Đang tải... (xem toàn văn)
b Tính EDF Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và trong tại các đỉnh A và C cuả tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài của góc D của tam giác ADC suy ra DE là phân giác[r]
(1)Toán BDHS Giỏi Hình học Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ABC 300 và BAC 1300 Gọi Ax là tia đối tia AB, đường phân giác góc ABC cắt phân giác CAx D Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD E So sánh độ dài AC và CE Giải: Gọi Cy là tia đối tia CB Dựng DH, DI, DK vuông góc với BC AC, AB Từ giả thiết ta suy DI = DK; DK = DH nên suy DI = DH ( CI nằm trên tia CA vì điểm I thuộc tia đối CA thì DI > DH) Vậy CD là tia phân giác I Cy và I Cy là góc ngoài tam giâc ABC suy A B 300 1300 800 2 Mặt khác CAE 180 1300 500 Do đó, CEA 500 nên CAE cân C Vậy CA = CE ACD DCy Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm Các đường trung tuyến BD và CE có độ dài theo thứ tự cm và 12cm Chứng minh rằng: BD CE Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó ta có: 2 GC CE 12 cm 3 2 GB BD cm Tam giác BGC có 102 62 82 hay 3 2 BC BG CG Suy BGC vuông G hay BD CE Bài toán 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC và CE Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm AM, AN với BE Chứng minh BI = IK = KE Giải: Do AM và BD là hai trung tuyến tam giác ABC cắt I nên I là trọng tâm tam giác ABC, ta có: BI BD (1) 3 Ta có K là trọng tâm tam giác ACE nên EK ED (2) 3 Mà BD = DE từ (1) và (2) suy BI = EK (3) Mặt khác, ta lại có: ID BD và KD ED suy ID = KD ( BD = ED ) nên IK BD (4) Từ (3) và (4) suy BI = IK = KE Bài toán 4: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm và trung tuyến CF = 15cm Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm) Giải: (2) Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho DM = DG đó 2 2 AD 12 8(cm) ; BG BE 6(cm) ; 3 3 BDM CDG(c.g.c) nên suy GCD DBM (so le trong) nên 2 BM//CG và MB = CG mà CG CF 15 10(cm) Mặt 3 2 2 khác, ta có 10 hay BM BG MG Suy BGD AG = GM = vuông G Theo định lý Pythagore ta có BD BG GD 62 42 52 Vậy BC = 2BD = 52 14, 4(cm) Bài toán 5: Chứng minh tổng độ dài ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi và nhỏ chu vi tam giác Giải: Ta có 2AD AB AC ; 2BE AB BC ; 2CF BC AC nên suy AD BE CF AB BC CA hay AD BE CF AB BC CA (1) Trong tam giác BGC có: BG + GC > BC mà BG BE 2 CG CF nên BE CF BC BE CF BC 3 3 Tương tự ta có CF AD AC ; BE AD AB Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta có: 2 3 AD BE CF AB BC CA D BE CF AB BC AC (2) Kết hợp (1) và (2) suy AB BC AC AD BE CF AB BC AC (đpcm) Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm AB và BC Vẽ các điểm M, N cho C là trung điểm ME và B là trung điểm ND Gọi K là giao điểm AC và DM Chứng minh N, E, K thẳng hàng Giải: Tam giác MND có BE = EC = CM nên ME MB mà MB là trung tuyến nên E là trọng tâm suy NE là trung tuyến tam giác NMD Mặt khác, DE //AC DE là đường trung bình tam giác ABC hay DE // KC mà C là trung điểm ME nên K là trung điểm DM Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng (3) Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Gọi I là trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE = IA Gọi N là trung điểm EC Chứng minh đường thẳng