ĐỀ SỐ Thời gian: 120 phút (không kể phát đề) I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu (3,0 điểm)Cho hàm số y = x − x + x −1 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng y = 0, x = 2, x = Câu (3,0 điểm) Tính tích phân sau 1) I = ò x + x2 e 2) I = ∫ x ( ln x + x )dx dx Câu (1,0 điểm) Tìm mơđun số phức z biết (1 − 2i ) z + (4 − 5i) = + 3i II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 0) , B( 3; 4; - 2) mặt phẳng (P): x - y + z - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) uu uu r r r Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB = Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu 5.a (1.0 điểm) x Tìm x Ỵ ( 0; + ¥ ) thỏa mãn : ị (2 sin t - 1)dt = 0 Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2.0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 0) , B( 3; 4; - 2) mặt phẳng (P): x - y + z - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) uu r uu r r Gọi I điểm thỏa mãn 3IA - 2IB = Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu 5.b (1.0 điểm) Xét số phức z = x + yi (x,y Ỵ R ) Tìm x, y cho (x + yi) = + 6i Hết HƯỚNG DẨN ĐỀ I PHẦN CHUNG;(7 điểm) Câu1;a) * TXĐ: ⎡x = => y ' = ⇔ x − x + = ⇔ ⎢ ⎣x = * y ' = x2 − 4x + * Giới hạn lim y = +∞ lim y = −∞ x →+∞ • - x →−∞ Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 3; +∞ ) Hàm số nghịch biến (1;3 ) ⎛ 1⎞ Điểm cực đại ⎜ 1; ⎟ ⎝ 3⎠ Điểm cực tiểu ( 3; −1) * Đồ thị Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Một số điểm thuộc đồ thị x y 1 −1 − 3 −1 Câu1:b), diện tích hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng y = 0, x = 2, x = S=∫ 3 ⎛ ⎞ ⎛1 ⎞ 3 x − x + x − 1dx = − ∫ ⎜ x − x + x − 1⎟dx = − ⎜ x − x + x − x ⎟ = 3 ⎝ 12 ⎠2 ⎠ 2⎝ Câu2a) Tính tích phân sau I = ị x + x2 Đặt u = + x Þ du = 2xd x Đổi cận: Do đó: I= ò2 e u du = e u x= 1 = e x= Câu2b) I = ∫ x ( ln x + x )dx = ∫ x ln xdx + ∫ x dx dx Þ u= u= Vậy I = e Tính I1 = ∫ x ln xdx Đặt ⎧ e e e e ⎪du = x dx ⎧u = ln x x ln x x5 x ln x x6 5e6 + ⎪ ⎪ ⇒⎨ I1 = − ∫ dx = − = ⎨ 1 6 36 36 x6 ⎪dv = x dx ⎪ ⎩ v= ⎪ ⎩ e e x7 e7 − * Tính I = ∫ x dx = = 7 Vậy I = 5e6 + e7 − + 36 Câu3)Ta có (1 − 2i ) z + (4 − 5i) = + 3i ⇔ (1 − 2i ) z = + 3i − (4 − 5i) ⇔ (1 − 2i ) z = −3 + 8i ⇔z= −3 + 8i ( −3 + 8i )(1 + 2i ) −3 − 6i + 8i + 16i −19 + 2i −19 = ⇔z= ⇔z= = + i 2 − 2i +2 5 (1 − 2i )(1 + 2i ) 2 ⎛ −19 ⎞ ⎛ ⎞ −19 Do z = + i = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 5 ⎝ ⎠ ⎝ 5⎠ 73 = 365 II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu (20 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) uuu r uu r Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến : n P = (1; - 