1 giáo dục đào tạo Trờng Đại học Vinh -   - ngun ThÞ Tut Mai VËn dơng tÝnh kÕ thõa dạy học giải tập Toán nhằm tổ chức hoạt ®éng nhËn thøc cho häc sinh líp 11 trêng trung học phổ thông (Thể qua dạy học Hình học không gian) luận văn thạc sĩ giáo dục học Chuyên ngành: Lý luận PHơNG PHáP DạY HọC môn To¸n M· sè: 60.14.10 Ngêi híng dÉn khoa häc: GS TS Đào Tam Vinh, 2005 Mở đầu Lý chọn đề tài Định hớng đổi phơng pháp dạy học giai đoạn nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo độc lập suy nghĩ học sinh, đòi hỏi học sinh chủ động trình tìm tòi, phát giải qut nhiƯm vơ nhËn thøc díi sù tỉ chøc, híng dẫn giáo viên Vì vậy, việc giáo dục Toán học trờng THPT đặt yêu cầu ngời học phải có tảng tri thức vững vàng, nâng cao khả ứng dụng, vận dụng vào học tập đời sống Chúng ta biết rằng, kh«ng mét tri thøc, kiÕn thøc míi hay mét c«ng trình khoa học chỗ hoàn toàn trống rỗng kiến thức Mỗi tri thức hay công trình khoa học phải thừa kế kết nghiên cứu lĩnh vực khoa học xa khác Hầu nh hàng loạt phơng hớng nghiên cứu môn khoa học xuất kết kế thừa lẫn môn khoa học Liên quan đến tính kế thừa dạy học Toán, đà có số luận án, luận văn, công trình nghiên cứu khoa học tác giả đề cập đến vấn đề Chẳng hạn, luận án Tiến sỹ Giáo dục học cđa Ngun Ngäc Anh (1999): "Khai th¸c øng dơng cđa phép tính vi phân để giải toán cực trị có nội dung liên môn thực tế, nhằm chủ động góp phần rèn luyện ý thức khả ứng dụng Toán học cho học sinh lớp 12 THPT" [1], công trình nghiên cứu GS TS Đào Tam (1998): "Bồi dỡng học sinh giỏi THPT: Năng lực huy động kiến thức giải toán" [20], "Rèn luyện kỹ chuyển đổi ngôn ngữ thông qua việc khai thác phơng pháp khác giải dạng toán Hình học Trờng THPT" [21] Dù khai thác theo định hớng nào, tác giả có quan điểm chung tinh thần đổi phơng pháp giảng dạy theo Lý thuyết kiến tạo, tức là: học sinh phải huy động kiến thức, tập trung suy nghĩ, độc lập sáng tạo để giải vấn đề dới hớng dẫn, gợi động giáo viên Từ lý trên, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: "Vận dụng tính kế thừa dạy học giải tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho häc sinh líp 11 trêng THPT (ThĨ hiƯn qua d¹y học Hình học không gian)" Mục đích nghiên cứu 2.1 Xác định vai trò, ý nghĩa việc "vận dụng tính kế thừa hoạt động nhận thức cho học sinh thông qua việc giải tập Toán" 2.2 Đề số biện pháp thực điều ®ã NhiƯm vơ nghiªn cøu NhiƯm vơ nghiªn cøu luận văn là: 3.1 Nghiên cứu số vấn ®Ị lý ln vỊ tÝnh kÕ thõa, vËn dơng tÝnh kế thừa hoạt động nhận thức 3.2 Xác định rõ sở lý luận thực tiễn để vận dụng tính kế thừa dạy học Toán 3.3 Xác lập định hớng làm sở cho việc xây dựng thực biện pháp s phạm 3.4 Xây dựng số biện pháp thực vận dụng tính kế thừa dạy học giải tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh Giả thuyết khoa học Trên sở bám sát vào chơng trình sách giáo khoa Hình học 11 hành ngời thầy giáo biết quan tâm, khai thác vận dụng tính kế thừa dạy học giải tập Toán tổ chức tốt hoạt động nhận thức cho học sinh từ góp phần nâng cao hiệu dạy học Toán trờng THPT Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu tài liệu phơng pháp dạy học Toán, sở Tâm lý häc, Gi¸o dơc häc, TriÕt häc, s¸ch gi¸o khoa, sách giáo viên, sách tham khảo chơng trình Hình häc kh«ng gian ë trêng phỉ th«ng - Nghiên cứu báo khoa học Toán học phục vụ cho đề tài - Nghiên cứu công trình, vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (luận án, luận văn, khoá luận tốt nghiệp, chuyên đề, công trình nghiên cứu khoa học ) 5.2 Thùc nghiƯm s ph¹m - Tỉ chøc thùc nghiƯm kiểm chứng thông