AM qua N Giải: Tam giác AEC có CI là đường trung tuyến (vì IE = IA) nên CM CI nên M là trọng tâm tam giác AEC đó AM qua N Bài toán 8: Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC và BAH 2C Tia phân giác B cắt AC E a) Tia phân giác BAH cắt BE I Chứng minh tam giác AIE vuông cân b) Chứng minh HE là tia phân giác AHC Giải: a) Chứng minh AIE vuông cân: Ta có AH BC nên tam giác AHC vuông H nên CAH HCA 900 (1) Do AI là phân giác BAH nên BAH BAH IAH mà BAH 2C (gt) nên IAH C (2) Từ (1) và (2) suy CAH IAH 900 nên 1 tam giác AIE vuông A Ta có ABI B ; BAI BAH 2 IAH BAI 2 Do AIE là góc ngoài tam giác BIA nên AIE ABI BAI ( B BAH ) 900 450 nên tam giác AIE vuông cân b)Chứng minh HE là tia phân giác AHC Ta có IA AC mà AI là phân giác tam giác BAH nên AE là phân giác ngoài tam giác ABH A BE là phân giác tam giác ABH suy HE là phân giác ngoài AHC Bài toán 9: Cho tam giác ABC có góc A 1200 Đường phân giác AD, đường phân giác ngoài C cắt AB K Gọi E là giao điểm DK và AC Tính số đo góc BED Giải: Tam giác ADC có hai phân giác ngoài A và C cắt K nên DK là phân giác ADC Trong tam giác BAD có AE và DE là hai phân giác ngoài các góc A và D cắt E nên BE là phân giác góc B EDC là góc ngoài tam giác BDE nên ta có EDC DBE DEB mà EDC ADE ( DE là phân giác ADC ) suy DEB EDC DBE EDA EDA ABD ADC ABC BAD 600 ABD 300 2 2 (4) Bài toán 10: Cho tam giác ABC có A 1200 các đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE là tia phân giác ngoài tam giác ADB b) Tính EDF Giải: a) Chứng minh DE là tia phân giác ngoài tam giác ADB Tam giác BAD có AE và BE là hai phân giác ngoài và đỉnh A và B (Do A 1200 ) nên DE là phân giác ngoài tam giác ABD b) Tính EDF Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và các đỉnh A và C cuả tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài góc D tam giác ADC suy DE là phân giác đỉnh D nên DE DF hay EDF 900 Bài toán 11:Cho tam giác ABC cân A, M là trung điểm BC Kẻ MH vuông góc với AB Gọi E là điểm thuộc đoạn AH Trên cạnh AC lấy điểm F cho AEF 2.EMH Chứng minh FM là tia phân giác góc EFC Giải: Tam giác ABC cân A có AM là trung tuyến nên AM là phân giác BAC Tam giác AEF có AM là phân giác góc A nên ta phảI chứng minh EM là phân giác góc ngoài E tam giác AEF Thật vậy, Do tam giác EMH vuông H nên HEM 900 EMH mà AEF EMH Do đó HEM 900 EMH 900 AEF 1 Mặt khác ta có 1 FEM 1800 ( AEF BEM ) 1800 AEF 900 AEF 900 AEF (2) Từ (1) và (2) suy 2 AEF 2.EMH (gt) nên HEM = FEM hay EM là phân giác BEF Tia phân giác AM góc A và tia EM là phân giác ngoài tam giác AEF cắt M nên FM là phân giác ngoài AFE hay FM là phân giác EFC Bài toán 12: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD và CE cắt I và ID = IE Chứng minh B = C hay B + C 1200 Giải: Qua I kẻ IH AB và IK AC , Do I là giao điểm hai đường phân giác nên IH IK và ID IE gt nên IHE IKD (cạnh huyền, cạnh góc vuông) nên suy ADB BEC (1) a) Trường hợp K AD; H BE thì ta có BEC A C ( (5) BEC là góc ngoài AEC ) (2) 1 ADB C B ( ADB là góc ngoài DBC ) (3) Từ (1); (2) và (3) A C C B 2 1 A C B A C B A A C B 1800 A 600 C B 1200 2 b) Nếu H AE và K DC thì suy tương tự trên ta có C B 1200 1 c) Nếu H EB và K DC thì A C A B C B 2 1 d) H AE và K DA thì C B B C C B 2 Vậy bốn trường hợp trên ta luôn có B = C C B 1200 Bài toán 13: Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngoài đỉnh A cho tam giác EBC có chu vi nhỏ Giải: Chu vi tam giác EBC nhỏ và tổng EB + CE nhỏ Vẽ BH vuông góc với phân giác ngoài góc A cắt AC D vì đường thẳng a ( đường phân giác ngoài đỉnh A) cuả tam giác ABC nên a là đường trung trực BD nên EB = ED Do đó EB EC ED EC DC với điểm E thuộc a ta có EB EC DC xảy dấu đẳng thức thì E nằm D và C Vậy E A thì chu vi tam giác EBC nhỏ Bài toán 14: Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M trên cạnh BC cho vẽ các điểm D, E đó AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực ME thì DE có độ dài nhỏ Giải: Ta có AB là đường trung trực MD nên AD AM ( 1) AC là đường trung trực ME nên AM AE (2) Từ (1) và (2) suy AD AE nên tam giác ADE cân A và DAE 2.BAC không đổi nên DE đạt nhỏ AD nhỏ AD AM AH với AH BC xảy dấu M H đó DE đạt giá trị nhỏ Bài toán 15: Cho A nằm góc xOy nhọn Tìm điểm B,C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải: Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox Nên Oy, Ox là các đường trung trực AD và AE Khi đó ta có CA = CD và BE = BA nên chu vi tam giác ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE (6) DE Dấu đẳng thức xảy và B M ; C N Do đó ABC có chu vi nhỏ vị trí AMN Bài toán 16: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh giao điểm các đường phân giác tam giác ABC là giao điểm các đường trung trực tam giác ADE Giải: Ta có ADE là góc ngoài tam giác ADB nên ADE DBA BAD Mặt khác ta có: DAC CAH HAD mà ABH HAC ( cùng phụ với BAH ); BAD DAH (Do AD là tia phân giác BAH nên ADC DAC Vậy tam giác CAD cân C mà CK là đường phân giác nên CK là đường trung trực AD Tương tự ABE cân E mà BP là đường phân giác nên BP là đường trung trực AE Nên M là giao điểm hai đường phân giác CK và BP là giao điểm hai đường trung trực tam giác ADE Bài toán 17:Cho tam giác ABC cân A, các điểm E và D theo thứ tự di chuyển trên hai cạnh AB và AC cho AD = CE Chứng minh các đường trung trực DE luôn qua điểm cố định Giải: Khi D B E A Đường trung trực DE chính là đường trung trực AB Khi D A E C Đường trung trực DE chính là đường trung trực AC Gọi O là giao điểm hai đường trung trực AB và AC Ta phải chứng minh đường trung trực DE qua O Ta có tam giác ABC cân A nên O nằm trên đường trung trực BC Suy AH = KC mà AD = CE (gt) nên DH = KE và OH = OK nên HDO KEO c.g.c Do đó OD = OC Vậy đường trung trực DE qua điểm cố định O Khai thác bài toán trên: Nếu ABC với AC > AB và BD = CE thì các đường trung trực DE luôn qua điểm cố định nào? Tìm điểm đặc biệt: Khi D B E C Đường trung trực DE chính là đường trung trực BC Khi D A E G Với G AC Đường trung trực AG là (d’) cắt đường trung trực (d) BC K Vậy đường trung trực DE qua K Thật vậy, trên cạnh AC lấy điểm G cho AB = CG Gọi K là giao điểm hai đường trung trực (d) và (d’) các đoạn thẳng BC và AG đó ta có KB = KC và KA = KG nên (7) AKB GKC c.c.c nên suy ABK GCK , hay DBK ECK nên DKB EKC c.g.c suy KD = KE Vậy đường trung trực DE luôn qua K (đpcm) Bài toán 18: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E và F cho ABE CBF Chứng minh ACE BCF Giải: Vẽ K, H, I cho BC, AC, AB là các đường trung trực KF, EH, EI Khi đó ta có HCE ACE ; KCF 2.FCB Ta phải chứng minh