Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA: ĐN1: F(x) nguyên hàm f(x) (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ÑN2: F(x) nguyên hàm f(x) [a; b] ⎧ ⎪ F'(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ⎪ F(x) − F(a) ⎪ ⇔ ⎨ F'+ (a) = lim = f(a) + x→a x−a ⎪ F(x) − F(b) ⎪ = f(b) ⎪ F'− (b) = xlim − →b x−b ⎩ Ký hiệu hình thức ∫ f(x)dx = F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) hay tích phân bất định hàm f(x) VẤN ĐỀ 2: BỔ SUNG VI PHÂN - DẠNG VI PHÂN HÀM HÔÏP: y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1) Giả sử tồn y = f(t) mà t = g(x); hàm hợp y = f[g(x)] có vi phân viết: dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2) NHÓM HÀM LŨY THỪA NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NGƯC d(xn)=nxn-1dx *Các trường hợp đặc biệt: d(ax+b) = adx d(arc sinx) = d(arc cosx) = - dx - x2 dx - x2 dx d(arc tgx) = + x2 dx d(arc cotgx) = + x2 dx ⎛1⎞ d⎜ ⎟ = - x ⎝x⎠ dx d x = x ( ) NHÓM HÀM LƯNG GIÁC d(sinx) = cosxdx d(cosx) = -sinxdx NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM d(lnx) = dx = (1 + tg x)dx cos x dx d(cotgx) = - sin x d(tgx) = dx x d(log a x) = dx xlna d(ex) = exdx d(ax) = axlnadx A BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA x n+1 1/ ∫ x dx = + C ( n ¹ -1 ) n +1 2/ ∫ x-1 dx = ∫ Trường hợp đặc biệt nhóm I 3/ ∫ dx = x + C 4/ ∫ n dx = ln x + C ( x ≠ ) x dx = - +C x x Giaûi Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt m m+ n n 5/ ∫ x n dx = x n +C m+n n n n+1 x +C 7/ ∫ n xdx = n +1 6/ ∫ 8/ ∫ dx -1 = +C n x ( n - 1) x n-1 dx n x = http://www.toanthpt.net n n n-1 x +C n -1 NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC 9/ ∫ sinxdx = -cosx + C 10/ ∫ cosxdx = sinx + C 11/ ∫ 12/ ∫ dx = tgx + C cos x 13/ ∫ tgxdx = -ln cosx + C dx = -cotgx + C sin x 14/ ∫ cotgxdx = ln sinx + C NHÓM III: DẠNG HÀM MUÕ – LOGARITHM 15/ ∫ ex dx = ex + C 17/ ∫ ax = 16/ ∫ e-x dx = -e-x + C 18/ ∫ lnxdx = x ( lnx - 1) + C ( x > ) ax + C (1 ≠ a > 0) lna NHOÙM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0) dx = arctgx + C x +1 dx x 21/ ∫ 2 = arctg + C x +a a a 19/ ∫ dx x -1 = ln +C x -1 x +1 dx x-a +C 22/ ∫ 2 = ln x -a 2a x + a 20/ ∫ NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC (a > 0) 23/ ∫ 25/ ∫ dx - x2 dx x ±1 24/ ∫ = arcsinx + C 26/ ∫ = ln x + x ± + C dx x = arcsin + C a a2 - x dx = ln x + x ± a2 + C 2 x ±a x 2 a2 x a - x + arcsin + C 2 a x a x ± a2 dx = x ± a2 ± ln x + x ± a2 + C 2 27/ ∫ a2 - x dx = 28/ ∫ B BAÛNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0) Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt (ax + b)n+1 + C (n ≠ -1) 1/ ∫ (ax + b)n dx = a(n + 1) dx 2/ ∫ (ax + b)-1 dx = ∫ = ln (ax + b) + C (ax + b ≠ 0) (ax + b) a Các trường hợp đặc biệt nhóm I 3/ ∫ d(ax + b) = ax + b + C 4/ ∫ m m +n n (ax + b) n + C a(m + n) n n 7/ ∫ n (ax + b)dx = (ax + b)n+1 + C a(n + 1) http://www.toanthpt.net dx -1 = +C (ax + b) a(ax + b) dx -1 = +C n (ax + b) a(n - 1)(ax + b) n-1 dx n n 8/ ∫ = (ax + b)n-1 + C n (ax + b) a(n - 1) 6/ ∫ 5/ ∫ (ax + b) n dx = NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC MỞ RỘNG (α ≠ 0) a dx 11/ ∫ = tg(ax + b) + C cos (ax + b) a 13/ ∫ tg(ax + b)dx = - ln cos(ax + b) + C a a dx 12/ ∫ = - cotg(ax + b) + C sin (ax + b) a 14/ ∫ cotg(ax + b)dx = ln sin(ax + b) + C a 9/ ∫ sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C 10/ ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ - LOGARITHM MỞ RỘNG (α ≠ 0) a 16/ ∫ a(ax+b) dx = 15/ ∫ e(ax+b) dx = e(ax+b) + C a a(ax+b) + C (1 ≠ a > 0) alna 17/ ∫ ln(ax + b)dx = (ax + b)[ln(ax + b) - 1]+ C (ax + b > 0) NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC MỞ RỘNG (α ≠ 0; a > 0) 18/ ∫ dx ⎛ ax + b ⎞ = arctg ⎜ ⎟ +C 2 (ax + b) + a aa ⎝ a ⎠ 19/ ∫ dx (ax + b) - a = ln +C 2 (ax + b) - a 2aa (ax + b) + a NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0) 20/ ∫ 21/ ∫ 22/ ∫ dx a - (ax + b) dx 2 (ax + b) ± a 2 = (ax + b) arcsin +C a a = ln (ax + b) + (ax + b)2 ± a2 + C a a2 - (ax + b)2 dx = (ax + b) a2 (ax + b) a - (ax + b)2 + arcsin +C 2a 2a a Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 23/ ∫ http://www.toanthpt.net (ax + b)2 ± a2 dx = (ax + b) (ax + b)2 ± a2 ± ln (ax + b) + (ax + b)2 ± a2 + C 2a VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN: Biến đổi hàm tích phân dạng: ∫ [Af(x) ± Bf(x) + ]dx = A∫ f(x)dx ± B∫ g(x)dx + B1: Cụ thể phải 1/ Nhân phân phoái: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd 2/ Khai triển đẳng thức: B (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 (A ± B)3 = A3 ± 3A2 B + 3AB2 ± B3 ; Xb (b ≠ 0); b llh A ± B ←⎯ → A m B; 3/ Thêm bớt hạng tử: X = (X + B) - B; X = 4/ 5/ Nhân lượng liên hợp: Biến đổi lượng giác sơ cấp công thức: = sin x + cos x; tgx = sinx cosx ; cotgx = ; cosx sinx 1 = + tg x; = + cotg x; tgxcotgx = 1; 2 cos x sin x - cos2x + cos2x sin x = ; cos x = ; 2 3sinx - sin3x 3cosx + cos3x sin x = ; cos x = ; v.v 4 B2: Mục đích hàm số dấu tích phân biến đổi: • Tích thành tổng; đặc biệt hàm phân thức phải có tử tổng mẫu tích • Căn thức thành lũy thừa; ta áp dụng tính chất lũy thừa sau: B m x ⎛A⎞ -m n m m n mn x x x A n = A ; A = A ;(A ) = A ; A B = (AB) ; x = ⎜ ⎟ m A B ⎝B⎠ x B3: Một việc quan trọng sử dụng công thức tích phân hàm hợp ∫ f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+ C với F nguyên hàm f toán giải nhanh B gọn Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn Ta có định ⎡1 x > ⎡1 f(x) > mở rộng nghóa: sgn(x) = ⎢ ⎯⎯⎯⎯ sgn[f(x)]= ⎢ → ⎣-1 x < ⎣ -1 f(x) < VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Dạng 1: Tìm số C hàm nguyên hàm Nguyên hàm F(x) hàm số f(x) [a;b] thỏa giả thiết x0∈[a;b] ∫ f(x)dx = F(x ) + C (1) ( ) taïi x Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Ghi chú: Thực tế ta viết họ nguyên hàm f(x) F(x) = ∫ f(x)dx mà không tính tổng quát nguyên hàm so với định nghóa họ nguyên hàm Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích Dùng định nghóa nguyên hàm ứng dụng cách xác định số C qua bước: • Xem biểu thức A(x, a, b, c, ) cho đa thức biến (giả sử biến x) đặt f(x) = A(x, a, b, c, ) • Tính f’(x) đưa dạng thừa số • Tính f(x) nguyên hàm f’(x) • Tìm số C cách thay x = x0 giá trị cụ thể vào nguyên hàm trên, lúc xuất nhân tử ta kết thúc toán cách đặt nhân tử chung Ghi chú: Hằng số C bước không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c ) Dạng 3: Tính tổng hữu hạn B1: Xét tổng f(x) có nguyên hàm tổng liên tiếp hạng tử cấp số nhân mà B số hạng đầu a1, có n hạng tử công bội q thì: F(x) = a1 - qn 1- q B2: So saùnh f(x) = F’(x) ta tổng cần tìm B VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ: ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt Với x = ϕ(t) ∫ f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx = ∫ f(t)dt Với t = ϕ(x) biến A BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI ∫ f(ax + b)dx Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx ∫ f(x n+1 )x n dx Ñaët t = xn+1 ⇒ dt = (n + 1)xndx ∫ f( x ) Đặt t = x ⇒ dt = dx x dx x ∫ f(cosx)sinxdx Ñaët t = cosx ⇒ dt = -sinxdx ∫ f(sinx)cosxdx Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx ∫ f(tgx) Đặt t = tgx ⇒ dt = dx cos x dx ∫ f(cotgx) sin x x x ∫ f(e )e dx ∫ f(lnx) dx cos x -dx Đặt t = cotgx ⇒ dt = sin x Đặt t = ex ⇒ dt = exdx dx x Đặt t = lnx ⇒ dt = dx x Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎡ ⎢ f(arc tgx) + x dx 10 ∫ ⎢ ⎢ f(arc cotgx) dx ⎢ + x2 ⎣ ⎡ dx ⎢ f(arc sinx) - x2 11 ∫ ⎢ ⎢ dx ⎢ f(arc cosx) - x2 ⎣ ⎞⎛ ⎞ ⎛ 12 ∫ f ⎜ x ± ⎟ ⎜ ∓ ⎟dx x ⎠⎝ x ⎠ ⎝ B http://www.toanthpt.net ⎡ t = arc tgx dx ⎡ t = arc sinx dx Đặt ⎢ ⇒ dt = ± + x2 ⎣ t = arc cotgx Đặt ⎢ ⇒ dt = ± + x2 ⎣ t = arc cosx Đặt t = x ± 1 ⎞ ⎛ ⇒ dt = ⎜ ∓ ⎟ dx x x ⎠ ⎝ ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t) ( ∫ f ( x, ∫ f ( x, DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI ) a - x ) dx x - a ) dx ∫ f x, x + a2 dx x = atgt ⇒ dx = a dt cos t 2 x = asint ⇒ dx = acostdt 2 x= a asint dt ⇒ dx = cost cos t VAÁN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN: ∫ udv = uv - ∫ vdu (*) hay ∫ uv'dx = uv - ∫ u'vdx Các dạng tích phân