trờng đại học vinh khoa toán * * về các mô đun nội xạ suy rộng khoá luận tốt nghiệp đại học ngành học: cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: Đại số Cán bộ hớng dẫn khoá luận: ts. chu trọng thanh Sinh viên thực hiện: Hoàng Thị Thu Hiền Lớp: 40B toán Vinh 2003 -*- mục lục mục lục trang trang 1 mở đầu 1 2 chơng 1: các kiến thức cơ sở 2 3 1.1 mô đun và mô đun con 2 4 1.2 đồng cấu mô đun 6 5 chơng 2: mô đun nội xạ và các mô đun nội xạ suy rộng 10 6 2.1 Mô đun con cốt yếu, Mô đun con bé 10 7 2.2 Mô đun suy biến 16 8 2.3 Mô đun nội xạ 22 9 2.4 Mô đun cs và cs suy rộng 23 10 tài liệu tham khảo 29 Lời nói đầu Trong chơng trình đào tạo cử nhân khoa học ngành toán, Lí thuyết Môđun đợc giới thiệu một cách ngắn gọn trong một học phần. Trong nghiên cứu Toán, đặc biệt là trong việc nghiên cứu đặc trng các lớp vành, kiến thức về môđun có một vị trí hết sức quan trọng. Khái niệm môđun nội xạ và môđun xạ ảnh đã đợc nghiên cứu nhiều trong các công trình của Vamos và Sharpe, Frobenius, Faith, Kash, . Nhiều kết quả đã đợc sử dụng vào mô tả các đặc trng cho các vành nửa đơn, vành nơte, vành artin . Trong những năm gần đây có nhiều công trình nghiên cứu về các khái niệm đợc khái quát từ khái niệm môđun nội xạ. Trong những môđun này có môđun tựa nội xạ, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun CS . . . Với mong muốn đợc mở mang kiến thức, thời gian qua chúng tôi đã tìm đọc một số tài liệu về các môđun đợc xây dựng từ khái niệm môđun nội xạ. Các môđun này đợc gọi chung là môđun nội xạ suy rộng theo nh cách gọi của [ 4]. Các mệnh đề, các định lí trình bày trong khoá luận này đợc tổng hợp từ các tài liệu mà chúng tôi đã tìm đọc và nghiên cứu. Danh mục các tài liệu đó đợc liệt kê ở phần tài liệu tham khảo cuối khoá luận. Lí thuyết môđun là một lĩnh vực còn quá mới mẻ đối với tác giả do đó trong quá trình tìm hiểu đề tài này tác giả đã gặp không ít khó khăn. Những điều trình bày trong khoá luận này chỉ là những kiến thức mà tác giả bớc đầu tìm hiểu qua sách báo nhằm bổ sung hiểu biết của bản thân trên con đờng học tập và tập sự làm công tác nghiên cứu toán. Tác giả xin cảm ơn sự dạy dỗ, dìu dắt của các thầy, cô giáo đã dành cho tác giả trong suốt thời gian học tập từ thuở còn thơ ấu đến những ngày tháng học tập trên giảng đờng đại học. Vinh, 5 tháng 5 năm 2003. Tác giả chơng I các kiến thức cơ sở Trong chơng này chúng tôi đa ra một số định nghĩa, kí hiệu, ví dụ và tính chất cơ sở của khái niệm môđun trên một vành R cho trớc. Trong khóa luận này tất cả các vành đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị nếu không nói gì thêm. Nhiều định lí dẫn ra trong chơng này không trình baỳ chứng minh vì là các kiến thức cơ sở. Một số định lí mà chung tôi nhận thấy chứng minh có kỉ thuật và là kiến thức tơng đối sâu sắc sẽ có trình bày chứng minh kèm theo. 1.1. môđun và môđun con 1.1.1. Môđun Giả sử R là một vành. Một nhóm aben M kí hiệu theo lối cộng cùng với ánh xạ: RxM M cho bởi (r, m ) rm đợc gọi là một môđun trái trên vành R (hay là một R- Môđun trái) nếu các điều kiện sau đây đợc thoả mãn: (i) r(rm) = (rr)m (ii) r(m+m) = rm + rm (iii) (r+r)m = rm + rm (iv) 1.m = m Với