Môc lôc Trang lời nói đầu Chơng Một số kiến thức lý thuyết ổn định 1.1 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân 1.2.Tính ổn định hệ phơng trình vi ph©n tuyÕn tÝnh 1.3 TÝnh ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính với ma trận .10 Chơng Tính - bị chặn tính - mờ dầncủa hệ phơng trình vi ph©n tuyÕn tÝnh .12 2.1 Tính - bị chặn hệ phơng trình vi phân tuyến tính 12 2.2 Tính - mờ dần hệ phơng trình vi phân tuyến tính 32 kết luận .45 tài liệu tham khảo .46 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng nhiỊu øng dơng thùc tiƠn, lµ mét bé phËn quan trọng lý thuyết định tính phơng trình vi phân Với lí lý thuyết ổn định đà đợc quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ đợc áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, nhÊt lµ lÜnh vùc kinh tÕ vµ khoa häc kỹ thuật, lĩnh vực sinh thái học môi trờng Nói cách hình tợng, hệ thống đợc gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ kiện cấu trúc ban đầu hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với hệ thống cân Bài toán ổn định hệ thống đợc nhiều nhà toán học, đặc biệt V.lyapunov nghiên cứu đến đà trở thành nột hớng nghiên cứu lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Đặc biệt từ năm 60 kỷ XX, ngời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định, ổn định hóa hệ điều khiển Xét hệ phơng trình vi phân Rn x’ = f(t, x), t 0, ®ã x = x(t)  R n , f : R Rn  Rn hàm vectơ cho trớc Khi khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận đợc trình bày đầy đủ chi tiết tài liệu nh: Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Phạm Ngọc Bội Trong không gian hữu hạn chiều kết tính ổn định phơng trình vi ph©n tuyÕn tÝnh: x’(t) = A(t)x(t) + f(t), víi A(t), f(t) liên tục đợc viết đầy đủ chi tiết Để nghiên cứu cách tổng quát kết ngời ta đa cách nhìn khác nhằm mục đích mở rộng lớp phơng trình vi phân tuyến tính ổn định Trong khuôn khổ luận văn nghiên cứu số vấn đề sau: Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính - bị chặn R+ với hàm f(t) - bị chặn R+, tính - mờ dần R+ với hàm f(t) - mờ dần R+ Với mục đích tiếp cận đề tài Về tính - mờ dần nghiệm hệ phơng trình vi phân tuyến tính Luận văn đợc chia thành hai chơng Chơng Một số kiến thức lý thuyết ổn định Chơng hệ thống lại kiến thức lý thuyết ổn định, nhằm phục vụ cho chơng hai, gồm: 1.1 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân 1.2 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân tun tÝnh víi ma trËn h»ng Ch¬ng TÝnh  - bị chặn tính - mờ dầncủa hệ phơng trình vi phân tuyến tính Đây nội dung luận văn, chơng trình bày theo hai mục sau: 2.1 Tính - bị chặn hệ phơng trình vi phân tuyến tính 2.2 Tính - mờ dần hệ phơng trình vi phân tuyến tính Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn tận tình Thầy giáo PGS TS Phạm Ngọc Bội Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy - ngời đà dành cho tác giả quan tâm giúp đỡ tận tình trình hoàn thành luận văn Qua tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Giải tich, khoa Toán khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh bạn học viên cao học 