Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận này, nổ lực thân, nhận đợc giúp đỡ thầy cô giáo, gia đình ngời thân, bạn bè Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới Thầy giáo Ths Nguyễn Chiến Thắng - ngời đà trực tiếp tận tình hớng dẫn hoàn thành khoá luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm thầy cô giáo khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, Ban giám hiệu thầy cô giáo Tổ toán trờng THPT Nam Đàn đà tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ cho trình hoàn thành khoá luận Gia đình, ngời thân, bạn bè nguồn cổ vũ động viên để thêm nghị lực hoàn thành khoá luận Xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ quý báu đó! Mặc dù cố gắng nhng chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc để khóa luận đợc hoàn chỉnh Vinh, tháng 05 năm 2011 Tỏc gi MC LC Trang M ĐẦU Chương I: Cơ sở lí luận 1.1 Lí luận cặp phạm trù “Nội dung – Hình thức” 1.1.1 Khái niệm nội dung hình thức 1.1.2 Mối liên hệ biện chứng nội dung hình thức thể 10 tốn học 1.2 Lí luận “Bài tốn” 1.2.1 Một số quan niệm “Bài toán” 1.2.2 Chức toán 1.2.3 Phân loại toán 1.3 Dạy học giải tập Toán 1.4 Kết luận chương Chương Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức dạy học giải tập Tốn trường Phổ thông 2.1 Hướng 1: Chuyển đổi nội dung toán 2.1.1 Chuyển đổi nội dung để đơn giản hoá toán 2.1.2 Chuyển đổi toán làm rõ nội dung bị hình thức che lấp 2.1.3 Chuyển đổi nội dung để khắc sâu khắc phục sai lầm cho học sinh 2.2 Hướng 2: Chuyển đổi hình thức tốn 2.2.1 Chuyển đổi hình thức tốn thơng qua chuyển đổi ngơn ngữ phận, mơn học, mơ hình 2.2.2 Chuyển đổi hình thức tốn thơng qua chuyển đổi ngơn ngữ nội môn học, phận 2.3 Sáng tạo toán dựa mối liên hệ biện chứng nội dung hình thức 2.3.1 Sáng tạo tốn nhờ biến đổi nội dung toán 2.3.2 Sáng tạo tốn nhờ biến đổi hình thức 2.3.3 Luyện tập cho học sinh sáng tạo toán cách khai thác nội dung hình thức 2.4 Kết luận chương Chương Thử nghiệm sư phạm Kết luận Tài liệu tham khảo 15 15 16 21 26 32 33 33 33 39 42 43 45 50 65 67 71 77 82 83 94 95 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Từ xưa đến toán học phát sinh phát triển nhu cầu thực tế đời sống người (và nhu cầu thân nó) Các lí thuyết toán học đã có dù gần hay xa có thể tìm thấy ứng dụng khoa học kĩ thuật Toán học chặng đường đường dài nhận thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng rồi từ đó đến thực tiễn Mơn Tốn mơn cung cấp nhiều kiến thức, kĩ phương pháp góp phần xây dựng văn hóa phổ thơng người lao động Những kiến thức tốn phổ thông sẽ giúp học sinh có sở để học môn khoa học tự nhiên khác từ đó nắm được quy luật khách quan đồng thời rèn luyện cho học sinh phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải vấn đề, từ đó phát triển trí thông minh sáng tạo Theo quan điểm giáo dục đại, việc học tập học sinh diễn hoạt động hoạt động Hình thức hoạt động toán học chủ yếu học sinh hoạt động giải tập toán Bài tập toán học có vai trò quan trọng mơn tốn Thơng qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Dạy học giải tập toán tình điển hình dạy học mơn Tốn Phương pháp vật biện chứng sở, tảng trình tư duy, trình nhận thức giới Dạy học cũng trình nhận thức Do đó, việc rèn luyện kĩ toán học cho học sinh cũng tuân theo quy luật phép biện chứng vật Hình