Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng tứ giác ABH’C nội tiếp được Bài2 Từ một điểm M trên đường kéo dài của một dây cung AB của đường tròn O, kẻ các tiếp tuyến MC và MD C,D là tiếp điểm , phân giác góc ACB cắ[r]
(1)A.ĐẠI SỐ I LÝ THUYẾT Câu1: Nêu tính chất hàm số y=ax ❑2 và nhận xét đồ thị hàm số y=ax ❑2 x2 AÙp dụng: Haøm soá y= đồng biến nào, nghịch biến nào ? Hàm số y= -2x2 đồng biến nào, nghịch biến nào ? Caâu2: Ñònh nghóa phöông trình baäc hai moät aån soá AÙp dụng: Phöông trình mx ❑2 + 5x - = laø phöông trình baäc hai moät aån naøo ? Câu3: Viết công thức nghiệm phương trình bậc hai Áp dụng: Với giá trị nào m thì phương trình mx ❑2 + mx + = có hai nghiệm phân biệt ? Câu4: Viết công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai? Áp dụng: Với giá trị nào m thì phương trình x ❑2 - 6x + 4m= có nghiệm kép? Câu5: Phát biểu và chứng minh định lý Vi-Ét AÙp dụng: Cho phöông trình : 2x2 – 6x + = coù hai nghieäm laø x1 vaø x2 Không giải phương trình hãy tính giá trị các biểu thức : 1 + x1 x2 vaø x + x 2 Caâu6: neâu nghieäm cuûa phöông trình ax ❑2 + bx + c = a+b+c=0 vaø a-b+c=0 AÙp dụng: Khoâng tính Δ haõy neâu nghieäm cuûa caùc phöông trình sau: x2 – 5x + 4= vaø 2x2 –7x - = Caâu7: Neâu ñònh nghóa phöông trình truøng phöông, Caùch giaûi phöông trình truøng phöông ? AÙp dụng: Giải phương trình sau: x4 +5x2 – = Câu8 : Hãy nêu cách phân tích tam thức bậc hai ax ❑2 + bx + c thành nhân tử biết tam thức có hai nghiệm x1 và x2 Áp dụng: Hãy phân tích tam thức 2x2 –7x - thành nhân tử ? II BÀI TẬP BAØI1) Giaûi caùc phöông trình sau: a) 7x2 + 5x =0 g) x ❑ −2(1+ √2) x +2+2 √ = b) -3x2 + 15=0 h) (1- √ 2¿ x +( √2 −3) x +2=0 c) 5x2 – x + = i) -2x ❑ −( √ 3− 5) x + √ 3− 3=0 d) -3x2 +2x +8 =0 j) (x ❑2 +x+1) (x ❑2 +x+2) e) 2x2 – 5x +1 =0 -12= (*) 2 k) (y ❑2 −5 ¿ −5 √ y − =6 (*) f) x −2 x − =0 l) (x+1).(x+2).(x+3).(x+4)=8 (*) x 48 x + =10 ( − ) (*) x x y +2 y +2 n) ( y −1 ¿ − 5( y − )+6=0 (*) o) (x ❑2 −5 x +7 ¿2 −4 x2 +20 x − 25=0 m) (*) p) x +5 x −3 − = − x − x +5 (*) x2 BAÌ2) a) Vẽ đồ thị hàm số y= ; b) Với giá trị nào m thì đường thẳng y= -x+m cắt pa rabol y= x2 taïi ñieåm phaân bieät A vaø B ; c) Tính toïa ñoâï A vaø B m= 2 x BAØI3) Cho (P): y= và đường thẳng y= x+m (d) Với giá trị nào m thì: a) (P) khoâng caét (d) b) (p) caét (d) taïi hai ñieåm phaân bieät c) (d) tiếp xúc với (P) BAØI4) Cho haøm soá y= a x ❑2 a) Xác định a biết đồ thị qua điểm A(3;3) Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định b) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m (m 0) và qua điểm (1;0) c) Với giá trị nào m thì đường thẳng tiếp xúc với pa bol y= đó và tính tọa độï tiếp điểm x2 Vẽ đường thẳng trường hợp (2) x2 BAØI5:* Cho (P): y= Lập phương trình đường thẳng qua điểm(-1;-2) và tiếp xúc với (P)Tìm tọa ñoô tieẫp ñieơm ,veõ ñöôøng thaúng vaø(P) BAØI 6: Cho phöông trình mx ❑2 -2(m-1)x +(m+1) = (1) (m laø tham soá ) a) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có nghiệm BAØI7: Cho phöông trình 4x ❑2 -2(a+b)x +ab = (1) a) Giaûi phöông trình (1) a=1 ; b= √ b) CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với a,b a2 +b c*) Goïi x ❑1 vaø x ❑2 laø nghieäm cuûa phöông trình (1) CMR: x + x = 2 BAØI8 * : Cho phöông trình 2( √ 2+ 1¿ x + mx −3 m− √ −2=0 (m laø tham soá ) a) CMR phöông trình luoân coù nghieäm x=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép BAØI9) Cho phöông trình x ❑2 -4mx+3m+1= (m laø tham soá ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép ứng với m vừa tìm c*) Bieát raèng phöông trình coù nghieäm x ❑1 vaø x ❑2 CMR: 4(x ❑1 x ❑2 -1)=3x ❑1 +3x ❑2 BAØI 10: Cho phöông