qua lớp học thực nghiệm lớp học đối chứng lớp đối tợng - Đánh giá kết định tính, định lợng phơng pháp thống kê khoa học giáo dục Đóng góp luận văn 6.1 Về mặt lý luận: - Làm rõ sở khoa học, xác định rõ vai trò vị trí việc vận dụng tính kế thừa dạy học giải tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh 6.2 Về mặt thực tiễn: - Xây dựng đợc số biện pháp dạy học để sử dụng tính kế thừa nhằm tăng cờng hiệu hoạt động nhận thức học sinh - Luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trờng THPT Cấu trúc luận văn Luận văn, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, có chơng: Chơng 1: Một số vấn đề vỊ c¬ së lý ln 1.1 TÝnh kÕ thõa 1.1.1 Các khái niệm tính kế thừa 1.1.2 ích lợi cđa viƯc nghiªn cøu tÝnh kÕ thõa 1.1.3 TÝnh kÕ thừa hoạt động dạy Toán 1.2 Hoạt động nhận thøc 1.2.1 Kh¸i niƯm 1.2.2 Mét sè thao t¸c t hoạt động nhận thức 1.2.3 Vai trò tính kế thừa với tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh 1.3 Các sở khoa học viƯc vËn dơng tÝnh kÕ thõa d¹y häc Toán Trờng THPT nhằm tổ chức hoạt động nhận thøc cho häc sinh 1.3.1 C¬ së thùc tiƠn 1.3.2 Cơ sở Triết học 1.3.3 Dựa vào xu hớng đổi phơng pháp giảng dạy 1.3.4 Cơ sở Tâm lý - Giáo dục học 1.4 Kết luận Chơng 2: Các biện pháp vận dụng tính kề thừa dạy học giải tập Toán trờng THPT nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh 2.1 Các định hớng sở đề biện pháp s phạm nhằm tổ chức HĐNT cho học sinh dạy học giải tập Toán trờng THPT 2.2 Một số biện pháp s phạm nhằm tổ chức HĐNT Toán học học sinh sở vận dụng tính kÕ thõa 2.3 KÕt ln Ch¬ng 3: Thùc nghiƯm s phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Nội dung thực nghiệm 3.3 Tổ chức thực nghiệm 3.4 Đánh giá kết thực nghiệm Chơng Một số vấn đề vỊ c¬ së lý ln 1.1 TÝnh kÕ thõa 1.1.1 Khái niệm tính kế thừa Nghiên cứu khoa học trình xâm nhập vào giới vật, tợng mà ngời cha biết Vì vậy, trình nghiên cứu khoa học trình sáng tạo luôn hớng tới phát sáng tạo Nhng công trình nghiên cứu khoa học lại chỗ trống không hoàn toàn mặt kiến thức Mỗi công trình nghiên cứu phải kế thừa kết nghiên cứu lĩnh vực khoa học khác Chẳng hạn, nghiên cứu Kinh tế học, Marx đà kế thừa kiến thức mô hình Hình học để thiết lập mô hình Toán học trình tái sản xuất xà hội [8, tr 15] Vậy tính kế thừa gì? Theo Từ điển Tiếng Việt, kế thừa có nghĩa là: Thừa hởng, giữ gìn tiếp tục phát huy [17, tr 187] Theo số tác giả khác: Tính kế thừa hiểu là: "Mối quan hệ tợng trình phát triển thay cho cũ, bảo toàn nã mét sè u tè nµo cđa nã" [26] VÝ dụ 1: Khái niệm hình bình hành đợc phát triển thành khái niệm hình hộp: Khái niệm cạnh đối đợc phát triển thành mặt đối bảo toàn tính song song Các cạnh đối "đoạn" đợc phát triển thành "hình bình hành" bảo toàn tính Khái niệm hình chữ nhật: đợc định nghĩa thông qua khái niệm hình bình hành bảo toàn hai yếu tố hai cặp cạnh song song hai cặp cạnh ®èi b»ng TÝnh kÕ thõa cßn hiĨu theo nhiỊu nghÜa kh¸c nhau: - TÝnh kÕ thõa xem nh mối liên hệ phân môn riêng biệt trình dạy học Toán, Vật lý Toán, Toán Họa hình, Hình học Đại số, Toán THCS Toán THPT [26] - Đó sử dụng kiến thức có trớc nghiên cứu kiến thức sau môn học [26] Ví dụ 2: Chơng Véctơ Chơng Quan hệ vuông góc [4] Từ khái niệm tích vô hớng ta có: Đờng thẳng a vuông góc với đờng thẳng b tích vô hớng hai véctơ phơng hai đờng thẳng Hoặc mặt phẳng () vuông góc với mặt phẳng () tích vô hớng hai véctơ pháp tuyến m n tơng ứng hai mặt phẳng ®ã b»ng - TÝnh kÕ thõa cịng cã thĨ xem yêu cầu quán việc chuyển kiến thức từ cấp học đến cấp học khác, lớp đến lớp khác [26] Ví dụ 3: lớp