Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ------- ---- ------- Hoàng văn thành Về tính - ổn định và tính - bị chặn Của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 1 Mục lục Mục lục 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chơng 1. Một số kiến thức cơ bản của lí thuyết ổn định 6 1.1. Tính ổn định của nghiệm phơng trình sai phân trong không gian d . . 6 1.2. Toán tử dịch chuyển và sự ổn định của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Chơng 2. Tính - ổn định và tính - bị chặn của phơng trình sai phân tuyến tính 11 2.1. Tính - ổn định của phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.2. Tính - bị chặn của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định toán học là một bộ phận quan trọng của phơng trình vi phân. Ngày nay lý thuyết ổn định có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, kĩ thuật nh : vật lí, kinh tế, sinh thái môi trờng, . Lý thuyết ổn định toán học đợc tìm hiểu, nghiên cứu và đợc phát triển mạnh mẽ vào cuối thế kỉ XIX với sự đóng góp to lớn của nhà toán học ngời Nga Liapunov. Đối với phơng trình vi phân, Akinnyele đã đa ra khái niệm - ổn định, - bị chặn. Có nhiều tác giả quan tâm đến hớng nghiên cứu này nh Avamescu, Constantin,. . . Gọi J là tập hợp các số tự nhiên hoặc tập hợp các số nguyên . Xét ph- ơng trình sai phân trong không gian d x(n+1) = F(n, x(n)), (1) trong đó x : J d , F : J ì d d là hàm véc tơ cho trớc. Các khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận đều, . của phơng trình (1) đợc trình bày đầy đủ và chi tiết trong các tài liệu của các tác giả: Kenneth S. Miller, Xaaa A., Beep (1971). Giả sử {A(n), n J} là một dãy ma trận vuông cấp n. Khi đó, phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong d là x(n+1) = A(n)x(n). (2) Ta xét phơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất x(n+1) = A(n) x(n)+f(n), (3) trong đó f là một hàm: J d . Khi đó (2) đợc gọi là phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng với phơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (3). 3 Các kết quả cổ điển về sự ổn định của phơng trình (2) trong d đợc trình bày một cách hệ thống trong nhiều tài liệu, chẳng hạn trong [3] hoặc [10]. Gần đây, Y. Han và J. Hong; Aurel Diamandescu đã chỉ ra một số tiêu chuẩn về sự tồn tại nghiệm - bị chặn của phơng trình (3) trong d . Các tác giả của [4], [5] chỉ xét bài toán trong d và (n), n (hoặc (n), n ) là ma trận chéo khả nghịch, mỗi phần tử trên đờng chéo chính lấy giá trị trong (0, +). Để tìm các kết quả tổng quát hơn, có hai quan điểm nghiên cứu: +) Xét phơng trình (2) trong các không gian tổng quát hơn d . +) Đa ra các khái niệm ổn định tổng quát hơn khái niệm ổn định cổ điển, nhằm mở rộng các kết quả đã có về tính ổn định đối với phơng trình sai phân tuyến tính. Một trong các hớng chính nghiên cứu phơng trình sai phân tuyến tính là tính ổn định của nghiệm phơng trình (2) và mối liên hệ giữa tính ổn định đó với sự tồn tại nghiệm của phơng trình (3). Một phơng pháp thờng dùng để nghiên cứu sự ổn định của phơng trình sai phân là sử dụng hàm Liapunôv. Ngời ta đã chứng minh đợc rằng hầu hết các kết quả thu đợc bằng phơng pháp Liapunôv về sự ổn định của phơng trình vi phân tuyến tính đều có kết quả tơng ứng về sự ổn định của phơng trình sai phân tuyến tính. Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi mở rộng khái niệm ổn định bằng việc đa vào nhiễu . Với hớng nghiên cứu đó và dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội, chúng tôi đi nghiên cứu một số vấn đề sau: Xây dựng khái niệm - ổn định đều, - ổn định mũ, - ổn định tiệm cận đều cho phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian d và chỉ ra một số tiêu chuẩn để chúng - ổn định đều, - ổn định mũ với { (n), n 0} 4 là dãy ma trận khả nghịch với mọi n . Nghiên cứu mối quan hệ giữa tính - ổn định mũ với - ổn định tiệm cận đều; tính ổn định của phơng trình (2) và điều kiện Perron của phơng trình (3). Nghiên cứu tính - bị chặn trên + với f(n) là - bị chặn trên + hoặc f(n) là - khả tổng trên + ; đa ra một số ví dụ minh hoạ cho các kết quả có trong luận văn. Phơng pháp chúng tôi sử dụng để nghiên cứu là: hàm Liapunov và toán tử dịch chuyển. Với mục đích nh trên luận văn đợc chia làm hai chơng : Chơng1. Một số kiến thức cơ bản của lí thuyết ổn định 1.1. Tính ổn định của nghiệm phơng trình sai phân trong không gian d . 1.2 .Toán tử dịch chuyển và sự ổn định của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian d . Chơng2. Tính - ổn định và tính - bị chặn của phơng trình sai phân tuyến tính 2.1. Tính - ổn định của phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian d . 2.2. Tính - bị chặn của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian d . Phần cuối của luận văn là kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn này đợc hoàn thành với sự giúp đỡ tận tụy, chân thành, chu đáo, nhiệt tình của thầy giáo PGS. TS Phạm Ngọc Bội và của các thầy cô giáo PGS. TS Trần Văn Ân, PGS. TS Tạ Khắc C, PGS. TS Tạ Quang Hải, PGS. TS Đinh Huy Hoàng, PSG. TS Nguyễn Nhụy, TS. Phan Lê Na cùng các thầy cô giáo khoa Toán và khoa Sau đại học. Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hớng dẫn và các thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn bè, gia đình 5 đã động viên giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng luận văn không tránh đợc những thiếu sót về cả nội dung và hình thức. Vì vậy, chúng tôi rất mong nhận đợc sự góp ý chân thành của các thầy cô và bạn đọc. Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả Hoàng Văn Thành 6 CHƯƠNG 1 Một số kiến thức cơ bản của lí thuyết ổn định Trong chơng này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản về sự ổn định của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính làm cơ sở cho Chơng 2. Nội dung của Chơng 1 đợc trích ra từ tài liệu tham khảo [1]. Đặc biệt, chúng tôi giới thiệu một phơng pháp mà nhiều tác giả ( nh Aulbach, Nguyễn Văn Minh và Zabreiko; Phạm Ngọc Bội, .) sử dụng để nghiên cứu tính ổn định của phơng trình sai phân là toán tử dịch chuyển. 1.1. Tính ổn định của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian d . Giả sử J là tập các số tự nhiên hoặc tập các số nguyên và {A(n), n J} là một dãy ma trận. Khi đó ta có phơng trình sai phân tuyến tính trong d x(n+1) = A(n) x(n) . (1.1) Nếu f là hàm từ J lên d thì ta có phơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất tơng ứng với phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất là x(n+1)= A(n) x(n) + f(n). (1.2) Kí hiệu . và d . Ă là chuẩn trong d và [ d ] (tơng ứng), với điều kiện sup ( ) n A n = M < + . (1.3) 1.1.1. Định nghĩa ([1]). Giả sử J là hoặc và F là một ánh xạ từ J ì d vào d . Nghiệm của phơng trình sai phân x(n+1) = F(n, x(n)), (1.4) 7 trên J là một ánh xạ x : J d sao cho đẳng thức (1.4) thoả mãn với mọi n thuộc J. Ta thờng viết nghiệm của phơng trình sai phân dới dạng dãy x ={x(n), n J}. Giả sử J 1 là một tập hợp con của J, ta gọi dãy {x(n), n J 1 } là nghiệm của phơng trình (1.4) trên J 1 nếu dãy này thoả mãn (1.4). 