trình x ❑2 -10x+m= (m laø tham soá ) Bieát phöông trình coù moät nghieäm baèng -2 Tìm nghieäm coøn laïi roài tìm m BAØI 11) Cho phöông trình 2x ❑2 +mx-3= (m laø tham soá ) Bieát phöông trình coù moät nghieäm baèng tìm nghieäm coøn laïi roài tìm m BAØI12*: Cho phöông trình x ❑2 -(m+1)x+m= (m laø tham soá ) a) Tìm m để tổng lập phương các nghiệm phương trình b) Giải phương trình trường hợp tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ BAØI13: Cho phöông trình m x ❑2 -(2m+3)x+m-4= (m laø tham soá ) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b*)Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm mà không phụ thuộc vào m trường hợp pt có hai nghiệm BAØI14*: Cho phöông trình x ❑2 -ax+a-1= coù nghieäm x ❑1 vaø x ❑2 a) Khoâng giaûi phöông trình haõy tính M= x + x −3 Tìm hệ thức liên hệ x ❑1 x1 x2 + x2 x1 2 2 vaø x ❑2 maø khoâng phuï thuoäc vaøo m b) Tìm a để tổng các bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ Baøi 15*) Cho phöông trình baäc hai x2 – ( m+1)x + m =0 coù hai nghieäm laø x1 vaø x2 Khoâng giaûi phöông trình hãy tính giá trị các biểu thức sau theo m a) 1 + x1 x2 ; b) x + x 2 ; c) (x1 + x2 )3 ; d) x1 –x2 ; e) x − x 2 ; e) x13 + x23 ; f) x13 - x23 x +2 x −3 BAØI16: Cho phân thức A= a) Rút gọn A ; b) Tìm x z để A z x2+ x − BAØI17* Cho phương trình ( m-2) x ❑2 -2mx+2m-3= Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép ứng với m vừa tìm BAØI18* : CMR phương trình ax ❑2 +(ab+1)x+b= luôn có nghiệm với avà b Tìm avà b để phương trình coù moät nghieäm nhaát x= BAØI19*) Cho haøm soá y=(m+1) x-2m-1 (d) a) CMR đồ thị hàm số luôn cắt đồ thị hàm số y= x ❑2 -3x+3 (P) (3) b) CMR đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định c) Trong trường hợp (d) tiếp xúc với (P).Tính tọa độ tiếp điểm BAØI20* 1 ∧ 10 − √ 72 10+6 √ 2 2 b)Với giá trị nào a tổng các nghiệm phương trình x ❑ +(2− a − a ) x − a = a)Hãy lập phương trình bậc hai để các nghiệm nó là số c) Xác định m để đường thẳng y=x+m+1 tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích BAØI21*) Cho phöông trình 3x ❑2 +7x+4 = khoâng giaûi phöông trình , goïi α ; β laø caùc nghieäm cuûa noù α β ∧ β −1 α −1 BAØI22*) Cho phöông trình ax ❑ +bx+c= (a 0) coù hai nghieäm x ❑1 vaø x ❑2 x1 x2 x2 −3 x ❑❑ a) Tính theo a,b,c các biểu thức A= (5 x −3 x ¿ ¿ ) ; B= x −3 x + x −3 x 2 1 b) cho a=m ; b= -2(m+2) ; c= 3m+4.Tìm hệ thức liên hệ x ❑1 và x ❑2 không phụ thuộc vào m BAØI 23*) Cho phöông trình x ❑2 +2x-5 = coù 2nghieäm x ❑1 vaø x ❑2 khoâng giaûi phöông trình haõy laäp phöông trình baäc hai coù caùc nghieäm laø y 1=x + x ; y 2=x + x Haõy laäp phöông trình baäc hai coù heä soá baèng soá vaø caùc nghieäm cuûa noù laø 2 3 BAÌ24*) Xaùc ñònh heä soá a,b cuûa phöông trình x ❑ +ax+b= bieát raèng hieäu caùc nghieäm soá baèng vaø hieäu caùc laäp phöông cuûa chuùng baèng 35 BAØI25*) Cho phöông trình x ❑2 -10x-m ❑2 = (1) a) CMR pt(1) luôn có nghiệm trái dấu với m b) CMR nghiệm pt(1) là nghịch đảo các nghiệm pt m ❑2 x ❑2 +10x-1 = với m c) Với giá trị nào m thì pt(1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 6x ❑1 + x ❑2 =5 BAØI26) a) Tìm hai soá x, y bieát x ❑2+ y =13 vaø x.y=6 b*)Cho pt baäc hai x ❑2 +bx+c= coù hai nghieäm x ❑1 vaø x ❑2 khaùc laäp pt baäc hai coù hai nghieäm x1 x2 laø x ∧ x BAØI 27 *) Cho pt x ❑2 -(m-1)x- m ❑2 +m-2= a) CMR pt luôn có hai nghiệm trái dấu với m b) Gọi hai nghiệm pt la ø x ❑1 và x ❑2 Tìm giá trị m để x + x đạt giá trị nhỏ BAØI28) Cho pt x ❑2 +px-16= a) CMR pt luoân coù hai nghieäm phaân bieät b) * Xác định p để tỉ số các nghiệm pt -4 BAØI29*) Cho pt 2x ❑2 +(m+2)x-7+ m ❑2 = Tìm giá trị dương m