em đà đợc học khảo sát hàm số bậc hai có dạng: y = ax2 Lên lớp 10, em đợc khảo sát lại hàm số bậc hai: y = ax2 sở bớc khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm sè bËc hai: y = ax 2, ngêi ta x©y dựng bớc khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c Theo Giáo s, Tiến sỹ khoa học Nguyễn Cảnh Toàn đà đề cập đến tính kế thừa thông qua phân tích quy luật "Phủ định phủ định" Triết học vật biện chứng Ông cho rằng: "Không có "mới toanh" theo nghĩa không dính dáng tới "cũ" Cái "mới" từ "cũ" mà ra, nhà phát minh hệ sau đứng lên vai nhà phát minh hệ trớc, kế thừa thành họ" [24, tr 54] " hữu hạn có kết trớc cha biết nhng tầm quan trọng nhỏ bé tính kh¸i qu¸t cđa nã thÊp " [23, tr 55] 1.1.2 ích lợi việc nghiên cứu tính kế thừa - Tính kế thừa đóng vai trò quan trọng nghiên cứu khoa học nói chung nghiên cứu phơng pháp dạy học nói riêng Nói nh ngời nghiên cứu chân không đóng cửa cố thủ "kho tàng" lý luận "riêng có", "của mình" mà xích thâm nhập lý luận phơng pháp luận từ lĩnh vực khoa học khác Hàng loạt phơng pháp nghiên cứu môn khoa học xuất kết kế thừa lẫn môn khoa học - Việc nghiên cứu tính kế thừa góp phần quan trọng việc pháp triển lực trí tuệ chung nh: t trừu tợng trí tởng tợng không gian, t logic t biện chứng; rèn luyện hoạt động trí tuệ nh phân tích, tổng hợp, tơng tự, khái quát hoá; phẩm chất t nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo Những điều nói đợc thể qua việc giáo viên làm cho học sinh quen có ý thức sử dụng thao tác nh: xét tơng tự, khái quát hoá, quy lạ quen Mọi kiến thức thu nhận đợc phải có cứ, dựa quy tắc, kinh nghiệm định tự nhiên mà có - Ngoài chóng ta cã thĨ vËn dơng tÝnh kÕ thõa hoạt động hớng đích gợi động cơ, tạo tiền đề xuất phát trình dạy học Hoạt động hớng đích, gợi động có hiệu giáo viên làm cho học sinh thấy đợc mối liên hệ mục đích đặt với tri thức mà học sinh đà có Còn tiền đề xuất phát đề cập kiến thức, kỹ đặc thù liên quan trực tiếp đến nội dung học đến 1.1.3 Tính kế thừa trong hoạt động dạy toán Toán học môn học có tính trừu tợng cao Nó đợc thể định nghĩa ănghen Toán học: Toán học khoa học nghiên cứu quan hệ số lợng, hình dạng logic giới khách quan [13, tr 43] Môn Toán đợc đặc trng tính hệ thống logic chặt chẽ nó, có nhiều vấn đề thừa nhận, có chứng minh cha thật chặt chẽ đặc điểm tâm lý nhận thức học sinh Nhng nhìn chung kiến thức môn Toán từ lớp tới lớp cuối trờng phổ thông cã tÝnh hƯ thèng, logic cđa nã; kiÕn thøc häc trớc sở cho kiến thức học sau; khái niệm học sau đợc minh họa, định nghĩa thông qua khái niệm học trớc; từ mệnh đề suy mệnh đề khác cách Tất kiến thức Toán học trờng phổ thông đợc xếp nh mắt xích liên kết với cách chặt chẽ tạo thành những mạch xuyên suốt chơng trình Tri thức với ý nghĩa đắn nó, thực đợc hoà nhập với vốn hiểu biết học sinh đợc xây dựng sở tri thøc vèn cã cđa häc sinh Cịng chÝnh v× vËy mà bàn cách tìm tòi lời giải toán, G Polya thờng nhấn mạnh câu hỏi Bạn có biết toán giống không? [13, tr 55] Cũng theo G Polya: Thực tế khó mà đề toán hoàn toàn mới, không giống chút với toán khác, điểm chung với toán trớc đà giải" [13, tr 55] Nếu nh có toán nh tất yếu đà giải đợc Thực vậy, giải toán, ta luôn phải lợi dụng toán đà giải, dùng kết quả, phơng pháp kinh nghiệm có đợc giải toán Hiển nhiên, toán ta dùng tới phải có liên hệ với toán có Việc trả lời câu hỏi G Polya thùc chÊt liªn hƯ tíi tÝnh kÕ thõa giải tập Toán Mục đích câu hỏi để học sinh hoạt động huy động kiến thức có từ trớc quy lạ quen Nhà Toán học A Ia Khinshin lại cho dùng tính kế thừa để ôn tập trình