Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hàm số fx liên tục trên đoạn [a;b].. Dạng tích phân..[r]
(1)Chương III (2) Chương III (3) Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử hàm số x=(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [;] cho:()=a; ()=b và a≤(t)≤a, với t thuộc [;] Khi đó: b f ( x)dx f (t ) '(t )dt a Dạng tích phân Đặt Điều kiện a a x dx a x a sin t t ; 2 x a tan t t ; 2 dx a2 x2 a dx x2 a2 (4) Dạng tích phân Đặt Điều kiện a a x dx a x a sin t dx t ; 2 a2 x2 a dx 2 x a t ; 2 x a tan t Ví dụ Tính các tích phân: 2 1) x dx 2) dx 1 0 3) dx x 1 Đặt: x tan t x2 Hướng dẫn: Đặt: x 2sin t Đặt: x sin t (5) Ví dụ Tính các tích phân: 1) x xdx 4 2) e sin xdx cos x 3) ln x 1 dx x Hướng dẫn: Đặt: t x Đặt: Giải câu 2.1 x 0 t ln x xdx 4 t x dt 2 xdx xdx dt x t Đổi cận: x Đặt: Đặt: t 1 cos x 4 xdx 2 5 dt 11 1 24t 2 t 40 (6) Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì: b b udv uv a a b vdu (1) a b Bài toán Tính: P( x).Q( x)dx a Dạng Dạng Nếu P(x) là hàm đa thức theo biến x Nếu P(x) là hàm đa thức theo biến x Q(x) là các hàm số: Q(x) là các hàm số: e x;e ax ; sin x Đặt: ; cos x ; sin ax ;cos ax ; … u P ( x) dv Q ( x )dx du ? v ? ln x ; log a x ; … Đặt: u Q ( x) du ? dv P ( x) dx v ? Thay vào công thức (1) (7) Dạng Dạng Nếu P(x) là hàm đa thức theo biến x Nếu P(x) là hàm đa thức theo biến x Q(x) là các hàm số: Q(x) là các hàm số: e x; e ax; sin x Đặt: ;cos x ; sin ax ;cos ax ; … u P ( x) dv Q ( x ) dx ln x ; log a x ; … Đặt: du ? v ? u Q ( x) du ? dv P ( x ) dx v ? Thay vào công thức (1) Ví dụ Tính các tích phân: 1) x xe dx e 2) x sin xdx 3) x ln xdx Hướng dẫn: u x x dv e dx du v u x dv sin xdx du v u ln x dv xdx du v (8) I = xe x dx Giải câu 3.1 Đặt: u x x dv e dx I xe x dx xe xe Giải câu 3.1 x e x e x 1 x e dx 1.e 0.1 e 1 1 J x ln xdx Đặt: e du dx x v e dx du u ln x x dv xdx v x 2e e J x ln xdx x ln x xdx 21 1 e e 1 1 x ln x x e e 1 e 1 4 1 (9) (10) (11) (12)