để pt có hai nghiệm trái dấu Và nghiệm âm có GTTĐ nghịch đảo nghiệm BAØI30*) Cho caùc pt ax ❑2 +2bx+c= ; bx ❑2 +2cx+a= ; cx ❑2 +2ax+b= ( a,b,c khaùc 0) CMR ít nhaát moät caùc pt treân coù nghieäm BAØI31*) Tìm m để hai pt x ❑2 +mx+1= (1) và x ❑2 -(m+1)x-2m= (2) có ít nghiệm chung BAØI32*) a) Cho pt m x ❑2 -2(m-2)x +3(m-2)= tìm m để pt có hai nghiệm cùng dấu b) Cho pt m x ❑2 +2(2m+1)x +m= tìm m để pt có hai nghiệm âm Toán lập phương trình Dạng1: Toán công việc làm (Làm chung, làm riêng) Baøi1) Hai ñoôi cođng nhađn cuøng laøm moôt cođng vieôc thì xong giôø Neẫu moêi ñoôi laøm moôt mình thì ñeơ làm xong công việc ấy,đội thứ cần thời gian ít đội thứ hai là Hỏi đội làm mình xong coâng vieäc aáy bao laâu? Bài2) Hai lớp 9a và 9b cùng làm thì 2/3 công việc làm riêng thì lớp phải bao lâu xong công việc Biết lớp 9a làm xong trước lớp 9b là 2 (4) Bài3*) Hai đội xây dựng cùng làm chung công việc dự định làm xong 12 ngày Họ cùng làm với ngày thì đội I chuyển làm việc khác ,đội II tiếp tục làm với suất gấp đôi nên đội II đã làm xong phần công việc còn lại ngày rưỡi hỏi đội làm mình thì bao nhiêu ngaøy xong coâng vieäc treân Dạng2: Toán chuyển động Bài4)Một ôtô dự định quãng đường AB dài 60km thời gian định Trên quãng đường đầu đường xấu nên thực tế ôtô với vận tốc ít dự định km/h để đến B đúng dự định ôtô phải quãng đường còn lại nhiều dự định 10 km tìm thời gian dự định 60 km Bài5) Hai tỉnh A và B cách 240 km hai ôtô cùng xuất phát từ A đến B ôtô thứ xuất phát sau ôtô thứ giờ, vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ là 10 km/h ô tô thứ đuổi kịp ô tô thứ chính quãng đường Tìm vận tốc ô tô Bài6) Một ca nô xuôi khúc sông dài 80 km ngược 48 km thời gian xuôi dòng nhiều thời gian ngược dòng là và vận tốc xuôi dòng lớn ngược dòng là km/h tìm vận tốc ca nô xuôi dòng và ngược dòng Bài7) Một người xe đạp từ A đến B dài 78km Sau đó người thứ hai xe máy từ B đến A Hai người gặp C cách B 36 km.Tính thời gian người đã từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc người thứ hai lớn vận tốc người thứ là 45 km/h Bài8) Hai người xe đạp khởi hành lúc từ A đến B cách 66km và ngược chiều Sau họ gặp nhau.Tính vận tốc người, biết thời gian hết quãng đường AB người kém phút Bài9*) Hai người xe đạp có cùng vận tốc, khởi hành cùng lúc từ A đến B Sau 2/3 đoạn đường, người thứ bị hỏng xe phải dừng lại 20 phút để sửa, sau đó đón ô tô trở A, còn người thứ hai tiếp tục và đến B sau người thứ đến A là 40 phút Tìm vận tốc người xe đạp, biết quãng đường AB dài 60 km và vận tốc ôtô lớn vận tốc xe đạp là 30km/h Bài 10*) Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Sau người đó nghỉ 15 phút, sau đó phải tăng vận tốc thêm km và đến B đúng đã định Tìm vận tốc lúc ban đầu người xe đạp Bài11*) Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 20km với vận tốc không đổi Nhưng sau vì đường xấu nên người đó phải giảm vận tốc km nên đã tới B chậm dự định 15 phút Tìm vận tốc dự định người đó Bài 12*) Hai người khởi hành cùng lúc và ngược chiều từ hai đầu đoạn đường AB dài 18km và gặp sau Người từ A km nhanh phút so với người từ B Hỏi người với vận tốc là bao nhiêu Daïng3: Noäi dung phaân chia saép xeáp: Bài 13) Thực kế hoạch trồng cây nhà trường lớp 9a và 9b trồng 1600 cây bạch đàn Mỗi lớp 9a trồng nhiều lớp 9b 80 cây nên lớp 9a trồng xong trước lớp 9b là Hỏi lớp đã trồng hết số cây dự dịnh bao lâu Bài 14) Một đoàn xe chở 30 hàng kho Khi bắt đầu khởi hành bổ sung xe nên xe chở ít 0,5 Hỏi đoàn xe lúc đầu có bao nhiêu Bài 15*) Trong hội trường có 320 chỗ ngồi, số người tới tham gia hhội nghị hôm đó có tới 420 người nên phải