1.1.2. Định nghĩa ([1]). Nghiệm { x n n J( ), } của phơng trình (1.4) đợc gọi là ổn định đều trên J theo Liapunôv nếu với mỗi > 0 tồn tại = () >0 sao cho mỗi một nghiệm {x(n), n J 1 } bất kì của phơng trình (1.4) trên J 1 = [n 0 ; +) với n 0 nào đó thuộc J, nếu thoả mãn < 0 0 ( ) ( )x n x n thì < ( ) ( )x n x n với mọi n J 1 . 1.1.3. Định nghĩa ([1]). Nghiệm { x n n J( ), } của phơng trình (1.4) đợc gọi là ổn định tiệm cận đều trên J nếu nó ổn định đều trên J và tồn tại một số 0 > 0 sao cho với mỗi 0 > tồn tại một số T =T( ) > 0 chỉ phụ thuộc vào sao cho x n x n < 0 0 ( ) ( ) 0 với n 0 nào đó thuộc J thì < ( ) ( )x n x n với mọi n > n 0 + T thuộc J. 1.1.4. Định nghĩa ([1]). Phơng trình (1.4) đợc gọi là ổn định đều (tơng ứng ổn định tiệm cận đều) trên J nếu mọi nghiệm của phơng trình (1.4) là ổn định đều (tơng ứng ổn định tiệm cận đều) trên J. 1.1.5. Định nghĩa ([1]). Phơng trình (1.4) đợc gọi là ổn định mũ trên J nếu tồn tại các hằng sồ K và q: K > 0, 0 < q < 1 sao cho nếu {x(n), n J} là nghiệm bất kì của phơng trình (1.4) thì ( ) ( ) n m x n Kq x m , với mọi n, m J, n m. 8 Kí hiệu X(n, m) = nếu nếu d A(n -1)A(n - 2). . . A(m) n > m I n = m , trong đó I d là ma trận đơn vị. Ma trận X(n, m) đợc gọi là ma trận cơ bản hay ma trận giải của phơng trình sai phân (1.1). Nhận thấy rằng với k n m thì X(k, n)X(n, m) =X(k, m). Nghiệm x ={x(n), n J} của phơng trình (1.1) có tính chất : nếu x(m) = u thì x(n) = X(n, m)u với n m. 1.1.6. Nhận xét ([1]). Phơng trình sai phân (1.2) ( nói riêng khi f 0 nó trở thành phơng trình (1.1)): a) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm x 0 của phơng trình sai phân tuyến tính (1.1) ổn định đều. b) ổn định tiệm cận đều khi và chỉ khi nghiệm x 0 của phơng trình sai phân tuyến tính (1.1) ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Thật vậy, nếu phơng tình (1.2) ổn định đều thì hiển nhiên nghiệm x 0 của nó ổn định đều. Ngợc lại nếu nghiệm x 0 của (1.1)ổn định đều và { } x n n J( ), và { } y n n J( ), là các nghiệm của phơng trình sai phân (1.2) trên J thì { } z n y n x n n J= ( ) ( ) ( ), là một nghiệm của (1.1) trên J. Từ sự ổn định của nghiệm z 0, ta suy ra với mọi >0, tồn tại > 0 sao cho = < 0 0 0 ( ) ( ) ( )y n x n z n thì = < ( ) ( ) ( )y n x n z n với mọi 0 n n . Vì thế suy ra sự ổn định đều của một nghiệm bất kì của phơng trình(1.2). Hoàn toàn tơng tự cho trờng hợp ổn định tiệm cận đều. 1.1.7.Định lí ([1]). a) Phơng trình (1.1) ổn định đều trên J khi và chỉ khi mọi nghiệm của nó trên mỗi tập hợp J 1 = [k, +), k J bị chặn. 9 b) Phơng trình (1.1) ổn định tiệm cận đều trên J khi và chỉ khi nó ổn định mũ trên J. 1.2. Toán tử dịch chuyển và sự ổn định của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian d . 1.2.1. Định nghĩa([1]). a) Giả sử J = , gọi L = {v : d | n v n < + Â sup ( ) }, với chuẩn n v = v(n) Â sup . Ta lập toán tử T : L L nh sau (Tv)(n) = A(n-1)v(n-1) với mọi n . Nhận thấy L là không gian Banach và theo điều kiện (1.3) thì T L[L], không gian các toán tử bị chặn của L b) Giả sử J = , gọi D = {v : d | n v n < + Ơ sup ( ) } với chuẩn n v = v(n) Ơ sup . Ta lập toán tử S : D D nh sau (Sv)(n) = = 0 0 ( 1) ( 1) 1 khi n A n v n khi n . Khi đó D cũng là không gian Banach và với điều kiện (1.3) thì S L[D]. Các toán tử T và S đợc gọi là toán tử dịch chuyển của phơng trình (1.1). Kí hiệu (P),r (P) tơng ứng là phổ và bán kính phổ của toán tử tuyến tính liên tục P. Kết quả sau đây cho bởi Aulbach, Nguyễn Văn Minh và Zabreiko. 1.2.2. Định lí ([1]). a) r (T) = inf{q> 0| n-m q q N > 0 : X(n, m)x N q x , m, n , n m, x d } r (S) = inf{ q> 0| n-m q q N > 0 : X(n, m)x N q x , m, n , n m, x d }. b) Phổ của T và S bất biến với mọi phép quay với tâm là gốc toạ độ 10