thành số kiến thức phép biện chứng vật trình dạy học toán vừa nhiệm vụ, vừa điều kiện giúp học sinh nhận thức tốt kiến thức toán học Phép biện chứng vật có vai trò quan trọng hoạt động nhận thức Sự phát triển toán học nói riêng khoa học nói chung có nguồn gốc từ thực tiễn Quy luật phát triển mỗi khoa học phản ánh tư tưởng triết học vật biện chứng Nhiều kiến thức triết học tiềm ẩn kiến thức mơn tốn Bằng cách vận dụng cặp phạm trù triết học vào việc khai thác kiến thức toán học, đặc biệt khai thác toán vừa góp phần hình thành giới quan vật biện chứng vừa tạo điều kiện cho học sinh phát triển tư logic, tư sáng tạo Đối với học sinh trung học phổ thơng, lực giải Tốn thường thể ở khả lựa chọn phương thức biến đổi toán thích hợp để giải vấn đề Việc lựa chọn cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn rõ ràng, sáng, không dựa vào việc nắm vững kiến thức đã học, mà điều quan trọng hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ phân mơn tốn học khác chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt cho tốn đặt Rèn luyện khả khai thác toán đóng vai trò quan trọng q trình giải tốn Đặc biệt chú trọng khai thác cặp phạm trù Nội dung Hình thức để học sinh thấy rõ mối quan hệ logic toán, từ đó sáng tạo được nhiều toán phong phú, kích thích niềm đam mê toán học cho chính thân em Làm tốt điều đó, học sinh hiểu rõ được vai trò ý nghĩa mỗi phân môn cách sâu sắc cụ thể Chẳng hạn, mơn Hình học ở trường THPT nhiều tính chất hình học, hình dáng, vị trí cũng quan hệ yếu tố mỡi hình được biểu thị biểu thức đại số, biểu thức lượng giác, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình; hay chính nội bộ phận có sự chuyển hóa diễn đạt khác hình học tổng hợp, hình học vectơ, hình học tọa độ Hiện nay, có nhiều luận văn cao học, báo nghiên cứu cặp phạm trù Triết học vật biện chứng vào dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng Tuy nhiên chưa có cơng trình nghiên cứu cách hệ thống cặp phạm trù Nội dung – Hình thức vận dụng nó rèn luyện cho học sinh phổ thơng cách khai thác sáng tạo tốn Hơn nữa, giáo viên chưa thực sự quan tâm lồng ghép, tích hợp vốn kiến thức triết học vật biện chứng dạy học mơn Tốn Với lí trên, chúng chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng cặp phạm trù Nội dung – Hình thức dạy học Toán ở trường phổ thông (thể hiện qua dạy học giải bài tập toán)” ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu đề tài kiến thức tốn học ở phổ thơng, hướng khai thác sáng tạo toán dựa vào cặp phạm trù Nội dung – Hình thức MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Làm sáng tỏ số sở lý luận về: +) Cặp phạm trù Nội dung – Hình thức, +) Dạy học giải tập tốn, +) Khái niệm toán, chức toán Đề xuất được số hướng khai thác sáng tạo toán 4.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: +) Hệ thống hoá số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu +) Đề xuất số hướng khai thác sáng tạo tốn thơng qua vận dụng cặp phạm trù Nội dung – Hình thức dạy học giải tập toán +) Tiến hành thử nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính thực, tính hiệu đề tài PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: +) Nghiên cứu lý luận: - Nghiên cứu tài liệu giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học mơn Tốn - Các sách báo phương pháp