thu xếp để để dãy ghế thêm người và phải đặt thêm dãy ghế đủ Hỏi hội trường lúc ban đầu có bao nhiêu dãy ghế Bài 16*) Anh công nhân A làm sản phẩm nhanh anh công nhân B là phút Hỏi người làm bao nhiêu sản phẩm, biết sau anh A làm nhiều anh B là sản phẩm Dạng4: Toán có nội dung hình học : (5) Bài 17) Một hình chữ nhật có chu vi 90 m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài 15m thì hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính các cạnh hình chữ nhật đã cho Bài 18*) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m Người ta làm lói xung quanh vườn ( Thuộc đất vườn) rộng m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m Tính kích thước vườn Bài 19*) Người ta trồng 35 cây dừa trên đất hình chữ nhật có chiều dài 30m, chiều rộng 20m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng cây ngoài cùng trồng trên biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng cây liên tiếp Dạng5: Toán cấu trúc số Bài 20) Cho số gồm hai chữ số Tìm số đó biết tổng hai chữ số nó nhỏ số đó lần và thêm 25 vào tích hai chữ số đó số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho Dạng6: Toán phần trăm: Bài 21) Dân số khu phố hai năm tăng từ 30.000 nghười đến 32 448 người Hỏi trung bình hàng năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu phần trăm Bài 22*) Hai lớp 9A và 9B có 105 học sinh; Lớp 9A có 44 học sinh tiên tiến, Lớp 9B có 45 học sinh tiên tiến, biết tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp 9A thấp 9B là 10% Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp, và lớp có bao nhiêu học sinh Dạng7: Toán có nội dung lí, hóa học Bài 23) Cho chất lỏng có khối lượng là 8g và chất lỏng khác có khối lượng là 6g và khối lượng riêng nhỏ 200kg/m3 Nếu đem hai chất lỏng trộn vào thì hổn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3 Hãy tìm khối lượng riêng chất B) PHAÂN MOÂN HÌNH HOÏC I LYÙ THUYEÁT Câu1: Nêu định nghĩa góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung Aùp dụng: Cho đường tròn (O) Tính số đo các góc tâm chắn các cung 1/8 dường tròn, ¼ đường tròn Câu2: Phát biểu và chứng minh các định lý số đo các góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến và dây, góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đường tròn Aùp dụng: Tính số đo các góc nội tiếp chắn các cung 1/8 dường tròn, ¼ đường tròn, ½ đường tròn Câu3: Nêu mối quan hệ số đo các góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến và góc tâm cùng chắn cung đường tròn Aùp dụng: Cho đường tròn (O) và góc nội tiếp BÂC = 300 Tính số đo góc BÔC Câu4: Phát biểu kết luận quỹ tích cung chứa góc α và nêu trường hợp đặc biệt góc α =90 ❑0 ❑ Aùp dụng: Cho tứ giác ABCD cho DÂC =D B C Chứng minh điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn Câu5: Thế nào là tứ giác nội tiếp, phát biểu và chứng minh định lý tính chất góc đối diện tứ giác nội tiếp Aùp dụng: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có Â=350 Hỏi số đo góc C bao nhiêu độ Câu6: phát biểu và chứng minh định lý điều kiện nội tiếp tứ giác Aùp dụng: Hãy giải thích vì tứ giác sau đây là nội tiếp không nội tiếp Hình chữ nhật, hình thang cân, hình bình hành, hình thang vuông, hình thoi Câu7: Đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp đa giác có đặc điểm chung gì ? Aùp dụng: Viết công thức biểu thị mối quan hệ độ dài cạnh và các bán kính các đường tròn đó tam giác đều, hình vuông, lục giác Câu8: Viết công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, hình quạt tròn, muốn tính dieän tích hình vieân phaân , hình vaønh khaên ta laøm theá naøo ? (6) Aùp dụng: Cho đường tròn (O; 2cm) và A, B thuộc đường tròn cho AÔB = 60 Tính diện tích hình viên phân tạo cung và dây AB Câu9: Viết công thức tính DTXQ và Thêû tích hình trụ, hình nón, nón cụt, hình cầu Aùp dụng: Cho hình trụ có bán kính đáy là r, chiều cao là 2r, hình nón có bán kính đáy là r, chiều cao laø 2r, vaø moät hình caàu coù baùn kính r a) Khi đặt hình nón hình cầu vào hình trụ ta có thể mô tả thé nào ? b) So sánh diện tích xung quanh và thể tích các hình trên (Mối quan hệ chúng) II BAØI TAÄP Bài1) Cho tam giác ABC có góc nhọn Vẽ các đường cao AD, BE, CK tam giác cắt H a) Hãy tìm và chứng minh hình có tứ giác nội tiếp b) Chứng minh DA, EB và KC là các phân giác tam giác DEK c) Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp Bài2) Từ điểm M trên đường kéo dài dây cung AB đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MC và MD (C,D là tiếp điểm) , phân giác góc ACB cắt AB E CMR: a) MC=ME b) DE laø phaân giaùc cuûa goùc ADB c) Gọi I là trung điểm AB CMR tứ giác MCID nội tiếp đường tròn d) IM laø phaân giaùc cuûa goùc CID Bài3*) Cho đường tròn (O) , dây CD vuông góc với đường kính AB H Trên tia đối tia DC lấy điểm M Đường thẳng MB cắt đường tròn F a) Chứng minh FA, FB là phân giác và phân giác ngoài góc CFD ID MD b) Gọi I là giao điểm CD và FA Chứng minh IC =MC c) Tiếp tuyến với đường tròn F cắt DM J Chứng minh JI=JM d) MA cắt đường tròn E Chứng minh điểm B,I,E thẳng hàng và JE=JF Bài4) Cho nửa đường tròn đường kính AB C là điểm thuộc nửa đường tròn Trên AC kéo dài phía C lấy AD=AB , trên AB lấy AE=AC DE cắt BC H AH cắt nửa đường tròn K a) * CMR DAÂH = BAÂH b) CMR: Tứ giác ACHE nội tiếp c) CMR: ñieåm B,K,D thaúng haøng Bài5) Cho nửa đường(O) tròn đường kính AB Kẻ dây AC, gọi M là điểm chính cung AC H là giao điểm MO và AC Trên nửa mp chứa tia BM có bờ là đường thẳng BC, vẽ tia Cx song song với BM và caét OM keùo daøi taïiD a) CMR: OM // BC và tứ giác MBCD là hình bình hành b) Đường thẳng AM cắt CD K, KH cắt AB P Chứng minh rằng: * Tứ giác PHCB nội tiếp đựợc AP.AB=AH.AC Bài6) Cho nửa đường tròn đường kính AB =2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C,D là điểm di động trên nửa đường tròn Các tia AC, AD cắt Bx E và F ( F nằm B và E) a) Chứng minh AB BF = BD DF b) Chứng minh tứ CEFD nội tiếp đường tròn c) Khi C,D di động trên nửa đường tròn.Chứng minh AC.AE=AD.AF có giá trị không đổi d) Cho góc BOD 30 ❑0 , góc DOC 60 ❑0 Tính diện tích tứ giác ACDB e) Tính diện tích hình viên phân tạo cung và dây AC; cung và dây CD; cung và dây DB Bài7) Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, CD là đường kính thay đổi Gọi d là tiếp tuyến với đường tròn B và AC, AD cắt d P,Q (7) a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn b) Chứng minh trung tuyến AI tam giác AQP vuông góc với DC Bài8) Cho tam giác ABC vuông A và có AB>AC, đường cao AH Trên nửa mp bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật b) Chứng minh AE.AB=AF.AC c) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn d) Biết góc B 30 ❑0 ;BH=4 cm.Tính diện tích hình viên phân tạobởi dây BE và cung BE Bài9) Cho tam giác cân ABC (AB=AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AG,BE,CF gặp taïi H a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó b) Chứng minh AF.AC=AH.AG c) Chưng minh GE là tiếp tuyến đường tròn (I) d) Cho bán kính đường tròn (I) là 2cm, góc BAC 50 ❑0 Tính độï dài cung FHE đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IFHE ( Làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Bài10) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB cố định Qua A và B vẽ các tiếp tuyến với nưả đường