dạy học Bởi theo ông ôn tập nh»m cđng cè ®Ĩ dÉn tíi kiÕn thøc míi, cã thể ôn tập theo chủ đề, phân mục để củng cố lại kiến thức tảng cho việc xây dựng kiến thức vận dụng tính kế thừa để xây dựng tính đồng tâm, xoáy trôn ốc dạy học Tất nhiên kế thừa Toán học theo khuynh hớng chọn lọc, phát triển để lên Một lý thuyết ®êi lý thut cị bÊt lùc viƯc giải vấn đề lý luận hay thực tiễn đặt Lý thuyết vừa kế thừa mặt tích cực lý thuyết cũ, vừa phủ định mặt tiêu cực lý thuyết cũ, theo nghĩa giải đợc yêu cầu mµ lý thut cị tá bÊt lùc NÕu cã tính kế thừa mà tính phủ định mặt tiêu cực, mặt bất lực khoa học Toán học tiến lên đợc mặt tiêu cực hạn chế nguyên đó, không giải đợc [24, tr 199] Chẳng hạn: Về hình thành phát triển tập hợp số 10 Sự phát triển tập hợp số lý trí chủ quan nhà Toán học mà nhu cầu thực tế đời sống hay nhu cầu việc phát triển kiến thức nội Toán học Tập hợp số đợc đa tập số tự nhiên: N = { 0; 1; 2; 3; } Tập hợp N số tự nhiên tồn mâu thuẫn, mâu thuẫn thể bắt nguồn từ thực tế sống, chẳng hạn sử dụng số tự nhiên cha phản ánh đợc tợng thực tế giới khách quan nh: lÃi lỗ, tiến lùi, nhiệt độ nóng lạnh v.v Trên tập hợp số tự nhiên phép trừ không luôn thực đợc: - = 2; - = ? Sù mở rộng tập số tự nhiên N sang tập số nguyên Z hay nói cách khác tập hợp Z số nguyên đời nhằm giải mâu thuẫn tập hợp N số tự nhiên Tuy nhiên, tập hợp Z số nguyên xuất mâu thuẫn sau đây: Trớc hết sử dụng số nguyên cha phản ánh đợc tợng thùc tÕ cđa thÕ giíi kh¸ch quan nh: lị lụt phải chia lại đất đai hay chia số cá đánh bắt đợc, chia số mồi săn bắt đợc, chia quà cho em nhỏ Từ phép chia dẫn tới thơng không số nguyên Đây mâu thuẫn nội Toán học số nguyên: phép chia không luôn thực ®ỵc: 8: (- 4) = -2; (-7) : = ? Đứng trớc yêu cầu đó, tập hợp số hữu tỷ Q đời nhằm giải mâu thuẫn tập hợp số nguyên Z Nhng tập hợp Q số hữu tỷ lại xuất khó khăn mới: không đáp ứng đợc nhu cầu phép đo đạc hay tính toán tồn đoạn thẳng có độ dài không số hữu tỷ Chẳng hạn đo độ dài đờng chéo hình vuông có cạnh 1, phép khai số không âm không luôn thực đợc: = ∈Q nhng ∉Q 64 H·y gi¶i ví dụ Gọi H, H' tâm tam giác ABC, A'B'C' Gọi I, I' trung ®iĨm cđa AB vµ A'B' Ta cã: AB ⊥ IC ⇒ AB ⊥ HH' AB ⊥ (CII'C') ⇒ (ABB'A') ⊥ (CII'C') Nh vậy, hình cầu nội tiếp tiếp xúc với hai đáy H, H' tiếp xúc với mặt bên (ABB'A') điểm K II' Gọi x cạnh đáy nhỏ, cạnh đáy lớn 2x Do đó: IH' = I'K = x ⇒ IH = IK = x 3 Tam giác IOI' vuông O nªn: I'K.IK = OK2 ⇒ x x = r2 ⇒ x2 = 6r2 ThÓ tÝch h×nh chãp cơt tÝnh bëi: V = h (B + B ' + B = 4x = x = 6r B' = Trong ®ã: B.B' ) x2 3r = h = 2r Cho nªn: V= = 2r  6 r + 3r +   21r 6r 3r     Vậy việc giải toán phải sử dụng tới kiến thức Hình học không gian mà phải sử dụng tới toán phụ trợ 65 Hình học phẳng Qua cho thấy phải huy động nhiều kiến thức để giải vấn đề toán học * Sử dụng phép chiếu triển khai hình đa toán không gian toán phẳng quen thuộc Hình học không gian môn học có tính trừu tợng, đòi hỏi phải có trí tợng tợng không gian cao, học sinh lại cha biÕt c¸ch vËn dơng c¸c kiÕn thøc, tÝnh chÊt cđa hình không gian để giải toán hình không gian Để khắc phục khó khăn khai thác cách khoa học tính chất, kiến thức sẵn có Hình học phẳng, ta đa toán không gian toán phẳng thông qua phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc triển khai hình Nhờ sử dụng định nghĩa, tính chất bất biến qua phép chiếu song song, đặc biệt phép chiếu vuông góc, chuyển toán Hình học không gian toán Hình học phẳng Ta đa quy trình hớng dẫn học sinh giải toán Hình học không gian phép chiếu song song, vuông góc để đa toán phẳng nh sau: Bớc 1: Xét đặc trng toán để xem cã thĨ dïng phÐp chiÕu song song hc phÐp chiếu vuông góc để giải toán đợc không ? Bíc 2: Lùa chän phÐp chiÕu song song hc vuông góc thích hợp (phơng chiếu mặt phẳng chiếu) cho mặt phẳng chiếu thể đợc yếu tố đà cho yếu tố cần tìm Bớc 3: Xác định hình chiếu cần thiết mặt phẳng chiếu, phát biểu toán mặt phẳng tơng ứng Bớc 4: Giải toán phẳng, đồng thời chuyển kết kết luận toán ban đầu Ví dụ 1: Cho ba đờng thẳng đôi chéo a, b, c không nằm ba mặt phẳng song song Dựng đờng thẳng d cho d cắt a, b, c điểm A, B, C BA = BC Hớng dẫn học sinh giải toán theo quy trình: 66 Bớc 1: HÃy xét đặc trng toán để xem dùng phép chiếu song song phép chiếu vuông góc để giải toán đợc không ? Đây toán dựng đờng thẳng tháa m·n BA = BC víi A, B, C lÇn lợt giao điểm d với a, b, c Vì BA BC = mà tỷ số hai đoạn thẳng đờng thẳng không thay đổi qua phÐp chiÕu song song nªn cã thĨ sư dơng phÐp chiếu sang toán không gian toán phẳng Bíc 2: H·y lùa chän phÐp chiÕu song song thÝch hợp ? Chọn mặt phẳng chiếu mp () cắt ba đờng thẳng a, b, c chọn phơng a chiếu phơng đờng thẳng b b Bớc 3: Xác định hình chiếu cần c thiết mặt phẳng chiếu, phát biểu toán phẳng tơng ứng ? a1 Qua phÐp chiÕu song song ((α), b) B1 ¶nh b điểm B1 thuộc mp () ảnh a, c đờng thẳng a1, c1 cắt x O P c1 y Tõ ®ã dÉn tíi toán: Hình 2.28 "Cho góc xOy điểm B1 nằm góc Dựng đờng thẳng d1 qua B1 cắt hai cạnh góc A1, C1 cho: B1A1 = B1C1" tia Ox Oy lần lợt thuộc đờng thẳng a1, c1 Đây toán Hình học phẳng chơng trình Toán Bớc 4: Giải toán phẳng ? Ta nêu cách dựng vắn tắt nh sau: Do B1A1 = B1C1 ⇒ §B1 : A1 → C1 Qua phép đối xứng tâm B1 biến đờng thẳng Ox thành đờng thẳng O'x' 67 C1 giao điểm O'x' víi Oy VËy d1 di qua C1, B1 c¾t Ox A1 Khi đó, đờng thẳng d1 cần dựng tạo ảnh đờng thẳng d qua phép chiếu song song VÝ dơ 2: Cho tø diƯn ABCD, mỈt phẳng phân giác nhị diện cạnh AB EC S cøt CD t¹i E Chøng minh r»ng: ED = S ABC ABD Vận dụng quy trình để giải toán Bớc 1: Do phép chiếu song song vuông góc bảo toàn tỷ số nên ta sử dụng hai phép chiếu để giải ví dụ Bớc 2: Chọn mặt phẳng chiếu (P) vuông góc với AB phơng chiếu AB Bớc 3: Qua phÐp chiÕu vu«ng gãc ((P), AB), ta cã: A, B  C  C1 D  D1 E f: A1 E1 Ta thấy C1A1D1 góc phẳng nhị diện cạnh AB tứ diện ABCD Vì A1E1 = mp (ABE) mp (A1C1D1) nên A1E1 phân gi¸c cđa C1A1D1 Ta cã: Nhng A C CH E1 C S = 1 = = ∆ABC E1 D1 A1 D1 DK S ∆ABD EC EC E1 C1 S = ⇒ = ∆ABC E1 D1 ED ED S ABD đpcm A Vậy qua phép chiếu vuông góc, ta đà đa toán hình không gian K toán phẳng quen thuộc: "Cho ABC, AD đờng phân giác góc A Chứng minh DB AB = " DC AC H B D áp dụng toán Hình học phẳng ta giải đợc E C toán hình học không gian Bên cạnh sử dụng phép chiếu, đa D1 A1 P C1 Hình 2.29 E1 68 toán Hình học không gian toán phẳng thông qua họat động triển khai hình, hay nói cách khác phẳng hóa toán Hình học không gian Chẳng h¹n: VÝ dơ 3: Cho tø diƯn ABCD, cã AB = CD, AC = BD, AD = BC Chøng minh rằng: BAC + CAD + DAB = 1800 Giáo viên híng dÉn häc sinh triĨn khai h×nh tø diƯn ABCD mặt phẳng (BCD) nh sau: A1 A D B C B A1 D a) H×nh 2.30 C A3 b) Từ B kẻ đờng thẳng song song CD Từ C kẻ đờng thẳng song song BD Từ D kẻ đờng thẳng song song BC Các đờng thẳng cắt đôi Các giao điểm A1, A2, A3 ®ã ta thÊy: BA1 = BA2 = CD, DA3 = DA1= BC, CA2 = CA3 = BD ∆ABC = ∆A2BC, ∆ABD = ∆A1BD, ∆ACD = ∆A3CD (h×nh 2.30b) (Có cạnh tơng ứng nhau) 69 Nên BAD = A1, ABC = A2, CAD = A3 A1 + A2 + A3 = 180O ⇒ BAD + BAC + CAD = 180O V× VÝ dơ 4: Chøng minh tổng góc phẳng đỉnh hình chóp lớn 180o cạnh bên nhỏ chu vi đáy Hớng dẫn học sinh triển khai