giải toán phục vụ cho đề tài - Các cơng trình nghiên cứu có vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài +) Quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên, việc học học sinh trình khai thác tập sách giáo khoa tập tài liệu tham khảo +) Thử nghiệm sư phạm: Tiến hành thử nghiệm sư phạm với lớp học thử nghiệm lớp học đối chứng cùng lớp đối tượng GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: Nếu quan tâm đúng mức đến việc vận dụng cặp phạm trù Nội dung – Hình thức vào việc khai thác sáng tạo tốn cho học sinh q trình dạy học giải tập tốn ở trường Phổ thơng sẽ nâng cao được hiệu giảng dạy mơn Toán, góp phần thực tốt mục tiêu nhiệm vụ đổi phương pháp dạy học Toán giai đoạn ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI: +) Về mặt lí luận: Đưa được số sở lý luận Nội dung – Hình thức, toán, dạy học giải toán để làm sáng tỏ đề tài khóa luận +) Về mặt thực tiễn: - Đề xuất số hướng khai thác sáng tạo toán dạy học giải tập toán ở trường phổ thông cho học sinh - Một số kết luận rút từ thực tiễn việc tổ chức dạy học có vận dụng đề tài +) Khóa luận có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Tốn, giáo viên dạy Tốn phổ thơng CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI: Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận có chương: Chương Cơ sở lí luận 1.1 Lí luận cặp phạm trù “Nội dung – Hình thức” 1.2 Lí luận “Bài toán” 1.3 Dạy học giải tập Toán 1.4 Kết luận chương Chương Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức dạy học giải tập Tốn ở trường Phổ thông 2.1 Hướng 1: Chuyển đổi nội dung tốn 2.2 Hướng 2: Chuyển đổi hình thức toán 2.3 Sáng tạo toán dựa mối liên hệ biện chứng nội dung hình thức 2.4 Kết luận chương Chương Thử nghiệm sư phạm Chương I: Cơ sở lí luận 1.1 Lí luận cặp phạm trù “Nội dung – Hình thức”: Mọi sự vật tượng tự nhiên xã hội có nội dung hình thức 1.1.1 Khái niệm nội dung hình thức:  Nội dung tổng hợp tất mặt, yếu tố, trình hợp thành sở tờn phát triển sự vật  Hình thức phương thức tồn phát triển sự vật, hệ thống mối liên hệ tương đối bền vững yếu tố sự vật đó, cách tổ chức kết cấu nội dung Chẳng hạn: Trong toán học đại, phương pháp tiên đề đã trở thành văn phong trình bày lý thuyết tốn học Mỡi hệ tiên đề có nhiều mơ hình Mỡi mơ hình hình thức chứa đựng nội dung hàm ẩn hệ tiên đề Gần gủi với chúng ta hai mơ hình hình học Ơclit phổ biến nhà trường hình học tổng hợp hình học giải tích Hình học Lơbasepki cũng có nhiều mơ hình khác nhau, đó hai mơ hình quen thuộc mơ hình Poăngcarê mơ hình Kêli - Clanh Trong nội dung tốn học sơ cấp ở trường phổ thơng, chúng ta dễ thấy cặp phạm trù biểu rõ ràng qua phận: số học, đại số, giải tích hình học Đơn giản nội dung đại cương phương trình bao gờm phương trình ẩn, tập xác định, nghiệm, điều kiện phương trình, phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương, phương trình hệ quả, nghiệm ngoại lai, phương trình nhiều ẩn, phương trình chứa tham số, còn hình thức nó cách tổ chức, xếp mục khái niệm, cách trình bày kiến thức mục, khái niệm được được định nghĩa dùng để định nghĩa khái niệm khác, ví dụ phương trình được đưa ra, 1.1.2 Mối liên hệ biện chứng nội dung hình thức thể toán học: a) Tính thống nội dung hình thức: Từ khái niệm ta thấy được nội dung hình thức có mối quan hệ qua lại, quy