tròn (O) Từ điểm M tùy ý trên nửa đường tròn ( M khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ với nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến A và B theo thứ tự tương ứng là H và K a) Chứng minh tứ giác AHMO nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AH+BK=HK c) Chứng minh ΔHAO ~ Δ AMB và HO.MB=2R ❑2 d)* Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn cho tứ giác AHKB có chu vi nhỏ Bài11) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Tia OA cắt đường tròn ( O’) C ; Tia O’A cắt đường tròn (O) D CMR: a) Tứ giác OO’CD nội tiếp đường tròn b) Năm điểm O, O’, B, C, D cùng nằm trên đường tròn Bài12) Cho hình vuông ABCD, điểm M trên cạnh AB Đường thẳng qua C và vuông góc với CM cắt các tia AB và AD E và F,tia CM cắt đường thẳng AD N Chứng minh: a) Các tứ giác AMCF và ANEC nội tiếp đường tròn b) CM+CN=EF Bài13) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) có góc BAC 45 ❑0 , BP và CD là đường cao 1) CMR: a) Năm điểm B,D,P,C,O cùng thuộc đường tròn b) DO//BP 2)Tính DP theo R Bài14) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I là điểm tùy ý trên cạnh AB QuaI kẻ IN vuông góc với CD N và kẻ IM vuông góc với AC M a) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh MA.MN= MB.MI c) Cho biết AB=5cm, BC=2 cm xác định vị trí điểm I trên cạnh AB để AN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC Bài 15*) Cho tam giác ABC có góc nhọn, các đường cao AH, BK, CL Từ H dựng HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC Từ K dựng KD vuông góc với BC và KQ vuông góc với AB a) Chứng minh FD // AB b) Chứng minh tứ giác AQDC nội tiếp (8) Bài16) Cho hình thang ABCD đáy lớn AD, đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn (O); AB và CD kéo dài cắt taïi I Caùc tieáp tuyeán cuûa (O) taïi B vaø D caét taïi K a)Chứng minh điểm B, O, K, D, I cùng thuộc đường tròn b) CMR : IK//BC Bài17) Một hình nón cụt bán kính đáy lớn cm, đường cao 12 cm, đường sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình noùn cuït Bài18) Từ khúc gỗ hình trụ , người ta tiện thành hình nón có thể tích lớn Biết thể tích phần goã tieän boû ñi laø 200 π (cm ) a) Tính theå tích hình noùn b) Gỉa sử chiều cao hình nón là 12 cm Tính diện tích xung quanh hình nón Bài19: Cho đường tròn (O) và điểm P cố định ngoài đường tròn Đường thẳng d thay đổi luôn qua P và cắt đường tròn (O) hai điểm A và B Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng AB HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ : Baøi13b) 4(S-2) =3(P-1) Phầøn đại số Baøi15) x12+x22=(x1+x2)2 -2x1x2 ; Caâud) Tính (x1- x2)2= Baøi1: Caâu j: Ñaët t = x +x +1; Caâuk) Ñaët t= ; Câul) Nhân (x+1)với(x+4)và (x+2)với(x+3) đặt t=x2 +5x+4 ; Câum) Đặt y= x x ( − ) => y2 = ( − ) roài suy 3y2= x x 2 x 48 x 48 + −8 => + =3 y 2+ x2 x2 Từ đó có pt: 3y2 -10y+8=0 ; Câu1n) Đặt t= y +2 ; Câu0) Đặt t=x2-5x+7; Câup) Quy đồng y −1 mẫu thức riêng vế đưa dạng : A=0 B=C A A = ⇒¿ B C Baøi 3;4;5: Phöông phaùp giaûi: +Vieát phöông trình hñgñ cuûa (P) vaø (d) +(d) caét (P) taïi ñieåm phaân bieät pthñgñ coù hai nghieäm phaân bieät Δ >0 +(d) tieáp xuùc(P) pthñgñ coùnghieäm keùp Δ =0 +(d) khoâng caét (P) pthñgñ voâ nghieäm phaân bieät Δ <0 Baøi6) a) Khi m vaø Δ ’>0 ; b) Khi m=0 Bài7b) Chứng minh Δ ’ với a; b ; Caâuc) x12+x22=(x1+x2)2 -2x1x2 Baøi 12a) x13+x23=(x1+x2)(x12 -x1x2 +x22) ; Caâub) x12+x22=m2+1 => m=0 1 Theá x=1/a vaøo pt(2) => m2 +10 a −1=0 a Vậy 1/a là nghiệm pt(2).Tương tự cm 1/b là nghieäm cuûa pt(2) x 1+ x2=5 x 1+ x2=10 c) Giaûi heä suy m x x 2=− m √ y −5 { Baøi 26a) Ñöa veà tìm soá x2 vaø y2 bieát S=x2 +ø y2 =13 