Đang tải... (xem toàn văn)
cạnh bên AI nhỏ nhất Ta có AI=AD AH AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ tự A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.. [r]
(1)ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN LỚP: 7A Năm học: 2014-2015 Môn thi: Toán - THCS (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài (3đ) Tìm x Z cho a) x 2 2 2 b) (x 20)(x 15)(x 10)(x 5) Bài (4đ) Tìm tất các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn m n a) 2048 b) 3m 4n mn 16 Bài (4đ) 2 a) Cho x, y, z, t là số khác và thỏa mãn các điều kiện sau: y xz, z yt y3 z x x 3 3 3 y z t y z t t và Chứng minh rằng: b) Cho: x+y – z = a – b, x - y + z = b – c và - x+y + z = c – a Chứng minh : x + y + z = Bài (4đ) 2015 a) Cho đa thức f(x) x 2000x Tính giá trị đa thức x=1999 2014 2000x 2013 2000x 2012 2000x b) Cho đa thức f(x) ax bx c Chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0 13a b 2c 0 Bài (5đ) Cho tam giác ABC, đường cao AH Vẽ phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE ABD ACE 90 a) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH K Chứng minh CD vuông góc với BK b) Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy Cho điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD cho AB=CD Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng Chứng minh rằng: MA MD MB MC Bài (2 điểm): Tìm cặp số nguyên (x; y) biết: x + y = x.y Bài (4 điểm) a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58 2 b/ Chứng minh m mn n 9 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết cho - HẾT - (2) ĐÁP ÁN Bài (3đ) a, - Chỉ rõ x 0,1,2 - Chỉ rõ trường hợp và kết luận đúng x 0 (0.25đ) x 1 x 2 (0.75đ) 2 2 b, Lý luận để có (x 20) (x 15) (x 10) (x 5) (0.25đ) Xét đủ trường hợp - Trường hợp có số âm tính x 4 (0.75đ) - Trường hợp có số âm tính x 3 (0.75đ) - Kết luận đúng (0.25đ) Bài 2: Ta có m 11 11 n 11 11 211 0 (0.75®) 211 (2 m 11 n 11 1) 0 (0.5®) (2 m 11 n 11 1) 0 (0.25®) m 12 Lý luận tìm n 11 (0.5đ) (3 n)(m 4) b, Biến đổi (1đ) Xác định tích số nguyên (6 trường hợp) (0.75đ) (m, n) (8,2); (0,4); (5, 1); (3,7); (6,1); (2,5) Kết luận được: (0.25đ) x y z y z t (0.5đ) Bài 3: Từ giả thiết suy Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số để có x3 y3 z3 y3 z3 t (0.5đ) Mặt khác ta có x3 x x x x y z x y3 y y y y z t t (0.75đ) Suy điều cần chứng minh (0.25đ) b, Cộng vế với vế suy điều cần chứng minh (2đ) Bài a,f(x) x 2015 (1999 1)x 2014 (1999 1)x 2013 (1999 1)x 2012 (1999 1)x (0.75đ) Thay 1999=x ta f(x) x 2015 x 2015 x 2014 x 2014 x 2013 x 2013 x x (0.75đ) Tính kết và kết luận f(1999) = 1998 (0.5đ) b, Tính f( 2) và f(3) (0.5đ) (3) f( 2) f(3)=13a+b+2c f( 2) f(3) (0.5đ) (0.5đ) f( 2)f(3)=-f(3)f(3)=- f(3) 0 (0.5đ) Bài (5đ) a, (2đ) 1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết (1đ) 2, Chỉ AH, BE, CD là đường cao BCK (1đ) b, (3đ) Xét trường hợp * Trường hợp điểm M AD thì ta có MA MD MB MC (1đ) * Trường hợp M AD - Gọi I là trung điểm BC (0.75đ) - Trên tia đối tia IM lấy điểm N cho IM=IN (0.5đ) IB IC AB CD Vì AB IB IC CD AI ID (0.25đ) IMA IND (c.g.c) * Chứng minh (0.25đ) MA ND - Điểm C nằm MDN chứng minh ND MD NC MC (0.5đ) - Chứng minh IBM ICN (c.g.c) (0.25đ) - Suy MA MD MB MC x + y = x.y Bài xy x y x( y 1) y x 0,5 2,0đ y y vì x z y y y 1y 1y 0,5 , đó y - = 1 y 2 y = Nếu y = thì x = Nếu y = thì x = Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2) Bài a Gọi đa thức bậc hai là 0,5 f x ax bx c 0,25 với a 0 Ta có : 0,25 (4) f 10 c 10 2,0đ 0,25 0,5 f 1 20 a b c 20 a b 10 0,25 (1) f 3 58 9a 3b c 58 9a 3b 48 3a b 16 2 Từ (1) và (2) 2a 6 a 3 b 10 7 Vậy đa thức cần tìm là f x 3x 7x 10 Ta có : 0,5 m mn n m n 3mn (1) 0,5 2 Vì m mn n 9 b 2,0đ m mn n 3 0,5 m n 3 m n3 m n 9 Kết hợp với (1) 0,5 3mn 9 mn 3 (3) Vì là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy m và n chia hết cho Suy đpcm TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN LỚP: 7A ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG Năm học: 2014-2015 Môn thi: Toán - THCS (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài (3đ): Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE=BD Các đường thẳng vuông góc với BC D và E cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự M, N Gọi I là giao điểm MN với BC a/ Chứng minh I là trung điểm MN b/ Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định Bài 2:(4 điểm): a) Cho: P( x)=ax + bx3 +cx +dx+ e Biết rằng: P(1) = P(-1) và P(2) = P(-2) Chứng minh rằng: P(x) = P(-x) với x a b c d b) Cho 3a c (a c)6 6 b d (b d ) (b d 0) Chứng minh : (5) Bài 3:(4 điểm): a, Tìm số nguyên x,y biết: y + = x b, Tìm giá trị lớn biểu thức : Q= 27 − x 12 − x với x là số nguyên, Bài : (5 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, AD vuông góc với BC D Xác địng I , J cho AB là trung trực DI , AC là trung trực DJ, IJ cắt AB, AC L và K Chứng minh rằng: a) Tam giác AIJ cân b) DA là tia phân giác góc LDK c) Nếu D là điểm tùy ý trên cạnh BC Chứng minh góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ Bài 5: (6 điểm): a) M =1 − Chứng tỏ : 1 1 − − − − 2 100 M 100 b) Cho tổng: S a a a a a n (n N ) với giá trị nào n thì S chia hết cho a + ( a ) c) Cho a c 3, b c Chứng minh rằng: a b - Hết - ĐÁP ÁN (6) Bài a A M 3,0 I B D C E O N Chứng minh DBM ECN DM = EN Chứng minh DMI ENI IM = IN Hay I là trung điểm MN b 6,0 điểm 3,0 Bài 2: 1,0 0,25 1,25 0,5 Gọi O là giao điểm đường trung trực BC với đường thẳng vuông góc với MN I Vì AB = AC AO là đường trung trực BC OB=OC Vì I là trung điểm MN OI là đường trung trực MN OM = ON Vì DBM ECN BM = CN Xét OBM và OCN có OB = OC, OM = ON, BM = CN OBM = OCN (C.C.C) OBM OCN (1) Vì AO là đường trung trực BC OBA OCA (2) Từ (1) và (2) OCN OCA OC AC Vì vậy O là giao điểm đường trung trực cạnh BC với đường thẳng vuông góc với AC C nên điểm O cố định Suy điều phải chứng minh a, Từ: P(1)=P(-1) P(2)=P(-2) b+d=-b-d 8b+2d=-8b-2d (1) (2) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0.5đ 0.5đ (7) Từ (1) và (2) suy b=d=0 4 Vậy P( x ) ax cx e a( x ) c( x ) e P( x) a b c d (4đ) b, Từ: Bài 3: 1đ a c a c b d bd a c a c ( )6 ( )6 ( ) b d bd (1) a c 3a c 6 (2) b d 3b d 3a c a c ( ) 6 bd Từ (1) và (2) suy ra: 3b d y y x a, Từ x x (1-2y) = 40 Mà (1-2y) là số lẻ 2y 0.5đ 0.5đ 1đ 1 y x uớc lẻ 40 1đ (1 2y) 1; 5 (4đ) Lập bảng: 1-2y -5 -1 x -8 -40 40 y -2 Vậy ta có các cặp giá trị (x,y) là: (8,-3) ; (-40,1) ;(40,0) ; (8,-2) 0.5đ 27 x 24 x 2(12 x ) 3 2 12 x 12 x 12 x 12 x b, Để Q có GTLN 12 x có GTLN 0 Xét x>12 thì 12 x 0 Xét x<12 thì 12 x 12 x có GTLN và 12 x 1 x 11 1đ Q 0.5đ 0.5đ 0.5đ Vậy Q có GTLN là x=11 0,5đ a, Do ID; DJ là trung trực AB 1,5đ (8) Bài 4: (5đ) AI AD AI AJ AIJ AD AJ cân A I1 D1 ALI ALD(c.c.c) D J AKD AKI (c.c.c) DAlà tia phân giác cua LDK I1 J1 AIJcân theo câu a D1 D2 b, c, CM IAJ 2 BAC (không đổi) AIJ cân A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ 1,5đ 1,5đ cạnh bên AI nhỏ Ta có AI=AD AH (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức và D H Vậy D là chân đường vuông góc hạ tự A xuống BC thì IJ nhỏ Bài 7: a, M 1 M 1 ( 1 1 2 1002 0,5đ 1 1 ) 2 100 1 1 2 1 3 1 4 1 100 99 100 1đ Ta có : Cộng vế ta có: 1 1 1 1 1 2 100 2 3 99 100 99 1 100 100 0.5đ b, Nếu n là số lẻ thì S (a a ) (a a ) (a n a n ) a n S a (1 a ) a (1 a ) a n (1 a ) a n Nếu n là số chẵn thì: 1đ S (a a ) (a a ) (a n a n ) S a(1 a) a (1 a) a n (1 a ) S chia hết cho (1+a) Vậy n là số tự nhiên chẵn thì S chia hết cho (a+1) c, Ta có: a b (a c) (c b) a c c b 5 1đ 2đ (9) (10)