Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC LỜI NĨI ĐẦU: Kính thưa đồng nghiệp bạn đọc: Tôi viết chuyên đề giải PTLG nhằm trao đổi đồng nghiệp để tham khảo Bên cạnh giúp cho em học sinh học xong chương trình THPT tự học để tự ơn luyện vào trường đại học theo nguyện vọng Nếu nói chun đề PTLG phải giới thiệu tất dạng phương trình cách giải thuật tốn dạng.Tuy nhiên trình giảng dạy nghiên cứu cách cho đề đề thi đại học từ năm gần thân rút kinh nghiệm: +Số chuyên đề học sinh phải học nhiều, vấn đề thời gian dành để ơn luyện cho chun đề phải tính đến +Dạy ôn để phù hợp với xu đề Bộ Giáo dục Do tài liệu tơi tích lũy từ nhiều năm, tập biên soạn ngang tầm với đề thi đại học diễn mức độ chênh lệch không đáng kể.Tài liệu viết theo nội dung say đây: A.Ơn lý thuyết:Khơng trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu dài B.Sơ đồ hệ thống cách giải phương trình lượng giác đề thi đại học (Sau giải ví dụ,bạn thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !) C.Ôn tập cách giải phương trình thường gặp nâng cao.Trong phần có ví dụ có lời giải hướng dẫn cách giải.Cuối mục có phần tập hồn tồn tương tự , tơi khơng ghi cách giải Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n biên soạn ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy ưu điểm cách.Số tập tương tự mục nhiều so với nội dung khác D.Phần tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần biên soạn tương ứng với mức độ đề thi đại học từ 2002-2009 Các em học sinh nghiên cứu đáp án đề thi đại học từ 2002-2009 để giải (nếu khơng giải được).(Nếu em học sinh có u cầu giải phần liên hệ theo email: maunguyencong@yahoo.com hoặcsố điện thoại: 0984-003114 E.Nội dung đề thi đại học khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với tập phần D F.Nghiên cứu thêm gợi ý cách giải phương trình lượng giác Tơi hy vọng rằng, đọc kỹ cách giải PTLG với sơ đồ hệ thống em học sinh tự học tốt chuyên đề Chúc tất thành công mong đồng nghiệp em học sinh thông cảm cho thân trình biên soạn tài liệu khơng tránh khỏi sai sót Chào thân ái! ỆN A ƠN LÝ THUYẾT: Ơn :giá trị lượng giác góc đặc biêt, giá trị lượng giác cung góc có liên quan đặc biêt Các công thức bản, công thức lượng giác… Ơn : Phương trình lượng giác cách giải DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC B SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009 PTLG cho trước Áp dụng: (asinu + bcosu) PT cung Còn HSLG PT hai cung Cịn hàm sin cơsin PTcơ Sinf(x)=sing(x) Hoặc cosf(x)=cosg(x) P.T.Tích (ẩn phụ) Cần ý xuất biểu thức: a.sinx +b.cosx với: a,b = 1; 3; PTĐẠI SỐ PTLG PTLG THƯỜNG GẶP C.ƠN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP I Phương trình bậc hai hàm số lương giác: Phương trình dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = , f(x) hàm số lượng giác Và a, b, c hệ số a Cách giải: + Đặ t = f(x) ( f(x) sinx cosx t ) + Giải phương trình at2 + bt + c = chọn t thoả mãn điều kiện + Giải phương trình f(x) = t cos x 6co s x 3cos x Ví dụ 1) Giải phương trình : (1) cos x cos x(2 cos x 1) sin x Ví dụ 2) Giải phương trình : (2) cos x Ví dụ 3) Giải phương trình : 3cosx 3(1 cosx).cot x (3) 6 Ví dụ 4) Giải phương trình : sin x cos x 2cos x (4) Ví dụ 5) Tìm nghiệm khoảng 0; phương trình : DẠY ƠN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC sin x cos x (5) cosx cos x 2sin x Ví dụ 6) Cho phương trình : cos x (2m 1) sin x m (*) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm khoảng ;2 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1) +Đk x m 2 cos 2 x (1) 3(1 cos x cos x cos x 1 cos x 2 cos 2 x cos x Họ x k thỏa ĐK k = 2h Vậy (1) có họ nghiệm là: x x sin x h ;x 2 sin x Ví dụ 3) +ĐK : x (3) 2 sin x x sin k x k k ; h, k Z 2(1 sin x) sin x sin x (loại) k2 x x h Ví dụ 2) + ĐK : cos x x m (2) cos x cos x sin x cos x sin x k2 m cos x cos x cos x cos x cos x cos x 3(1 cos x) x cos x sin x cos x cos x cos x cos x cos x k2 arccos( ) k x 3(1 cos x) (Thỏa ĐK) Ví dụ 4) +Biến đổi: sin x cos x sin x (sin x cos x) (4) cos 2 x 4 cos 2 x 4 (cos x) 3 sin x cos x(sin x cos x) cos x DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC sin x cos 2 x cos x Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC cos x x x cos x k 1 arccos k2 Ví dụ 5) *Giải PT(5): +ĐK : sinx 12 x x m2 m2 12 +Ta có sin x cos x sin x sin x cos x cos x 3(sin x cos x) 4(sin x cos x)(1 sin x cos x) (sin x cos x)(4 sin x cos x 1) (sin x cos x)(2 sin x 1) sin x cos x sin x cos x sin x (5) 7(sin x cos x cos x) cos x sin x (1 sin x) sin x sin x sin x sin x (loại) sin x x 6 x k2 k2 *Chọn nghiệm khoảng 0; x Ví dụ 6) (*) ta hai nghiệm phương trình là: 6 sin x (2m 1) sin x m ; x sin x (2m 1) sin x m f (t ) 2t (2m 1)t m ; t a)Khi m=2: f (t ) 2t 5t t sin x t x x 6 sin x ; t 1;1 t (loại) k2 k2 b)Tìm m để PT (*) có nghiệm khoảng Khi x ;2 t t1 t1 m t1 Vậy ta phải có : t2 t2 t2 ;2 : 0; af (0) 0; af ( 1) S f (0) f ( 1) f ( 1) m m 1; BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nguyễn Cơng Mậu Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC 1) Giải phương trình : 2) Giải phương trình : 4sin 2 x 6sin x 3cos x cos x 2cos x cos x 2sinx 1 sin x 3) Giải phương trình : 5sinx 3(1 sinx).tan x 17 4) Giải phương trình : sin x cos8 x cos 2 x 16 Tìm nghiệm khoảng 0; phương trình : cos x sin x cos x 2sin x 6) Cho phương trình : cos x (2m 1) cos x m (*) sinx a) Giải phương trình m = 3/2 2 b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm khoảng ; II Phương trình bậc theo sin cơsin cung: Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b + Điều kiện phương trình có nghiệm : a2 + b2 c2 + Cách giải : - Chia vế phương trình cho a b ta : asinx c a b2 - b cos x a b2 a a b2 Đặt cos sin( x a b ) sin b sin a b Ví dụ 1: Giải phương trình : cos x c đặt sin a sin x b2 ta có phương trình: cos x cos x cosx sinx Ví dụ 3: Giải phương trình : sin x cos x cos x sin x Ví dụ 4: Giải phương trình : sin x cos x sin x cos x Ví dụ 5: Giải phương trình : 2cos x cos x sinx Ví dụ 6: Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx Ví dụ 7: Giải phương trình : (sin x cos x) sin x (1) Ví dụ 2: Giải phương trình : 8sinx (2) Ví dụ 8: Giải phương trình : (sin x cos x) cos x sin x (3) (4) (5) (6) (7) (8) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: (1) cos x cos x cos x cos x sin x 3 sin x cos x cos x 2 cos x sin x cos x cos x DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC Ví dụ 2: + ĐK : + (2) sin x cos x sin x sin x sin x m x sin x cos x m Z 2(cos x cos x) sin x cos x cos x sin x cos x cos x cos x 2 Ví dụ 3: (3) (2 sin x cos x sin x) cos x cos x sin x(2 cos x 1) (2 cos x 1)(cos x 1) (2 cos x 1)(sin x cos x 1) cos x sin( x ) Ví dụ 4: (4) sin x sin x cos x cos x cos x sin x(3 cos x) (2 cos x 3)(cos x 3) (2 cos x 3)(cos x sin x 3) cos x sin x 3 cos x sin x cos cos x sin sin x sin 10 10 10 cos( x ) cos ; cos ; sin 10 10 2 Ví