mọi m,m R, mọi r,r R. Ta sẽ gọi vành R trong định nghĩa trên là vành cơ sở còn các phần tử của R đợc gọi là các vô hớng. Vì vậy ánh xạ RxM M cho bởi (r, m ) rm nói trên đợc gọi là phép nhân các phần tử của M với các vô hớng. Ký hiệu môđun trái M trên vành R là R M. Trong định nghĩa trên điều kiện (iv) đợc gọi là điều kiện đơn nguyên (unita). Tơng tự ta có khái niệm môđun phải M trên vành R trong đó các nhân tử vô h- ớng(phần tử của vành R) đợc viết bên phải các tích và các điều kiện (i) đến (iv) nêu trên đợc sửa đổi chút ít cho thích hợp. Ký hiệu môđun phải M trên vành R là M R Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét các môđun trái trên vành R cho trớc nếu không nói gì thêm. Ví dụ: a) Giả sử R = Z là vành các số nguyên mỗi nhóm aben A có cấu trúc Z - Môđun. Trong đó với mỗi n Z, mỗi a A, tích na đợc hiểu nh sau: n.a = a + a + . . . + a , (n lần), nếu n là số nguyên dơng; = 0, nếu n = 0; = -a - a - . . . - a, (-n lần), nếu n là số nguyên âm b) Giả sử R = K là một trờng, mỗi không gian véc tơ trên K là một K- Môđun). (c) Mỗi vành R luôn luôn đợc xét nh môđun trái (và môđun phải) trên chính vành đó với phép nhân với các vô hớng chính là phép nhân của R. 1.1.2 Môđun con Định nghĩa: Giả sử M là một R- môđun trái. Tập con A của M đợc gọi là môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân với vô hớng của M hạn chế trên A. Định lí (dấu hiệu nhận biết): Giả sử M là một R- môđun trái, nếu A là tập con khác rỗng của M thì các điều kiện sau là tơng đơng: (i) A là môđun con của M (ii) A là nhóm con của nhóm cộng M và đối với mọi a A, mọi r R ta có ra A. (iii) Với mọi a,b A và mọi r,s R ta có: ra + sb A Ví dụ: a) - Tập các số nguyên chẵn với phép cộng các số và nhân các số trên vành là môđun con của Z Z . b) - Tập A 0 = {Đa thức f(x) R[x]/ hệ số tự do bằng 0 } với phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với một phần tử r R với đa thức trên vành R. 1.1.3 Tổng các môđun con Định nghĩa: Cho M là một R-môđun, A và B là các môđun con của M. Khi đó tập hợp các phần tử của M có dạng a + b, trong đó a thuộc A, b thuộc B làm thành một môđun con của M và ta gọi nó là tổng của các môđun con A và B, kí hiệu la A + B. Định nghĩa này có thể mở rộng cho một họ tuỳ ý các môđun con của M nh sau : Cho họ {A i , i I} là một họ môđun con của M. Tập hợp các phần tử của M biểu diễn đợc dới dạng tổng các phần tử a i , thuộc A i trong đó a i 0 chỉ với hữu hạn chỉ số i I làm thành môđun con của M và ta gọi nó là tổng của họ môđun con đã cho. Tổng của họ môđun đã cho đợc kí hiệu là i I A i . Một trờng hợp quan trọng của tổng các môđun con của M là tổng trực tiếp trong của một họ môđun con Định nghĩa : Cho M là một R-môđun và {A i , i I} là một họ môđun con của M. Tổng của họ môđun con đã cho đợc gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con { Aii } nếu A j j i I A i = 0, j . Tổng trực tiếp của họ {A i , i I} đợc kí hiệu là i I A i . Nếu M = i I A i thì ta nói M phân tích đợc thành tổng trực tiếp (trong) các môđun con của họ {A i , i I}. Môđun con A của môđun M đợc gọi là một hạng tử trực tiếp cua M nếu tồn tại môđun con B của M sao cho M = A B. Chúng ta biết rằng