Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 CÔNG THỨC LOGARITH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng 3) Các công thức logarith (tiếp theo) Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5) Chứng minh: ( Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b ) m = a m.loga b Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm log 27 = log 33 = 3log 3; log 36 = log 62 = 2log Ví dụ 1: [ĐVH] log 32 = log ( 32 ) = log 32 = 4 Ví dụ 2: [ĐVH] −4 62.45 1 Ta có 2log − log 400 + 3log 45 = log 62 − log 400 + log 45 = log = log 81 = log = −4 3 3 3 20 3 3 50 Ví dụ 3: [ĐVH] log − log 12 + log 50 = log − log 12 + log 50 = log = log 25 = 2 3 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị log a x với a 3b c a) x = a bc b) x = ab3 a 3bc bc3 Công thức 6: log a n b = Chứng minh: ( ) Đặt log a n b = y ⇒ a n y log a b , (6) n = b ⇔ a ny = b Lấy logarith số a hai vế ta : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = hay log a n b = log a b n log a b ⇒ dpcm n log 16 = 2.4 = 22 Ví dụ 1: [ĐVH] log 64 = log 64 = log 64 = 5.6 = 30 25 m Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m = log a b n Ví dụ 2: [ĐVH] log 125 = log ( 53 ) = log 5 = ; log 53 log 16 = log 16 = ( 32 ) = log( ) ( ) 11 2 = 11 log 2= 11 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (2) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 3: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức A = log 3 27 = log 3 (3 ) 27 log = log − 3 log 33 52 3 Facebook: LyHung95 27 log 3 27 + log 9 1 log + log 81 3 Hướng dẫn giải: =2 13 13 26 = log 3 = −2 = − 5 − = log 3−4 = −4.2 log 3 = −8 →A= 81 32 27 log 3 27 + log 1 log + log 81 3 log c b Công thức 7: (Công thức đổi số) log a b = , (7) log c a Chứng minh: ( 26 = = −8 + 2− ) Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b = log c b ⇒ dpcm log c a Nhận xét : + Để cho dễ nhớ thì đôi (7) còn gọi là công thức “chồng” số viết theo dạng dễ nhận biết sau log a b = log a c.log c b log b b + Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b = = log b a log b a Ví dụ 1: [ĐVH] Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: a) Cho log 14 = a → A = log 49 = ? b) Cho log15 = a → B = log 25 15 = ? Hướng dẫn giải: a) Ta có log 14 = a ⇔ a = log ( 2.7 ) = + log ⇒ log = a − Khi đó A = log 49 = 2log = ( a − 1) 1− a log = − = 1 a a b) Ta có log15 = a ⇔ a = = → a log 15 + log log = 1− a 1 log 15 1 B = log 25 15 = = a = a = →B = log 25 2log − a (1 − a ) (1 − a ) a Ví dụ 2: [ĐVH] Cho log a b = Tính a) A = log b a b a b) B = log ab b a Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có log a b = ⇒ log b a = a) A = log b a b = log a b a b − log b a a= 1 − = b b log log b log a a a b b − log a b − log a b − log Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! a a = (3) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG = Facebook: LyHung95 1 1 −1 −1 − = − = →A= − 2log b a log a b − − −2 3−2 −2 b log a b log a b − b −1 a Cách khác: Ta có A = log b = log = = = log b = b b a log log a b − a 3−2 a a2 a a a a b 1 1 b) B = log ab − = − = log ab b − log ab a = a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log b a b 1 1 −1 −1 − = − = →B = 1 + log a b 1 1+ 3 + + log b a + + 2 b2 log a b b b a = 2log a b − = − Cách khác: Ta có B = log ab = log = log ab = ( ab ) a a log a ab + log