dụ 5: (5) cos x cos x sin x cos x(cos x 1) (1 sin x) 2(1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) (1 sin x) (1 sin x) 2(1 sin x)(1 cos x) (1 sin x)(2 sin x cos x sin x 1) (1 sin x) 2(sin x cos x) (sin x cos x) sin x (1 sin x)(sin x cos x)(sin x cos x 2) sin x cos x Ví dụ 6: (6) (sin x cos x)(1 sin x cos x) sin x cos x sin x cos x sin x cos x(sin x cos x) sin x cos x cos x sin x cos x(sin x cos x) cos x(2 sin x sin x cos x) cos x cos x(2 sin x) cos x(3 cos x sin x) 2 cos x 1 Ví dụ 7: + Biến đổi : sin x cos x sin 2 x (1 cos x) cos x 4 + (7) cos x sin x cos x sin x 2 2 (sin x cos x) cos x sin x cos x cos 3 Ví dụ 8: (8) sin x cos x sin x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : 1) Giải phương trình : sin 3x cos x sin 3 x cos x sin x cosx sin x 2sin x sin xcosx cos x 2sin x cos x sinx cos x sin x cos x 2sin x cos x cosx sin x cos x sinx cosx sin x cos x 3 sin x 2) Giải phương trình : 8cosx 3) Giải phương trình : 4) Giải phương trình : 5) Giải phương trình : 6) Giải phương trình : 7) Giải phương trình : 8) Giải phương trình : (cos x sin x) sin x cos x III Phương trình đẳng cấp theo sin cơsin cung: 1) Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sin côsin cung: Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = (1) Cách giải 1: (Dng cơng thức hạ bậc đưa PT bậc theo sin v cơsin cng cung) (1) cos x b cos x sin x c d 2 b sin x (c a ) cos x (2d a c) a Cách giải 2: (Đưa PT bậc hai hàm tanx) Xét hai trường hợp : + Nếu x = + Nếu x 2 k ;k Z có nghiệm phương trình hay khơng k ;k Z , chia hai vế phương trình cho cos x ta được: atan x + btanx + c + d(1 + tan2x) = (a + d)tan2x + btanx + c + d = Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x - sin2x = + sin2x Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin2x – 3sinxcosx + cos2x = (1) (2) Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = Ví dụ 4: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = (3) (4) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: (1) cos x sin x sin x cos x sin x 1 cos x sin x cos x cos 2 3 Ví dụ 2: +Xét cosx = sin x nghiệm phương trình (2) Vậy (2) có nghiệm x k DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC +Xét cos x Chia hai vế PT(2) cho cos x thay cos x tan x đặt ăn tan x phụ t = tanx : Ta có : 4t 3t 4(1 t ) 3 t Vậy PT (2) có hai họ nghiệm : x k tan x ; x 6 k ; k k Z sin x (1 cos x) 2 cos x sin x Ví dụ 4: +Xét cosx = sin x nghiệm phương trình (2) Ví dụ 3: (3) 5(1 cos x) Vậy (2) có nghiệm x +Xét cos x k Chia hai vế PT(2) cho cos x thay phụ t = tanx : Ta có : t 3t 3(1 t ) t tan x x cos x tan x đặt ăn arctan k BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải phương trình : 3sin2x - sinxcosx – 6cos2x = 2) Giải phương trình : sin2x + (1 3) sin x cos x 3cos x 3) Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 2) Phương trình đẳng cấp bậc cao theo sin cơsin cung: Đây loại phương trình mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa sở sau: + Một biểu thức theo sinx cosx có bậc k biến đổi thành biểu thức theo sinx cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin x cos x (k , n N ) Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx (sin x cos x) sin x sin x cos x (bậc 3) Hoặc sinx = sinx (sin x cos x) sin x sin x cos x sin x cos x (bậc 5) + Chú ý : i) Số khơng có bậc Một số khác có bậc ii) Xác định bậc hạng tử PTLG chứa sin côsin chúng cung ( ví dụ với cung 3x sin3x có