phần: Daïng 1: ⎡ sin(ax + b) ⎤ ⎢ cos(ax + b) ⎥ ⎥ dx Trong Pn(x) đa thức bậc n ∫ Pn (x) ⎢ e(ax+b) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ sin(ax + b) ⎤ ⎢ cos(ax + b) ⎥ ⎥ dx Ta đặt u = Pn(x) vaø dv = ⎢ (ax+b) ⎢e ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân phân phải thực cho dạng Dạng 2: ⎡ ln(ax + b) ⎤ ⎢ arcsin(ax + b); arccos(ax + b) ⎥ ⎥ dx I = ∫ Pn (x) ⎢ ⎢ arctg(ax + b); arccotg(ax + b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Giaûi Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎡ ln(ax + b) ⎤ ⎢ arcsin(ax + b); arccos(ax + b) ⎥ ⎥ dv = Pn(x)dx Ta đặt u = ⎢ ⎢ arctg(ax + b); arccotg(ax + b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ http://www.toanthpt.net TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH: I DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN: Định nghóa: y Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm xác định đoạn [a;b] Khi hình phẳng giới hạn bở trục hoành, đường cong y = f(x) đường thẳng có phươngtrình x = a vµ x = b gọi hình thang cong (Hình thang hỗn tuyến AA’B’B) B y=f(x) A O A' a b B' x Diện tích hình thang cong: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục, không âm đoạn [a;b], diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục hoành đường thẳng x = a vµ x = b có giá trị laø: S = F(b) - F(a) = S b Với F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x) a [a;b] II ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: III Cho hàm số y = f(x) liên tục [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý điểm chia: a = x0 < x1 < x2 < < xn = b Trên đoạn [xk-1;xk] với ≤ k ≤ n lấy điểm ξk Ký hiệu: Δxk = xk - xk-1 Nghóa là: Δx1 = x1 - x0, Δx2 = x2 - x1, Lập tổng n ∑ f(ξ k =1 k )Δx k =f(ξ1 )Δx1 + f(ξ )Δx + + f(ξ n )Δx n Được gọi tổng tích phân hàm số y = f(x) [a;b] Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Ta gọi tích phân xác định hàm số y = f(x) [a;b] giới hạn (nếu có) tổng tích phân maxΔxk → Giới hạn không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] việc chọn ξk Ký hiệu: b n ∫ f(x)dx = lim ∑ f(ξ k )Δx k Δk →0 a k =1 Lúc ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích Chú ý: • a gọi cận b gọi cận Ý nghóa hình học tích phân xác định: Nếu f(x) > [a;b] • b ∫ f(x)dx a diện tích hình thang cong giới hạn đường:y = f(x), trục hoành, x = a, x = b Từ ta có công thức Niutơn Lépnit (Newton • b - b Leibnitz): ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) a Trong đó: F’(x) = f(x) a VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ TÍCH: b Dạng 1: Tính tích phân ∫ f (x)dx phép phân hoạch toán ngược a 1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích đoạn [a;b] bị chặn đoạn [a;b] 2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] khả tích đoạn [a;b] • Khi tính tích phân định nghóa cần thực hiện: B1: Chia đoạn [a;b] thành n đoạn điểm chia x k = a + k B b-a Với k = 0, 1, 2, n ., n B2: Choïn ξk xk (hoặc xk-1) đoạn [xk-1,xk] B n B3: Lập tổng tích phân S n = ∑ (x k - x k-1 ).f(x k ) B k=1 b B4: Ta coù ∫ xf(x)dx = lim S n B a n →∞ Cần nhớ số kết quả: 1) 2) 3) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) 12 + 2 + + + n = ⎡ n(n + 1) ⎤ 13 + + 3 + + n = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + + + n = Giaûi Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 4) http://www.toanthpt.net b F(x ) = ∫ f (t ).dt x ∈ [a;b], haøm số y = f(x) liên tục [a;b] F’(x) = f(x) a Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann b ĐL1: (Điều kiện cần: suy từ định nghóa ∫ f (x)dx ) a Mọi hàm f không bị chặn đoạn [a;b] f không khả tích đoạn [a;b] ĐL2: (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục đoạn [a;b] f khả tích đoạn [a;b] ĐL3:Mọi hàm f bị chặn đoạn [a;b] gián đoạn hữu hạn điểm x0 ∈ [a;b] mà lim f(x) ∈ R (*) f khả tích đoạn [a;b] ⎧x→ x− ⎪ ⎨ + ⎪x→ x0 ⎩ Cần nhớ: f liên tục đoạn [a;b] f bị chặn đoạn [a;b] ĐL4:Mọi hàm f bị chặn đơn điệu đoạn [a;b] f khả tích đoạn [a;b] Dạng 3: Sử dụng đắn công thức Newton – Leibnitz Công thức Newton - Leibnitz: b ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) thỏa đồng thời hai điều kiện: a • Hàm dấu tích phân f(x) liên tục [a;b] • Hàm nguyên hàm F(x) liên tục [a;b] Ghi chú: Trong số trường hợp hàm dấu tích phân có dạng y = f(x) khả tích đoạn [a;b] ta chưa áp dụng công thức Newton - Leibnitz [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c ∈ (a;b) để xét dấu f(x) dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn: b c b a a c ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx (*) (*) sử dụng x0 = c điểm gián đoạn f(x) F(x) đoạn [a;b] (tích phân suy rộng) Thuật đổi biến số: b Khi quan sát ∫ f(x)dx thấy hàm f(x) khả tích đoạn [a;b]: a • ϕ (β ) α • β ϕ(α ) PP1 - ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: sử dụng công thức ∫ f[ϕ(x)]ϕ '(x)dx = ∫ f(t)dt Với ghi nhớ: Đặt t = ϕ(x); với t biến đổi số ⎧ x = α ⇒ t = ϕ (α ) t = ϕ(x) hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm ⎩ x = β ⇒ t = ϕ(β ) Trong đó: ⎨ [α;β] ϕ −1 (b) a • b ϕ −1 (a) PP2 - ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: sử dụng công thức ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ '(t)dt (2) Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Với ghi nhớ: Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t biến ⎧ x = a ⇒ t = ϕ −1 (a) ⎪ t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm −1 ⎪ x = b ⇒ t = ϕ (b) ⎩ Trong đó: ⎨ [a;b] Ghi chú: Tính đơn điệu hàm t = ϕ(x) < hay t = ϕ-1(x) > quan trọng tính liên tục khả đạo hàm t [α;β] < hay [a;b] > Chẳng hạn (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu [α;β] có trường hợp ⎧ VP(1) = ⎪ Lúc (1) không đúng! ⎪ VT(1) ≠ ⎩ ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β maø ⎨ VẤN ĐỀ : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ b dx αx + β x + γ a Tính tích phân I1 = ∫ (α ≠ 0) Ta làm bước: B1: Kiểm tra tính khả tích f(x) = B dx [a;b] αx + β x + γ B2: Đưa dạng chuẩn để sử dụng ba công thức sau với Δ = β − 4αγ vaø sau B đặt 1) 2) 3) dấu tích phân: α b b dX 1⎡ X⎤ ∫ X + A2 = A ⎢ arctg A ⎥ a Neáu Δ < ⎣ ⎦ a b b dX ⎡ X-A ⎤ ⎥ ∫ X - A2 = 2A ⎢ ln X + A ⎦ Neáu Δ > ⎣ a a b b dX ⎡1⎤ ∫ X2 = - ⎢ X ⎥ a ⎣ ⎦ a Neáu Δ = b b dx ⎡1 ⎤ ∫ ax + b = ⎢ a ln ax + b ⎥ a ⎣ ⎦ a Dạng 2: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ hai b mx + n dx αx + β x + γ a Tính tích phân I = ∫ (α ≠ 0; m ≠ 0) Ta làm bước: B1: Kiểm tra tính khả tích hàm dấu tích phân đưa tích phân dạng: B I2 = b b m αx + β dx ⎛ β m − αn ⎞ ∫ αx + β x + γ dx − ⎜ 2α ⎟ ∫ αx + β x + γ 2α a ⎝ ⎠a 10 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net b m β m − 2αn ⎞ ⎡ ln αx + β x + γ ⎤ − ⎛ B2: Tính I2 I2 phụ thuộc vào trường hợp I1 I = ⎜ ⎟ I1 ⎣ ⎦a ⎝ 2α 2α ⎠ B Daïng 3: Bài toán tích phân hàm phân thức tổng quát b P(x) dx ; P(x) Q(x) đa thức Q(x) a Tính tích phân I = ∫ Ta để ý hai trường hợp: TH1: Bậc P(x) ≥ bậc Q(x) đem chia P(x) : Q(x) để đưa trường hợp TH2: Bậc P(x) < bậc Q(x) ta có phương pháp nhân tích thành tổng tích phân phân thức thành phần mà phép giải khả thi sau: • Phân tích theo yêu cầu đề hướng dẫn • Phân tích theo định lý Taylor TH1: Q(x) = có nghiệm đơn x1; x2; x3 phân tích A3 A1 A2 P(x) = + + + ; Ai ; ∀i ∈ 1; n số Q(x) x − x1 x − x x − x Tìm Ai phương pháp giá trị riêng (nghiệm mẫu) TH2: Q(x) = có nghiệm bội x1; x2 Thì ta phân tích, thí dụ: B3 A1 A2 B1 B2 P(x) P(x) = = + + + + + 3 Q(x) (x − x1 ) (x − x ) (x − x1 ) x − x (x − x ) (x − x ) x − x2 Tìm Ai; Bj phương pháp giá trị riêng (nghiệm mẫu) phương pháp giá trị tùy ý; ∀j ∈ 1, ∀i ∈ 1,2 TH3: Q(x) chứa tam thức bậc hai α1x2 + β1x + γ1 có nghiệm x1; x2 hay có nghiệm kép hay α2x2 + β2x + γ2 (vô nghiệm) ta phân tích, thí dụ: A1 A2 P(x) P(x) Bx + C = = + + 2 Q(x) α1 (x − x1 )(x − x )(α x + β x + γ ) x − x1 x − x α x + β x + γ A1 A2 P(x) P(x) Bx + C Ex + F = = + + + 2 2 Q(x) α1 (x − X) (α x + β x + γ ) (x − X) x − X α x + β x + γ (α x + β x + γ )2 CHUYÊN ĐỀ 2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG I TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1: Cho hàm f xác định [a;+∞) khả