vaø P=x2 ø y2 =36 x12+x22-2x1x2 = (x1+x2)2 -4x1x2 Roài => x1- x2 x +3 x+ 2+ 1 Baøi16) A= x +2 = x +2 =1+ x +2 Baøi18) a=0; x=1/2 => b Baøi19) a) Laäp PTHÑGÑ cuûa (d) vaø (P) vaø C/m Δ với m b)Lấy m làm nhân tử chung cho x=2 suy y=1 ta thấy với m thì x=2 và y=1 => Điểm cố định là (2;1) Baøi 20) Tính S vaø P c) (m+1)(-m-1)=8 => m −7 23 Baøi 21) α + β= ; α β= ; Tính S= 21 vaø P= 64 ac − 15 b2 b − ac Baøi 22) a) A= ; B = ; 2 a ac −3 b Caâu b) Laäp S – P = - Baøi23) Tính S= -24 vaø P= - 532 Baøi 24) x13-x23=(x1-x2)(x12 +x1x2 +x22) =35 5[(x1+x2)2 -x1x2]=35 => (x1+x2)2 -x1x2=7 => a2-b =7 Maët khaùc x1-x2 =5 => (x1-x2)2 =25 => (x1+x2)2 -4x1x2 =25 ¿ ¿ ¿ a − b=25 hay a -4b =25; Roài giaûi heä ¿ suy a vaø a − b=7 ¿ b Baøi25) a) CM Δ >0 vaø P<0 b)Giả sử avà b là nghiệm pt (1) => a ❑2 -10a-m ❑2 = Caâub) Giaûi heä sau m≠ Δ ' ≥ ⇔ m≤ −2 − √ P> ; S< { m>0 Toán lập phương trình: Bài1) Chọn ẩn x là thời gian đôi I thì Lập phương (9) b) x1+x2 = - b vaø x1x2 = c Tính S= x1 x2 + x2 x1 vaøP x1 x2 =1 x2 x1 = Baøi 27a) a=1>0 coøn c = - m ❑2 +m-2=-( m -m+2)= = -(m-1/2)2-7/4<0 với m; a và c trái dấu neân Δ >0 Maët khaùc P=x1x2 =c<0 theo cmtreân b)x12+x22=3(m-4/6)2+11/3 11/3 => Min =11/3 m=2/3 ❑ Baøi28) b) Giaûi heä x1 =− x2 x 1+ x 2=− p x x 2=− 16 { vaø x2>0 Ta coù = x2 1 + = x x +6 ĐS Đội I:6h, Đội II:12h Bài2)Chọn ẩn x là thời gian lớp 9A thì Lập phöông trình sau: 1 + = ÑS 9A:10h, 9B:15h x x +5 Bài3) Chọn ẩn x là thời gian đôi I , y là thời gian đội II thì Lập hệ phương trình sau : suy p => 1 + = x y 12 15 + =1 x y ĐS: Đội I:28ngày; Đội II 21Ngày Bài4) Gọi x là vận tốc dự định thì lập 30 Bài29)a) a=2 ; c= -7+m2 Để Pt có hai nghiệm trái dấu thì c<0 hay -7+m2 => − √ 7<m< √ Giả sử x1 <0 x1 trình sau: 30 60 phöông trình sau x −6 + x+10 = x ĐS : x=30km/h suy thời gian dự định là 60:30=2h Bài5)Gọi x là vận tốc ôtô thứ thì lập phương trình sau 120 120 − =1 ÑS: Oâtoâ1: 30km/h ; oâtoâ2: x x+10 40km/h Bài6) Gọi x là vận tốc ca nô xuôi dòng thì lập 80 48 −7 +m trình sau x − x − =1 =1⇒7 − m2=2⇒ m2=5 ⇒ m=± √phöông ĐS: Vxuôi dòng=20km/h; ngược dòng 16km/h Vì m>0 neân choïn m= √ Vxuôi dòng=16km/h; ngược dòng 12km/h Bài30) Tính Δ ’1 + Δ ’2 + Δ ’3 và chứng minh Δ ’1 + Δ ’2 + Δ ’3 suy có ít pt có Bài7) Gọi vận tốc người xe đạp là x thì lập 42 36 Δ ’ − =1 phöông trình sau 2 x x+4 Δ ’1 + Δ ’2 + Δ ’3= [(a-b) + (b-c) + (c-a) ] :2 | |x x 2|=1 ⇔ | Bài 31) Giả sử x0 là nghiệm chung thì ta có : x0 ❑ + mx0+ = (1) vaø x0 ❑ -(m+1)x0 -2m= (2) Trừ vế suy ù x0= -1 m=-1/2 Lần lượt x0= -1 vào pt ta thấy m=2 còn theá m=-1/2vaøo pt thì thaáy 2pt voâ nghieäm Vaäy m=2 vaø x0= -1 Baøi32) a) Giaûi heä sau { m≠ Δ' ≥0 ⇔ −1<m<0 3(m−2) >0 m Bài13) Gọi x là thời gian lớp 9A thì lập 1600 1600 phöông trình sau x − x+ =80 ; ÑS: ĐS: Vận tốc xe đạp =14km/h ; Vận tốc xe máy =18km/h Thời gian xe đạp= 3h ; xe máy h Bài 8) Gọi x là vận tốc người thứ nhất, y là vận tốc người thứ hai thì lập hệ phương trình sau x + y=22 6 ÑS V1=12km/h; V2=10km/h − = y x 10 60 40 40 Baøi9) PT: x −( x + + x +30 )= ; ÑS: 10km/h 36 −2 x 36 Baøi10) PT: 2+ + x+ = x ; ÑS: 12km/h 20 − x 20 Baøi11) PT: (1+ x −2 )− x = ; ÑS: 10km/h Bài12) Gọi x phút là thời gian người từ Ađi 1km thì lập phương trình 120 120 + =18 ÑS: VA=5km/h ; x x+3 VB=49km/h 2) Phương pháp chứng minh nhiều điểm cùng thuộc 30 30 Baøi14) PT: x − x+ =0,5 ; ÑS: 10 chieác xe đường tròn: Bài 15) Gọi x là số dãy ghế lúc đầu thì lập +Chứng minh nhiều tứ giác nội tiếp mà các đường 420 320 phương trình x +1 − x =4 ; ĐS: 20dãy tròn ngoại tiếp có điểm chung đôi có điểm chung Baøi16) Goïi x laø soá saûn phaåm anh A 7h +Lần lượt chứng minh nhiều điểm cùng