a b a 1+ Ví dụ 3: [ĐVH] Tính giá trị các biểu thức sau : log + log 5 14 − 12 log9 log125 log 1+ log + 25 a) 81 b) 16 +4 49 log − log − log c) 72 49 d) 36log + 101− lg − 3log9 36 +5 Hướng dẫn giải: 1 1 3log5 − log9 4 − log 2log 23 3 log a) 814 + 25log125 49log7 = ( 3) + 53 72log7 = 31− log3 + 7 = + = 19 = log2 3+3log5 b) 161+log4 + = 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 = 16.25 + 3.26 = 592 log7 9− log7 1 − log c) 72 49 + 5 = 72 log7 9− log7 + 5−2 log5 = 72 + = 18 + 4,5=22,5 36 16 log6 log9 36 log6 25 1−lg2 log5 d) 36 +10 −3 = +10 = 25+ = 30 Ví dụ 4: [ĐVH] Tính giá trị các biểu thức sau : a) A = log 15 + log 18 − log 10 b) B = 2log − log 400 + 3log 45 3 ( c) C = log 36 − log ) d) D = log ( log 4.log 3) Hướng dẫn giải: 15.18 a) A = log 15 + log 18 − log 10 = log = log 33 = log 33 = 10 2 36.45 b) B = 2log − log 400 + 3log 45 = log = log = − log 3 = −4 20 3 3 1 1 c) C = log 36 − log = log + log = log 2.3 = 2 2 1 d) D = log ( log 4.log 3) = − log ( log 3.log ) = − log ( log ) = − log 2 = − 2 Ví dụ 5: [ĐVH] Hãy tính : 1 1 a) A = + + + + log x log x log x log 2011 x b) Chứng minh : log a b + log a x + log ax ( bx ) = + log a x ( x = 2011!) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! = (4) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG + Facebook: LyHung95 k ( k + 1) 1 + + + = log a x log a2 x log ak x log a x Hướng dẫn giải: a) A = 1 1 + + + + = log x + log x + + log x 2011 = log x 1.2.3 2011 = log x 2011! log x log x log x log 2011 x Nếu x = 2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = log a b + log a x + log a x log a bx log a b + log a x Ta có log ax bx = = ⇒ đpcm log a ax + log a x b) Chứng minh : log ax ( bx ) = Chứng minh : k ( k + 1) 1 + + + = log a x log a2 x log ak x log a x VT = log x a + log x a + log x a k = (1 + + + + k ) log x a = k (1 + k ) 2log a x = VP Ví dụ 6: [ĐVH] Chứng minh : a) Nếu : a + b = c ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ , thì log c + b a + log c −b a = log c + b a.log c −b a b) Nếu 0<N ≠ thì điều kiện có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là : log a N log a N − log b N = ( a, b, c ≠ 1) log c N log b N − log c N 2log a x.log c z c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì log b y = log a x + log c z a + b ln a + ln b d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : a + b = 7ab Chứng minh : ln = Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết a = c − b = ( c − b )( c + b ) ⇒ = log a ( c − b ) + log a ( c + b ) ⇔2= 1 + ⇔ 2log c −b a.log c + b a = log c + b a + log c −b a log c − b a log c + b a b) Nếu số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b = ac 1 1 Lấy logarith số N hai vế ta 2log N b = log N a + log N c ⇔ − = − log b N log a N log c N log b N log a N − log b N log b N − log c N log a N log a N − log b N ( đpcm ) ⇔ = ⇔ = log a N log b N log c N log b N log c N log b N − log c N c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a + log z c = 2log y b ⇔ 2log a x.log c z 1 + = ⇔ log b y = log a x log c z log b y log a x + log c z d) Nếu : a + b = ab ⇒ ( a + b ) 2 a + b ln a + ln b a+b = 9ab ⇔ = = ab ⇒ ln 2 Ví dụ 7: [ĐVH] Tính a A = log 16 Biết : log12 27 = x b B = log125 30 Biết : lg = a;lg = b c C = log 135 Biết: log = a;log = b d D = log 35 Biết : log 27 = a;log = b;log = c e