tích đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞ Ta định • nghóa: b +∞ +∞ a a ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx Khi giới hạn vế phải hữu hạn ta nói ∫ f(x)dx b →+∞ a ngược lại ta nói +∞ ∫ f(x)dx hội tụ, phân kỳ a Tương tự • b b ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx −∞ a→−∞ a ; +∞ b −∞ b →+∞ a→−∞ a ∫ f(x)dx = {lim ∫ f(x)dx 11 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net • c +∞ −∞ Hay +∞ −∞ c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx; ∀c ∈ R Việc sử dụng công thức Newton - Leibnitz không khác gọi F(x) nguyên hàm f(x), ta có: ∫ f(x)dx = lim F(b) − F(a) ∫ f(x)dx = F(b) − lim F(a) b →+∞ a II b +∞ −∞ a→−∞ TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2: Cho hàm f giới nội khả tích đoạn [a + ε; b] không giới nội không khả b tích toàn [a; b] ta định nghóa: ∫ f(x)dx = lim ε→ a b b ∫ f(x)dx lim f(x) = ∞ x→ a a +ε b Hay: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx; ∀c ∈ (a; b] c→ a a c b Tương tự [a;b) ta có: ∫ f(x)dx = lim ε→ + a b b −ε ∫ f(x)dx a c Hay: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx; ∀c ∈ [a; b) lim f(x) = ∞ c→ b − a x→ b a Ghi chú: Có loại tích phân vừa tích phân suy rộng loại vừa tích phân suy rộng loại Chẳng haïn: I = +∞ ∫ ln x ln x dx = ∫ dx + 1+ x + x2 SRL2 +∞ ln x ∫ 1+ x dx Và ta chứng minh I = SRL1 III TÍCH PHÂN HÀM LƯNG GIÁC: b Daïng 1: ∫ sin m x cos n xdx a 1) • • Nếu số m hay n lẻ: m lẻ (⇒) Đặt t = cosx n lẻ (⇒) Đặt t = sinx • ⎡ m ≥ n ( ⇒ ) Đặt t = sinx m; n lẻ ⎢ m ≤ n ( ⇒ ) Đặt t = cosx ⎢ ⎢ m = n ( ⇒ ) Hạ bậc nâng cung ⎣ 2) m; n chẵn (m; n > 0) ⇒ Dùng công thức hạ bậc nâng cung − cos 2x sin x − sin 3x sin x = sin x = + cos 2x cos x + cos 3x cos x = cos x = 3) m; n chaün (m;n < 0) ⇒ Đặt t = tgx b Dạng 2: ∫ R(sin x; cos x)dx (Trong R hàm hữu tỷ) a 12 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Sử dụng phép sau: 1) Phép tổng quát (Phép vạn năng): 2dt ⎧ ⎪ dx = + t x ⎪ Đặt t = tg ⇒ ⎨ 2 ⎪ sin x = 2t vaø cos x = − t ⎪ + t2 + t2 ⎩ 2) • • • Ba phép đặc biệt: R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = cosx R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = sinx R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = tgx Dạng 3: Các dạng khác 1) ⎡ sin(αx + β ) cos( γx + δ ) ⎤ ⎡Công thức biến đổi ⎢ ⎥ ∫ ⎢ sin(αx + β) sin(γx + δ ) ⎥ dx ⇒ ⎢ tích thành tổng a ⎣ ⎢ cos(αx + β ) cos( γx + δ ) ⎥ ⎣ ⎦ 2) 3) Biến đổi tổng thành tích Các dạng khác b IV TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN THỨC: b m p r Daïng 1: ∫ R(x; x n ; x q ; ; x s )dx a 1) Đặt t = k x ⇒ tk = x với k = MSC (n; q; ; s) Nhớ để ý tính khả tích f [a;b] 2) • Phương pháp khả thi gặp hàm hợp hàm: f(x) = R(x; x n ; x q ; ; x s )dx m r f(αx + β) ⇒ Đặt t = k αx + β ⎛ αx + β ⎞ f⎜ ⎟ ⇒ Đặt t = ⎝ γx + δ ⎠ • p Dạng 2: b ∫ a dx αx + β x + γ k αx + β γx + δ (α ≠ 0) vaø b ∫ a Ax + B αx + β x + γ dx ⎡⎛ ⎤ β ⎞ B1: Kieåm tra tính khả tích biến đổi αx + β x + γ = α ⎢⎜ x + + k⎥ 2α ⎟ ⎠ ⎢⎝ ⎥ ⎣ ⎦ B B2: Phân biệt ba trường hợp sau đưa B 1) 2) α ⎛ ⎝ β ⎞ ⎠ dấu tích phân đặt X = ⎜ x + 2α ⎟ b ⎧α > dX ⇒ Áp dụng:∫ = ln X + X + k ⎨ k≠0 X +k ⎩ a b a b ⎧α > β ⎞ β dX ⎛ ⇒ Áp dụng:∫ = sgn ⎜ x + ⎨ ⎟ ln X + 2α β 2α ⎠ ⎝ ⎩k = a x+ 2α b a 13 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt b b ⎧α > dX X ⇒ Áp dụng:∫ = arcsin (H > 0) 3) ⎨ Ha H2 + X2 ⎩k < a http://www.toanthpt.net b Ghi chú: Bằng phép phân tích thêm bớt ta tính I = ∫ a b dx I1 = ∫ αx + β x + γ a Ax + B αx + β x + γ dx với dạng sau đặt t = αx + β x + γ b Daïng 3: I = ∫ αx + β x + γ dx a a) Phương pháp 1: ⎡⎛ ⎤ β ⎞ B1: Biến đổi αx + β x + γ = α ⎢⎜ x + + k ⎥ ; đưa 2α ⎟ ⎠ ⎢⎝ ⎥ ⎣ ⎦ β X = x+ 2α α B dấu tích phân xem B2: Ta chia làm ba trường hợp: B b b ⎧α > X k ⇒ Áp dụng công thức:∫ X + k = X + k + ln X + X + k a 2 ⎩k ≠ a TH1: ⎨ b a b b ⎧α > β β ⎞ ⎛ x2 βx ⎞ ⎛ dx = sgn ⎜ x + ⇒ AÙp dụng công thức :∫ x + ⎜ + ⎟ 2α 2α ⎟ ⎝ 2α ⎠ a ⎝ ⎠ ⎩k = a TH2: ⎨ b b b ⎧α > X H2 X 2 2 TH3: ⎨ ⇒ Áp dụng công thức:∫ H + X = H +X + arcsin a 2 Ha ⎩k < a b) Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tích