1;1) , AB = (2;2; - 2) Vì (Q) qua A,B vng góc với (P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến là: 1 - 1ư ÷ uu r éuu uuu ù ỉ- 1 r r ỗ ữ = (0; 4; 4) ç n Q = ê P ; AB ú= ç n ; ; ữ ỷ ỗ - - 2 2 ữ ữ ỗ ố ứ Do phương trình mặt phẳng (Q) 4(y - 2) + 4(z - 0) = Û y + z- = Vậy phương trình (Q): y + z - = Gọi I trung điểm AB Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) uu uu r r r Do I thỏa mãn IA + IB = nên I trung điểm AB Tọa độ trung điểm I AB là: I(2; 3; - 1) Gọi (S) mặt cầu có tâm I tiếp xúc với (P) Bán kính mặt cầu (S) là: R = d(I,(P)) - - 1- - = = 3 Vậy phương trình mặt cầu (S) (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 12 = Câu 5.a (1.0 điểm) x Tìm x Ỵ ( 0; + ¥ ) thỏa mãn : ò (2 sin t - 1)dt = (1) x Ta có: x ò (2 sin t - 1)dt = ò cos 2t dt = - x 1 s in2t = - s in2x 2 Do đó: s in2x= Û s in2x= Û 2x = k p (1) Û - Û x= kp Do x ẻ (0; + Ơ ) nờn ta chọn x = kp với k Ỵ Z+ 2 Theo chương trình Nâng cao Câu 4b (2,ođiểm) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) uuu r uu r Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến : n P = (1; - 1;1) , AB = (2;2; - 2) Vì (Q) qua A,B vng góc với (P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến là: 1 - 1ư ÷ uu r éuu uuu ự ổ- 1 r r ỗ ữ = (0; 4; 4) ỗ n Q = P ; AB ỳ= ỗ n ; ; ữ ỷ ỗ - - 2 2 ữ ữ ỗ è ø Do phương trình mặt phẳng (Q) 4(y - 2) + 4(z - 0) = Û y + z- = Vậy phương trình (Q): y + z - = uu r uu r r Gọi I điểm thỏa mãn 3IA - 2IB = Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng uu r uu r Gọi I(x;y) điểm thỏa mãn 3IA = 2IB , ta có: ì (1 - x ) = (3 - x ) ìx = - ï ï ï ï ï ï uu r uu r ï ï 3IA = 2IB Û ï (2 - y ) = (4 - y ) Û í y = - Suy ra: I(- 3; - 2; 4) í ï ï ï ï (0 - z) = (- - z) ï z = ï ï ï ï ỵ ï ỵ Gọi (S) mặt cầu có tâm I tiếp xúc với (P) Bán kính mặt cầu (S) là: - 3+ 2+ 4- - = = 3 Vậy phương trình mặt cầu (S) (x + 3)2 + (y + 2)2 + (z - 4)2 = Câu 5.b(1.0 điểm) Xét số phức z = x + yi (x,y Ỵ R ) Tìm x, y cho (x + yi) = + 6i R = d(I,(P)) = (x + yi) = + 6i Û x - y + 2xyi = + 6i Ta có: ì ï ï x2 ì x - y2 = ï ï Û ï Û ï í í ï xy = ï ï ï ï ỵ ïy = ï ỵ ì ì ï x - 8x - = ï x2 = = ï ï ï ï x Û í Û í Û ïy = ïy = 3 ï ï ï ï x x ï ï ỵ ỵ x ìx = ìx = - ï ï ï Vậy giá trị x, y cần tìm í ï í ïy = ïy = - ï ï ỵ ỵ * ĐỀ ( Thời gian làm 150 phút ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) éx ì ï ï ê í êy ï ê ï ỵ ê êx ì ï ï ê í êy ï ê ï ỵ ë = = = - = - b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M( 14 ; −1 ) Câu II ( 3,0 điểm ) a)Cho hàm số y = e −x2 + x b)Tính tìch phân : I = π ∫ Giải phương trình y′′ + y′ + 2y = sin 2x (2 + sin x) dx