bậc 1, với cung 1x sin3x có bậc 3) Từ ý tưởng ta nêu định nghĩa PTLG đẳng cấp bậc n theo sin côsin cung sau: “ PT đẳng cấp bậc n theo sinx cosx PT có bậc hạng tử hơn, 2k, k N ” Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2) (Cách giải thường phát cách giải từ ban đầu có thuật tốn, nhược điểm dài cách giải thứ hai) +Bước 1: Xét cosx = có nghiệm PT khơng (nếu ghi nhận kết quả) +Bước 2: -Xét cosx Chia hai vế PT cho cos x thay cos x DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC n k k tan x Nguyễn Cơng Mậu Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC -Đặt ẩn phụ t = tanx thu gọn PT đa thức bậc n theo t -Giải tìm nghiệm t = t0 giải PT tanx = t0 để tìm x Cách giải : (Biến đổi PT tích theo sin côsin) ( Cách giải thường ngắn gọn không định hướng kết biến đổi Địi hỏi kỷ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh).Khơng có thuật tốn cách Sau số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x sin x cos x cos x (1) Giải cách 1: +ĐK: x sin x m +(1) sin x cos x cos x (*) (đẳng cấp bậc 3) +cosx = khơng nghiệm PT (vì ; vơ lý) +cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x : tan x(1 tan x) Giải cách 2: (*) sin x(1 cos x) tan x t3 tan x 1 cos x tan x t sin x x tan x x k (t = tanx) (**) cos x k Chú ý:Theo cách giải nêu biến đổi PT tích nên tơi minh họa lại sau: (**) sin x cos x (sin x cos x)(1 sin x cos x) (sin x cos x)(2 sin x) sin x cos x tan x x k Ví dụ 2: Giải phương trình: cos x sin x cos x (2) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = không nghiệm (2) + cosx 0, chia hai vế (2) cho cos3x : tan x(1 tan x) (1 tan x) (với t = tanx ) t (t t 1) t tan x x k Giải cách 2: (2) cos x(cos x 1) sin x cos x sin x sin x sin x(sin x cos x 1) sin x(sin x 2) sin x x k Ví dụ 3: Giải phương trình: sin x cos x sin x cos x cos x (3) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = không nghiệm (3) + cosx 0, chia hai vế (3) cho cos3x : tan x tan x 2(1 tan x) t tan x t tan x 3t 2 cos x(1 cos x) x Giải cách 2: (3) sin x sin x cos x x 3t 3) k k sin x( sin x cos x) cos x sin x DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3t (t sin x sin x cos x Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC sin x sin x x cos x x k tan x k x k Ví dụ : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = (4) (đẳng cấp bậc 4) Giải cách 1: + cosx = sinx = khơng nghiệm ptrình Vậy cosx + Chia hai vế (2) cho cos4x đặt ẩn phụ t = tan2 x được: t2 4t t t Giải cách 2: (4) (3 cos x sin x cos x) (sin x cos x sin x) cos x(cos x sin x) sin x(cos x sin x) cos x cos x(3 cos x sin x) tan x Ví dụ 5: Giải phương trình : sin x cos x cos 2 x sin x cos x (5) Giải cách 1: Nếu biến đổi : sin x cos x (sin x cos x)(sin x cos x sin x cos x) = = sin x cos x sin x cos x Và biến đổi : cos 2 x (cos x sin x) cos x sin x sin x cos x Thì PT (5) sin x cos x sin x cos x (*) Khi PT (*) giải cách giải cách giải nêu đơn giản + Nếu từ PT: sin x cos x (cos x sin x) sin x cos x (đẳng cấp bậc 6) Làm theo cách giải (1) sau bước thu gọn ta phương trình: (Với t = tanx ) t5 t4 2t t2 Khi PT (5.1) t t t2 t t PT (5.2) đặt ẩn phụ u t t3 t 2t t2 t (5.1) t2 t2 PT bậc hai u t t t (5.2) u u u Trở lại với ẩn t PT vơ nghiệm + Với t = tan x x k Chú ý: Khi xét cosx = nghiệm PT đẳng cấp bậc nên: x k nghiệm PT Kết hợp nghiệm x = k Phù hợp với cách giải BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Có thể giải lại ví dụ tập tương tự phân PT