát : CA’ (AMN) CA’ AN (2) Từ (1) và (2): AN (CBA’) AN A’B C c) Ta coù: VA’AMN = VM.AA’N = VM.AA’B (Vì NB // AA’ d(N,AA’) = d(B,AA’)) = VC.AA’B (Vì MC // (AA’B) d(M,(AA’B)) = d(C,(AA’B)) 1 S AA ' B CB a.3a.2a a 3 = 3VA'.AMN a2 14 VA'.AMN = SAMN A'I SAMN = = = A'I d) Ta coù: 53 (54)