SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL - 2006 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 180’ Câu 1 (4đ) Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện : 4 4 4 4 2 1a b c d e     Chứng minh rằng : 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 55 4 a b c d e b c d e c d e a d e a b e a b c a b c d                     Câu 2 (4đ) Giải phương trình sau : xxx cos3cos4sin 33  Câu 3 (4đ) Cho dãy số (a n ) , n= 1,2,3…. được xác đònh bởi 2 11 0, n n n a a ca a     với n = 1,2,3 … Còn c là hằng số dương. Chứng minh rằng : 11 1 n n n n a c n a   4 Câu 4 (4đ) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác không vuông ABC . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 0tgA tgB OC tgB tgC OA tgC tgA OB          Câu 5 (4đ) Các cạnh AC,ADvàBC,BD của tứ diện ABCD tiếp xúc với mặt càu S tâm I nằm trên cạnh AB bán kính R. còn các cạnh CA,CBvà DA,DB tiếp xúc với mặt cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r. Chứng minh rằng : 4 2 2 4 2 2 ( 4 ) ( 4 )AB CD r CD AB R   Hết ĐÁP ÁN MÔN TOÁN-ĐBSCL-2006 Câu 1 (4đ) Ta có 4 55 4 44 34 4 4 4 4 5 5 1 4 (1 ) 5 5 5 5 55 (1 ) 4 a a a a aa aa a           (2đ) Tương tự : 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 , , , (1 ) 4 (1 ) 4 (1 ) 4 (1 ) 4 b b c c d d e e b c d e         (1đ) Từ đó ta có BĐT được chứng minh (1đ) Câu 2 (4đ) Vì sinx=0 không là nghiệm của PT nên ta chia 2 vế của PT cho x 2 sin ta được : f(t) = )cot(013 2 gxttt  (1) (1đ) Vì f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0 , f( -2 ) = -1 < 0 , f( -1 ) = 3 >0 suy ra (1) có ba nghiệm thuộc khoảng ( -2;2 ) (1đ ) Đặt : 3 2 9 2 2 1 3cos01cos6cos8)1(,cos2 3   k t    9 8 cos2, 9 4 cos2, 9 2 cos2 321   ttt (1đ) Từ đây ta tìm được các nghiệm của P T (1đ) Câu 3 (4đ) Ta có 11 2 1 11    n n nn nnn a ca aa caaa (1đ) Thay n = 1,2,3,………n và cộng lại ta được :     n n n n i i n a a cn aa ca aa 1 2 1 1 111 111 (2đ) 1 1 1 2 1 1 1 1   nnn n n n n anca a a cn a n (1đ) Câu 4 (4đ) Vì tam giác ABC không vuông ĐT cần CM 00.2sin0.sin0.sin  CCBBAA (1đ) Đặt vế trái u ta có : 0))22sin(2(sin)2cos2sin2cos2sin2(sin0. 22  BACRABBACRCu (1đ) Tương tự : 00. Bu (1đ) Vì CB 0,0 không cộng tuyến nên 0u và Đ T được CM (1đ) Câu 5 (4đ) Giả sử m/c S(I;R) tiếp xúc với AD,AC,BD,BC lần lượt tại M,N,P,Q . Ta có : BP = BQ , IP = IQ = R IBCIBDIBQIBP  Tương tự ta CM được : BCBDACADABCABDIADIAC  , Tương tự đối với m/c S’(J;r) ta CM được : DA = DB , CA = CB . Suy ra : AC = AD = BC = BD = a => I là trung điểm của AB, J là trung điểm CD Đặt AB = 2m ,CD = 2n ta có : (2đ) 2222 )(2)( ma a m RmammDIaRDIASDABS  Tương tự : 22 na a n r  (1đ) '2 4 2 4 2 22 22222 4 4 )1(4)(44 a CD a n a na nrnrCD    Tương tự ta CM được : 2 2 2 2 22 4 4 4 a AB a m RAB  (1đ) Suy ra )4()4( 224224 RABCDrCDAB  . SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL - 2006 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 180’ Câu 1 (4đ) Cho a,b,c,d là. cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r. Chứng minh rằng : 4 2 2 4 2 2 ( 4 ) ( 4 )AB CD r CD AB R   Hết ĐÁP ÁN MÔN TOÁN-ĐBSCL-2006 Câu 1 (4đ) Ta có