SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG ĐỀ THI HS GIỎI ĐBSCL MÔN TOÁN (ĐỀ NGHỊ) BÀI 1 (số học ) Cho ,a b Z . Chứng minh rằng : Nếu 24a 2 + 1 = b 2 thì một và chỉ một trong các số a và b chia hết cho 5. BÀI 2 (Đại số) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : f(x) = 20x 144 – 1.x 120 + 2006, xIR. BÀI 3 (Hình học phẳng) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho 1 1 1 AM AN l  (không đổi). Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố đònh. BÀI 4 (Hình học không gian) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC nhọn. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm S di động, gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC và SC, đường thẳng l đi qua K và H cắt đường thẳng d tại N. Đònh điểm S trên d sao cho đoạn SN ngắn nhất. BÀI 5 (dãy số) Cho dãy   * n nN u  và (1). (3) . (2 1) , 1;2;3; . (2). (4) . (2 ) n f f f n un f f f n   Trong đó : f(n) = (n 2 + n + 1) 2 + 1 Chứng minh rằng : 2 lim 2 n n nu   ĐÁP ÁN Bài 1 :  Nếu 5 5 a b      , khi đó từ đẳng thức : 24a 2 + 1 = b 2  1 = b 2 - 24a 2 chia hết cho 5 => 1 chia hết cho 5, vô lý.  Nếu 5 ( ,5) 1 5 ( ,5) 1 aa bb           Khi đó : a 4  1 (mod 5) (Đònh lý Fermat) b 4  1 (mod 5) => a 4 - b 4  0 (mod 5) 22 22 0(mod5) 0(mod5) ab ab       - Xét a 2 + b 2  0 (mod 5) Từ đẳng thức 2 2 2 2 2 2 24a + 1 = b 25a + 1 = (a + b ) 5 (25a + 1) 5ÛÞ vô lý. - Xét a 2 - b 2  0 (mod 5) Từ đẳng thức 2 2 2 2 2 2 24a + 1 = b 23a + 1 = (b - a ) 5 (23a + 1) 5ÛÞ 2 23a + 1 0(mod5) , vô lý. (Vì do (a,5)=1 => a  ± 1 ; ± 2 (mod 5))  a 2  1 ; 4 (mod 5) => 23a 2 + 1  3 hoặc 4 (mod 5) Vậy Nếu a,b  Z thỏa đẳng thức 24a 2 + 1 = b 2 thì một và chỉ một trong các số a và b sẽ chia hết cho 5. BÀI 2 f(x) = 20x 144 – 1.x 120 + 2006 144 144 144 120 5 6 5 6 4 6 1 1 1 = 2.x + 2.x + .+2.x + + 2006 2 .12 2 .12 2 .12 x- + - 10 số hạng 12 số hạng 10 10.144 120 12 10 12 4 6 120 120 4 6 4 6 11 ( ) 12 2 . . 2006 2 .12 2 .12 11 ( ) 2006 2006 2 .12 2 .12 f x x x f x x x                 (Cosi) 144 4 6 5 6 144 6 24 11 ( ) 2006 2. 2 .12 2 .12 11 () 24 24 f x x x x do x R            BÀI 3 : Kẻ đường phân giác trong của BÂC là At. Do A,B,C cố đònh => At cố đònh. Gọi I là giao điểm của At với MN. Ta có : S AMN = S AMI + S ANI 1 1 1 . .sin . . sin 2 2 2 2 2 AA AM AN A AM AIsin AN AI   1 1 1 1 2 cos . 2 A AI AM AN l        (không đổi) 2 cos 2 A AI l (không đổi) => I cố đònh và I  MN Vậy đường thẳng MN qua 1 điểûm cố đònh I. BÀI 4 : Trong SCN có AC là đường cao thứ nhất. Mặt khác ta có : () SC BK SC BHK SC BH       SC KH NH   là đường cao thứ hai => K là trực tâm của SCN. Ta có ANK . .D D Þ = Û = AN AK ACS AS AN AK AC AC AS (không đổi) Vì 2 . 2 .SN SA AN SA AN AK AC    (không đổi) min 2. . SN AK AC SA AN AK AC     Vậy điểm S nằm trên d (cố đònh) cách A (cố đònh) bằng : .SA AK AC BÀI 5 : Ta có :        22 2 2 2 2 2 2 22 ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 1 1 1 2 2 f n n n nn n n n n n n n                     Khi đó : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 4 4 2 4 1 2 1 1 (2 1) (2 ) 4 4 2 4 1 2 1 1 - + + -+ - == + + + ++ i i i i fi fi i i i i (1). (3) . (2 1) (2). (4) . (2 ) n f f f n u f f f n                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 5 1 . 2 1 1 2 2 1 1 3 1 5 1 7 1 . 2 1 1 1 2 2 1 n n n u n n u nn                     2 22 12 lim lim lim 2 2 1 2 2 1 2 n n n n n n u n n n n n            ----------------------- . 2 .12 2 .12 2 .12 x- + - 10 số hạng 12 số hạng 10 10 .14 4 12 0 12 10 12 4 6 12 0 12 0 4 6 4 6 11 ( ) 12 2 . . 2006 2 .12 2 .12 11 ( ) 2006 2006 2 .12 2 .12 . 2 1 1 3 1 5 1 . 2 1 1 2 2 1 1 3 1 5 1 7 1 . 2 1 1 1 2 2 1 n n n u n n u nn                     2 22 12 lim lim lim 2 2 1