phân phần ⎧ u = αx + β x + γ ⎪ Đặt ⎨ ⎪ dv = dx ⎩ b ( ) Dạng 4: Giới thiệu phép lượng giác tính I = ∫ R x; αx + β x + γ dx a Sử dụng phép sau biến đổi quan sát điều kiện khả tích: ( b ) TH1: I = ∫ R x; (kx + h)2 + m2 dx a (m > 0) ⎛ kx + h ⎞ ⎟ ⇔ kx + h = m tgt ⎝ m ⎠ Ñaët t = arctg ⎜ b ( TH2: I = ∫ x; m − (kx + h)2 a ) dx (m > 0) ⎛ kx + h ⎞ ⎟ ⇔ kx + h = m sin t ⎝ m ⎠ Đặt t = arcsin ⎜ b ( ) TH3: I = ∫ R x; (kx + h)2 − m dx a (m > 0) 14 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt m ⎛ m ⎞ Đặt t = arccos ⎜ ⎟ ⇔ kx + h = cos t ⎝ kx + h ⎠ http://www.toanthpt.net b ( ) Dạng 5: Giới thiệu phép Euler tính I = ∫ R x; αx + β x + γ dx a Một cách khác phép Euler sau tỏ tiện lợi: • Đặt αx + β x + γ = ± αx + t neáu α > • Đặt αx + β x + γ = xt ± c c ≥ • Ñaët αx + β x + γ = α(x − x1 )(x − x ) = t(x − x1 ) (Δ > 0) Dạng 6: Giới thiệu dạng chuẩn thuật đổi biến đặc trưng Xử lý thuật đổi biến đặc trưng cho dạng chuẩn giới thiệu sau: ta cách giải tích phân phương pháp tích phân đặc trưng cho hàm thức biết (chú ý điều kiện khả tích) 1) b Dạng I1 = ∫ a 2) Daïng I = ∫ Bdx a (ωx + δ ) αx + γ a ( ω x + δ ) αx + γ 2 b a b Daïng I = ∫ a +∫ a B dx ( ω x + δ ) αx + γ Với (δ − 4ωξ < 0) (ωx + δx + ξ) αx + β x + γ b Ax dx (Ax + B) dx Đưa dạng I = ∫ 6) =∫ b Daïng I = ∫ b (Ax + B) dx x+δ Đặt xt = αx + γ (ωx + δ ) αx + γ Ñaët t = Ñaët t = αx + γ ( ω x + δ ) αx + γ b Daïng I = ∫ a 5) Ax dx b Daïng I = ∫ a 4) (x + δ ) αx + β x + γ b a 3) dx (Ax + B) dx (ω 'x + δ ') α 'x + γ ' Pn (x) dx αx + β x + γ Với Pn(x) đa thức bậc n ≥ Bằng cách biến đổi Euler, tích phân I6 tính cách tổng quát phức tạp Người ta chứng minh công thức sau áp dụng việc tính tích phân I6 có phần đơn giản hơn: b ∫ a Pn (x) ax + bx + c b b dx = Qn −1 (x) ax + bx + c + λ ∫ a a dx ax + bx + c (*) Trong Qn-1(x) đa thức bậc n-1 với hệ số cần xác định λ số thực cần xác định Để xác định λ hệ số Qn-1(x) ta đạo hàm hai vế đẳng thức (*) Rồi đồng hệ số hai vế để suy hệ phương trình đặc trưng mà việc giải hệ phương trình đặc trưng cho ta λ hệ số Qn-1(x) (Gọi phương pháp đạo hàm đẳng lập) VẤN ĐỀ 3: CẬN TRUNG GIAN: 15 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net c b a Cơ sở phương pháp áp dụng hợp lý công thức (1): b a c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx qua hai bước (để tính tích phân xác định mà hàm dấu tích phân có chứa | |; max; trường hợp đoạn lấy tích phân không áp dụng công thức Newton - Leibnitz) B1: Chọn cận trung gian c thích hợp (đôi phải chọn hai, ba giá trị cận trung gian khác tùy điều kiện toán) B2: Áp dụng công thức Newton - Leibnitz B B c b ∫ f(x)dx = F(b) − F(c) để tính tích phân (1) ∫ f(x)dx = F(c) − F(a) a c Chú ý: Thận trọng f(c) ∉ R (trường hợp tích phân suy rộng loại 2) VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ CÁC THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ RÀNG BUỘC HAI CỰC Chứng minh (VT = VP) Đôi ta cần chứng minh đẳng thức trung gian Ví dụ: A−B= ⇔ A = B * * ⎧A = C ⇔ A=B ⎨ ⎩B = C * ⎧ A = B2 ; A = B ⎪ ⇔ A = B ⎨ ⎪A ≥ B ≥ ⎩ Ở ta lưu ý đến phép đổi biến số kết hợp cận trung gian, tính chẵn lẻ tuần hoàn - liên tục Ngoài tính chất không phụ thuộc biến tính chất hoán đổi cực thường sử dụng: b b a b a ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = = ∫ f(n)dn b a b ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx a a b c b a a c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx Ghi chú: Khi hai vế không cực ta phải đổi biến số để tính cực đồng 10 ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ĐÁNG NHỚ 2a b ⎧ f liên tục [0; 2a] ⎩ ∀a > a ∫ f(x)dx = ∫ [ f(x) + f(2a − x)] dx ∫ xf(x)dx = a b biết ⎨ ⎧ f liên tục [a; b] ⎩ f(a + b − x) = f(x) b a+ b f(x)dx ∫ a bieát ⎨ b ∫ f(x)dx = ∫ f(a + b − x)dx a a b biết f liên tục [a; b] b (HQ): ∫ f(x)dx = ∫ f(b − x)dx 16 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt a −a http://www.toanthpt.net ⎧ f liên tục [-a; a] biết ⎨ ⎩ f chaün; ∀a > a ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx ⎧ f liên tục [-a; a] ⎩ f lẻ; ∀a > a biết ⎨ ∫ f(x)dx = −a a+ T ∫ a T f(x)dx = ∫ f(x)dx (HQ): ⎧ f liên tục R ⎩ f có chu kỳ T biết ⎨ nT ∫ T f(x)dx = n ∫ f(x)dx π π π π ∫ f(sin x)dx = ∫ f(cos x)dx biết f liên tục treân [0; 1] ∫ f(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx biết f liên tục [0; 1] ∫ xf(sin x)dx = π ∫ f(sin x)dx bieát f liên tục [0; π] π π 0 t 10 ⎧ f liên tục [-t; t] ⎩ f chaün; ∀a > 0; ∀t ∈ R t f(x)dx ∫t ax + = ∫ f(x)dx − biết ⎨ VẤN ĐỀ 5: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG TÍCH PHÂN PHỤ TR VÀ HÀM PHỤ TR Dạng 1: Tính tích phân thuật tích phân phụ trợ • Muốn tính tích phân I ta sử dụng tích phân phụ trợ J việc chọn J (khả tích) tiêu chuẩn sau tỏ tiện lợi: ⎧ g(I;J) = giải ⎩ h(I;J) = 1) Hệ phương trình ⎨ 2) Chứng minh I = J giải phương trình: 2I = I + J ⇒ I = (Hiển nhiên tính J J = I) • Cũng chọn J cho: I + J = ∫ h(x)dx (1) vaø I − J = ∫ g(x)dx (2) với ý hai b b a a tích phân (1) (2) khả thi Dạng 2: Tính tích phân thuật hàm phụ trợ • b Muốn tính tích phân I = ∫ f(x)dx mà hàm f(x) khả tích [a;b] không a (1) tính nguyên hàm phương pháp nêu (hay không tính cách đơn giản tính chất hàm sơ cấp) Người ta chọn hàm phụ trợ g(x) khả tích cho f(x) sau tỏ hiệu quả: h(x) ≡ f(x) + g(x) = const; ∀x ∈ [a; b] 17 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧b ⎪ ∫ h(x)dx = (const)(b − a) ⎪a (2) ⎨ b ⎪ g(x)dx : Khaû thi theo phương pháp trước ⎪∫ ⎩a • http://www.toanthpt.net Thông thường tìm f’(x) để dự đoán g(x) cần tìm VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức đại số giải tích Cho hàm liên tục đoạn [a; b]; ∀b > a, nhö sau: b b a a f(x) ≥ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx • b a • b a Nếu tìm (α; β) ⊂ [a; b] maø f(x) > g(x): ⇒ ∫ f(x)dx > ∫ g(x)dx (dấu đẳng thức không xảy ra) Trường hợp g(x) = đoạn [a; b]; ta coù: b f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f(x)dx ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] a • b a • b a ∫ f(x)dx ≤ ∫ f(x) dx (dấu " = " xảy ⇔ f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b]) b m ≤ f(x) ≤ M; ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) a • Xét bất đẳng thức mà hai vế chứa dấu tích phân ta lưu ý: Khi hai cận hai vế ta cần chứng minh bất đẳng thức xảy hai hàm dấu tích phân Khi hai cận hai vế khác ta cần chọn biến số để đổi hai vế để hai cận hai vế làm tương tự • ⎧ f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⎪ Vậy muốn chứng minh ∫ f(x)dx ≤ A Ta tìm hàm g(x) thỏa ⎨ b a ⎪ ∫ g(x)dx = A ⎩a • Đôi sử dụng dấu tam thức bậc hai, quy nạp, đạo hàm để chứng minh b b b a a ∫ f(x)dx ≤ ∫ g(x)dx Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức toán hình thang hỗn tuyến (PP hình học) 18 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hai hàm f(x) g(x) liên tục [a;b], diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f(x); y = g(x) hai đường tung x = a vaø x = b (a < b) hình vẽ tính bởi: S= y x=b x=a A2 S http://www.toanthpt.net B2 y=f(x) B1 y=g(x) b A1 ∫ ( f(x) − g(x) ) dx x a O a b VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ CÔNG THỨC TRUY HỒI (QUY NẠP) b Xét I n = ∫ f(x; n)dx Nếu lập quan hệ I0 hay I1 hay I2; với In dãy (In) a công thức truy hồi In Thông thường ta sử dụng: 1) Phương pháp tích phân phần; Phương pháp đổi biến 2) Phương pháp lùi dần số hạng dãy (In) để rút gọn số hạng khoảng dãy, để từ tìm số hạng tổng quát tùy ý dãy (In) Ghi chú: 1/ n! = 1.2.3 (n-1).n 2/ (2n)!! = 2.4.6 (2n-2).