Mở đầu Bất hệ thống dù hệ thèng kü tht hƯ sinh th¸i hay hƯ thèng kinh tế -xà hội tồn phát triển trạng thái ổn định Trong thực tế trình lại diễn cách độc lập hoàn toàn Các kích động thờng tồn gây nhiễu đến phát triển trình làm cho trình diễn không đợc bình thờng Từ nẩy sinh khái niệm tính ổn định trình dới dạng định nghĩa mô tả sau Một trình bị nhiễu dới tác động kích động mà vÃn trì đợc phát triển bình thờng nh nhiễu đợc gọi trình ổn định Một trình bị kích động mà phát triển khác xa bình thờng đợc gọi trình không ổn định Trong trình tồn tại, phát triển tiến hoá hƯ thèng sinh häc hay kinh tÕ x· héi th× vấn đề ổn định hệ thống luôn có ý nghĩa thực tiễn lý luận sâu sắc Khoá luận nghiên cứu tính ổn định bình thờng trung bình theo nghĩa Liapunov hệ vi phân ngẫu nhiên ITô tuyến tính có trễ Khoá luận gồm chơng Chơng I: Trình bày khái niệm lý thuyết ổn định hệ vi phân tuyến tính theo nghĩa Liapunov Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên ITô tuyến tính có trễ Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn nhiệt tình PGS -TS Phan Đức Thành Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy -Ngời đà dành cho hớng dẫn nhiệt tình suốt khoá học nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp quý báu bổ ích thầy: PGS -TS Nguyễn Văn Quảng, TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà thầy cô tổ Điều khiển -khoa Toán-Trờng Đại học Vinh Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình bạn bè đà tạo điều kiện thuận lợi cho thân suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành tốt khoá luận Ngời thực Lê Công Phơng Chơng I Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính Đ1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Trong trình tồn tại, phát triển tiến hoá hệ thèng sinh häc hay kinh tÕ x· héi th× vÊn đề ổn định hệ thống luôn có ý nghĩa thực tiễn lý luận sâu sắc Nh đà biết hệ phơng trình vi phân phơng tiện để mô tả hệ thống Xét hệ phơng trình vi phân thờng: % dY % % = F (t , Y ) +θ ( t , Y ) dt (j = 1, 2, , yn) (1 1) Dới dạng ma trận véc tơ ta có: (1 2) Định nghĩa1.1.1 Nghiệm z = z(t) (a < t < ) hệ (1.2) đợc gọi ổn định theo Liapunov t → ∞ , nÕu ∀ε > vµ t0 ∈ (a, ∞), ∃δ = δ(ε, t0) > cho : i) Tất nghiệm Y = Y(t) hệ (1.2) thoả mÃn điều kiện: ||Y(t0) -z(t0)|| < (1 3) xác định khoảng t0 < t < ∞ tøc lµ Y(t) ∈ DY t [t0, ) ii) Đối với nghiệm bất dẳng thức sau đợc thoả mÃn: ||Y(t) -z(t)|| < ε to ≤ t < ∞ (1 4) Trêng hợp đặc biệt, F(t, 0) nghiệm tầm thêng z(t) ≡ (0 < t < ∞) æn định > t0 (a, ∞) ∃ δ = δ(ε, t0) cho: ||Y(t0)|| < kéo theo đẳng thức : ||Y(t)|| < t0 < t < Định nghĩa 1.1.2 Nếu số δ > cã thĨ chän kh«ng