Đang tải... (xem toàn văn)
Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD để CI = 2BI , tam giác ACB có diện tích bằng 12, điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu t[r]
(1)Đề luyện thi số – năm học 2014 - 2015 ĐỀ LUYỆN THI SỐ Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x − (1) x −1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến d (C), biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy A, B cho AB = 82.OB Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: cos x (2 sin2 x + s inx + 1) = cos x + sinx + Câu 3: (1.0 điểm) Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có mang số chia hết cho 10 Câu 4: (1,0 điểm) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn: C n0 + 2C n1 + 4C n2 + + 2nC nn = 243 = 300 , hình chiếu vuông Câu 5: (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ACB góc A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC và góc AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối đa diện BCC’B’A’ và khoảng cách hai đường thẳng B’C’ và A’C Câu 6: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD biết B(3; 3),C (5; −3) Giao điểm I hai đường chéo nằm trên đường thẳng ∆ : 2x + y − = Xác định tọa độ các đỉnh còn lại hình thang ABCD để CI = 2BI , tam giác ACB có diện tích 12, điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm Câu 7: (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 1 ≥ x +1 −1 − x + x +2 x + xy − y = Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau x + y3 x + − x + y2 = 2 x + xy + y ( ) ( Câu 9: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = P= + 3 a + 3b b + 3c ============================================= Tìm giá trị nhỏ biểu thức: + ) c + 3a Đáp số: 25 13 và y = − x + ; 9 π ±π −π Câu 2: x = + k π; x = + k 2π; x = π + k 2π; x = + k 2π ; 99 Câu 3: P (A) = ; Câu 4: n = 5; 667 Câu 1.b: y = − x + Câu 5: V = 2a 51 a ;d = ; 17 Câu 7: (−2; − 1) ; Câu 6: A(−1; 3) , D(−3; −3) ; ( ) Câu 8: 1;1 ; ~1~ Câu 9: MinP = ⇔ a = b = c = (2) Đề luyện thi số – năm học 2014 - 2015 Hướng dẫn Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x − (1) x −1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến d (C), biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy A, B cho AB = 82.OB OA2 + OB = AB Ta có ⇒ OA = 9OB AB = 82.OB ⇒ Hệ số góc tiếp tuyến tính k = ± OB =± OA Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm tiếp tuyến (d ) và (C) ⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: f / (x ) = k hay: −1 = (VN) x = ⇒ y = (x − 1)2 ⇔ (x − 1)2 = ⇔ −1 =− x = −2 ⇒ y = (x − 1)2 7 1 25 Với k = − và tiếp điểm 4; , ta có pt tiếp tuyến : y = − (x − 4) + hay y = − x + 9 9 Với k = − và tiếp điểm −2; 13 , ta có pt tiếp tuyến: y = − (x + 2) + hay y = − x + 9 3 Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: cos x (2 sin2 x + s inx + 1) = cos x + sinx + PT ⇔ cos x (sin2 x − cos2 x ) − sin 2x + cos x = s inx + ⇔ cos x (sin x − cos x )(sin x + cos x ) − (sin x − cos x )2 + cos x − s inx=0 ⇔ (s inx − cos x ).(2 cos2 x + sin x cos x − s inx+ cos x − 1) = s inx − cos x = 0(1) ⇔ 2 cos x + sin x cos x − s inx+ cos x − = 0(2) π π (1) ⇔ sin(x − ) = ⇔ x = + k π, k ∈ Z 4 x = ±π + k 2π (2) ⇔ cos2 x + cos x − + s inx(2 cos x − 1) = cos x = ⇔ x = π + k 2π ⇔ (2 cos x − 1)(cos x + 1) + s inx(2 cos x − 1) = ⇔ sin(x + π ) = −1 2 cos x − = −π + k 2π x = ⇔ cos x + s inx=-1 Câu 3: (1,0 điểm) Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có mang số chia hết cho 10 Gọi A là biến cố lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có thẻ mang số chia hết cho 10 10 Chọn 10 thẻ 30 thẻ có: C 30 cách chọn Ta phải chọn : thẻ mang số lẻ 15 mang số lẻ ~2~ (3) Đề luyện thi số – năm học 2014 - 2015 thẻ mang số chia hết cho 10 thẻ mang số chia hết cho 10 thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 