c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 2sin x + cos x − 4sin x + Câu III ( 1,0 điểm ) Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O đáy đến dây cung AB đáy a , SAO = 30o , SAB = 60o Tính độ dài đường sinh theo a II PHẦN RIÊNG ( điểm ) Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng (Δ1) : ⎧x = − 2t ⎪ (Δ ) : ⎨y = −5 + 3t ⎪z = ⎩ x −1 y − z = = , −2 −1 a Chứng minh đường thẳng (Δ1) đường thẳng (Δ2 ) chéo b Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng (Δ1) song song với đường thẳng (Δ2 ) Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Giải phương trình x + = tập số phức Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : x + y + 2z + = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 6z + = a Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Biểu diễn số phức z = −1 + i dạng lượng giác Hết HƯỚNG DẪN ĐỀ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) a) 2đ x y′ −∞ + −∞ −1 − −1 +∞ + +∞ b) 1đ Gọi (d) tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k ⇒ (d) : y + = k(x − ⇒ (d) : y = k(x − 14 ) 14 ) −1 ⎧ 14 ⎪x − 3x + = k(x − ) − (d) tiếp xúc ( C) ⇔ Hệ sau có nghiệm ⎨ ⎪ ⎩3x − = k (1) (2) Thay (2) vào (1) ta : 3x3 − 7x2 + = ⇔ x = − ,x = 1,x = −2 (2) 5 43 ⎯⎯⎯ k = − ⇒ tt (Δ1) : y = − x + → x= 3 27 (2) → x = ⎯⎯⎯ k = ⇒ tt (Δ2 ) : y = −1 (2) → x = ⎯⎯⎯ k = ⇒ tt (Δ3 ) : y = 9x − 15 Câu II ( 3,0 điểm ) a) 1đ 2 y′ = (−2x + 1) e− x + x , y′′ = (4x − 4x − 1) e− x + x y′′ + y′ + 2y = (4x − 6x + 2) e− x + x ; y′′ + y′ + 2y = ⇔ 2x − 3x + = ⇔ x = , x = b) 1đ sin 2xdx sin x.cos xdx sin x.d(2 + sin x) Vì d(2 + sin x) = cos xdx = = 2 (2 + sin x) (2 + sin x) (2 + sin x) sin 2xdx sin x.d(2 + sin x) + sin x nên = = 2.[ − ]d(2 + sin x) (2 + sin x)2 (2 + sin x)2 (2 + sin x)2 (2 + sin x)2 Phân tích = 2.[ ]d(2 + sin x) − + sin x (2 + sin x)2 π 2 + ln Do : I = 2.[ ln | + sin x | + ]0 = + sin x (Cách khác : Dùng PP đổi biến số cách đặt t = + sin x ) c) 1đ Ta có : y = 2sin x − sin x − 4sin x + Đặt : t = sin x , t ∈ [ − 1;1] ⇒ y = 2t − t − 4t + , t ∈ [ − 1;1] y′ = 6t − 2t − ,y′ = ⇔ 6t − 2t − = ⇔ t = ∨ t = − Vì y( − 1) = 3,y(1) = −1,y(− ) = 98 27 Vậy : 98 2 + Maxy = Maxy = y( − ) = t = − ⇔ sinx = − 27 3 [−1;1] 2 ⇔ x = arcsin(− ) + k2π hay x = π − arcsin(− ) + k2π ,k ∈ 3 π + y = y = y(1) = −1 t = ⇔ sinx = ⇔ x = + k2π,k ∈ [−1;1] Câu III ( 1,0 điểm ) Gọi M trung điểm AB Kẻ OM ⊥ AB OM = a ΔSAB cân có SAB = 60o nên ΔSAB AB SA = Do : AM = 2 SA ΔSOA vuông O SAO = 30o nên OA = SA.cos30o = ΔOMA vng M : 2 = OM2 + MA ⇔ 3SA = a2 + SA ⇔ SA = 2a2 ⇔ SA = a OA 4 II PHẦN RIÊNG ( điểm ) Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : ⎧+ ⎧+ Qua B(0; − 