Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa nguyên hàm Hàm số Fx là nguyên hàm của hàm số fx trên a, b nếu với mọi x thuộc a, b ta có; F’x = fx.. Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng a, b thì: a.[r]
(1)TÌM NGUYÊN HÀM NHỜ HỆ SỐ BẤT ĐỊNH I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa nguyên hàm Hàm số F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a, b) với x thuộc (a, b) ta có; F’(x) = f(x) Định lý: 2.1 Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì: a Mọi C thì F(x) + C là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a, b) b Mọi nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a, b) viết dạng F(x)+C, hay f x dx F x C Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a, b) có nguyên hàm trên đoạn đó 2.2 n F x a i x i k ax b i 0 n a aix n F' x i.a i x i 1 k ax b i 1 f x n i i 0 k k ax b k 1 n k.i.a x ax b a a x i 1 i 1 i i 0 k k ax b k 1 i i là ax b.dx F' x k.f x . ax b f(x) là đa thức bậc n n 1 là hệ số phải tìm f x dx k Đặc biệt k ax b k 1 Ta cần tìm F(x) cùng bậc với f(x) nhân với ax b Tìm f x ax bx c dx hay f x x a dx k ' Có ln x x a x2 a F x g x x a A.ln x x a (1) Với các hệ số đa thức g(x) bậc phải tìm, là bậc đa thức f(x) Nếu f x dx thì g(x) (1) bậc là x a Tìm f x ln k x.dx cần tìm x n ln k x.dx 2 Có F(x) ax n ln k x thì đạo hàm F(x) là F' x nax n 1 ln k x kax n 1 ln k 1 x Nên nguyên hàm cần tìm có dạng: F x a k x n 1 ln k x a k 1x n 1 ln k 1 x a x n 1 Các hệ số với i 0,1, ,k phải tìm Tìm I sin ax.ebx dx Từ công thức tính nguyên hàm phần có: F x a1 sin ax a cosax ebx (2) Mà các hệ số a1, a2 cần xác định Với công thức (2) còn dùng tìm I cosax.ebx dx Tìm I x n sin x.dx Thì F x a n x n cos x a n 1x n 1 sin x (2) Còn I x n cos x.dx thì F x a n x n sin x a n 1x n 1cos x Tìm f x e x dx thì F x g x .e x , hệ số g(x), bậc f(x) phải tìm Chú ý đây f(x), g(x) là đa thức bậc k nào đó bậc xác định phần F(x) là nguyên hàm nguyên hàm cần tìm II BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm nguyên hàm f x 2x 3 x Lời giải: Gọi f x ax bx c x là nguyên hàm f(x) đó ax bx c F' x 2ax b x f x x 5 ax bx c 2ax b x 2x 3 x x 5 4x 26x 30 5ax 3b 20a x 10b c Đồng các hệ số hai vế ta được: 5a 4 10 10 3b 20a 26 a ; b ; c 3 c 10b 30 10 10 4 x x 5 C 3 5 x 2x.dx f x dx Vậy: 2x 3 x 5.dx x x 1 Lời giải: Gọi f x ax Tìm F' x 2ax b x 2 bx c x 2x là nguyên hàm f(x) đó ax 2x bx c x 1 x 2x 3ax 2b 5a x c 3b x c x 3x 2x 3a a 2b 5a 3 c c 3b c b 3x 1 x Lời giải: Đặt F x ax Tìm: 2 x 1 Vậy: F' x 2ax b x x 2x x 2x.dx x 2x C 2x.dx f x dx bx c x 2x d.ln x x 2x Là nguyên hàm f(x), có: f x ax 2x F'(x) = f(x) 2ax b x 2x ax b x c x 1 x 2x 2 b x c x 1 d x 2x 2 d x 2x x 2x 3ax 2b 5a x 3b c x c d 3x 5x 2x 2 3x 1 x 2x (3) 3a a 2b 5a b Đồng các hệ số ta được: 3b 2c 2 c 2 d c d Vậy 3x 1 Tìm x 2xdx x x 2x 2ln x x 2x C 4x 3x x 4x 7.dx Lời giải: gọi F x ax bx cx d x 4x p.ln x x 4x là ngyên hàm f(x) = 4x 3x x 4x Khi đó F’(x) = f(x) hay x2 p 1 ax bx cx d x x 4x 2 (3ax 2bx c) x 4x f (x) x 4x x x 4x 4ax 14a 3b x (21a 10b 2c)x 14b 6c d x 7c 2d p 4x 19x 42x 29x 14 13 22 27 a 1; b ; c ; d ; p 2x 2x dx ) Tìm nguyên hàm hàm số f x ( tìm 2 x 1 x 1 x 1 ax x2 1 b Đặt F x a x b.ln x x Khi đó F' x x2 1 x x2 1 x 1 ax x 2x ax b 2x b F(x) là nguyên hàm f(x) x2 1 x x2 1 x2 1 Đồng các hệ số x ta được: a = 2; b = 2x dx x ln x x C Từ đó x 1 x 3x dx Tìm x2 1 x 3x 2 Gọi F x ax b x c.ln x x là nguyên hàm f(x)= x2 1 ax bx c x 3x f x đó ta có: F' x a x x2 1 x2 1 x2 1 1 2ax bx c a x 3x Đồng các hệ số ta được: a ; b 3; c 2 x 3x 1 1 dx x x ln x x C Vậy: 2 2 x 1 Tìm I x ln x.dx (4) Lời giải: F x a x ln x a1x ln x a x F' x 4a x ln x 2a x ln x 4a1x ln x a1x 4a x F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) = x ln x 4a x ln x 2a x ln x 4a1x ln x a1x 4a x x ln x Đồng các hệ số ta được: a2 + 2a1 = ; a1 + 4a0 = 0; 4a2 = 1 a a 2a1 x ln x x ln x x I x ln x.dx C Vậy a 4a a 32 4a a 32 ln x Tìm dx x ln x a b c Lời giải: gọi F x ln x ln x là nguyên hàm hàm số , đó x x x x3 2a ln x 2a ln x 2b b 2c ln x F' x ln x đồng các hệ số ta x3 x3 x x x x 1 a ab b a c b c ln x ln x ln x Vậy dx = C x 2x 2x 4x x Tìm sin 3x.e dx Lời giải: x x F x asin3x bcos3x e F' x e asin3x bcos3x 3a cos3x 3bsin 3x Có Nên asin3x bcos3x 3a cos3x 3bsin 3x sin 3x , đồng các vế ta được: a 10 a 3b sin 3x 3cos3x x Vậy sin 3x.e x dx e C 10 10 b 3a b 10 10 Tìm cos 2x.e3x dx F x asin2x bcos 2x e3x F' x e3x 3asin2x 3bcos 2x 2a cos 2x 2bsin 2x Nên 3asin2x 3bcos 2x 2a cos 2x 2bsin 2x cos 2x , đồng các vế ta được: a 2a 3b 13 3a 2b b 13 11 Tìm x sin 2xdx Vậy cos 2x.e3x dx e3x 2sin 2x 3cos 2x C 13 (5) F x ax 2cosx bx sin x ccos x F' x 2acosx ax sin x bsin x bx cos x csin x Nên 2acosx ax sin x bsin x bx cos x csin x x sin x , đồng các vế ta được: a 1 a 1 Vậy x sin xdx x cos x 2x sin x 2cos x C b 2a b c b c 12 Tìm 2x 3x 4x 5 e2x dx Gọi F(x) ax bx cx d e2x là nguyên hàm f x 2x 3x 4x 5 e2x Thì F' x e2x 2ax 2bx 2cx 2d 3ax 2bx c = 2x 3x 4x 5 e2x f x a a b 2b 3a c Vậy 2c 2b 2d c d x 13 Tìm 1 x e x dx x 2x 3 3x 4x 5 e2x dx x 2x e2x C 2 b c b bx c x x x b c x e x b bx c 1 x e x Đồng vế ta b= và c = x x x 1 x x Nên 1 x e x dx xe x C x III BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm các nguyên hàm sau: x xdx ; (x 2) x 4xdx ; Có F x bx c e x x F' x e x 3x dx ; x 2x x x ln xdx ; x x 2x e3x dx x cos3xdx ; x x ln x dx ; x 2sin 3x cos3x e dx ; 2x x sin 2xdx ; x x 1x 10 x 3x e dx x Nguyễn Minh Đức – THPT chuyên NTT – YB Năm học 2003-2004 (6)