phơ thc trêng hợp ban đầu t0 G, tức = () ổn định gọi ổn định miền G Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi không ổn ®Þnh theo Liapunov, nÕu ∀ ε > 0, t0 ∈ (a, ) > tồn nghiệm Y (t)và thời điểm t1 = t1() > t0 cho: || Yδ (t0) -z(t0) || < || Y (t1) -z(t1) || Ngợc lại, z không thoả mÃn định nghĩa ta nói nghiệm tầm thờng z không ổn định Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi ổn định tiƯm cËn t → ∞ nÕu: i) Nã ỉn định theo Liapunov ii) t0 (a, ), = ∆(t0) > cho mäi nghiÖm Y(t) (t t < ) thoả mÃn điều kiện || Y(t0) -z(t0) || < ∆ sÏ cã tÝnh chÊt: (1 5) Định nghĩa 1.1.5 Giả sử hệ (1.2) xác định nưa kh«ng gian Ω = {t0 < t < ∞}x{||Y|| < ∞} nÕu nghiÖm z = z(t) (a < t < ) ổn định tiệm cận t tất nghiệm Y = Y(t) (t0 ≤ t < ∞, t0 > a) ®Ịu cã tÝnh chất (1 5) tức = z(t) đợc gọi ổn định tiệm cận toàn cục Cùng víi hƯ (1 2) ta xÐt hƯ cã nhiƠu sau: (1.6) Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) hệ (1 2) đợc gọi ổn định dới tác động nhiễu > vµ t0 ∈ (a, ∞), ∃δ = δ(ε, t0) > cho tất nghiệm hệ (1 6) thoả mÃn điều kiện xác định khoảng [t0, ) với t0 t < Đ2 Tính ổn định hệ vi phân tun tÝnh XÐt hƯ vi ph©n tun tÝnh: (j = 1, 2, , n) (2.1) Dới dạng ma trận véctơ (2 1) cã thĨ viÕt: (2 2) ®ã ma trận A(t) véctơ F(t) liên tục khoảng (a, ∞) Gi¶ sư X(t) = [Xjk] (detX(t) ≠ 0) (2 3) ma trận nghiệm hệ vi phân tuyến tính tơng ứng: (2 4) Định nghĩa 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) đợc gọi ổn định (hoặc không ổn định) tất nghiệm Y = Y(t) hệ tơng ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov a Định nghĩa 1.2.2 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) đợc gọi ổn định tất nghiệm Y(t) hệ ổn định đềukhi t thời điểm ban đầu t0 (a, ) Định nghĩa 1.2.3 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) đợc gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm hệ ổn định tiệm cận t Định lý 1.2.4 Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (2 2) ổn định với số hạng tự F(t) nghiệm tầm thờng: (t0 < t < , t0 (a, )) hệ tơng ứng (2 4) ổn định Chứng minh 1) Điều kiện cần: Gi¶ sư z = z(t) (t0 < t < ∞) nghiệm ổn định hệ (2 2), có nghĩa > tồn > cho nghiƯm bÊt kú Y = Y(t) cđa hƯ (2 2)khi t ∈ (t0, ∞) ta cã: || Y(t) -z(t) || < ε (2 5) || Y(t0) -z(t0) || < δ (2 6) Nhng (2 7) lµ mét nghiệm hệ vi phân tuyến tính (2 4) ngợc lại Nh vậy, (2 5) (2 6) tơng đơng với: t0 t < Từ suy nghiệm tầm thờng hệ (2 4) ỉn ®inh theo Liapunov t → ∞ 2) Điều kiện đủ: Giả sử hệ (2 4) ổn định theo Liapunov Khi đó, (t0 t < ∞) lµ mét nghiƯm bÊt kú cđa hƯ vi phân tuyến tính cho: t0 ≤ t < ∞ Nh vËy, nÕu z(t) lµ mét nghiệm không (2 2) Y(t) nghiệm bÊt kú cđa hƯ (2 2) th× tõ || Y(t0) -z(t0) || < δ suy ra: || Y(t) -z(t) || < t [t0, ) Điều có nghĩa nghiệm z(t) ổn định t (Điều phải chứng minh ) Định lý 1.2.5 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) ổn định nghiệm tầm thờng hệ vi phân tuyến tính tơng ứng (2 4) ồn định t Định lý 1.2.6 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thờng hệ vi phân tuyến tính tơng ứng (2 4) ổn định tiệm cËn t → ∞ HƯ qu¶ HƯ vi phân tuyến tính ổn định nghiệm ổn định không ổn định nghiệm không ổn định Hệ Hệ vi phân tuyến tính ổn định hệ vi phân tơng ứng ổn định Hệ Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (2 2) với số hạng tự F(t) ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính tơng ứng (2 4) ổn định Đ3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính nhất: (3 1) A(t) liên tục khoảng (a, ) Định lý 1.3.1 Hệ vi phân tuyến tính (3 1) ổn định theo Liapunov nghiệm Y = Y(t) (t t < ) hệ bị chặn trªn nưa trơc t ∈ (t0, ∞) Chøng minh 1) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm (3 1) giới nội (t0, ) (a, ) Xét ma trận nghiệm chuẩn hoá X(t) = [Xjk(t)] X(t0) = E Vì ma trận X(t) bao gồm hàm giới nội Xjk(t) nên giới néi, tøc lµ: || X(t) ||≤ M víi t ∈ [t0, ) M số dơng Mặt khác nghiệm Y = Y(t) hệ (3 1) biểu diễn dới dạng: Y(t) = X(t)Y(t0) Tõ ®ã ta cã ||Y(t)|| ≤ ||X(t)|| ||Y(t0)|| ≤ M||Y(t0)|| < ε Nh vËy nghiƯm tÇm thêng Y0 ≡ vµ nghiƯm bÊt kú cđa hƯ (3 1) ổn định theo Liapunov t Nh (3 1) ổn định 2) Điều kiện cần: Giả sử hệ (3 1) có nghiệm không giới nội [t0, ) z(t), dĩ nhiên z(t0) ≠ víi ε > 0, δ > cè định Xét nghiệm Dễ thấy Do tính không giới nội cđa z(t) ®èi víi thêi ®iĨm t1 > t0, ta cã: Nh vËy, nghiƯm tÇm thêng Y0 ≡ hệ (3 1) không ổn định theo Liapunov Vậy hệ (3 1) không ổn định Hệ 1.3.2 Nếu hệ vi phân tuyến tính không ổn định tất nghiệm hệ giới nội không giới nội t + Định lý 1.3.3 Hệ vi phân tuyến tính (3 1) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y = Y(t) hệ dần tới không t +, tức là: (3 2) Chứng minh 1) Điều kiện cần: Giả sử hệ (3 1) ổn định tiệm cận t + Suy víi z(t) lµ nghiƯm bÊt kú cđa hƯ (3 1) ta cã: ||z(t0)|| < ∆ ®ã t0 ∈ (a, ∞) tuú ý XÐt Y(t) tuú ý víi Y(t0) = Y0 Giả sử Suy Y(t) thoả mÃn (3 3) Do 2) Điều kiện đủ: Giả sử điều kiện (3 2) thoả mÃn Khi ®ã víi nghiƯm Y(t) bÊt kú (t ∈ [t0, ∞)) ta cã: ||Y(t)|| < T < t < + Vì Y(t) bị chẵn đoạn [t0, T) nên suy hệ (3 1) ổn định tiệm cận Hệ 1.3.4 Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận ổn định toàn cục Đ4 ổn định cđa hƯ vi ph©n tun tÝnh víi ma trËn h»ng Xét hệ (4.1) A = [ajk] ma trận (n x n) Định lý 1.4.1 Hệ vi phân tuyến tính (4 1) với [A] n n ổn định x tất nghiệm đặc trng