Đang tải... (xem toàn văn)
- Tìm được tọa độ của D là 2 Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M, song song với đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu S.. Hãy tính giá trị của biểu..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 123 Ngày tháng năm 2014 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x m 4m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m 1 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cho đường thẳng qua điểm cực trị cắt 2 đường tròn (x- 2) + (y- 1) = điểm A,B phân biệt thỏa mãn AB = Câu II (2 điểm) t anx 4cos x 2cos x 6 cos x 1) Giải phương trình: ìï x - y = x + y ïí ï x2 + y = 2) Giải hệ phương trình: ïî p I =ò (1 + x).sinx+x.sinx.cosx dx + cos x Câu III (1 điểm) Tính tích phân: Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng CH và SB Câu V (1 điểm) Cho x; y; z là số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x3 + y + z (x+ y+ z)3 PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm AB, phương trình MD là x - y +1 = và điểm C (1; - 1) Tìm tọa độ điểm D x2 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : y 1 z và điểm M(1; 1; 2) Mặt cầu (S) có 2 phương trình : x + y + z + x + y - z = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu VII.a (1 điểm) Cho z1 ; z2 là hai nghiệm phức phương trình z + z + = Hãy tính giá trị biểu P = (z1 +1 + 3) 2014 + (z +1 + 3)2014 thức Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc elip biết elip có hai đỉnh thuộc trục Oy và hai tiêu điểm tạo thành hình vuông có chu vi 2 2 2) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z 0 , và mặt phẳng (P) : x + y- z+ = Chứng minh mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến là đường tròn, hãy xác định tâm và bán kính đường tròn đó log3 (2 x y 1) log ( x y 1) 0 Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình x x y ln( y 1) 0 …………………………Hết………………………… (2) Họ và tên thí sinh : …………………………………… Số báo danh : ……………….……………… (3) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ 123 Câu ý Nội dung Điểm 2 1) Khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y x 3mx 3( m 1) x m 4m - Khi m = ta hàm số y x x Câu I - TXĐ : R x 0 y ' 3 x x 0 x 2 1,0 0,25 Hàm số đông biến trên khoảng ( ;0);(2; ) Hàm số ngịch biến trên khoảng (0; 2) Cực trị : Hàm số đạt CĐ x1 0; yCD 2 , hàm số đạt CT x2 2; yCT lim ( x x 2) ; lim ( x3 x 2) ; x x Giới hạn : Đồ thị hàm số không có tiệm cận BBT : x y’ + 0 + 0,25 0,25 y - - Đồ thị 0,25 -5 -2 -4 2) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực trị cắt đường tròn A,B có AB = 2 (1) - y ' 3x 6mx 3(m 1) - Hàm số có CĐ, CT y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ' 9 luôn đúng với m y ' = có hai nghiệm x1,2 = m ±1 Thay x1,2 vào hàm số ta có tọa độ điểm cực trị là : M(m 1; m 3); N ( m 1; m 1) 1,0 0,25 0,25 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là D :2 x + y - 3m +1 = 0,25 I H A B - Đường tròn có tâm I (2;1); R = Kẻ IH vuông góc với AB thì H là trung điểm AB - Þ HA = Þ IH = IA2 - HA2 = Þ d (I; D ) = IH = (4) - 3m 11 11 hoac m = m = hoac m = 3 Vậy 3 t anx 4cos x 2cos x 6 cos x 1) Giải PT : d (I; D ) = Câu II - Điều kiện : = Û m= cos x ¹ Û x ¹ sinx 4cos x 2cos x( cos2 x sin x) 2 PT - sinx 4cos x cos xcos2 x cos x sin x 0,25 (sinx cos x sin x) (4cos x 2) cos x.cos x sinx(1 2cos x) 2(2cos x 1) cos x.cos x cos2 x( cos x sinx 2) 0 k cos2 x 0 x (t/ m) (1) sinx cos x 2 - - (1) sin( x ) 1 x k 2 (t/ m) k x ; x k , k Vậy phương trình có nghiệm là : éy = ê x y + xy + y = Û êx = - y ê êx = - y ë ìï x = x ïí Û x = ±2 ïï x = y = Þ nghiệm (x; y) = (±2;0) TH1 : thay vào hệ ta î ìï x = x ïí Û x = ±1 ïï x = x = y Û y = x TH2 : thay vào hệ ta : î Hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 1); (- 1;1) - - p Tính tích phân : p - I =ò p - I =ò (x; y) = ( ; - ); ( - ; ) 7 (1 + x ).sinx+x.sinx.cosx dx + cos x 1,0 0,25 s inx dx =1 + cos x p d(1+cosx) ò + cos x 0,25 0,25 0,25 (*) dx =- ln + cos x 0,25 1,0 p s inx dx +ò x.s inxdx + cos x I1 = ò 0,25 TH3 : x = - y thay vào hệ ta có nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm Câu III 0,25 0,25 ìï x3 - y = x + y (1) ïí 2 ï x +3y = (2) 2) Giải hệ phương trình : ïî 3 - Phương trình (1) Û 2(x - y ) = 4(2 x + y) 2 - Từ phương trình (2) thay = x + y vào phương trình trên và rút gọn ta được: 1,0 p +kp - - 0,25 p 0,25 = ln (1) (5) p Câu IV I = ò x.s inxdx sử dụng tích phân phần Þ I = Thay (1) và (2) vào (*) ta có I = + ln Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách CH và SB (2) 0,25 0,25 S 1,0 K A D H E I B C HS cần vẽ hình chóp và SH (Nếu vẽ sai hai yếu tố này, không chấm điểm - Có H là trung điểm AB, vì tam giác SAB nên SH AB - Mà (SAB) (ABCD) SH ( ABCD) a SH = 2 Diện tích hình vuông S ABCD = a Tam giác SAB cạnh a nên 1 a a3 V SH S ABCD a 3 - Trong mp(ABCD) kẻ đường thẳng D qua B và song song với CH - Kẻ HI ^ D , nối S với I và kẻ HK ^ SI - Ta có CH / /(SBI) Þ d(CH;SB) = d(CH;(SBI)) = d(H;(SBI)) Chứng minh HK ^ (SBI) Þ d(CH;SB) = d(H;(SBI)) = HK Kẻ BE ^ HC ta có HIBE là hình bình hành nên HK = Câu V - Tam giác SHI vuông H nên HI = BE = SH HI SH + HI = 0,25 0,25 0,25 BH BC a = HC a 57 19 0,25 a 57 Vậy khoảng cách HC và SB là 19 x3 + y + z P= (x+ y+ z)3 Tìm giá trị nhỏ : 1,00 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, ta chứng minh : 4(x + y3 ) ³ (x + y)3 dấu xảy x = y 0,25 (x + y)3 +16 z (x + y+ z)3 , đặt a = x + y + z > Áp dụng ta (a- z)3 +16 z z z z 4P ³ Û P ³ (1 - )3 +16( )3 t = Þ t Î (0;1) a a Đặt a a Ta có 3 P ³ (1 t) + 16 t t Î (0;1) Ta có với 4P ³ - 3 Xét hàm số f(t) = (1 - t) +16t trên khoảng (0;1) - f '(t) = - 3(1 - t)2 + 48t = Û t = ; t = Có Lập bảng biến thiên hàm số ta GTNN f (t) = (0;1) 0,25 0,25 16 Û t= 25 (6) - Từ đó ta tìm giá trị nhỏ P x = y = z 1) Phương trình MD là x - y +1 = và điểm C (1; - 1) Tìm tọa độ điểm Câu VI.a 0,25 1,0 - Gọi N là trung điểm AD, ta chứng minh CN ^ MD Gọi cạnh hình vuông là a , D CND vuông D nên tính CD 2a CH CN = CD Þ CH = = (1) CN Ta có CH = d (C; MD) = 2.1 - 1.