Tính : log 49 32 Biết : log 14 = a Hướng dẫn giải: log 27 3 3− x 3− x a) A = log 16 Từ : log12 27 = x ⇔ (*) = = x ⇒ log = − = ⇔ log = log 12 + log x x 2x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (5) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Do đó : A = log 16 = Facebook: LyHung95 ( − x ) x 12 − x log 24 4log = Thay từ (*) vào ta có : A= = log + log x ( x + 3) x+3 log a a + 3b +3= +3= log b b 1 d) Ta có : a = log 27 = log ⇒ log = 3a; b = log = log → log = 3b (*) 3 log 5.7 log + log log 3.log + log b.3a + 3b 3b ( a + 1) Suy : D = log 35 = = = = = log 2.3 + log + log 1+ b b +1 e) Ta có : log 14 = a ⇔ + log = a ⇒ log = a − c) Từ : C = log 135 = log 5.33 = log + = Vậy : log 49 32 = log 25 5 = = log 2log ( a − 1) Ví dụ 8: [ĐVH] Rút gọn các biểu thức a) A = ( log a b + log b a + )( log a b − log ab b ) log b a − 1 b) B = log 2 x + ( log x ) x log x ( log2 x +1) + log 22 x c) C = log a p + log p a + ( log a p − log ap p ) log a p Hướng dẫn giải: log a b + a) A = ( log a b + log b a + )( log a b − log ab b ) log b a − = (1 − log ab a ) − = log a b 2 log a b + log a b + log a b + log a b log a a 1 − −1 = 1 − −1 = −1 log a b log a ab log a b + log a b log a b + log a b log a b + 1 = −1 = = log b a log a b log a b 1 b) B = log 2 x + ( log x ) x log x ( log x +1) + log 22 x = + 2log x + ( log x )( log x + 1) + ( 4log x ) = 2 2 = + 3log x + ( log x ) + ( log x ) = ( log x ) + 3log x + c) C = log a p + log p a + ( log a p − log ap p ) log a p = = ( log a p + 1) log a p log a2 p log a p = + log a p ( log a p ) ( log a p + 1) a log p log a p log a p − log a p = + log a p Ví dụ 9: [ĐVH] Chứng minh a) log ( a − 3b ) − log = ( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a + 9b = 10ab b) Cho a, b, c đôi khác và khác 1, ta có : b c +) log 2a = log a2 c b +) log a b.log b c.log c a = c a b +) Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c luôn có ít số lớn b c a b c a Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab 2 Ta lấy log vế : 2log ( a − 3b ) = 2log + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log = b) Chứng minh : log 2a ( log a + log b ) b c = log a2 c b Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (6) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG −1 b c b c = log a = − log a ⇒ log a2 = − log a c b b c * log a b.log b c.log c a = ⇔ log a b.log b a = log a a = * Thật : log a Facebook: LyHung95 c c = log a b b c a b b c a * Từ kết trên ta có log log 2b log 2c = log a log b log c = b c c a a c a a b bc Chứng tỏ số luôn có ít số lớn a b Ví dụ 10: [ĐVH] Tính giá trị các biểu thức sau: a) log 3.log 36 = b) log 8.log 81 = log 25 = Ví dụ 11: [ĐVH] Cho log a b = Tính a a) A = log a b b3 c) log b) B = log b ab a Ví dụ 12: [ĐVH] Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: 49 a) Cho log 25 = a; log = b → P = log =? b b) Cho log ab a = → Q = log ab =? a Công thức 8: a logb c = c logb a , (8) Chứng minh: ( Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c Ví dụ 1: [ĐVH] 49log7 = 2log7 49 = 22 = 4; ( 2) log 27 = 27 log ) logb a = c logb a ⇒ dpcm = 27 = 3 Ví dụ 2: [ĐVH] Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 36log6 + log3 − 3log9 36 = 32 − log3 2.4 = 27 log3 c) C = 81log3 + 27 log9 36 + 34log9 = log b) B = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (7)