j = j(A) A có phần thực không dơng, tc Rej(A) nghiệm đặc trng có phần thực ớc đơn Định lý 1.4.2 Hệ vi phân tuyến tính (4 1) với ma trận ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trng j = j(A) thoả mÃn: Rej(A) < Chứng minh 1) Điều kiện đủ: Giả sử 1, , m (m n) tất nghiệm đặc trng A Reλj(A) < Khi ®ã nghiƯm cđa (4 1) có dạng: (4.2) pj(t) ma trận đa thức Từ Rej < nên ta có: Vậy theo định lý Đ3 ta có điều phải chứng minh 2) Điều kiện cần: Giả sử hệ (4 1) ổn định tiệm cận Khi hệ ổn định theo Liapunov t + nên ta có: Rej (4 3) Giả sử tồn nghiệm đặc trng s = i/us (1 ≤ s ≤ m) Sao cho: Reλs = Khi ®ã nghiƯm cđa hƯ (4 1) cã d¹ng: ®ã C véctơ cột khác không Vì vậy: ||z|| = ||C|| ≠ Tøc lµ: z ↛ t điều mâu thuẫn với tính ổn định tiƯm cËn cđa hƯ (4 1) Do ®ã: Reλj < Định lý hoàn toàn đợc chứng minh Đ5 Tiêu chuẩn Hurwitz 5.1 Một số khái niệm Xét đa thức: f(z) = a0 + a1z + + anzn (n ≥ 1) (5 1) Trong ®ã z = x + iy lµ sè phøc vµ a0, a1, , an cã thể hệ số thực phức a) Định nghĩa Đa thức f(z) bậc n đợc gọi đa thức Hurwitz tất nghiệm z1, z2, , zn có phần thực âm: Rezj < (5 2) Khi (5 1) đợc gọi đa thức chuẩn bậc n b) Định lý Nếu đa thức chuẩn đa thức Hurwitz tất hệ số dơng 5.2 Tiêu chuÈn Hurwitz XÐt ®a thøc chuÈn: f(z) = a0 + a1z + … + anzn (5 3) ®ã a0 > 0, an 5.3 Định lý Hurwitz Điều kiện cần đủ để đa thức (5 3) đa thức Hurwitz tất định thức chéo ma trân Hurwitz dơng, tức là: (5 4) Đ6 Phơng pháp thứ Liapunov Phơng pháp thứ Liapunov phơng pháp nghiên cứu tính ổn định hệ việc đánh giá gián tiếp thông qua hàm số V(t, x) đợc gọi hàm Liapunov I Các hàm có dấu xác định Xét hàm số V = V(t, X) liên tuc theo t vµ theo x1, …, xn miỊn z0 = {a < t < , ||X|| < h} Định nghĩa1.6.1.1 Hàm thực liên tục V(t, X) đợc gọi có dấu không đổi (dơng âm) z0 nếu: V(t, X) ≥ (hc V(t, X) ≤ 0) víi (t, X) z0 Định nghĩa1.6.1.2 Hàm V(t, X) đợc gọi hàm xác định dơng z0 tồn hàm W(X) C(||X|| < h) cho: V(t, X) ≥ W(X) > víi ||X|| ≠ (6 1) Ngợc lại, hàm V(t, X) đợc gọi xác định âm z0, tồn hàm C (||X|| < h) cho: V(t, X) = W(X) < víi ||X|| ≠ 10 W(X) ∈ Vµ V(t, X) = W(0) = Hàm xác định dơng âm đợc gọi hàm có dấu xác định Định nghĩa1.6.1.3 Hàm V(t, X) đợc gọi hàm có giới hạn v« cïng bÐ bËc cao X → nÕu với t0 > a ta có [t0, ∞) X → 0, tøc lµ víi mäi ε > ∃δ = δ(ε) > cho: |V(t, X)| < ε Khi ||X|| < δ vµ t ∈ [t0, ) Chú ý: Nếu hàm V(X) liên tục, không phơc thc vµo thêi gian t vµ V(0) = V(X) có giới hạn vô bé bậc cao X Đ7 Tính ổn định ổn định tiệm cận nghiệm Xét hệ qui đổi: 7.1 Định nghĩa Hàm số (7 1) (7 2) đợc gọi đạo hàm theo t hàm V(t, X) theo nghÜa cđa hƯ (7 1) NÕu X = X(t) lµ nghiệm hệ (7 1) thì: 7.2 Định lý thø nhÊt