hình chóp mặt phẳng Giả sử có hình chóp SA1A2A3 An Cắt hình chóp theo giao tuyến SA1 trải mặt phẳng S A1 A1 An S A'1 A2 A2 A'1 A3 A4 a) A3 Hình 2.31 H A4 b) Khi điểm S nằm bên đa giác A1A2 AnA1' với SA1 = SA1' Gọi H giao điểm phần kéo dài SA1 phía S với cạnh đa giác A1A2 AnA1' Gọi a độ dài đờng gấp khúc A1A2 H, b ®é dµi cđa ®êng gÊp khóc H AnA'1 Khi a + b chu vi đáy Ta cã: A1S + SH < a SA'1 ≤ SH + b Cộng vế với vế bất đẳng thức ta cã: A1S + SH + SA1' < a+ SH + b ⇔ A1S + SA1' < a + b SA1 = SA1' ⇒ SA1 < a + b 70 ⇒ SA1 < a +b Lêi gi¶i Ví dụ đợc trình bày sở triển khai tứ diện ABCD mặt phẳng Từ "kế thừa" kết đà có hình học phẳng nh: "Tổng ba góc tam giác 90o" để chứng minh yêu cầu ví dụ Còn VÝ dơ 4, cịng triĨn khai h×nh chãp S.A1 A2 lên mặt phẳng học sinh huy động kiến thức hình học phẳng, chẳng hạn: "Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh lại" sử dụng tính chất bất đẳng thức để giải ví dụ Việc phẳng hóa toán không gian mặt phẳng nhằm giúp cho học sinh phát triển khả suy luận, t logic Tuy nhiên, dạy học theo định hớng này, giáo viên cần lu ý học sinh triển khai toàn số phần hình học không gian mặt phẳng từ áp dụng kiến thức hình học phẳng đà đợc trang bị từ trớc để giải toán không gian * Bài toán Hình học không gian xét tơng tự kết mở rộng toán Hình học phẳng Trong trình dạy học Hình học trờng phổ thông, chuyển việc nghiên cứu Hình học phẳng sang nghiên cứu Hình học không gian thờng nảy sinh việc so sánh khái niệm, định lý, tính chất Hình học phẳng với Hình học không gian; hình hình phẳng với Hình học không gian Từ khái niệm mang tính "tơng ứng" tam giác tứ diện (nh: cạnh diện tích, đờng thẳng mặt phẳng ), hình bình hành hình hộp, đờng tròn mặt cầu xét tơng tự toán không gian với toán phẳng mở rộng từ toán phẳng sang toán Hình học không gian Chẳng hạn: Từ Tiên đề Ơclít Hình học phẳng: "Qua điểm A cho trớc không nằm đờng thẳng cho trớc có đờng thẳng ' qua A song song với đờng thẳng " ta có Định lý tơng 71 ứng không gian nh sau: "Qua điểm A cho trớc không nằm mặt phẳng () cho trớc có mặt phẳng () song song với mặt phẳng () Cũng tính chất hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông xét tơng tự mở rộng sang cho hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phơng Ví dụ 1: Trên sở coi tam giác vuông tơng tự nh tứ diện vuông hình học không gian, ta xây dựng Định lý Pitago hình học không gian Đối với Định lý Pitago, ta coi lời giải toán sau: "Trong tam giác vuông góc đỉnh O, cho trớc độ dài a b cạnh xuất phát từ đỉnh đó; hÃy tìm độ dài cạnh đối diện đỉnh O" Vậy toán tơng tự không gian phát biểu nh sau: "Trong mét tø diƯn vu«ng cã mét gãc tam diện vuông đỉnh O cho trớc diện tích A, B C ba mặt xuất phát từ đỉnh Tìm diện tích mặt A đối diện điểm O" Ta cần phải biểu thị S theo A, l B C Điều mà ta chờ đợi ta O đợc công thức tơng tự với Định lý Pitago: c = a + b - công 2 thức biểu diễn lời giải toán hình học phẳng tơng n m B ứng C H×nh 2.32 Cã häc sinh cho r»ng: S3 = A3 + B3 + C3 Đây giả thiết hợp lý thay đổi số mũ phản ánh việc chuyển từ không gian hai chiều sang ba chiều HÃy xét hình 2.32: Giả sử A = dt AOC; B = dt AOC; C = dt AOB 72 Ta cã: A = m.n; B = n.l; C = l.m Gäi h lµ chiỊu cao cđa ∆ABC, ta cã: S = a.h 2S = a.h Ta cần liên hệ h với l, m, n Gọi OH đờng cao cña ∆OBC, ta cã: OH = k ⇒ A = a.k Do OHA vuông O nên h2 = k2 + l2 ⇒ (2S)2 = (a.h)2 = a2(k2 + l2) = 4A + a2.l2 = 4A2 + l2(n2 + m2) = 4A + l2.n2 + l2.m2 = 4A2 + 4B2 + 4C2 ⇔ S = A + B + C2 VËy lµ ta cã toán Hình học không gian tơng tự Định lý Pitago Hình học phẳng Nhiều