GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai HYPEBOL 1. ðịnh nghĩa : Tập hợp các ñiểm M của mặt phẳng sao cho 1 2 | | 2 MF MF a− = (2a không ñổi và 0c a> > ) là một Hypebol. * 1 2 , F F : cố ñịnh là 2 tiêu ñiểm và 1 2 2F F c= là tiêu cự. * MF 1 , MF 2 : là các bán kính qua tiêu. 2. Ph ương trình chính tắc của hypebol: 2 2 2 2 1 x y a b − = với 2 2 2 = b c a− . 3) Tính ch ất và hình dạng của hypebol (H): * Tr ục ñối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo). Tâm ñối xứng O. * ðỉnh: ( ) 1 2 ( ;0), ;0A a A a− . ðộ dài trục thực: 2a và ñộ dài trục ảo: 2b. * Tiêu ñiểm ( ) 1 2 ( ; 0), ; 0F c F c− . * Hai ti ệm cận: b y x a = ± * Hình ch ữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với 2 2 2 b c a= − . * Tâm sai: 2 2 c a b e a a + = = * Hai ñường chuẩn: 2 a a x e c = ± = ± * ðộ dài các bán kính qua tiêu của ( ) ( ) 0 0 ;M x y H∈ : +) 1 0 MF ex a= + và 2 0 MF ex a= − khi 0 0x > . +) 1 0 MF ex a= − − và 2 0 MF ex a= − + khi 0 0x < . +) 2 2 0 0 2 2 1 x y a b − = và 0 | |x a≥ 4) Ti ếp tuyến của hypebol (H): 2 2 2 2 1 x y a b − = *T ại ( ) ( ) 0 0 0 ; M x y H∈ có phương trình: 0 0 2 2 1 x x y y a b − = * ði qua 1 1 ( ; )M x y là 1 1 : ( ) ( ) 0A x x B y y∆ − + − = với ñiều kiện: ∆ ti ếp xúc (H) ⇔ 2 2 2 2 2 A a B b C− = với ( ) 2 2 1 1 0, 0A B C Ax By+ ≠ = − + ≠ . GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai CÁC VÍ D Ụ Ví d ụ 1: Cho (H): 2 2 1 16 9 x y − = . 1) Tìm tiêu ñiểm, ñộ dài các trục, tâm sai (H). 2) Vi ết phương trình tiếp tuyến của (H) tại ñiểm 0 16 ( ; 7) 3 M . 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) ñi qua (12;9)M . Gi ải: 1) { 2 2 16 4 3 9 a a b b  = = ⇒  = =  , 2 2 2 25 5c a b c= + = ⇒ = . T ừ ñó suy ra: * Tr ục thực : 1 2 2 8A A a= = * Tr ục ảo: 1 2 2 6B B b= = * Hai tiêu ñiểm : ( ) ( ) 1 2 5;0 , 5;0F F− * Tâm sai: 5 4 c e a = = . 2) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại 0 16 ( ; 7) ( ) 3 M H∈ : 0 0 1 3 7 9 0 16 9 xx yy x y − = ⇔ − − = . 3) Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( 12) ( 9) 0 12 9 0A x B y Ax By A B− + − = ⇔ + − − = ðk tiếp xúc: 2 2 2 2 2 3 4 16 9 (12 9 ) 64 108 45 0 15 16 A B A B A B A AB B A B  = −  − = + ⇔ + + = ⇔   = −   . * V ới 3 4 A B= − , chọn 4 3 Pttt: 3 4 0B A x y= − ⇒ = ⇒ − = * V ới 15 16 A B= − , chọn 16 15 Pttt: 15 16 36 0B A x y= − ⇒ = ⇒ − − = . Ví dụ 2: Biết Hypebol (H) có ñộ dài trục thực bằng 8 và tâm sai 5 4 e = 1) Xác ñịnh phương trình của (H) 2) Tìm ( ) M H∈ sao cho 1 2 MF MF⊥ . GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Gi ải: 1) Ta có: { 2 8 4 5 3 4 a a b e =   = ⇒  = =   ( ) :H⇒ 2 2 1 16 9 x y − = . 