(- 1) +1 22 + (- 1)2 = 0,25 CN = a 0,25 (2) - Mà - Từ (1);(2) ta có cạnh hình vuông a = hay CD = Vì phương trình MD là x - y +1 = nên gọi tọa độ D là D(t; t +1) - ét = - ê Þ CD = (t- 1) + (2 t + 2) = Û ê - êt = ê ë 0,25 D(- 1; - 1); hoac D( - ; ) 5 - Tìm tọa độ D là 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Gọi pt mp(P) là ax + by + cz + d = với a; b; c không đồng thời (1) - Vì M thuộc mp(P) nên a - b + 2c + d = r r - Mặt phẳng (P) có VTPT n(a; b;c) , có VTCP u (2;1; - 1) rr D / /(P) Þ u n = Û 2a + b - c = (2) - Mặt cầu (S) có tâm I (- 1; - 1;1); R = Û d (I;(P)) = R Û - Câu VII a - a - b +c +d = (3) - Với a = 5b Þ c = 11b; d = - 26b , chọn b = Þ a = 5; c = 11; d = - 26 Phương trình mặt phẳng (P) là x + y +11z - 26 = - Vậy phương trình mp (P) là - x + y - z + = x + y +11z - 26 = Cho z1 ; z2 là hai nghiệm phức phương trình z + z + = Hãy tính giá trị biểu P = (z1 +1 + 3) 2014 + (z +1 + 3) 2014 1,0 0,25 a + b2 + c Mp(P) tiếp xúc với (S) ìïï c = 2a + b éa = - b a - 4ab - 5b = Û ê í ê ï ëa = 5b Từ (1);(2) ta có ïî d = - 5a - b thay vào (3) ta Với a = - b Þ c = - b; d = 4b , chọn b = Û a = - 1; c = - 1; d = Phương trình mặt phẳng (P) là - x + y - z + = thức 0,25 0,25 0,25 0,25 (7) - z + z + = Û z1,2 = - ± 3i Giải phương trình 2014 2014 Ta có P = (- + 3i +1 + 3) + (- - 3i +1 + 3) - Û P = ( 3i + 3) 2014 + (- - Û P = 31007 [((1 + i) )1007 + ((1 - i) )1007 ] - Û P = 31007 [(2i)1007 + (- 2i)1007 ] = - Câu VI.b 0,25 0,25 3i + 3) 2014 = ( 3) 2014 [(1 + i) 2014 + (1 - i) 2014 ] 0,25 P = (z1 +1 + 3) 2014 + (z +1 + 3) 2014 = - Vậy Viết phương trình elip x2 y2 + =1 b Gọi phương trình elip là a ( a; b > ) - Hai tiêu điểm và hai đỉnh thuộc trục Oy tạo thành hình vuông nên 2b = 2c Û b = c - Chu vi hình vuông nên cạnh hình vuông 2 Þ Giải phương trình ta b = c = Þ a = 2 - - 1,0 0,25 b2 + c2 = 2 0,25 x y + =1 Phương trình elip là : Tìm tâm và bán kính đường tròn giao tuyến Mặt cầu (S) có tâm I (1; - 2;3); R = 0,25 1,0 2.1 +1.(- 2) - 2.3 + 2 +1 + (- 2) =1 < R 0,25 - Khoảng cách từ I tới mp(P) là - Vậy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Kẻ IH ^ (P) thì H là tâm đường tròn ìï x = + 2t ïï (1) í y = - +t ïï ï z = - 2t Và IH ^ (P) nên IH có phương trình là ïî Câu VII b - - 0,5 - t = Þ H( ; ; ) 3 3 Thay x; y; z từ ( * ) vào phương trình mp (P) ta 2 Bán kính đường tròn là r = R - IH = 15 - ( ; ; ) Vậy tâm đường tròn là 3 và bán kính r = 15 log3 (2 x y 1) log ( x y 1) 0 Giải hệ phương trình x x y ln( y 1) 0 ĐK : x y 0; x y 0; y (1) log (2 x y 1) log 3( x y 1) 0 log - 0,25 d= - 0,25 0,25 (1) (2) x y 1 x y 1 0 1 x y x y 1 x y 1 1,0 0,25 0,25 Thay vào PT (2) ta x 3 x ln( x 1) 0 Xét hàm số f (x) x 3 x ln( x 1) 0 x 1 Có nên hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; ) Mặt khác f (0) 0 nên PT có nghiệm x 0 y 0 Kiểm tra điều kiện thấy nghiệm thỏa mãn đk Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (0;0) f '( x ) 3x Học sinh làm cách khác, giáo viên chấm vào bài làm, điểm phù hợp 0,25 0,25 (8)