để giải toán Hình học không gian, ta tìm cách giải toán tơng tự Hình học phẳng trớc, sau sử dụng kết hay phơng pháp để giải toán không gian Ví dụ 2: Cho tø diƯn ABCD, gäi Gi (i = 1,4 ) lÇn lợt trọng tâm mặt (BCD), (COA), (DAB), (ABC); O điểm không gian; A', B', C', D' lần lợt điểm đối xứng O qua điểm Gi (i = 1,4 ) Chứng minh AA', BB', CC', DD' đồng quy Giáo viên gợi ý: Các em hÃy toán tơng tự đơn giản mặt phẳng? Tứ diện đổi thành tam giác, trọng tâm mặt đổi thành trung điểm cạnh Do ta có toán tơng tự mặt phẳng: "Cho tam giác ABC 73 điểm O A', B', C' lần lợt điểm đối xứng O qua trung ®iĨm cđa BC, CA, AB Chøng minh r»ng AA', BB', CC' đồng quy điểm P" Học sinh dễ dàng giải đợc A toán phẳng thông qua việc sử dụng phép đối xứng tâm nh sau: B' ' J K O Gọi I, J, K lần lợt trung điểm BC, CA, AB P B A' = §I(O); B' = §J(O) C I A' ⇒ A'B' = 2IJ = AB vµ A'B' // IJ // AB Hình 2.33 AB A'B' hình bình hành (AA', BB' đờng chéo) Do AA'và BB cắt điểm P trung điểm đoạn A Tơng tự ta có BB' CC' cắt trung điểm đoạn O Vậy AA', BB', CC' đồng quy điểm P Tơng tự toán ph¼ng, h·y G2 B' B G1 chøng minh VÝ dơ ®· cho ? I A' = §G1(O) B' = §G2(O) C C' = ĐG3(O) D' = ĐG4(O) Hình 2.34 Ta cã: A'B' song song vµ b»ng G1G2 (1) Theo §Þnh lý Thales ta cã: IG IG = = (I trung điểm CD) IB IA ⇒ G1G2 song song vµ b»ng AB (2) A' D 74 Tõ (1) (2) ta cã A'B' song song AB ABA'B' hình thang có AA', BB' đờng chéo PA PB AB = = = PA ' PB ' A' B' Gäi P = AA' ∩ BB' th× (3) Tợng tự cặp đờng thẳng (AA', CC'); (AA', DD') cắt điểm Q, R thoả mÃn: QA QC = = QA ' QC ' (4) RA RD = = RA ' RD' (5) Tõ (3), (4), (5) ⇒ P ≡ Q ≡ R Vậy đờng thẳng AA', BB', CC' đồng quy Tùy theo đối tợng học sinh mà giáo viên kiến thiết đờng tiếp cận Với học sinh trung bình, giáo viên cho học sinh giải toán đơn giản hình học phẳng trớc, nh gợi ý trớc phát biểu giải toán tơng tự không gian Với học sinh - giỏi, giáo viên nên trực tiếp yêu cầu giải toán không gian để học sinh tự liên tởng đến toán tơng tự hình học phẳng Ví dụ 3: Từ định lý trọng tâm tam giác "G trọng tâm ABC AG BG CG = = = AA' BB ' CC ' víi A', B', C' trung điểm BC, AC, AB" Nếu tam giác đổi thành tứ diện, trung điểm cạnh tam giác thành trọng tâm tam giác (vì trung điểm đoạn thẳng thực chất trọng tâm hệ hai điểm, tơng tự với trọng tâm hệ ba điểm) Trọng tâm tam giác chia đoạn AA', BB', CC' theo tû sè VËy cã thể phát biểu mệnh đề tơng tự không gian, trọng tâm tứ diện chia đoạn AA', BB', CC', DD' theo tû sè hay: AG BG CG DG = = = = AA ' BB ' CC ' DD' 4 , 75 Bài toán không gian là: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD; A', B', C', D' lần lợt trọng tâm c¸c tam gi¸c BCD, ACD, ABD, ABC Ta cã: AG BG CG DG = = = = AA ' BB ' CC ' DD' [4, tr.27] A H·y chứng minh toán ? M Gọi M, N, M' lần lợt trung điểm B CD, BA' G Do G trọng tâm BCD, ta có: B M' MM' song song vµ b»ng GA' song song vµ b»ng MM' A' AA' ⇒ GA' = AA' ⇒ Chøng minh t¬ng tù ta cã: D GA ' = AA ' N C H×nh 2.35 AG BG CG DG = = = = AA ' BB ' CC ' DD' 2.2.5 Biện pháp 5: Quan tâm mức tới quan hệ chơng mục khác Hình học không gian Trong Hình học nói chung Hình học không gian nói riêng mối quan hệ biện chứng phần sau với phần trớc chặt chẽ Thờng chơng sau, phần sau đợc xây dựng tảng chơng trớc, phần trớc Các khái niệm, tính chất hình đợc sử dụng xuyên suốt nội dung chơng trình, nh: khái niệm tứ diện đợc đa sớm đợc nhắc nhắc lại nhiều lần chơng Chúng ta vận dụng khái niệm, định lý tiên đề chơng để chứng minh giải thích xây dựng khái niệm, định lý tiên để chơng 76 Trớc hết, dễ thấy toàn kiến thức Hình học không gian