(2n) 3/ (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n-1)(2n+1) 4/ 0! = 1! = 5/ (-1)!! = 0!! = VẤN ĐỀ 8: HÀM TÍCH PHÂN b Xét tích phân I = ∫ f(t)dt với hai cận a = a(x), b = b(x) I không số thực Lúc a I hàm số thực theo biến số thực x : I(x) gọi hàm số - tích phân hay gọn hàm tích phân Thường ta xét: x ϕ (x) a a I(x) = ∫ f(t)dt hoaëc I(x) = ∫ f(t)dt (f(t) liên tục [a;x]) x Ta có: I(x) = ∫ f(t)dt nguyên hàm f(x) thỏa điều kiện I(a) = a ′ ⎛x ⎞ ⇒ I'(x) = ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f(x) ⎝a ⎠ Như ta có ý: hai cực hàm số x: 1) ′ ⎛ ϕ (x) ⎞ ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f [ ϕ(x)] ϕ '(x) ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ 19 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ′ ⎛ ϕ2 (x) ⎞ 2) ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f ⎡ϕ (x)⎤ ϕ '2 (x) − f ⎡ϕ1 (x)⎤ ϕ '1 (x) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ϕ (x) ⎟ ⎝ ⎠ http://www.toanthpt.net Ghi chú: Khi tìm giới hạn hàm tích phân phải sử dụng quy tắc L’hospitale Tất dạng vô định × ∞; ∞ -∞; 1∞ ; ∞ ; vaø 0 đưa dạng vô định ∞ hay để sử dụng ∞ quy tắc L’hospitale việc tìm giới hạn xác VẤN ĐỀ 9: GIỚI HẠN VÀ TÍCH PHÂN Dạng 1: Dãy tích phân giới hạn dãy tích phân b Xét I n = ∫ f(x; n)dx; ∀n ∈ Z + Khi n thay đổi ta có dãy tích phân (In) Để tính giới hạn lim I n ta n →∞ a lập công thức truy hồi In sử dụng tính chất: • lim I n = lim I n − n →+∞ • n →∞ ⎧ an ≤ I n ≤ b n ⎪ ⎨ lim a = lim b = α ⇒ lim I = α n ⎪ n →+∞ n n→+∞ n n →+∞ ⎩ Dạng 2: Giới hạn mở rộng cực tích phân n Muốn tính lim ∫ f(x)dx Ta tìm nguyên hàm F(x) f(x) áp dụng gián tiếp công n →∞ a n thức Newton - Leibnitz giới hạn lim ∫ f(x)dx = ⎡ lim F(n) − F(a)⎤ n →∞ ⎣ n →∞ a ⎦ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y S = S b (x) = a b ∫ f(x)dx (1) x=a 1) a • Ghi 1: Khi sử dụng công thức trị tuyệt đối (1) cho hai trường hợp f(x) ≥ f(x) ≤ A O a S(x) C x=b D (C):y=f(x) B b x 20 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ∫ [ f(x) − g(x)] dx D (C):y=f(x) (2) a Ghi chuù 2: Khi sử dụng công thức trị tuyệt đối (2) cho hai trường hợp f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b] • S(x) A C x=b S = S (x) = b x=a 2) b a http://www.toanthpt.net y (C):y=g(x) O B b a x y 3) S = S b (x) = a c ∫ [ g(x) − f(x)] dx + a • b ∫ [ f(x) − g(x)] dx (3) D (C):y=f(x) C c b Ghi 3: Thực chất S = S1 + S = S c (x) + S c (x) a E (C):y=g(x) B A Khi gaëp trường hợp tổng quát phải phân nhỏ S = S1 + S2 + S3 + + Sn ta laøm tương tự cho (3) • a O c x b Ghi 4: Khi S b (x) phức tạp ta chuyển sang tính Sβ (y) phán đoán a α đơn giản tính S b (x) a • Ghi 5: Khi diện tích giới hạn vị trí phức tạp, ta sử dụng tính chất: Diện tích S bất biến qua phép dời hình b TÍNH THỂ TÍCH BẰNG ∫ f(x)dx a Dạng 1: Thể tích cố thể tròn xoay Áp dụng công thức sau: y y a (C):y=f(x) x a O (C):y=f(x) b b x O b b V = π ∫ [ f(x)] dx V = π ∫ [ g(y)] dy a • a Ghi 1: Khi gặp cố thể tròn xoay phức tạp phương pháp cộng thể tích thành phần quan trọng lúc tính thể tích: V = V1 + V2 ⇔ V1 = V − V2 Trong đó: 21 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net V1: thể tích cần tìm giả thiết V; V2: thể tích liên đới tính đơn giản V1 • Ghi 2: Đôi ta áp dụng tính bất biến S V qua phép dời hình Dạng 2: Thể tích cố thể hình thang hỗn tuyến đáy Ox quay quanh Oy Ta xét trường hợp đặc biệt dạng cho hình thang hỗn tuyến AA0B0B (đáy A0B0 ⊂ Ox) quay quanh Oy B y y f(b) B B' A' -b A0 -a O a B A = ):y (C f(a) B0 b x B ) f(x A O B0 b x a b Lúc cố thể tạo thành tích: V = π ∫ xf(x)dx (1) a Vậy (1) thay có cách tính phức tạp phương pháp tổng thể tích: ⎛ f (b) −1 ⎞ ⎡ ⎤ V = πb f(b) − ⎜ π ∫ ⎣ f (y) ⎦ dy + πa2 f(a) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ f (a) ⎠ Dạng 3: Thể tích cố thể tùy ý Sử dụng công thức tính thể tích A b V = ∫ B(x)dx a B đáy (diện tích đáy) B(x) diện tích thiết diện song song với đáy B x tùy ý [a;b] Ghi chú: Thường chọn trục Ox hợp lý để biểu thức B(x) đơn giản • • B y H a O C Ax S bx Bx Cx 22 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân ... VẤN ĐỀ 5: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG TÍCH PHÂN PHỤ TR VÀ HÀM PHỤ TR Dạng 1: Tính tích phân thuật tích phân phụ trợ • Muốn tính tích phân I ta sử dụng tích phân phụ trợ J việc chọn J (khả tích) ... n Được gọi tổng tích phân hàm số y = f(x) [a;b] Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Ta gọi tích phân xác định hàm số y = f(x)... VẤN ĐỀ 8: HÀM TÍCH PHÂN b Xét tích phân I = ∫ f(t)dt với hai cận a = a(x), b = b(x) I không số thực Lúc a I hàm số thực theo biến số thực x : I(x) gọi hàm số - tích phân hay gọn hàm tích phân