ACE BCF Ta có AI = AE = AH (vì AB là đường trung trực EI) nên tam giác AHI cân A mà AE là phân giác nên AD là đường trung trực IH đó IF = FH (1) Ta lại có BK = BF ; IBE FBK và BI = BE nên BEK BIF c.g.c suy EK = IF (2) Từ (1) và (2) suy EK = FH (3) Xét tam giác HCF và ECK ta có HC = EC (4) ( vì AC là đường trung trực EH); CF = CK (vì BC là đường trung trực KF) (5) Từ (3) ,(4) và (5) nên HCF ECK c.c.c suy HCF ECK HCE ECF KCF FCE HCE KCF ACE BCF (đpcm) Bài toán 19: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác tam giác ABC, ABH, ACH Chứng minh AE IK Giải: Ta có B HAC ( vì cùng phụ với BAH ) B ( Do BI là tia phân giác góc B) CAH ( Do AD là tia phân giác góc CAH ) HAD DAC Từ đẳng thức trên suy ABI DAC mà DAC KAB 900 ABI KAB 900 ADB 900 nên BD AD Chứng minh tương tự ta có CE AI Tam giác AIK có hai đường cao cắt E nên E là trực tâm tam giác nên AE IK ABI IBC Bài toán 20: Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ ngoài tam giác các tam giác vuông cân ABD, ACE với B = C 900 a) Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng HA K Chứng minh DC BK b) Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy Giải: a) Chứng minh DC BK : Ta có BEC KCA cùng phụ với KCE (8) HKC HBE cùng phụ với KIE nên suy KAC ECB và AC = CE (gt) nên KAC BCE g.c.g suy KA = BC Mặt khác ta có BD =AB ; KAB DBC ; KA = BC nên DBC BAK c.g.c suy BKH DCB và HKB KBH 900 suy DCB KBH 900 BMC 900 ( với M giao điểm DC và KB) nên DC BK M b) Trong tam giác KBC ba đường cao AH, CD, BE nên đồng quy I Bài toán 21: Gọi H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC < AB + AC b) HA HB HC AB BC AC Giải: a) Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC Ta kẻ NH // AC và HM //AB Khi đó ta có HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tính chất đoạn chắn) Do BH vuông góc với AC mà HN //AC nên BH HN Do đó BH < BN (2) Tương tự ta chứng minh đựơc HC < CM (3) Từ (1) ; (2) và (3) suy HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm) b) Ta có HA + HB + HC < AB + AC ( Theo câu a) Tương tự HA + HB + HC < BC + AC HA + HB + HC < AB + BC Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: HA HB HC AB BC AC HA HB HC AB BC AC (đpcm) Bài toán 22: Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N là trung điểm AB, AC Kẻ NH CM H Kẻ HE AB E Chứng minh tam giác ABH cân và HM là phân giác góc BHE Giải: Từ A ta kẻ AK CM K và AQ HN Q Hai tam giác vuông MAK và NCH có MA = NC = AB ACH MAK (cùng 2 phụ với góc KAC) nên MAK NCH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AK = HC (1) Ta lại có BAK ACH c.g.c BKA AHC Hai tam giác vuông AQN và CHN có NA = NC và ANQ HNC (đ.đ) nên ANQ CNH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AQ = CH (2) Từ (1) và (2) suy AK = AQ nên HA là tia phân giác góc KHQ suy AHQ 450 AHC 900 450 1350 AKB 1350 Từ AKB BKH AKH 3600 BKH 1350 Tam giác AKH có KHA 450 nên nó vuông cân K KA KH Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung ; BKA BKH 1350 ; AK KH BKA BKH c.g c KHB MAK ; AB BH hay tam giác BAH cân B Ta có KHB MAK và KE // CA nên ACH EHM (đồng vị) vì ACH MAK suy EHM MHB nên HM là tia phân giác EHB (9) Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh hình học: Bài toán 23: Tam giác ABC có hai góc B và C