2) Gọi ( ) ( ) ;M x y H∈ thỏa 1 2 MF MF⊥ 2 2 2 2 4 34 1 5 16 9 9 25 5 x y x y x y   = ±   − = ⇒ ⇔     = ± + =   4 34 9 ; 5 5 M   ⇒ ± ±     . Ví dụ 3: Cho hypebol (H) : 2 2 2 2 1. x y a b − = Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một ñiểm tùy ý trên (H) ñến hai ñường tiệm cận không ñổi . Gi ải: Ph ương trình các tiệm cận: 1 2 : 0 : 0 d bx ay b y x d bx ay a − =  = ± ⇔  + =  . Xét 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 ( ; ) ( ) 1 x y M x y H b x a y a b a b ∈ ⇒ − = ⇔ − = . Ta có: 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 | | | | ( , ) ; ( , ) bx ay bx ay d M d d M d a b a b − + = = + + 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | 1 ( , ). ( , ) . | | bx ay bx ay a b d M d d M d b x a y a b a b a b a b − + ⇒ = = − = + + + + . Ví d ụ 4: Cho Hypebol (H) : 2 2 2 2 1. x y a b − = ∆ là một tiếp tuyến của (H) cắt các tiếp tuyến tại hai ñỉnh thuộc trục thực A và A’ ở T và T’ a) Cmr: ðường tròn ñường kính ’TT ñi qua hai tiêu ñiểm F 1 và F 2 . b) Cmr: 2 . ’ ’AT AT b= Gi ải: Gi ả sử 0 0 2 2 : 1 xx yy a b ∆ − = với 2 2 2 2 2 2 0 0 b x a y a b− = , tiếp tuyến tại A và A’: x a= và x a= − 2 2 2 0 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ; ); '( ; ) ( ; ) b x a b x a b x a T a T a FT a c ay ay ay − + − ⇒ − − ⇒ = +  và 2 0 1 0 ( ) ' ( ; ) b x a FT a c ay + = − − −  GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 1 1 2 2 2 2 0 0 ( ) . 0 ' b x a a y b x a b FT F T c a b FT FT a y a y − − + ⇒ = − − = = ⇒ ⊥   T ương tự ta cũng có: 2 2 'F T F T⊥ ⇒ ñpcm. b) Ta có: 4 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 ( ) | | . ’ ’ | | b x a b x b a AT A T b b a y a y − − = = = . Chú ý: Ta có th ể giải bài toán trên bằng phương pháp hình h ọc tổng hợp. Bài tập: 1/ Xác ñịnh tiêu ñiểm;tâm sai,tiêu cự của hypepol : 2 2 4 4x y− = 2/ L ập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết : a) M ột tiêu ñiểm là (2;0) và tâm sai bằng 3/2. b) Tm sai bằng 2 ,(H) ñi qua ñiểm A(-5;3). c) (H) ñi qua hai ñiểm P(6;-1) và Q(-8;2 2 ) . 3/ Tìm cc ñiểm trên hypebol (H) 2 2 4 4x y− = thỏa mãn : a) Nhìn hai tiêu ñiểm dưới góc vuông . b) Nhìn hai tiêu ñiểm dưới góc 120 0 . c) Có t ọa ñộ nguyên . 4/ Cho Hypebol (H): 2 2 2 2 1. x y a b − = Gọi F 1 ,F 2 là các tiêu ñiểm và A 1 ,A 2 là các ñỉnh của (H) . M là m ột ñiểm tùy ý trên (H) có hình chiếu trên Ox là N . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2 ) .a OM MF MF a b− = − . ( ) ( ) 2 2 2 1 2 ) 4b MF MF OM b+ = + c) 2 2 1 2 2 . b NM NA NA a = x y l I A' F 1 F 2 T' . Hòa – ðồng Nai HYPEBOL 1. ðịnh nghĩa : Tập hợp các ñiểm M của mặt phẳng sao cho 1 2 | | 2 MF MF a− = (2a không ñổi và 0c a> > ) là một Hypebol. * 1. trên hypebol (H) 2 2 4 4x y− = thỏa mãn : a) Nhìn hai tiêu ñiểm dưới góc vuông . b) Nhìn hai tiêu ñiểm dưới góc 120 0 . c) Có t ọa ñộ nguyên . 4/ Cho Hypebol