đưa PT bậc theo sin côsin cung : 1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3) 2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = (đẳng cấp bậc 3) 3) Giải phương trình sinx – 4sin x + cosx = (đẳng cấp bậc 3) 3 4) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3) 6 5) Giải phương trình : sin x cos x 3 sin x (đẳng cấp bậc 6) DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 Nguyễn Cơng Mậu Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC 6) Giải phương trình : (cos x sin x) sin x cos x 7) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx 8) Giải phương trình : (sin x cos x) sin x 9) Giải phương trình : (sin x cos x) cos x sin x (đẳng cấp bậc 3) (đẳng cấp bậc 3) (đẳng cấp bậc 4) (đẳng cấp bậc 3) 17 cos 2 x 16 11) Giải phương trình : sin x cos x 2cos x 10) Giải phương trình : sin x cos8 x (đẳng cấp bậc 8) (đẳng cấp bậc 6) IV Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) tích sin cơssin cung: 1) Phương trình chứa tổng tích (cịn gọi phương trình đối xứng theo sin cơsin) Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = (a,b,c Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = t2 (1) sin x cos x at b t2 c sin x cos x bt 2 sin x t R) (1) t2 (*) 2at (1.1) 2c b Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 2 Thay giá trị t0 vào PT (*) giải PT sin2x = t để tìm x 2) Phương trình chứa hiệu tích ( cịn gọi phương trình phản xứng) Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = (a,b,c Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = t2 (1) sin x cos x at b t2 c sin x cos x bt 2 sin x t2 2at t R) (2) (**) 2c b (2.1) Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 2 Thay giá trị t0 vào PT (**) giải PT sin2x = 1- t để tìm x Ví dụ 1: Giải phương trình sin x cos x sin x 12(cos x sin x) 12 cos x Ví dụ 2: Giải phương trình cos x sin x sin x sin x cos x sin x Ví dụ 3: Giải phương trình Ví dụ 4: Giải phương trình Ví dụ 5: Giải phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình (1) (2) (3) sin x sin x cos x 2 sin x cos x 12(sin x cos x sin x) sin x cos x 12 (4) sin x sin x cos x cos x sin x(sin x 1) (sin x cos x 1) cos x cos x sin x (5) (1) HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ: DẠY ƠN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 11 Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC Ví dụ 1: (1) sin x cos x sin x 12(sin x cos x) 12 sin x cos x (1a ) 12(sin x cos x) sin x 12 (1b) (1a) x (1b) t 12t 13 k t t t 13 k x sin x t + Vậy (1) có họ nghiệm x Ví dụ 2: (2) t k (2b) : Đặt t = cos x sin x ; ( t k (k Z) x 2) t (2b) sin x cos x k ;x cos x sin x 8(cos x sin x) sin x sin x cos x ( 2a ) 8(cos x sin x) sin x (2b) (2a) 3t 8t Sin2x = Ví dụ 3: (3) t t , thay t = -2/3 vào (*): 2 t2 x arcsin x arcsin (*) k x sin x cos x sin x cos x sin x t k (1 cos x)(sin x cos x sin x cos x 1) cos x 1 sin x k2 x k Ví dụ 4: (4) sin x cos x sin x cos x 12(sin x cos x) 12 sin x cos x sin x cos x 12(sin x cos x) 12 0 x Ví dụ 5: (5) k x 2 sin x (sin x cos x cos x) sin x(sin x 1) DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 12 Nguyễn Cơng Mậu Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC sin x sin x cos x sin x sin x(sin x 1) sin x sin x cos x sin x 0 sin x sin x cos x sin x Ví dụ 6: (6) sin x cos x sin x cos x (cos x sin x) cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x 0 (6 a ) (sin x cos x 1)(cos x sin x) (6a) x t2 1 t t t (6b) k ) ; t2 (6b): Đặt t = sinx +cosx ( t (6b) t t3 3t sin x (t 1)(t thay vào (*) sin2x = t (*) sin x x t 2) k BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải phương trình sau : 1) sin x(sin x cos x 1) cos x sin x sin x cos x cos x cos x sin x sin x sin x 8(2 cos x) cos x(1 sin x cos x) cos x sin x sin x sin x cos x 2) sin x cos x 3) 4) 5) 6) D PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009 (Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án đề thi đại học) Bài 1:Giải phương trình sau : a) sin x sin x cos x cos x c) sin x cos x sin x e) cos x sin x sin x cos x sin x cos x cos x ; b) sin 2 x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x ; d) sin 3x cos x sin x ; g) cos x cot x Bài 2:Giải phương trình sau : DẠY ƠN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 13 Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC sin x cos x sin x cos x 4 a) 2 sin x b) sin x cos x cot x cos x cos x sin x cos x sin x cos x c) 10 cos x cos x 3(cos x cos x) cot g x d) cos x sin x cos x sin x sin x Bài 3:Giải phương trình sau : a) sin x cos x sin x cos x sin x cos x ; b) sin x cos x cot x c) (1 sin x) cos x sin x sin x(1 cos x) d) tan x tan x cot x cot x ; tan x Bài : Giải phương trình : sin x cos x sin x cos x sin x sin 2 x sin x cos x sin x cos x cos x c) cos x e) (1 sin x) cos x sin x sin x(1 cos x) a) ; b) sin x cos x sin x ; d) sin x tan x sin x tan x ; g) cos x cos x cos x Bài : Giải phương trình : a) (1 sin x) cos x (1 cos x) sin x sin x ; b) c) cos x(1 cos x) sin x sin x cos x x sin x cos 2 ; 2 d) cos x sin cos x x cos x e) cos x(1 cos x) sin x sin x cos x f) sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x Bài 6: a) Giải phương trình b) Giải phương trình : c) Giải phương trình cos x sin x (1 cos x)(1 cos x) cos x cos x sin x cos x cos x cos x sin x cos x cos x E CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009 Bài 1: : DẠY ƠN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14 Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC a) (KA-2003) cot x cos x tan x sin x sin x sin x x tan x cos b) (KB-2003) cot x tan x sin x c) (KD-2003) sin x Baøi 2: : a) (KB-2004) sin x 3(1 sin x) tan x b)(KD-2004) (2 cos x 1)(2 sin x cos x) sin x sin x c) (KA-2004) Cho ABC không tù thoả điều kiện : cos A 2 cos B 2 cos C Tính ba góc ABC Baøi 3: : a) (KA-2005) cos x cos x cos x b) (KB-2005) sin x cos x sin x cos x c) (KD-2005) cos x sin x cos( x Baøi 4: a) (KA-2006) ) sin(3 x ) : 6 cos x sin x sin x cos x sin x x c) (KD-2006) cos x cos x cos x b) (KB-2006) cot x sin x(1 tan x tan ) Baøi 5: : a) (KA-2007) (1 sin x) cos x (1 cos x) sin x sin x b) (KB-2007) sin 2 x sin x sin x c) (KD-2007) x sin x cos 2 cos x Baøi 6: a) (KA-2008) : sin x sin x sin x b) (KB-2008) sin x cos x sin x cos x sin x cos x c) (KD-2008) sin x(1 cos x) sin x cos x Baøi 7: a) (KA-2009) Giải phương trình b) (KB-2009) Giải phương trình 2sin x cos x 2sin x s inx sin x cos x sin 2x DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 15 3 cos 3x 2(cos 4x sin x) Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC c) (KD-2009) Giải phương trình cos5x 2sin 3x cos 2x sin x F MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC * Việc giải PTLG vấn đề thường gặp đề thi đại học Phương pháp thường sử dụng giải phương trình lượng giác thực số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể việc biến đổi đại số để đưa PTLG dạng phương