12 Theo quy tắc nhân, số cách chọn thuận lợi để xảy biến cố A là:C 155 C 124 C 31 Xác suất cần tìm là P (A) = C 155 C 124 C 31 C 10 30 = 99 667 Câu 4: (1,0 điểm) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn: C n0 + 2C n1 + 4C n2 + + 2nC nn = 243 n=5 = 300 , hình chiếu Câu 5: (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ACB vuông góc A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC và góc AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối đa diện BCC’B’A’ và khoảng cách hai đường thẳng B’C’ và A’C A' C' B' ' Từ AG ⊥ (ABC ) ⇒ AG là hình chiếu AA' lên (ABC ) Gọi M là trung điểm BC Từ giả thiết ta có: 2a BC = 2a, AG = AI = ; A ' AG = 600 3 N ⇒ A ' G = AG t an600 = A H C G I B Đặt AC = x > Ta có 2a 3 M AB = AC + BC − 2AC BC cos 300 ⇒ a = x + 4a − 2.x 2a K ⇒ AC = x = a Nên AB + AC = a + 3a = 4a = BC ⇒ ∆ABC vuông A ' ' ' ' ' Vì AG là chiều cao khối lăng trụ ABC AB C và khối chóp A' ABC ⊥ (ABC ) nên AG Thể tích khối đa diện BCC’B’A’ tính bởi: 1 2a 1 VBCC /B /A/ = VABC A/B /C / −VA/ ABC = 1 − S ABC A 'G = AB.AC A 'G = a.a = a (đvtt) 3 3 3 Kẻ AK ⊥ BC K và GI ⊥ BC I ⇒ GI // AK GI MG 1 AB.AC a.a a = = ⇒ GI = AK = = = AK MA 3 BC 2a Kẻ GH ⊥ A’I H (1) BC ⊥ GI ⇒ BC ⊥ GH (2) Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC)⇒ d[G, (A ' BC )] = GH Do BC ⊥ A 'G ' ' ' ' Vì B 'C ' / /BC , BC ⊂ (ABC ) nên B 'C ' / /(ABC ) và AC ⊂ (ABC ) ⇒ ' ' ' ' ⇒ d(BC , AC ) = d[B 'C ',(ABC )] = d[B ', (A ' BC )] Mặt khác ta thấy AB’ cắt mp(A’BC) N là trung điểm AB’ Do đó: d[B ', (A ' BC )] = d[A, (A ' BC )] = 3d[G, (A ' BC )] = 3GH = 3.A ' G GI A 'G + GI 2a a = 6a = 2a 51 17 51 12a 3a + 36 = ~3~ (4) Đề luyện thi số – năm học 2014 - 2015 2a 51 17 Câu 6: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD biết B(3; 3),C (5; −3) Giao điểm I hai đường chéo nằm trên đường thẳng ∆ : 2x + y − = Xác định tọa độ các đỉnh còn lại hình thang ABCD để CI = 2BI , tam giác ACB có diện tích 12, điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm Vì I ∈ ∆ ⇒ I ( t; − 2t ), t > t = CI = 2BI ⇔ 15t + 10t − 25 = ⇔ ⇒ t = ⇒ I (1;1) t = − (ktm ) Phương trình đường thẳng IC : x + y − = ' ' ' Vậy d(BC , AC )= Mà SABC = AC d(B, AC ) = 12 ⇒ AC = 2 a = 11 Vì A ∈ IC ⇒ A(a;2 − a ), a < nên ta có (a − 5) = 36 ⇔ ⇒ a = −1 ⇒ A(−1; 3) a = −1 Phương trình đường thẳng CD : y + = , IB : x − y = x − y = x = −3 Tọa độ điểm D là nghiệm hệ ⇔ ⇒ D(−3; −3) y + = y = −3 Vậy A(−1; 3) , D(−3; −3) Câu 7: (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: x +2 Điều kiện: −2 < x < −1 (*) BPT ⇔ 3( x +2 + −x − + ≥ −1 − x x +1 ) ≥ ( x + 2)2 − ( −x − 1)2 ⇔ ≥ x + −x − 1( x + − −x − ) Đặt a = x + − −x − ⇒ x + −x − = − a2 , ta BPT: a −a3 ≤ ⇔ a − a + ≥ ⇔ (a + 2)(a − 2a + 3) ≥ ⇔ a ≥ −2 x + − −x − ≥ −2 ⇔ x + + ≥ −x − ⇔ x + + x + ≥ −x − ⇔ x + ≥ −(2x + 7)(1) BPT (1) nghiệm đúng với x t/m ( *) KL: BPT có tập nghiệm S = (−2; − 1) x + xy − y = Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau x + y3 x + − x + y2 = 2 x + xy + y ( ~4~ ) ( ) (5) Đề luyện thi số – năm học 2014 - 2015 Câu 9: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = P= + a + 3b + b + 3c Tìm giá trị nhỏ biểu thức c + 3a Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 1 1 1 (x + y + z ) + + ≥ 3 xyz =9⇒ + + ≥ (*) x y z x y z x +y +z xyz Áp dụng (*) ta có P = + + ≥ a + 3b b + 3c c + 3a Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có : ~5~ 3 a + 3b + b + 3c + c + 3a (6) Đề luyện thi số – năm học 2014 - 2015 a + 3b + + 1 = (a + 3b + 2) 3 b + c + + 1 b + 3c 1.1 ≤ = (b + 3c + 2) ( ) 3 c + a + + 1 c + 3a 1.1 ≤ = (c + 3a + 2) ( ) 3 1 3 Suy ra: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ (a + b + c ) + 6 ≤ + 6 = 3 3 a +b +c = Do đó P ≥ Dấu = xảy ⇔ ⇔a =b =c = a + 3b = b + 3c = c + 3a = Vậy P đạt giá trị nhỏ a = b = c = (a + 3b )1.1 ≤ ~6~ (7)