2.2 «¡ Mệnh để Cho A, e 6, A z8,  e - z Tập hợp điểm thuộc 6, - Hinh hoc Euclide phing M {A, B} cho 2(MA,MB)=Al[r] 12 dudng tron di qua A va B, nhung khong ké A va B A + | Hệ Bốn điểm A, 8, C, D thuộc £; phân biệt đôi, đồng chu thẳng hàng khí : Z(CA,CB)= Z(DA, DB) {r] NHẬN XÉT Ta thu điều kiện khác tương đương cách hoán vị A, Ø, C, D, chang han : Z(AB, AC) = Z(DB, DC) [al " Xác dịnh phép đồng dạng thuận biến thành A' thành B’ (xem 2.2.6,2), Mệnh để) Trường hợp thứ ‹ (AB) (A"B") Néu AB = A'B', phép déng dang phai tim phép vị tự tâm giao điểm (ÁA”) AB" va (BB’) va ty s6 = AB Nếu AZ = A'B', phép đồng dạng phải tâm phép tịnh tiến theo vectơ_ AA' Trường hợp thứ hai : (AB) X (A’B’) Ta ký hiệu giao điểm (AB) va (4’B’) Góc Ø phép đồng dạng thoả mãn : hoac ((AB), (4'B)=6[z], ⁄(04),0A'9)=đ |z], T#Aval ZA’ Ta ky hiệu @ giao điểm thứ đường tròn ngoại tiếp /AA' /BB”, đường tròn cắt Ta có : ⁄((0A).(0A1)=⁄(0A),đA')= ⁄(0B),(B))= Z((OB),(OB')) i] > tâm phép đồng dang O va géc 18 2(04,04) a] Nếu đường tròn ngoại tiếp /AA" IBB' tiếp xúc tâm đơng dang 12 / 95 Chương2 Hình học Euclide mặt phẳng khơng gian ba chiều Bai tap (Khoảng cách, góc) 2.2.1 Cho Á8CD hình bình hành E (tương ứng : P) chân đường vuông góc kẻ € đến (AB) (trơng ứng : (BD)) Chứng : từ BD.BF = BC —— D € A + BA.BE E P Ạ 2.2.2 Cho A8C tam giác cân 4, Ð trung điểm 8C, E chân đường vng góc kể từ Ð đến (AC) # trung điểm ĐE, Chimg minh : (AF) 1L (8E) 2.2.3 R D Cho A,B,C, Ð bốn điểm không thẳng E £ e hàng Chứng minh : AB? + BC? + CD?> — ADẺ 2.2.4 Chimg minh rang n&ua,, ay, ay, a, 12.40 dài cạnh tứ giác có đỉnh cạnh hình vng có cạnh 1, ; 28a) +43 +43 +02 AM 2.2.7 trung điểm \ 96 ẹ B + — BC Cho ABC tam giác khong bet Ta ký hiệu a = 8C, = CA, c = AB,  = —^ CAB (e]O.z[), = ABC, v BCA, p=—(a+b4+c) nữa„ chữ vụ, S diện tích tam giác ABC 2) Chứng minh : c?= 22+ b2 - 2zb cos Ê b) Từ suy cơng thức Héron: ©) Chứng minh : 2.2.8 \ AM § =Íp(p- a)(p ~ bX(p — c) a b e sinA snổ snế” Cho ABC 1a mot tam giác khong bet không vuông Cheng minh: tan A+ tan Ê + an€ = tan Atan B tanec 2.2 Hình học Euclide phẳng 2.2.9 Cho ABC tam giác không bẹt Ta ký hiệu Œ trọng tâm, /‡ trực tâm, Ở tâm đường tròn ngoại tiếp, / tâm đường tròn nội tiếp ABC Chứng minh ba tính chất sau cặp tương đương : (ABC A tam giác déu (ï) Ít có hai bốn điểm G, H, O, f trùng (ii) G=H=0=1 2.2.40 Cho ABC 1a mot tam gisc kh6ng bet Ta ky hiéu / 14 tam dudng tron ngoai tiếp, Iau ty Ie tam đường trịn bàng tiếp góc Â,Ê,Ê, ø = 8C, b = CA, = AB a) Ta ký higu A’ (tương ứng : A”) 1a chan dudng phan gidc (tuang ing : ngoai) cha A AB Chứng minh : c ANB c —— = b AC b (Ta áp dụng kết tập 2.2.7, c)) ABC _y [4 ự -te(4 b ] ta=tel - b) Từ đồ suy : /z° si AB Cc b @ AB ch te=te] b b ¢ C e| 2.2.11 Cho ABC tam giác không bẹt không vuông ; ta ký hiệu #f trực tâm a) Ta ký hiệu A” hình chiếu vng góc A lên (8C) Chứng minh : =T A H=Te) sanA b) Từ suy : © end c ac ale B c tanB tan ` 2.2.42 Cho ABC tam giác không bẹt không vuông, Ta ký hiệu Ø tâm đường tròn ngoại tiếp 4BC Chứng minh : O=Te| A „ tan Ö +tanC ^ ^ B ậ tanC +tan Á * Cc tan A +tanB (Sử dung bai tap 2.2.11) © 2.2.13' Cho ABC tam giác không bẹt Ta ký hiệu ø = BC, b = CA, e = AB, Pp =—(a+b+e), S]à diện tích cha ABC a) Chứng minh : b) Chứng minh : lôi /;]Ø; Z[—> Kỳ £ Insi R c) Từ đố suy : _ +b? +07), khảo sát trường hợp có đẳng thức ssBcabrberea sof 97 98 Chương2 Hình học Euclide