nhọn Kẻ AH BC Chứng minh H nằm BC Giải: Ta thấy H, B, C là ba điểm phân biệt Thật vậy, H trùng với B C thì B 900 C 900 Trái với giả thiết Trong ba điểm phân biệt thì có và điểm nằm hai điểm Giả sử C nằm B và H thì ACH 900 suy BCA 900 trái với giả thiết Giả sử B nằm C và H thì ABH 900 suy CBA 900 trái với giả thiết Vậy H nằm B và C Bài toán 24: a) Tam giác ABC có B 600 và BC AB Chứng minh C 900 b) Tam giác ABC có B 600 và BC = 2dm; AB = 3dm Gọi D là trung điểm BC Chứng minh AD = AC Giải: a) Giả sử C 90 Kẻ AH BC thì H không trùng C nên ABH vuông H suy 1 AB Theo giả thiết ta có BC AB nên BH = BC suy H trùng 2 với C mâu thuẩn Nên C 90 b) Gọi H là trung điểm DC thì BH 1,5dm Do đó BH AB Theo câu a) AHB 900 nên AHD AHC c.g.c suy AD = AC BAH 300 nên BH Bài toán 25: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH Trên tia HD lấy điểm C cho HD = HA Trên nửa mặt phẳmg bờ BD không chứa điểm A vẽ tia Dx cho BDx 150 Dx cắt AB E Chứng minh HD = HE Giải: Giả sử HD > HE thì HED 150 (1) Mặt khác HD > HE nên HA > HE đó AEH 300 (2) Từ (1) và (2) BED 450 nên ABD BED BDE 450 150 600 TráI với giả thiết tam giác ABC Tương tự giả sử HD < HE ta chứng minh ABD 600 , trái với giả thiết Nên HD = HE (đpcm) Bài toán 26: Tam giác ABC nhọn , đường cao AH, đường trung tuyến BI, đường phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Chứng minh tam giác DEF không thể là tam giác Giải: Giả sử tam giác DEF thì CFH 600 nên FCH 300 suy ACF 300 Ta lại có CEI 600 suy BIC 900 Tam giác ABC có BI là trung tuyến là đường cao nên tam giác ABC cân B lại có ACB 600 nên tam (10) giác ABC Do đó AH, BI, CK đồng quy tức là D, E, F trùng nhau, trái với giả thiết Vậy tam giác DEF không thể là tam giác Bài toán 27: Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường phân giác AD, đường trung tuyến BM, và đường cao CH đồng quy Chứng minh A 450 Giải: Giả sử A 45 Trên tia Hx lấy điểm E cho HE = HA thì AEC EAC 450 ACE 900 Ta chứng minh ACB ACE nên trái với giả thiết tam giác ABC các góc nhọn Thật vậy, ta chứng tỏ B thuộc tia Ex Gọi O là giao điểm các đường CH,BM,AD và F là giao điểm EO và AC Xét tam giác EAC có EA > EC ( vì EA đối diện với góc AC còn M là trung điểm AC nên M nằm A và F vì B thuộc tia Ex Do đó ABC ACE mà lớn hơn) mà FE là phân giác góc CEA nên AF > FC suy AF ACE 900 ACB 900 Trái với giả thiết nên A 450 Bài toán 28: Cho tam giác ABC có BC = AB Gọi M là trung điểm BC và D là trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Giải: Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE nên ta có ADB EDM (đ.đ) DB = DM nên ABD EMD (c.g.c) suy AB = ME và ABD DME Vì AB = ME = MC = BC nên MC = ME Ta lại có AMC B BAM ( góc ngoài tổng hai góc không kề nó tam giác ABM) mà ABD DME và BAM BMA (Do tam giác BAM cân B) Suy AMC BME BMA AMC AME Vậy AME AMC c.g.c Suy AC = AE =2AD (đpcm) Bài toán 29:Cho tam giác ABC vuông cân A và M là trung điểm BC Trên tia BC lấy điểm D với D khác B và M Kẻ BK vuông góc với AD K Chứng minh KM là phân giác phân giác ngoài tam giác BKD đỉnh K Giải: Khi D trùng với C thì K trùng với A Khi đó AM BC M nên kết luận đúng Từ M ta hạ MH KB và MI KD nên MH MI M và MH //KD Do đó AMI 900 AMH BMH và AMI 900 BMI BMH Khi M nằm ngoài đoạn BD Do đó BMH AMI ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy MI = MH Do M cách hai đoạn thẳng KB và KD nên KM là phân giác BKD (11) Tính số đo các góc tam giác Bài toán 30: Tam giác ABC cân A có A 200 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính ACD ? Cách giải 1: Vẽ tam giác BCE ( với E nằm cùng phia với A có bờ đường thẳng 1800 200 600 200 Hay ECA DAC 200 Xét tam giác DAC và ECA có DA = EC; ECA DAC ; AC cạnh chung nên BC) nên ECA DAC = ECA (c.g.c) suy CAE ACD mà AEB AEC c.c.c nên BAE CAE 100 Vậy ACD 100 Cách giải 2: Vẽ tam giác ADE nằm ngoài tam giác ABC thì CAE 800 Do đó CAE ABC c.g.c nên CE =AC ACE BAC 200 Nên ACD ECD c.c.c suy ACD ECD 100 Cách giải 3: Vẽ tam giác ACK ta chứng minh tam giác CDK cân K (vì KAD 800 , KA = AB; AD = BC nên KAD ABC c.g.c suy KD = AC = KC ) nên DKC AKC AKD 600 200 400 suy KCD (1800 DKC ) : (1800 400 ) : 700 DCA 700 600 100 Cách giải 4: Vẽ tam giác FAB với F và C cùng phía AB Nên tam giác AFC cân A Tính FAC 400 nên 1800 400 AFC 700 BFC 100 CBF 200 ADC BCF c.g c ACD BFC 100 Chú ý : Nếu giả thiết cho ACD 100 thì AD = BC ta xét DAC = ECA (c.g.c) Bài toán 31: Cho tam giác ABC cân có B C 500 Gọi K là điểm tam giác cho KBC 100 ; KCB 300 Chứng minh tam giác ABK cân và tính BAK ? Giải: Dựng tam giác EBC có đỉnh E và A cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là BC Nên EAB EAC c.c.c Do B C 500 nên EBA ECA 600 500 100 và EA là phân giác BEC BEA CEA 300 Do đó EBA CBK (g.c.g) nên AB = BK hay tam giác BAK cân B BAK 1800 ABK : 1800 400 : 700 Bài toán 32: Tính các góc tam giác ABC cân A biết trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = DC = BC Giải: (12) Đặt A x thì ACD x Do đó BDC x ; B x mà tam giác ABC có A B C 1800 nên x x x 1800 5x 1800 x 360 Vậy x A 360 Nên B C 1800 360 : 720 Bài toán 33: Tam giác ABC có B 600 ; C 300 Lấy điểm D trên cạnh AC Điểm E trên cạnh AB cho ABD 200 ; ACE 100 Gọi K là giao điểm BD và CE Tính các góc tam giác KDE Giải: Tam giác ABC có B 600 ; C 300 suy A 900 Do đó CEA 900 100 800 ; BDA 900 200 700 ; CKB DKE 1800 KCB CBK 1800 (200 400 ) 1200 Gọi I là giao điểm hai đường phân giác các góc BCK ; KBC nên CKI BKI 600 Do đó KEA BKE KBE BKE KEA KBE 800 200 600 nên IKB EKB g.c.g suy KI = KE Tương tự ta chứng minh IKC DKC g.c.g suy KI = KD Do đó KD = KE Tam giác KDE cân K suy KDE KED (1800 1200 ) : 300 Bài toán 34: Cho tam giác ABC góc A 900 và các góc B, C nhọn, đường cao AH vẽ điểm D và E cho AB là đường trung trực HD , AC là đường trung trực HE Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm DE với AB và AC Tính các góc AIC và AKB Giải: Trường hợp A 90 Thì IB và KC là hai phân giác ngoài tam giác IHK Do đó HA là phân giác Do AHC 900 nên HC là phân giác ngoài đỉnh H Các phân giác ngoài cắt C nên IC là phân giác góc HIK Do 1800 900 BIC 900 hay AIC 900 Chứng minh tương tự ta có BK KC ( đó BIH HIC phân giác KB và phân giác ngoài góc K) nên AKB 900 Trường hợp A 900 Tam giác HIK có KC, IB là các tia phân giác góc HKI , HIK và KB , IC là các tia phân giác ngoài HKI , HIK nên AIC AKB 900 Bài toán 35: Cho tam giác ABC có AH là đường cao, phân giác BD và AHD 450 Nêu cách vẽ hình và tính ADB Giải: (13) *) Vẽ tam giác BHD cho BHD 1350 , vẽ đường thẳng vuông góc với BH H vẽ tia Bx cho HBD DBx