định lẫn nhau, gắn bó chặt chẽ với thể thống nhất; khơng có hình thức tờn t khơng chứa đựng nội dung ngược lại, cũng không có nội dung lại tờn hình thức xác định, không có nội dung nói chung, có nội dung cụ thể Khơng có hình thức t mà có hình thức cụ thể nội dung định Chẳng hạn: Trong hình học, đường thẳng, tam giác, đường tròn hình thức bên quan hệ bên – nội dung, hình vẽ đường tròn chứa đựng nội dung “sự cách điểm cố định” Nội dung hình thức khơng tờn tách rời, khơng phải mà lúc nội dung hình thức cũng phù hợp với nhau, nội dung cũng thể hình thức định mà nội dung trình phát triển có nhiều hình thức thể hiện; ngược lại, hệ thống hình thức có thể thể nhiều nội dung khác Chẳng hạn, số tự nhiên khái niệm trừu tượng được trừu xuất từ việc tìm cách thuận tiện để so sánh tập hợp mà không cần trực tiếp thiết lập mối liên hệ – phần tử tập hợp đó Nội dung chúng chính lực lượng tập hợp hữu hạn Nội dung đó xuất hiều hình thức, mà hình thức văn minh số Nhưng chính số cũng có nhiều hình thức biểu hiện, chẳng hạn số La Mã số Ả Rập Các số Ả Rập phổ biến Chúng lại có thể xuất hệ đếm số khác nhau, mỡi hệ đếm cũng được xem hình thức, đó phổ biến hệ thập phân Nói cách khác, số cụ thể 1, 2, , 4, chính hình thức chứa đựng nội dung lực lượng tập hợp Đến lượt chữ a, b, c, x, y, lại hình thức để biểu diễn đó khơng còn tương ứng với 10 lực lượng tập hợp cụ thể Ví dụ cho phương trình ax + bx + c = a, b, c có thể số thực còn x số chưa biết, phải tìm Như vậy, nội dung hình thức cũng phạm trù có tính chất tương đối: Có ở mối liên hệ hình thức ở mối liên hệ khác nó lại nội dung b) Nội dung giữ vai trò định hình thức còn hình thức phụ thuộc nội dung: Sự biến đổi sự vật cũng sự biến đổi phát triển nội dung, hình thức khơng tự biến đổi mà biến đổi ảnh hưởng trực tiếp nội dung Chẳng hạn, cùng nội dung định lí Pitago: “Bình phương cạnh huyền tam giác vng tổng bình phương hai cạnh cịn lại” ta có thể có nhiều hình thức, chẳng hạn đẳng thức số đẳng thức diện tích sau đây: (1) a2 = b2 + c2, đó a = BC cạnh huyền còn b = AC c = AB hai cạnh góc vuông; S1 B S3 (2) S1 = S2 + S3, đó S1, S2, S3 lần lượt c a b diện tích hình vng dựng C A cạnh huyền BC cạnh góc vng AC, S2 AB (Xem hình 1) Từ ta có thể biến đổi hình thức đó để (Hình 1) đưa tốn tổng quát, sự biến đổi hình thức phải được thực tác động nội dung định lí Pitago, ta có tốn tổng quát sau đây: S1 = S2 + S3, đó S1, S2, S3 lần lượt diện tích hình đa giác n-cạnh dựng cạnh huyền BC cạnh góc vuông AC, AB Thật vậy, trước hết ta tính diện tích đa giác ncạnh A1A2…An với độ dài mỗi cạnh x sau (xem O hình 2): Gọi O tâm đa giác đều, H hình chiếu O lên x 180  OA = 360 nên HOA  cạnh A1An Ta có: A , suy n n =  n  n A1 H An (Hình 2) ... Kiến thức lí thuyết  Bài tập áp dụng mà chủ yếu là: Bài toán  Kiến thức lí thuyết  Bài tập áp dụng  Bài toán Từ đó, quan điểm sư phạm đại dạy học toán được áp dụng nhiều nước là: Tập trung... Nội dung – Hình thức dạy học giải tập Tốn trường Phổ thơng 2.1 Hướng 1: Chuyển đổi nội dung toán 2.1.1 Chuyển đổi nội dung để đơn giản hoá toán 2.1.2 Chuyển đổi tốn làm rõ nội dung bị hình thức. .. ? ?Bài tốn” 1.3 Dạy học giải tập Toán 7 1.4 Kết luận chương Chương Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức dạy học giải tập Tốn ở trường Phổ thơng 2.1 Hướng 1: Chuyển đổi nội