Liapunov NÕu ®èi víi hƯ qui ®ỉi (7 1) tồn hàm xác định dơng V(t, X) CtX(T0) (T0 T) Có đạo hàm dấu không dơng V(t, X) theo t nghĩa hệ nghiƯm tÇm thêng X ≡ (a < t < ) hệ đà cho ổn định theo Liapunov t + 7.3 Hệ Nếu hệ vi phân tuyến tính nhất: (A(t) C[t0, )) tồn hàm xác định dơng V(t, X) có đạo hàm nghĩa hệ V(t, X) tất nghiệm X(t) hệ đợc xác định bị chặn nửa trục [t0, ) 7.4 Định lý thứ hai Liapunov Giả sử hệ qui đổi (7 1) tồn hàm xác định dơng có giới hạn vô bé bậc cao X có đạo 11 hàm theo t xác định âm V(t, X) nghĩa hệ Khi nghiệm tầm thờng X hệ ổn định tiệm cận t + 7.5 Hệ Nếu hệ vi phân tuyến tính tồn hàm xác định dơng V(t, X) thoả mÃn điều kiện định lý nghiệm hệ ổn định toàn cục 12 Chơng II Tính ổn định bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên Itô có trễ Chơng trình bày số điều kiện đủ để nghiệm tầm thờng x = hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính có trễ ổn định bình phơng trung bình theo nghĩa Liapunov Trớc hết ta cần đến số kiến thức vi phân Itô đợc xây dựng theo qui trình Wiener 13 Đ1 Vi phân Itô hàm Liapunov I Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 2.1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt, t 0) xác định không gian xác suất (, , p) đợc gọi trình Wiener nếu: i) W0 = ii) (Wt) cã gia sè ®éc lËp iii) Wt -Ws ∼ N(0, t - s) Tõ tÝnh chÊt iii) ta suy EdWt = 0, E(dWt)2 = dt Định lý sau đợc gọi qui tắc vi phân Itô Định lý2.1.1.2 Cho X = X(t) trình ngẫu nhiên có vi phân Itô: dx(t) = A(t, xt)dt + B(t, xt)dWt Giả sử y = g(t, x) hàm lần khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi liên tục theo biến x Khi trình ngẫu nhiên y t = g(t, Xt) có vi phân Itô đợc tính theo công thức: Xét phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dx(t) = Ax(t)dt + Bx(t)dW(t) ≤ t0 ≤ t ≤ ∞ x(t0) = x0, x ∈ Rn, A ∈ Rn, B ∈ Rn xn Khi qui tắc vi phân Itô V = xTx lµ: dxTx = xTdx + dxTx + (Bx)TBxdt = (x, dx) + (dx, x) + (Bx, Bx)dt II Vi phân Itô hàm Liapunov 2.1.2.1 Xét hệ vi phân tuyến tính dừng hay dx = Axdt A ∈ Rn xn lµ ma trËn h»ng, x ∈ Rn 14 Ta lấy hàm Liapunov dạng toàn phơng: V = xTHx = (x, Hx) Trong đó: H ma trận xác định dơng Khi đó: = (x, ATHx) + (x, HAx) = (x, (ATH + HA)x) = xT(ATH + HA)x 2.1.2.2 Xét hệ vi phân ngẫu nhiên dx = Axdt + BxdW(t) hay dx = [Adt + BdW(t)]x (2) A, B Rnxn ma trËn h»ng Ta lÊy hµm Liapunov cđa hƯ (2) dạng toàn phơng V = xTHx Theo công thức vi phân Itô ta có: dV = d(xTHx) = dxTHx + xTHdx + (Bx)THBxdt = xTH(xATdt + xBT dW) + xT(AHxdt + HBxdW) + (Bx)THBxdt = xT(ATH + HA + BTHB)xdt + xT(BTH + HB)xdW Tõ ®ã suy ra: EdV = xT(ATH + HA + BTHB)xdt 2.1.2.3 XÐt hÖ sai phân ngẫu nhiên x(k + 