15 Toán, ngời đà quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập thực luận văn Rất mong đợc góp ý bảo thầy cô giáo bạn bè Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả chơng số kiến thức lý thuyết ổn định 1.1 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân Xét hệ phơng trình vi ph©n x' f (t, x), t 0 (1.1) ®ã x x(t)  n ,f :  n   n lµ hµm vÐct¬ cho tríc 1.1.1 Định nghĩa Hàm x x(t) n xác định khả vi khoảng (a, b) đợc gọi nghiệm phơng trình (1.1) x'(t) f (t, x) , víi mäi t 0 Gi¶ thiết f(t,x) hàm thoả mÃn điều kiện cho toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 , t0 có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm đợc cho bëi c«ng thøc: t x(t) x0  f (s, x(s))ds t0 1.1.2 Định nghĩa 1  NghiƯm x(t),(a  t  ) cđa hệ (1.1) đợc gọi ổn định (theo nghĩa Liapunov) t (nói ngắn gọn ổn định) nÕu víi mäi   víi mäi t0 thuéc (a; ∞) tån t¹i (, t0) > cho tất nghiệm y(t) hệ (1.1) thoả mÃn điều kiện y(t0) x(t0) xác định khoảng [t0, ) y(t) x(t) t0 t < 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Nếu số nói định nghĩa (1.1.2) không phụ thuộc vào t0, tức = () nghiệm x(t) đợc gọi ổn định 1.1.4 Định nghĩa ([1]) NghiƯm x(t),(a  t  ) cđa hƯ (1.1) đợc gọi ổn định tiệm cận (theo nghĩa Liapunov) t (nói ngắn gọn ổn định tiƯm cËn ) nÕu i, NghiƯm x(t) ỉn định, ii, Với t0 thuộc (a;) tồn (t0) cho tất nghiệm y  y(t), t0  t   nÕu tho¶ m·n ®iỊu kiƯn y(t0)  x(t0)   th× lim y(t)  x(t) 0 t  NhËn xÐt: B»ng phÐp biÕn ®ỉi (x  y) z , hệ phơng trình (1.1) đa đợc d¹ng z’ = F(t, z) (1.2) ®ã F(t, 0)  Râ rµng hƯ (1.2) cã nghiƯm z  Ta gọi hệ quy đổi Khi ổn định nghiệm x(t) hệ (1.1) đa nghiên cứu tính ổn định nghiƯm cđa hƯ (1.2) Do ®ã ®èi víi hƯ quy ®ỉi (1.2) ta cã thĨ nãi vỊ sù ỉn định nghiệm tầm thờng z Nghiệm tầm thờng z hệ (1.2) ổn định víi bÊt kú  > 0, víi mäi t0 thuéc (a; ∞) tån t¹i   t0 )  cho tất nghiệm x(t) hệ (1.2) thoả mÃn điều kiện x(t0) xác định khoảng [t0, ) vµ x(t)   t0  t < ∞ NghiƯm tÇm thêng z  cđa hƯ (1.2) ổn định tiệm cận hệ ổn định víi mäi t0 thc (a; ∞) tån t¹i  = (t0) > cho tất nghiệm x = x(t), t0  t < ∞ nÕu tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x(t0)   th× lim x(t) 0 t 1.1.5 Ví dụ Xét phơng trình vi phân sau ℝ x’ = ax, t  NghiƯm x(t) víi x(t0) = x0 cho bëi c«ng thøc x(t) x0ea(t t0 ) , t t0 NÕu a với > 0, t0 + chän sè  =  > ®ã víi bÊt kú nghiƯm x = x(t) tho¶ m·n x(t0)   th× x(t0 )  x0ea(t t0 )  x0    víi mäi t  t0 VËy hƯ ổn định Vậy a < hệ ổn định, mặt khác lim x(t) nên hệ ổn định tiệm t  cËn 1.1.6 Bæ đề (Gronwall Bellman) ([3]) Giả sử hàm liên tục dơng u(t) (a; b) với giá trị t, s (a; b) thoả mÃn bất đẳng thức tÝch ph©n t u(t) u(s)  f (t1)u(t1) dt1 , s ®ã f(t) hàm số thực liên tục không âm (a; b) Khi ®ã, víi a < t0  t < b đánh giá sau đợc thoả mÃn t t  f (t1)dt1 f (t1)dt1 u(t0 )e t0 u(t) u(t0 )et0 1.2 TÝnh ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính x = A(t)x + f(t) (1.3) (1.4) x’ = A(t)x, A(t) ma trận làm liên tục + , hàm f: + n liên tục + Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) hệ phơng trình vi phân tuyến tính tơng ứng (1.4) 1.2.1 Định nghĩa ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi ổn định tất nghiệm x = x(t) ổn định 1.2.2 Định nghĩa ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi ổn định tất nghiệm x = x(t) ổn định 1.2.3 Định nghĩa ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm x = x(t) ổn định tiệm cận 1.2.4 Định lý ([3]) Điều kiện cần đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự f(t) nghiệm tầm thờng x 0, (t0  t  ); t0  ( ) cđa hƯ tơng ứng (1.4) ổn định Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử x = x(t), (t0 < t < +) nghiệm ổn định hệ vi phân tuyến tính (1.3) Điều có nghĩa với > tồn > cho víi nghiƯm bÊt kú y = y(t) cña (1.3) (t0 < t < +∞) ta cã bất đẳng thức y(t) x(t)   (1.5) y(t0)  x(t0)   (1.6) nhng y (t) y(t)  x(t) (1.7) lµ mét nghiƯm cđa hệ vi phân tuyến tính (1.4) ngợc lại nghiệm y (t) biểu diễn đợc dới dạng (1.7) Nh bất đẳng thức (1.5) (1.6) tơng đơng với bất đẳng thức sau: y (t)   t0 t   , nÕu y (t0)   Từ suy nghiệm tầm thờng x 0 hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định theo Liapunov t + Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thờng x 0 hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn ®Þnh theo Liapunov t  +∞ Khi ®ã, nÕu y y (t),(t0 t  ) nghiệm hệ phơng trình vi phân tuyến tính cho y (t0 )  ( t0) th× y (t)   t0  t < +∞ Nh vËy, nÕu x(t) lµ nghiệm hệ vi phân tuyến tính (1.3) vµ y(t) lµ mét nghiƯm bÊt kú cđa hƯ từ bất đẳng thức y(t0) x(t0) suy bất đẳng thức y(t)  x(t)   t0 t   Điều có nghĩa nghiệm x(t) ổn định 1.2.5 Định lý ([3]) Điều kiện cần đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự f(t) nghiệm tầm thêng x 0, (t0  t  ); t0  (a;) cđa hƯ thn nhÊt tơng ứng (1.4) ổn định 1.2.6 Định lý ([3]) Điều kiện cần đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) ổn định tiệm cận với số hạng tự f(t) nghiệm tầm thờng x 0, (t0  t ); t0 (a;) hệ tơng ứng (1.4) ổn định tiệm cận Việc chứng minh định lý này, hoàn toàn tơng tự nh chứng minh định lý 1.2.7 Hệ ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính ổn định nghiệm ổn định không ổn định nghiệm nghiệm không ổn định 1.2.8 Hệ ([3]) Hệ phơng trình tuyến tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tơng ứng ổn định 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3.1 Định lý ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định nghiệm x = x(t), (a < t0  t < +∞) cđa hƯ bị chặn nửa trục t0 t < + Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm (1.4) bị chặn [t0; +), gọi X(t) = [xik(t)] ma trận hệ (1.4) chuẩn hoá t0 (X(t0) = I) Khi hàm xjk(t) bị chặn [t0; ) nên X(t) M, t [t0;) , M số dơng Nh đà biết nghiệm x = x(t) hệ (1.4) biểu diễn dạng tích x(t) = X(t) x(t0) Víi bÊt kú sè  > cho tríc ta chän    , rõ ràng M x(t0)   th× x(t)  X(t) x(t0)   t [t0;) , nh vËy nghiÖm x hệ (1.4) ổn định Vậy theo định lý (1.2.4) hệ (1.4) ổn định Điều kiện cần: Giả sử ngợc lại tồn nghiệm z(t) hệ (1.4) không bị chặn [t0; +), z(t0) z(t) nghiệm tầm thờng cđa hƯ (1.4) Do nghiƯm x  cđa hƯ (1.4) ổn định nên với > 0, tồn t¹i  > cho mäi nghiƯm x(t) cđa hệ (1.4) mà x(t0) x(t) , t  [t0; ∞) XÐt nghiÖm x(t)  z(t)  cđa hƯ (1.4) cã