đợc xây dựng cách chặt chẽ, lôgíc tảng hệ tiên đề (gồm tiên đề sách giáo khoa trình bày nh sau: Tiên đề 1: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trớc Tiên đề 2: Nếu đờng thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đờng thẳng thuộc mặt phẳng Tiên đề 3: Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có điểm chung khác Tiên đề 4: Có bốn điểm không thuộc mặt phẳng (Hoặc: Có bốn điểm không đồng phẳng) Ngoài tính chất s phạm nên có hai tiên đề coi nh hiển nhiên không nêu là: Tiên đề 5: Trên mặt phẳng kết đà biết Hình học phẳng Tiên đề 6: Mỗi đoạn thẳng không gian có độ dài xác định) Rồi từ tiên đề có ba định lý xác định mặt phẳng giao tuyến hai mặt phẳng [4, tr 9-10] Chúng ta h·y xÐt mét sè vÝ dơ thĨ sau: VÝ dụ 1: Quan hệ Chơng 2: Quan hệ song song với Chơng 1: Đại cơng đờng thẳng mặt phẳng Tuy Chơng mang tính giới thiệu số khái niệm, tính chất Hình học không gian nhng kiến thức xuyên suốt toàn nội dung chơng trình Các kiến thức Chơng đợc xây dựng sở kiến thức Chơng số kiến thức khác Hình học phẳng nh: Vị trí tơng đối hai đờng thẳng: Nhờ tiên đề ta có định nghĩa hai đờng thẳng chéo (qua điểm A, B, C, D không thuộc mặt phẳng ta kẻ đờng thẳng a qua A B, kẻ đờng thẳng b qua C D Khi hai đờng 77 thẳng a b không thuộc mặt phẳng Ta nói hai đờng thẳng chéo nhau) Hoặc dựa vào tiền đề định lý Chơng 1, ta chứng minh đợc loạt định lý Đ1 Hai đờng thẳng song song Ngoài ra, việc xác định mặt phẳng dù phần nào, chơng phải đa tiên đề định lý (Có mặt phẳng qua đờng thẳng điểm nằm đờng thẳng đó), định lý (Có mặt phẳng qua hai đờng thẳng cắt nhau) Chẳng hạn, việc chứng minh định lý Đ2 Chơng [4, tr 30] định lý Đ3 Chơng [4, tr 34] phải sử dụng đến điều kiện xác định mặt phẳng Ví dụ 2: Quan hệ Chơng Quan hệ vuông góc với Chơng Quan hệ song song Ngay Đ1 Hai đờng thẳng vuông góc, định nghĩa góc hai đờng thẳng không gian dùa vµo tÝnh song song vµ mét sè kiÕn thøc Hình học phẳng Rồi lại dựa vào định nghĩa góc hai đờng thẳng không gian để định nghĩa đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng, từ đa định nghĩa mặt phẳng Cũng bàn quan hệ song song quan hệ vuông góc sách giáo khoa Hình học 11 đà đa định lý sau: - Cho hai đờng thẳng song song Đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ vuông góc với đờng th¼ng thø hai [4, tr 56] a // b c b cb - Cho hai đờng thẳng song song, b mặt phẳng vuông góc với đờng a thẳng vuông góc với đờng thẳng [4, tr.62] P H×nh 2.36 78 a // b (P) ⊥ a ⇒ (P) ⊥ b (h×nh 2.36) - Cho hai mặt phẳng song song d Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng [4, tr.63] P (P) // (Q) d ⊥ (P) ⇒ d ⊥ (Q) (h×nh 2.37) Q H×nh 2.37 Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đờng thẳng song song với [4, tr.63] d (P) ⊥ d (Q) ⊥ d' (P) ≠ (Q) (P) // (Q) P (hình 2.38) - Hai đờng thẳng phân biệt Q vuông góc với mặt phẳng song song với [4, tr.64] Hình 2.38 b a ⊥ (P) b ⊥ (P) a ≡ b ⇒ a // b a (h×nh 2.39) P H×nh 2.39 ... dụng tính kề thừa dạy học giải tập Toán trờng THPT nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh 2.1 Các định hớng sở đề biện pháp s phạm nhằm tổ chức HĐNT cho học sinh dạy học giải tập Toán trờng... nghiên cứu luận văn là: "Vận dụng tính kế thừa dạy học giải tập Toán nhằm tổ chức hoạt ®éng nhËn thøc cho häc sinh líp 11 trêng THPT (Thể qua dạy học Hình học không gian)" Mục đích nghiên cứu... chức hoạt đông nhận thức cho học sinh - Các sở lý luận thực tiễn để hình thành định hớng dạy học 23 Chơng Các biện pháp vận dụng tính kế thừa dạy học giải tập Toán trờng THPT nhằm tổ chức hoạt động