5;4) ⎪ Qua A(1;2;0) ⎪ a) 1đ (Δ1) : ⎨ , (Δ ) : ⎨ r r ⎪+ VTCP a1 = (2; −2; −1) ⎪+ VTCP a2 = (−2;3; 0) ⎩ ⎩ uuu r r r r uuu AB = (−1; −7; 4),[a1;a2 ].AB = −9 ≠ ⇒ (Δ1) , (Δ2 ) chéo ⎧+ ⎧+ ⎪ Qua (Δ1) ⎪ Qua A(1;2; 0) b) 1đ (P) : ⎨ ⇒ (P) : ⎨ ⇒ (P) : 3x + 2y + 2z − = r r r ⎪+ VTPT n = [a1;a2 ] = (3;2;2) ⎪+ // (Δ2 ) ⎩ ⎩ Câu V.a ( 1,0 điểm ) : + = ⇔ (x + 2)(x2 − 2x + 4) = ⇔ ⎡ x = −2 Ta có : x ⎢ ⎢ x2 − 2x + = (*) ⎣ Phưong trình (*) có Δ = − = −3 = 3i ⇒ Δ = i nên (*) có nghiệm : x =1− i , x =1+ i Vậy phương trình có nghiệm x = −2 , x = − i , x = + i Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : ⎧x = + t ⎧+ ⎧+ Qua M(2;3;0) ⎪ Qua M(2;3;0) ⎪ a 0,5đ Gọi (d) : ⎨ ⇒ (d) : ⎨ ⇒ (d) : ⎨ y = + t r r ⎪+ VTCP a = n P = (1;1;2) ⎩+ ⊥ (P) ⎩ ⎪z = 2t ⎩ Khi : N = d ∩ (P) ⇒ N(1;2; −2) b 1,5đ + Tâm I(1; −2;3) , bán kính R = + (Q) // (P) nên (Q) : x + y + 2z + m = (m ≠ 1) + (S) tiếp xúc (Q) ⇔ d(I;(Q)) = R ⇔ |1− + + m | = ⎡ m = (l) ⇔ | 5+ m | = ⇔ ⎢ ⎣ m = −11 Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình (Q) : x + y + 2z − 11 = Câu V.b ( 1,0 điểm ) : z = −1 + i ⇒ z = = r 3π 2 , sin ϕ = = ⇒ϕ= 2 2 3π 3π + isin ) Vậy : z = 2(cos 4 cos ϕ = − =− ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ĐỀ ( Thời gian làm 150 phút ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) 2x + Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −1 c Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) d Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(1;8) Câu II ( 3,0 điểm ) log x −2 sin x + a Giải bất phương trình >1 b Tính tìch phân : I = ∫ (3x + cos 2x)dx c Giải phương trình x2 − 4x + = tập số phức Câu III ( 1,0 điểm ) Một hình trụ có bán kính đáy R = , chiều cao h = Một hình vng có đỉnh nằm hai đường tròn đáy cho có cạnh khơng song song khơng vng góc với trục hình trụ Tính cạnh hình vng II PHẦN RIÊNG ( điểm ) Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) hai mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z + = (Q) : x + y − z + = a Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) b Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua giao tuyến (d) (P) (Q) đồng thời vng góc với mặt phẳng (T) : 3x − y + = Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = −x + 2x trục hồnh Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hồnh Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : x + y +1 z − = = mặt 1 phẳng (P) : x + 2y − z + = a Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (P) b Tính góc đường thẳng (d) mặt phẳng (P) c Viết phương trình đường thẳng ( Δ ) hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) Câu V.b ( 1,0 điểm ) : ⎧ −y ⎪4 log2 x = Giải hệ phương trình sau : ⎨ ⎪log2 x + 2−2y = ⎩ Hết HƯỚNG DẪN ĐỀ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) a (2d) x −∞ y′ y +∞ − −∞ − +∞ b (1đ) Gọi (Δ) tiếp tuyến qua M(1;8) có hệ số góc k Khi : (Δ) y − = k(x − 1) ⇔ y = k(x − 1) + Phương trình hồnh độ điểm chung (C ) (Δ) : 2x + = k(x − 1) + ⇔ kx2 + 2(3 − k)x − + k = (1) x −1 (Δ ) tiếp tuyến (C ) ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⎧k ≠ ⎪ ⇔⎨ ⇔ k = −3 − k(k − 9) = ⎪Δ ' = (3 − k) ⎩ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3x + 11 Câu II ( 3,0 điểm ) x−2 x −2 a (1đ ) pt ⇔ log >0 ⇔ < < ( < sin2 < ) sin x + x+4 ⎧ ⎧ ⎧ x−2 x−2 x−2 ⎪0 < x + ⎪0 < x + ⎪0 < x + ⎧x − > ⎧x > ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔x>2 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ −6 x−2 x−2 ⎩x + > ⎩x > −4 ⎪ ⎪ ⎪ ⇔a= ln3 = ln a ⇔ ln = ln a ⇔ ⎨ ⎩a = Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : a) 1đ r r + Mặt phẳng ( P1 ) có VTPT n1 = (2; −1;1) , mặt phẳng ( P2 ) có VTPT n2 = (1;2; −2) Vì + Gọi r uΔ −1 ≠ nên suy ( P1 ) ( P2 ) cắt r r r r uΔ VTCP đường thẳng Δ uΔ vng góc n1 n2 nên ta có : r r = [n1; n2 ] = (0;5;5) = 5(0;1;1) Vì Δ = (P1) ∩ (P2 ) Lấy M(x;y;x)∈ (Δ ) tọa độ điểm M thỏa mãn hệ : ⎧2x − y + z − = , cho x = ta ⎨ x + 2y − 2z + = ⎩ ⎧−y + z = ⎧y = :⎨ ⇔⎨ Suy : M(2;1;3) ⎩2y − 2z = −4 ⎩z = ⎧x = ⎧ qua M(2;1;3) ⎪ Vậy (Δ ) : ⎨ ⇒ (Δ ) : ⎨ y = + t r ⎩ vtcp uΔ = 5(0;1;1) ⎪ ⎩z = + t b) 1đ Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng ( Δ ) Ta có : MH ⊥ Δ Suy : H = Δ ∩ (Q) , với (Q) mặt phẳng qua điểm M vuông với Δ Do ⎧ qua M(2;1;3) (Q) : ⎨ ⇒ (Q) : 0(x + 1) + 1(y − 4) + 1(z − 2) = ⇔ (Q) : y + z − = r r vtpt n = uΔ = 5(0;1;1) ⎩ Thay x,y,z phương trình ( Δ ) vào phương trình mặt phẳng (Q) ta : pt(Δ ) t = ⎯⎯⎯→ H(2;2;4) Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Phương trình hoành độ giao điểm ( C) (G) : x = x2 ⇔ x = 0,x = Khi (H) giới hạn đường thẳng x = , x = , ( C) (G) Vì < x < x , ∀x ∈ (0;1) nên gọi V ,V2 thể tích sinh ( C) (G) 1 ∫ x2 x5 3π − ]0 = Khi : V = V2 − V = π (x − x )dx = π[ 10 ... (C ) , ta có : +∞ + +∞ m -1 < -2 ⇔ m < -1 : (1) vô nghiệm m -1 = -2 ⇔ m = -1 : (1) có nghiệm -2 < m-1 -1 : (1) có nghiệm Câu II... mãn 3IA = 2IB , ta có: ì (1 - x ) = (3 - x ) ìx = - ï ï ï ï ï ï uu r uu r ï ï 3IA = 2IB Û ï (2 - y ) = (4 - y ) Û í y = - Suy ra: I (- 3; - 2; 4) í ï ï ï ï (0 - z) = (- - z) ï z = ï ï ï ï ỵ ï ỵ... trung điểm I AB là: I(2; 3; - 1) Gọi (S) mặt cầu có tâm I tiếp xúc với (P) Bán kính mặt cầu (S) là: R = d(I,(P)) - - 1- - = = 3 Vậy phương trình mặt cầu (S) (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 12 =