x(t0)   nhng kh«ng bị chặn, tức z(t0) không thoả mÃn x(t) t[t0;) Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy nghiệm hệ (1.4) bị chặn 1.3.2 Định lý ([1]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận tất nghiệm x = x(t) dần tới không t +∞, tøc lµ lim x(t) 0 (1.8) x  Chøng minh §iỊu kiƯn ®đ: Gi¶ sư nghiƯm x(t) t ý cđa hƯ (1.4) tho¶ m·n lim x(t) 0 x Khi x(t) bị chặn Vì theo định lý (1.3.1) hệ (1.4) ổn định Kết hợp với hệ thức (1.8) suy x(t) ổn định tiệm cận Vậy hệ(1.4) ổn định tiệm cận Điều kiện cần: Vì hệ (1.4) ổn định tiệm cận nên với nghiệm y(t) hệ tồn t¹i  =  (t0) > cho nÕu y(t0)  th×: lim x(t) 0 (1.9) x  Đặt y(t) x(t)  x(t , ®ã y(t 0) 0) nên ta có (1.9) Từ suy (1.8) 1.4 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính với ma trận Xét hÖ: x’ = Ax, (1.10) A = [aik] ma trận cỡ (n n) 1.4.1 Định lý ([3]) Hệ vi phân tuyến tính (1.10) với ma trận A ổn định tất nghiệm đặc trng j = j (A) A có phần thực không dơng tức Re j(A) 0( j 1,2, ,n) nghiệm đặc trng có phần thực ớc đơn ( ứng với ô Joocdan có phần tử) 1.4.2 Định lý ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.10) với ma trận A ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trng j = j(A) A có phần thực âm, tức Re j(A)  ( j 1, , n) 1.4.3 Ví dụ Xét tính ổn định cđa hƯ x1'  x1  x2 ' x2 x1  x2 ta thÊy A    1   1 Vậy giá trị riêng A = -1 + i, 2 = -1 - i nªn Re1,2 < Hệ ổn định tiệm cận Nh vËy ®Ĩ xÐt mét hƯ tun tÝnh cã ỉn định hay không ta cần tìm nghiệm phơng trình đa thức đặc trng hay giá trị riêng ma trËn A 10 Ch¬ng Tính - bị chặn tính - mờ Dần hệ phơng trình vi phân tuyến tính 2.1 Tính - bị chặn hệ phơng trình vi phân tuyến tính n không gian Euclid n - chiỊu Chn cđa x = (x1, x2, , xn)T đợc xác định x max x1 , x2 , , xn  Ma trËn thùc A cì (n  n) víi chuÈn A sup Ax x 1 Cho i: ℝ+  (0; ∞), i = 1, 2, … , n hàm liên tục diag 1,2, ,n NhËn thÊy ma trËn (t) lµ ma trận khả nghịch với t 2.1.1 Định nghĩa ([5]) Hàm : + n đợc gọi - bị chặn + (t) đo đợc (t) (t) bị chặn + 2.1.2 Chú ý nÕu t) c   vµ  1t) c   víi  t < ∞ , hàm x(t) bị chặn + tơng đơng với x(t) - bị chặn + 2.1.3 Định nghĩa ([5]) Hàm : + n đợc gọi - khả tích Lơbe + (t) đo đợc (t) (t) khả tích Lơbe + Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính x = A(t) x + f(t), (2.1) víi hµm f lµ  - khả tích Lơbe + Cho A(t) ma trận hàm vuông cấp n liên tục + phơng trình vi phân tuyến tính tơng ứng lµ y’ = A(t)y (2.2) Ký hiÖu Y(t) ma trận (2.2) chuẩn hoá t¹i (Y(0) = In) Ký hiƯu X1  u  Rn | u x(0), x(t) lµ nghiƯm  - bị chặn hệ 2.2 Ký hiệu X2 không gian đóng n cho X1  X2 Rn ... 1.1 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân 1.2 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến tính. .. Chơng Tính - bị chặn tính - mờ dầncủa hệ phơng trình vi phân tuyến tính Đây nội dung luận văn, chơng trình bày theo hai mục sau: 2.1 Tính - bị chặn hệ phơng trình vi phân tuyến tính 2.2 Tính. .. 1.2.7 Hệ ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính ổn định nghiệm ổn định không ổn định nghiệm nghiệm không ổn định 1.2.8 Hệ ([3]) Hệ phơng trình tuyến tính ổn định hệ phơng trình vi phân tuyến