1) = [A + B(k)]x(k) ®ã ξ(k) = W(k + 1) -W(k) ∆V = V(W(k + 1)) -V(W(k)) = xT(k + 1)Hx(k + 1) -xT(k)Hx(k) = xT(k)[ATHA -H + (BTHA + ATHB)ξ(k) + BTHBξ2(k)]x(k) Chó ý r»ng Eξ(k) = 0, Eξ2(k) = Tõ ®ã suy ra: E∆V = xT(k)(ATHA -H + BTHB)x(k) §2 Tính ổn định hệ vi phân có trễ 15 I Xét hệ phơng trình vi phân có trễ sau ®©y (2 1) ®ã: ≤ t0 < t, x(θ) = x0 ≠ víi θ = t0, x(θ) = 0, t0 - τ ≤ θ < t0 τ = Const ≥ 0, t0 -τ ≤ θ ≤ t0, t0 thời điểm gốc Định nghĩa 2.2.1.1 Nghiệm x = hệ (2 1) ổn định theo Liapunov nÕu ∀µ > bÐ tuú ý, ∃δ > cho tõ ®iỊu kiƯn: ||x0|| < δ suy ||x(t, t0, x0)|| < Ngợc lại không tồn ta nói x = không ổn định Định nghĩa 2.2.1.2 Nghiệm x = hệ (2 1) ổn định tiệm cận theo Liapunov ổn định theo Định nghĩa thoả mÃn: Định nghĩa 2.2.1.3 Nghiệm x = hệ (2 1) ổn định mũ theo Liapunov với số mũ > ổn định tiệm cận thoả mÃn: ||x(t, t0, x0)|| < k||x0|| (2.2) k > 0, > số không phụ thuộc t0, x0 Định nghĩa2.2.1.4 Nghiệm x(t, t0, x0) hệ (2 1) bị chẵn tuyệt đối ∃C > cho ||x0|| < δ ⇒ ||x(t, t0, x0)|| < C II Một số kết đà biết Gọi i(A) giá trị riêng ma trận A, E ma trận đơn vị, O2n x 2n ma trận không cỡ 2nx2n Định nghĩa 2.2.2.1 Ma trận A đợc gọi ổn định mũ nếu: ( = Const > 0) Số đợc gọi số ổn định mũ hệ (2 1) hay cđa ma trËn A MƯnh ®Ị 2.2.2.2 (Liapunov) NÕu ma trận A ổn định tồn ma trận xác định dơng đối xứng H0 nghiệm phơng trình ma trận ATH0 + H0A = - G (2.3) G ma trận xác định dơng ®èi xøng, chän t ý 16 MƯnh ®Ị 2.2.2.3 (Kalman - Bestram) Ma trận A ổn định mũ tồn nghiệm xác định dơng H đối xứng phơng trình ma trận: (A + E)TH + H(A + βE) = - G (2 4) G > 0, đối xứng tuỳ ý chọn Định lý 2.2.2.4 (Liapunov - Krasovski) Muèn nghiÖm x = phơng trình vi phân có trễ (2 1) ổn định tiệm cận điều kiện đủ tồn phiếm hàm toàn phơng xác định dơng Liapunov -Krasovski V(x(t)) cho đạo hàm toàn phần lấy theo nghiệm hệ Vì hệ (2 1) tuyến tính Ôtô nôm nên phiếm hàm V(x(t), ) cã d¹ng: V(x(t, θ)) = xT(t)H0x(t) + (2 5) Trong đó: H0 ma trận xác định dơng, đối xứng cha biết xác định > t×m sau Ta cã: = [Ax(t) + A1x(t -τ)]TH0x(t) + xT(t)H0[Ax(t) + A1x(t -τ)] + γ[xT(t)H0x(t) -xT(t -τ)H0x(t -τ)] = (2 6) (2 7) Đạo hàm toàn phần (2 7) nghiệm x(t) có giá trị âm trờng hợp dạng toàn phơng vế phải (2 7)xác định âm Hay ATH0 + H0A + H0 < vµ ≤ O2n x 2n (2 8) 17 Mặt khác ATH0 + H0A + H0 < H0 nghiệm phơng trình ma trËn ATH0 + H0A + γH0 = - G hc phơng trình tơng đơng: (2 9) đó: G ma trận xác định dơng đối xứng cỡ n xn 2.2.2.5 Định lý (tiêu chuẩn ổn định tuyệt đối) Nghiệm tầm thờng x=0 hệ (2 1) ổn định tiƯm cËn theo Liapunov (víi mäi τ ≥ 0) thoả mÃn điều kiện sau: i) Ma trận A ổn định mũ (với số mũ > đó) ma trận A + A Hurwitz