mặt phẳng không gian ba chiều 2.2.14 Tam giác “chân đường cao” tam giác cho : Cho ABC vuông, #† chiếu vng lên (CA), C trực góc lên tam giác khơng bẹt khơng, tâm nó, 7, J, K hình theo thứ tự lên (8C), (AB) ; tam giác /7K gọi tam giác “chân đường cao” tam giấc ABC Ta ký hiệu L, 4ƒ hình chiếu vng góc / theo thi tự lên (A#), (AC) Chứng minh ràng (1M) song song với (JK) va (LM) cat cfc doan thang (J/] va [AK] theo thứ tự trung diém J", K’ cilia ching 2.2.15" Cho ABC 1a mot tam giác Ta ký hiệu : Ð, đường thẳng chân đường, cao hạ từ8 C D, la đường thẳng nối điểm tiếp xúc A đường tròn nội tiếp với (A#) (AC) Ð; đường thẳng chân đường D phân giác ké từ8 C Chứng minh Ð,, Ø„, Ð, đồng quy Song song, $2.2.16- Giả sử D, D' hai đường thẳng cất điểm A Bụ, 8; e Ð, Cụ, C; € 7” Với (1ÿ) thuộc (1, 21” ta ký hiệu G¡ trọng tâm, H, trực tâm, Ở„ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB,C, Chứng tổ Gụ, #f„„ Ĩ„ tạo thành ba hình bình hành 2.2.7 Cho AäC tam giác, tâm đường trịn nội tiếp, S diện tích ABC Ching minh: 2.2.18 fA 2.2 sinẢ+/# sinB+iC sin€ =25 Cho ABC tam giác không bet, a = BC, b = CA, c = AB, thụ, hạ, hẹ độ dài đường cao, r bán kính đường trịn nội tiếp, S diện tích ABC a) Ching minh ; 25 = ah, = bhy = che = (a+ b+ or 2.2 Hình học Euclidephẳng b) Từ đồ suy ra: —— +3 hahghe ©) Chứng tổ r < —*8-© | va khdo sét trường hợp đẳng thức 27 Trong tập từ 2.2.19 đến 2.2.21, ta ký hiệu A(T) la dién tích tam giác T P _2.2.19 Chứng minh rằng, hai tam giác không bet PAB va QAB c6 canh [AB] chung, thi ky higu M 1a giao diém cia (PQ) (AB) (nếu tổn tại), ta có : xÀỨAP) _ MP A@AB) MỢ 2.2.21 A ‘ 2.2.20 Ching minh rang, néu hai tam giác khơng bẹt ABC, A'B'C" có góc ẤBC ABC” phụ nhau, thi : AB.BC 2A(ABC) — 2À (4'B'C) B AIB.BRC AB" Chang minh : AWPQR) > ACABC), va R B c A bet, P € [BC], Q € [CA], R € [AB] cho : BP CQ AR CA c ` Cho ABC 1a mot tam giác không BC A R B Ó P Cc khảo sát trường hợp đẳng thức (sử dụng bai tập 2.2.20) 2.2.22 - Xác định diện tích cực đại tam giác nằm hình vng có cạnh aa>0) 2.2.23 Cho M,(1 0) Chứng minh tổn tai (i, j) £ {1 10J2 cho ; O< MyM js a2 2.2.24 Cho M, (1 0) Chứng minh tổn i, j, È, phân biệt đổi cho điện tích M,M,M, < % (Sử dụng tập 2.2.20) 2.2.25 Cho Adc tam giác đểu, a = AB > Xác định biên MA? + 2MB? - 2MC? M chạy khắp & 99 100 Chương Hình học Euclide mat phẳng không gian ba chiều 2.2.26 Chod eR’, A ER’, 4, t ¡; nghiệm thực (nếu tồn tại) phương trình # - +  (1 - 3) = với ẩn ¿ e ÏR, với ¡ thuộc {1, 2, 3},Ð, đường :hẳng có phuong tinh Descartes ¢; x - ty + a= Ching minh rang Dy, Ø2;, D, tạo thành tam giác 2.227 ChoA,ð,C ba điểm (f,)„e Ñ điểm xác định : en: VneN, neN, M , M,,5 = + M, May Mah M, Mu Chứng (Ä,)„ ‹ w hội tụ xác định giới hạn 2.2.28 Cho ABC la mOt tam giác không bet Chứng minh tén tai mot b ba (Mf, N, P) điểm mạt phẳng cho : Me (8C), N € (CA), P € (AB), (MN) L (CA), (NP) L (AB), (PM) L (BC) © 2.2.29" Gid thuyét Sylvester Cho Z tập hợp hữu hạn điểm mặt phẳng cho đường thẳng chứa hai điểm phân biệt thuộc £ chứa điểm thứ ba (của Z) Chứng minh rang điểm thuộc E thẳng hàng {Các pháp đẳng cự qlin mặt phẳng) 92.230 Tích hai phép quay Cho 01, Ó, € 6, Ø,, ổ, & R Chỉ rõ tích ƒ= Roto,a, Roto,4, sh % 2.2/31 Cho D đường thẳng, ứe D Chứng minh : Tyo Refy =Refp Refpo Tự =Refn» Ð' Ø2” suy từ phếp tịnh tiến theo vectơ : 2.2.32 Cho D,, D,, D, 1a ba đường thẳng, s phép phản chiếu qua D, (1