khi M = i I A i mỗi phần tử của M có sự biêu thị duy nhất d- ới dạng tổng hữu hạn phần tử a i thuộc A i , iI. Đặc biệt, nếu M = A B thì mỗi phần tử x M có sự biểu diễn duy nhất x = a + b, với a A và b B. Định nghĩa: Cho một họ những R-môđun {A i i I} khi đó tích đề các: i I A i = {(a i ) i I, a i A i } cùng với phép cộng và phép nhân với vô hớng theo thành phần. (a i + b i ) = (a i + b i ) (a i ) r = (a i r) là một R- mô đun, gọi là tích trực tiếp của họ (A i i I) Trờng hợp A i = A với mọi i I ta ký hiệu: i I A i là A I phép chiếu p j : i I A i A j là một R- đồng cấu với mọi j I Định nghĩa: (Tổng trực tiếp ngoài) Cho họ (A i i I) là một họ những R- mô đun. Mô đun con của i I A i gồm tất cả những phần tử (a i ) = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i I đợc gọi là tổng trực tiếp ngoài của họ (A i i I) và ký hiệu i I A i Mối liên hệ giữa tổng trực tiếp trong tổng trực tiếp ngoài. Định lý: Cho {M i } i I là họ R-mô đun bất kỳ và A = i I A i là tổng trực tiếp ngoài của họ môđun đó. Khi đó (i) Mỗi i I, tập hợp M i = {(0,0, x i , 0, .,0) x i M i } là mô đun con của A và M i M i (ii) Tồn tại tổng trực tiếp trong i I M i và A = i I M i 1.1.4 Môđun sinh bởi một tập. Định lý. Giao của một họ khác rổng bất kỳ những môđun con của R- môđun M là một môđun con của M. Ví dụ: Trong Z Z ta có : 1) 2Z 5Z = 10 Z. 2) p pZ = 0, với là tập hợp các số nguyên tố Định nghĩa: Giả sử X là một tập con của R - môđun M. Môđun con bé nhất A của M chứa X đợc gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A. Trong trờng hợp A = M ta nói X là một hệ sinh của M và M là một hệ sinh bởi X. Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R- môđun hữu hạn sinh. Từ định lí về giao của một họ khác rổng tuỳ ý các môđun con của môđun M ta thấy ngay rằng môđun con của M sinh bởi tập hợp X cua M chính là giao của họ tất cả các môđun con của M chứa X. (Họ này khác rổng vì bản thân M là một phần tử của họ đó). Định nghĩa: Giả sử X là một tập con của R- môđun M. Nếu X ={x} thì môđun sinh bởi {x} đợc gọi là môđun xyclic sinh bởi phần tẻ x và kí hiệu là <x>. Nếu trong môđun M, tồn tại phần tử x mà <x> = M thì ta nói M là môđun xyclic sinh bởi x. Rõ ràng rằng Z Z là môđun xyclic sinh bởi {1}. 1.1.5. Môđun thơng. Định nghĩa: Cho A là môđun con của R- môđun M. Khi đó A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm cộng giao hoán M. Do đó ta có nhóm thơng M/A cũng là nhóm cộng giao hoán. Ta xét phép nhân với các vô hớng cho bởi: Rx M/A M/A cho bởi: (r, a + A) r.a + A Ta nhận đợc M/A là một R-môđun. Môđun M/A đợc gọi là môđun thơng của M trên môđun con A. Có thể lấy các nhóm thơng nZ/mZ, với m là một bội số nguyên của n, làm ví dụ cho khái niệm môđun thơng trên vành số nguyên Z. 1.2 Đồng cấu môđun. 