ii) Xảy bất đẳng thức ma trận: 02n 2n x Trong đó: H0 nghiệm xác định dơng phơng trình (2 9) G ma trận xác định dơng đối xứng tuỳ ý chọn G = GT > 0, γ > 0, < γ < 2, 18 Đ3 Tính ổn định bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên Itô có trễ I Xét hệ phơng trình vi phân Itô có trễ dạng dx(t) = [Ax(t) + A1x(t -)]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t -τ)]dW(t) (3 1) Víi ®iỊu kiƯn ban đầu: t0 t, x() = x víi θ = t x(θ) = víi t0 -τ ≤ θ < t0, t0 -τ ≤ θ ≤ t0 x, x véctơ n -chiều biến pha hệ không nhiễu hệ có nhiễu tơng ứng với giá trị ban ®Çu cđa chóng trïng x(t 0) = xξ (t0) B(0) = B1(0) = Vì W(t) trình Wiener vô hớng chuẩn nên ta có: EdW(t) = 0, E(dW(t))2 = dt Đối với hệ tiên định, chuẩn vÐct¬ n -chiỊu x = (x 1, …, xn)T cã thể lấy, chẳng hạn: Trong H ma trận toàn phơng xác định dơng đợc gọi ma trận trọng lợng Định nghĩa2.3.1.1 Nghiệm tầm thờng (x = 0) hệ (1) đợc gọi ổn định bình phơng trung bình tuyệt đối > tuỳ ý bÐ ∃δ > cho tõ ||x0|| < δ Suy ra: E{||xξ (t, t0, x0) ||2/ ||x0|| < δ} < Định nghĩa 2.3.1.2 Nghiệm tầm thờng (x = 0) hệ (3 1) đợc gọi ổn định bình phơng trung bình tuyệt đối ổn định theo Định nghĩa và: 19 §Þnh nghÜa 2.3.1.3 NghiƯm xξ (t, t0, x0) cđa hƯ (3 1) bị chẵn bình phơng trung bình tuyệt đối nÕu ∃C > cho tõ ||x0|| < δ suy ra: E{||xξ (t, t0, x0) ||2/ ||x0|| < δ} < C II Các điều kiện ổn ®Þnh tiƯm cËn tut ®èi XÐt tÝnh ỉn ®Þnh nghiƯm hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có trễ dạng Côsi: dx(t) = [Ax(t) + A1x(t -)]dt + [B()x(t) + B1()x(t -)]dW(t) (3 3) Vì hệ tuyến tính dừng nên phiếm hàm Liapunov -Krosovski thiết lập điều kiện cần đủ tính ổn định tiệm cận tuyệt đối bình phơng trung bình đợc tìm phiếm hàm toàn phơng dạng: (3 4) Trong đó: H ma trận đối xứng xác định dơng cỡ n x n áp dụng công thức Itô ta có: ={[Axξ(t) + A1(xξ(t -τ))T]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)(xξ(t -τ))T]dW(t) + (xξ(t))TH{[A xξ(t) + A1xξ(t -τ)]dt + B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t -τ)]dW(t)} + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t -τ)]TH[B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t -τ)]Tdt 20 + γ(xξ(t))TH xξ(t)dt + γ(xξ(t -τ))TH xξ(t -τ)dt Tõ ®ã ta cã kú väng: = [Ax(t) + A1x(t -τ)]THx(t) + (x(t))TH[Ax(t) + + A1x(t) + γ(x(t))T -γ(x(t -τ)THx(t -τ)) + + [B(ξ)x(t) + B1(ξ)x(t -τ)]TH[B(ξ)x(t) + B1(ξ)x(t -τ)] (3 5) Ph¬ng trình (3 5) tơng đơng với: Từ < vµ chØ ATH + HA + γH + BTHB < Và ma trận sau thoả mÃn điều kiện: O2n x 2n Mặt khác ma trận ATH + HA + γH + BTHB = - G (3 6) Trong G ma trận xác định dơng lấy tuỳ ý, đối xứng cỡ n x n Phơng trình (3 6) viết đợc: (3.7) Khi B = On