trình lượng giác hay phương trình lượng giác thường gặp đưa dạng phương trình tích đặt ẩn phụ để đưa phương trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đơi cịn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế phương trình Để đạt kết cao việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững yêu cầu tối thiểu sau : 1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) cơng thức lượng giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác cung(góc) đặc biệt 2)Cần nắm vững cách giải PTLG trường hợp đặc biệt.Cách giải phương trình lượng giác thường gặp 3)Phải có thói quen đề cập đến TXĐ phương trình (lấy điều kiện) trước tiến hành phép biến đổi đối chiếu điều kiện có kết * Tại đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì đồng thức lượng giác thường đa dạng.Chẳng hạn : -Nếu cần biến đổi cos2x tuỳ theo đầu ta sử dụng đồng sau: Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x Ví dụ : Giải phương trình : a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1 c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x 4 -Nếu cần biến đổi cos x-sin x tuỳ theo đầu ta sử dụng đồng sau: cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x *Cần ý đến đồng lượng giác thường gặp giải toán như: sin2x = (sinx cosx)2 Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x cos 2 x cos x cos x sin x sin x 2 3 cos x cos x cos x sin x sin x 4 *Cần ý đến số hạng có chứa thừa số (cosx+sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ; Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ; sin x ….Tương tự số hạng có chứa thừ số cosx-sinx *Các phép biến đổi lượng giác thường tiến hành theo hướng sau: +Hạ bậc phương trình(nếu có) +Đưa cung: -Nếu hàm cung tiến hành đặt ẩn phụ -Nếu cung cịn hai hàm sin cơsin thường biến đổi ph trình tích DẠY ƠN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 16 Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC (Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử chung,dùng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai) -Nếu cung cịn hai hàm sin ; cơsin với bậc hạng tử hơn,kém 2n (với n số tự nhiên) ta chia hai vế phương trình cho coskx sinkx (k bậc lớn phương trình) để đưa phương trình cho dạng chứa hàm tang côtang cung tiến hành đặt ẩn phụ *Khi đánh giá hai vế phương trình bất đẳng thức thường dùng để a2 b2 ; ước lượng như: sin x ; cos x ; a sin x b cos x sin m x cos n x sin x cos x (với m, n -Đối với phương trình sinax sinbx = N ; m, n ) sin ax sin bx (dấu lấy tương ứng) Tương tự phương trình : cosax cosbx = ; sinax cosbx = CHÚ Ý: Vì tài liệu biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau gộp lại nên có hai phơng chữ Times New Roman VNI-Times Vậy sử dụng có trở ngại bạn tự đổi phơng chữ! DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 17 Nguyễn Công Mậu ... Giải phương trình : 8cosx 3) Giải phương trình : 4) Giải phương trình : 5) Giải phương trình : 6) Giải phương trình : 7) Giải phương trình : 8) Giải phương trình : (cos x sin x) sin x cos x III Phương. .. Giải phương trình : sin x cos x 2cos x (4) Ví dụ 5) Tìm nghiệm khoảng 0; phương trình : DẠY ÔN LỚP 11 LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nguyễn Cơng Mậu Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO.. .Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC B SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009 PTLG cho trước Áp dụng: (asinu