1.2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa: Cho hai môđun R M và R N. Một đồng cấu R- môđun hay là một ánh xạ tuyến tính. f: M N là một ánh xạ f thoả mãn: f (x+y) = f(x) + f(y) f(r.x) = f(x).r x,y M , r R. Nếu N = M thì f đợc gọi là một tự đồng cấu của M Nếu đồng cấu f là đơn ánh thì f đợc gọi là đơn cấu. Nếu đồng cấu f là toàn ánh thì f đợc gọi là toàn cấu. Nếu đồng cấu f là song ánh thì f đợc gọi là đẳng cấu. Đối với một R-môđun M cùng với môđun con A cho trớc các ánh xạ sau đây là đồng cấu : - ánh xạ đồng nhất : M M cho bởi (x) = x, với mọi x thuộc M. - ánh xạ bao hàm i : A M cho bởi i(x) = x, với mọi x thuộc A. - phép chiếu p : M M/A cho bởi p(x) = x + A, với mọi x thuộc M. Trong các đồng cấu trên, là tự đẳng cấu, i là đơn cấu (và đợc gọi là đơn cấu chính tắc hoặc phép nhúng tự nhiên A vào M) còn p là một toàn cấu (và ta goị p là toàn cấu chính tắc hoặc phép chiếu tự nhiên M lên môđun thơng M/A). Đối với một đồng cấu môđun f: M N, ta gọi f(M) là ảnh của f kí hiệu là Imf và tạo ảnh toàn phần của phần tử 0 của N là hạt nhân của f , kí hiệu là Kerf. Chúng ta nhắc lại một số định lí về đồng cấu môđun. 1.2.2. Các định lí. Định lí 1: Cho Đồng cấu Môđun f : M N, U, V tơng ứng Môđun con của M và N khi đó (1) f(U) là Môđun con của N. (2) f - -1 (V)= {x Mf(x) V } là Môđun con của M Đặc biệt: imf N, kerf M. Định lý 2: Nếu đồng cấu R- Môđun : A B thì ta có sự phân tích: f A B p f A / kerf Trong đó p: A A / kerf là toàn cấu tự nhiên còn f là một đơn cấu. Hơn nữa f là toàn cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu. Định lý 3 (định lí đồng cấu cảm sinh): Cho f: A B là đồng cấu môđun, A 1 A , B 1 B Sao cho f(A 1 ) B. Khi đó ! f : A/A 1 B/B 1 Sao cho f o p 1 = p 2 of , trong đó p 1 : A A/A 1 và p 2 : B B/B 1 toàn cấu tự nhiên Sau đây là một số định lý đẳng cấu về môđun. Trớc hết định lí 2 ở trên có thể phát biểu ở một dạng khác nh sau : Định lý 4 (định lí đẳng cấu thứ nhất): Nếu f: A B là đồng cấu R- môđun thì A / kerf imf. Hệ quả: Nếu M= A B thì A M/B với A M và B M Chứng minh: Xét ánh xạ f: M A cho bởi: x M thì x = a + b với a A. b B (sự biểu diễn này là duy nhất) ánh xạ f cho bởi f(x) = a. Khi đó f là đồng cấu. Thật vậy, giả sử x 1 , x 2 M. Suy ra tồn tại duy nhất (a 1 , b 1 ) và (a 2 , b 2 ) sao cho a 1 A, b 1 B, a 2 A, b 2 B sao cho x 1 = a 1 + b 1 ; x 2 = a 2 + b 2 . Khi đó: Ta có: f (x 1 + x 2 ) = f ((a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 )) = f ((a 1 +a 2 ) + (b 1 +b 2 )) = a 1 + a 2 = f (x 1 ) + f (x 2 ) R ta có f (x 1 ) = f ( (a 1 + b 1 )) = f (a 1 + b 1 ) = a 1 = f(x 1 ). Vậy f là đồng cấu Ta chứng minh f là toàn cấu và kerf = B. Thật vậy a A đặt x = a + 0 thì x M và f(x) = a. Vậy f là toàn cấu. Ta lại có: kerf = {x M f(x) = 0 }. = {x = a + b M a A, b B, a = 0 } = {x = b | b B} = B. Theo định lí ở trên: Im f M/kerf ta có M/B A . Định lý 5(định lí đẳng cấu thứ 2): Nếu A và B là các mô đun con của R-môđun M thì (A + B)/A B/A B. Chứng minh: Có thể chứng minh trực tiếp bằng cách xét tơng ứng f: (A + B)/A B/AB cho bởi: phần tử (a + b) + A A + B/A đặt ứng với phần tử b + AB của B/ AB. Khi đó f là một ánh xạ. Hơn nữa f còn là một đẳng cấu môđun . Định lí trên cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí đẳng cấu thứ nhất. Muốn vậy ta xét phép chiếu tự nhiên p: (A + B) (A + B) /A và gọi f là hạn chế của p trên B, f = p | B thì f đồng cấu do p đồng cấu. Khi đó ta có kerp = A , kerf = AB . Imp = {x + A | x A + B} ={ a + b + A, với a A, b B } = { b + A |b B} = Imf. Mặt khác ta lại có kerf = {x B | x + A = A} = { x B | x A} = AB.