x n phơng trình (3 7) có nghiƯm H > On x n vµ chØ A ổn định mũ với số mũ > b»ng c¸ch Cho γ ∈ (0, 2β) cho Từ ta nhận đợc định lý sau: Định lý (tiêu chuẩn ổn định tiệm cận tuyệt đối, bình phơng trung bình) Nghiệm tầm thờng (x = 0) hệ (3 1) ổn định tiệm cận theo 21 Liapunov bình phơng trung bình với > thoả mÃn điều kiện: i) Ma trận A ổn định mũ (với số > 0) vµ ma trËn A + A1 Hurwitz ii) Tồn nghiệm xác định dơng H phơng trình ma trận: G ma trận xác định dơng, đối xứng tuỳ ý chọn; > 0, = Const, γ ∈ (0, 2β) iii) XÈy bÊt ®¼ng thøc ma trËn: ≤ O2n x 2n 22 KÕt luận Khoá luận đà thu đợc kết sau Các vấn đề khoá luận đà trình bày Các khái niệm lý thuyết ổn định theo Liapunov: ổn định, ổn đinh tiệm cận, ổn định Mối quan hệ tính ổn định (ổn định tiệm cận ổn định đều) hệ vi phân tuyến tính có số hạng tự F(t) với tính ổn định (ổn định tiệm cận ổn định đều) nghiệm tầm thờng hệ vi phân tuyến tính tơng ứng Tính ổn định (ổn định tiệm cận) hệ vi phân tuyến tính hệ vi phân tuyến tính với ma trận Phơng pháp thứ hai Liapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ hệ vi phân có trễ giới thiệu số kết đà biết Liapunov, Liapumov Krasovski, để tìm điều kiện ®đ cđa tÝnh ỉn ®Þnh tiƯm cËn cđa hƯ vi phân có trễ Những đóng góp khoá luận Nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên ITô có trễ Chứng minh đợc tiêu chuẩn ổn định tiệm cận tuyệt đối bình phơng trung bình nghiệm tầm thờng đói với hệ vi phân ngẫu nhiên ITô có trễ 23 Tài liệu tham kh¶o Hasminski R.Z Stochastic Stability of Differenitial Equatios Sijthoff and Noordhoff Alphen (1980) Korenevskij D.G Coffcient criteria and Suffcient Couditions tor anyniptotic dtability Stocchactic difereutial equantios Soviet Math Dokl Vol 34 (1987) N.2 Korenev D.G Stability criteria solutions of sytems of linear Deterministic of Stochactic Delay Differenke E quatios with continnous Time Math Notes Vol 70 N (2001) Nguyễn Duy Tiến Các mô hình xác xuất ứng dụng Phần III Giải tích ngẫu nhiên NXB ĐHQG Hanoi 2001 24 ... không ổn định Hệ Hệ vi phân tuyến tính ổn định hệ vi phân tơng ứng ổn định Hệ Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tÝnh (2 2) víi sè h¹ng tù F(t) bÊt kỳ ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính. .. 7.5 Hệ Nếu hệ vi phân tuyến tính tồn hàm xác định dơng V(t, X) thoả mÃn điều kiện định lý nghiệm hệ ổn định toàn cục 12 Chơng II Tính ổn định bình phơng trung bình hệ vi phân ngẫu nhiên Itô có trễ. .. thuyết ổn định theo Liapunov: ổn định, ổn đinh tiệm cận, ổn định Mối quan hệ tính ổn định (ổn định tiệm cận ổn định đều) hệ vi phân tuyến tính có sè h¹ng tù F(t) bÊt kú víi tÝnh ỉn định (ổn định