cắt đường thẳng vừa vẽ điểm A Hai tia AD và BH cắt C, ta hình thoả mãn đề cần vẽ Xét ABH ta có HAx ABH AHB ABH 900 ABD 900 ( Do BD là tia phân giác góc B) Ta lại có HAx 2CAx (vì tia BD là phân giác và tia HD là phân giác ngoài cắt D nên AD là phân giác ngoài tam giác BHA) Vậy ABD 900 = 2CAx ABD 450 = CAx (1) Mặt khác, tam giác ABD có CAx ABD ADB (định lý góc ngoài tam giác ABD) Từ (1) và (2) suy ABD 450 = ABD ADB ADB 450 Bài toán 36: Cho tam giác ABC có K là giao điểm các đương phân giác, O là giao điểm các đường trung trực, BC là đường trung trực OK Tính các góc tam giác ABC Giải: Do O là giao điểm các đường trung trực tam giác ABC nên OB = OC Suy OBC cân O suy OBC OCB , Mà BC là đường trung trực OK nên BO = BK ; OC = CK Do đó OBC KBC; OCB BCK K là giao điểm các đường phân giác nên OBC KBC KBA OCB BCK KCA Ta lại có OA = OB nên OBA OAB và CA = OC nên OCA OAC Do đó, BAC BAO OAC ABO OCA 3 3 6 mà ABC có BAC ABC BCA 1800 2 6 2 1800 10 1800 180 Vậy ABC BCA 360 ; BAC 1080 Bài toán 37: Cho tam giác ABC có B 600 ; C 450 Trong góc ABC vẽ tia Bx cho xBC 150 Đường vuông góc với BA A cắt Bx I Tính ICB Giải: Trên cạnh BC lấy điểm K cho AB = BK nên tam giác ABK cân B có B 600 nên tam giác ABK Do đó KB = KA Ta lại có tam giác ABI vuông A mà ABI ABC IBC 600 150 450 nên tam giác ABI vuông cân A suy AB = AK = AI Do B 600 ; C 450 nên A 750 Nên KAC BAC BAK 750 600 150 ; CAI 900 A 900 750 150 Do đó AKC AIC c.g.c ACK ACI 450 ICB ACK ACI 900 Vậy ICB 900 (14) Bài toán 38: Cho tam giác ABC có B 750 ; C 450 Trên cạnh BC lấy điểm D cho BAD 450 Đường vuông góc với DC C cắt tia phân giác ADC E Tính CBE Giải: 0 Ta có B 75 ; C 45 và BAD 450 suy BDA 600 nên ADC 1200 mà DE là phân giác ADC nên ADE EDC 600 Ta lại có CE là phân giác DCE và DA là phân giác ngoài EDC cắt A nên EA là phân giác ngoài E DCE vuông C có EDC 600 DEC 300 Do đó AED 1800 DEC : 1800 300 : 750 (do EA là phân giác ngoài E) suy DAE 450 Do đó ABD ADE g.c.g BD = ED nên tam giác BDE cân D nên ta có EBD (1800 1200 ) : 300 Bài toán 39:Cho tam giác ABC, vẽ phía ngoài tam giác các tam giác ABE; ACF Gọi I là trung điểm BC, H là trực tâm tâm giác ABE Tính các góc cuả tam giác FIH Giải: Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho IH = IK Gọi BAC thì HAF 600 300 900 1 ( vì ACF nên FAC 600 và tam giác EAB có H là trực tâm nên HAB 300 900 ) Ta lại có: BIH CIK c.g.c nên suy KCI HBI ABC 300 nên ACB 1800 ABC Do đó: KCI BCA ACF ABC 300 + 1800 ABC 600 2700 KCF 3600 KCI BCA ACF 3600 2700 900 Từ (1) và (2) suy HAF KCF Nên AHF CKF c.g.c HF KF ; AFH CFK HFK 600 đó tam giác HFK suy tam giác HFI là nửa tam giác cạnh HF Các góc tam giác HFI có số đo là: HIF 900 ; IHF 600 ; HFI 300 Bài toán 40: Cho tam giác ABC cân A có BAC 200 Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Cx cho ACx 600 , trên tia lấy điểm D cho AB = CD Tính ADC Giải: Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC vẽ tia Cy cho ACy 600 Tia này cắt AB E Do tam giác ABC cân A có BAC 200 nên B C (1800 200 ) : 800 Trong tam giác BCE có B 800 Góc BEC là góc ngoài tam giác AEC nên ta có BEC A ECA 200 600 800 Nên tam giác CEB cân C suy CE = CB Từ đó ta có AEC ADC c.g.c AEC ADC 1800 800 1000 (15) Bài toán 41: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm E nằm tam giác cho tam giác EAC cân E và có góc đáy 150 Tính góc BEA Giải: Cách giải 1: Vẽ tam giác ACD Ta có tam giác EAC cân E nên EAC ACE 150 nên BAE 900 150 750 Xét BAE và DAE có AB = AD = AC ; BAE DAE 750 ; AE cạnh chung Nên BAE DAE c.g.c AEB AED Do AD = AC và EA = EC nên ED là đường trung trực AC Đồng thời AE là phân giác AEC 1800 2.15 AEC nên AED 750 2 Cách giải 2: Vẽ tam giác EAK nằm ngoài tam giác AEC Ta ABK ACE c.g.c và ABK BEK c.g.c BEA BEK KEA 150 600 750 Bài toán 42: Cho tam giác ABC cân A có A 1000 Điểm M nằm tam giác ABC cho MBC 100 ; MCB 200 Tính AMB Giải: 1800 1000 400 mà MBC 200 MCA 200 nên CM là tia phân giác BCA Trên Tam giác ABC cân A nên ACB tia CA lấy điểm E cho CB = CE nên MCB MCE c.g.c ME MB và EMC BMC 1800 300 1500 EMB 3600 2.BMC 3600 3000 600 Do đó tam giác BME suy BM =BE Ta có: EAB AEM 800 100 900 nên AB ME suy BA là phân giác góc MBE EBA MBA 600 : 300 nên ABM ABE c.g.c BEA AMB 600 100 700 Bài toán 43: Cho tam giác cân A có A 800 Trên cạnh BC lấy điểm D cho CAD 300 Trên cạnh AC lấy điểm E cho EBA 300 Gọi I là giao điểm AD và BE Chứng minh tam giác IDE cân và tính các góc nó Giải: Ta có tam giác ABC cân A có A 800 nên B C 500 mà CAD 300 nên BAD A DAC 800 300 500 Khi đó DBA cân D suy AD = BD Trên BI lấy điểm K cho BAK 100 nên BEA 1800 ( BAE EBA) 1800 (800 300 ) 700 (1) KAE ABC BAK 800 100 700 (2) Từ (1) và (2) suy KAE cân K nên KA = KE Ta chứng minh tam giác AkD cân A nên AK = AD Do đó AD = KE (3) (16) Mặt khác, KAI AKI 400 IKA cân I nên IA = IK (4) Từ (3) và (4) suy IE = ID nên tam giác IED cân I AIK DIE 1800 IAK 1800 800 1000 IDE IED 1800 1000 400 Bài toán 44: Cho tam giác ABC cân A có A 200 , các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC cho BCM 500 ; CBN 600 Tính MNA Giải: Trên cạnh AB lấy điểm D cho AN = AD thì DN //BC và AND 800 Ta tính DNM Gọi I là giao điểm BN và CD thì các tam giác IBC và IDN là các tam giác vì IBC 600 và tam giác ABC cân A Ta chứng minh MN là tia phân giác DNB Thật vậy, Trong tam giác BDC có MDI BDC 1800 DBC DCB 180 800 600 400 (1) Trong tam giác BMC có MBC 800 ; MCB 500 BMC 500 BMC cân B Do đó BM = BC mà tam giác BIC nên IB = BC suy MB = BI hay 1800 200 800 Do đó tam giác BMI cân B mà MBI 20 BIM MID 1800 MIB DIN 1800 800 600 400 (2) Từ (1) và (2) suy MDI DIM nên MDI cân M Suy MD = MI Ta lại có NI = ND nên MN là đường trung trực DI suy DNB 600 MN là phân giác DNB hay DNM 300 2 0 Vậy MNA MND DNA 30 80 110 Bài toán 45: Điểm M nằm bên tam giác ABC vuông cân B cho KA: MB: MC = 1: 2: Tính AMB Giải: Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K và A nằm cùng phía BM) Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a Khi đó ta có AB = BC; MBC ABK ; BM = BK nên ABK CBM c.g.c suy CM = KA = 3a Xét tam giác vuông MBK vuông B ta có MK MB MK 2a 2a 8a 2 Xét tam giác AMB có AM MK a 8a 9a 3a AK 2 ( vì AK = MC) nên tam giác KMA vuông M Vậy AMB AMK KMB 900 450 1350 Bài toán 46: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a b 5c thì c là độ dài cạnh nhỏ 2 Giải: Giả sử c a thì c c a c b 2c b 4c b2 và c a c2 a nên ta có 5c2 a b2 trái với giả thiết (17) Giả sử c b thì c c b c a 2c a 4c2 a và c b c b2 nên ta có 5c2 a b2 trái với giả thiết Vậy c là độ dài nhỏ tam giác (18)