Đang tải... (xem toàn văn)
Phƣơng pháp 4: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh An k ta biến đổi An về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k... Phƣơng[r]
(1)Toán – Năng khiếu BÀI MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT - PHẦN II Phƣơng pháp 4: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử và chứng minh hạng tử chia hết cho k Ví dụ Cho A 22 22004 Chứng minh rằng: a) A b) A c) A 30 Giải 2004 Ta có A 2 2003 2004 2003 và A (2 ) (2 ) (2 ) 2(1 2) (1 2) (1 2) Mà (2;3) = nên A 2.3 tức là A Ví dụ 2: CMR: Với n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A = 20n + 16n - 3n - 323 Giải Ta thấy 323 = 17.19 mà (17;19) = (1) Biến đổi : A = (20n - 3n) + (16n – 1n) 20n - 3n (20-3) = 17 16n – 1n (16 + 1) 17 (do n chẵn) A 17 (2) Mặt khác : A = (20n - 1) + (16n - 3n) 20n - (20 - 1) = 19 16n - 3n (16 + 3)= 19 (do n chẵn) A 19 (3) Từ (1), (2) và (3) A 323 Ví dụ 3: CMR: n3 + 11n với n N* Giải Ta có: n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1)(n - 1) + 12n Vì n – 1; n ; n + là số tự nhiên liên tiếp n(n + 1) (n - 1) và 12n Vậy n3 + 11n Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên n cho: a) 18n + (2) Toán – Năng khiếu b) 3n + n +1 Giải a) 18n + 14n + 4n + – 4n – 4(n – 1) Mà (4,7) =1 nên n – Vậy n = 7k +1 (kN) b) 3n+ n + (n + 1) + n + 4n+1 n + {1; 2; 4} n {0; 1; 3} Phƣơng pháp 5: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC Giả sử chứng minh A(n) p (1) với n a Bước 1: Ta chứng minh (1) đúng với n = a tức là chứng minh A(a) p Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là chứng minh A(k) p với k a Ta chứng minh (1) đúng với n = k + tức là phải chứng minh A(k+1) p Bước 3: Kết luận A(n) p với n a Ví dụ : Chứng minh A(n) = 16n - 15n - 225 A(n) = 16n - 15n - 225 (1) (1) với n N* với n N* Giải Với n = A(n) = 225 n = thì (1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k nghĩa là A(k) = 16k - 15k - 225 Ta phải CM (1) đúng với n = k+1 tức là A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16.16k - 15k – 15.1 – =16.16k - 15k – 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = (16k - 15k - ) + 15.(16k – 1) = A(k) + 15.(16k – 1) Ta có A(k) 225 (giả thiết quy nạp) (3) Toán – Năng khiếu và 16k – = 16k – 1k (16 – 1) = 15 nên 15.(16k – 1) 15.15=225 A(k+1) 225 Vậy A(n) = 16n - 15n - 225 với n N* (1) Bài tập nhà Bài 1: CMR: a) A 100 120 b) B = 62n + 19n - 2n+1 17 với n N c) C = 3n + 63 72 với n chẵn n N, n d) D= 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 với n N Bài 2: Tỡm số tự nhiờn n để : a) 7n n + b) 4n – 13 Bài 3: Chứng minh rằng: a) A(n) = 5n + 2.3n-1 +1 với n b) B(n) =33n+3 - 26n - 27 169 với n c) C(n) = 4n + 15n – với n * * Hướng dẫn - Đáp số Bài 1: a) A = (3 + 32 + 33 + 34) + + (397 + 398 + 399 + 3100) = 3(1+ + 32 + 33 ) + + 397 (1+ + 32 + 33 ) = 3.40 + + 397 40 3.40 = 120 b) B = (62n - 2n )+ (19n - 2n) = (36n - 2n )+ (19n - 2n) 17 c) Có 72 = 9.8 và n = 2k (k N) C =3n + 63 = 32k + 63 = 9k + 63 C =3n + 63 = (32k – 1) + 64 = (9k - 1k) + 64 (8, 9) = C 8.9 C 72 d) 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 - 5n + 8.64 n =5n.59 + (64n - 5n) 59 (4) Toán – Năng khiếu Bài 2: a) n {0; 4; 17} b) n = 13k -2 (kN*) Bài : a) Xét n = A1 = 51 + 31-1 + = Giả sử An với n = k nghĩa là Ak = k + k-1 + Ta chứng minh An với n = k + Thật vậy: A k + = k+1 + 3k + = 5k + k – + = 5k + k – + +4 k + k – =5k + k – + + 4( 5k + k – ) Vì 5k + k – + Mặt khác: 5k + k – là số chẵn 5k + k – 4( 5k + k – ) A k+ đpcm b) B(k+1) =(3k+3 – 26k – 27) + 26(27k+1 –1) 169 với n c) C(k+1) = 4(4k + 15k – ) - 45k + 18 * (5)