nhìn đoạn 7 − = thì lập phương trình sau x −8 x 10 ; góc không đổi 9A:4h; 9B :5h (10) ÑS:A:28; B:20 Bài 17) Gọi x là chiều rộng thì lập phöông trình sau 2x(30-x)=x(45-x) ; ÑS : Roäng 15m; daøi 30m Bài 18) Gọi x là chiều dài thì lập phương trình sau (x-4)(136-x)=4256 ; ÑS:Daøi 80m; Roäng 60m + Chứng minh nhiều điểm cùng cách điểm cố định 3) PP Chứng minh hệ thức hình học dạng: AB.CD=MN.PQ AB.CD=MN2 +Chứng minh hai tam giác đồng dạnổnồi dùng các tỉ số đồng dạng để suy hệ thức +Có thể dùng tính chất đường phân giác tam 20 30 giaùc Baøi19) PT: ( x +1)( x +1)=35 ; ÑS: 5m +Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông 10 x+ y 4) PPchứng minh điểm thẳng hàng : Baøi 20) HPT: x+y= +Chứng minh điểm đó tạo thành góc bẹt Xy+25=10y+x ; ÑS: 54 +Sử dụng tiên đề ơclic Baøi21) PT: 300x+300x+3x2=2448 ; ÑS: 4% +Dùng tính chất đồng quy các đường cao, trung Bài 22) Gọi x% là tỉ lệ HSTT lớp 9A thì lập tuyeán, phaân giaùc tam giaùc phöông trình 44: x% +45:(x+10)%=105 ; ĐS: 9A: 80% và +Chứng minh điểm cùng thuộc trung trực đoạn thẳng 55HS ; 9B : 90% vaø 50HS +Ch/minh góc vị trí đốiđỉnh , 008 ,006 ,014 Baøi 23) PT: x +200 − x =700 ; ÑS: 5) PPchứng minh tiếp tuyến: 600kg/m3 vaø 800kg/m3 +Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính PHAÂN MOÂN HÌNH HOÏC taïi muùt cuûa baùn kính Chú ý số phương pháp chứng minh +Chứng minh góc mà cúng vị trí thoâng duïng : là góc nội tiếp và góc tạo tia tiếp 1) Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp: tuyến và dây + Tổng hai góc đối diện=2v +Vẽ tiếp tuyến và chứng minh đường thẳng đó trùng +Hai đỉnh cùng phía nhìn hai đỉnh còn lại với tiếp tuyến vừa vẽ góc không đổi(hai góc nhau) Chuù yù vaän duïng tính chaát tieâùp tuyeán caét +Chứng minh góc đỉnh với góc kề 6)Các bài toán quỹ tích thường gặp: bù với góc đỉnh đối diện +Quỹ tích là đường trung trực đoạn thẳng(Các +Hình thang cân nội tiếp là hình thang điểm cách hai đầu đoạn thẳng) caân +Quỹ tích là đường phân giác mọt góc (Các điểm -Chú ý vận dụng các góc nội tiếp (góc cách hai cạnh góc ) tạo tia tiếp tuyến và dây) cùng chắn +Quỹ tích là đường tròn (Các điểm cách điểm cung cung nhau) các hệ cố định cho trước các điểm nhìn đoạn góc nội tiếp, và tổng hai góc đối diện=2v góc vuông) thaúng song song, vuoâng goùc, tam giaùc baèng +Quỹ tích là cung chưa góc dựng trên đoạn thẳng nhau, hai tam giác đồng dạng và vận dụng (làm dây cung): Các điểm cùng nhìn đoạn các kết luận vừa chứng minh đó cho các mọt góc caâu sau cuûa baøi taäp Ví duï: Một số ghi nhớ khác cần thiết: +2 đường thẳng song song => các góc đồng vị, 1) Ghi nhớ PP chứng minh góc nhau, 2đường so le baèng nhau, c) c/m tgJFI caân taïi J => JF = JI vaø tg JFM caân taïi J => +Hai tam giaùc baèng => caùc caïnh vaø goùc JF = JM tương ứng d) c/m BE là đường cao thứ tg MAB => BE qua +Hai tam giác đồng dạng => Các góc tương I c/m JEÏ=1/2 IM vaø FJ=1/2IM ứng nhau, tỉ số các đường cao tương ứng BAØI 4) a) c/m tg ABC= tgADE => Ê =1v tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích c/m tg ACH =tg AEH => DAÂH =BAÂH bình phương tỉ số đồng dạng (chú ý viết đúng c) c/m tg ABK =tgADK=> góc AKD=1v thứ tự các đỉnh các góc nhau) BAØI5) a) c/m OM vaø BC cuøng vuoâng goùc AC (11) b) Tứ giác MKCH nội tiếp => góc MKH=góc MCH mà goùc MCA = goùc MBA => goùc AKP = goùc MBA, maø goùc MBA + goùc MAÂB =1v neân goùc AKP + KAÂP =1v => goùc APK =1v * c/m tg ABC đồng dạng tg AHP BAØI 6) a) c/m tgvABF ~ tgv BDF b) c/m goùc E= goùc CDA (cuøng=1/2 cung AC) c) Dùng hệ thức lượng tgv ABE và tgv ABF để c/m AC.AE=AD AF = AB2 = (2R)2=4R2 d) Tính tổng diện tích 3tg đó là : tgv AOC; tg COD; a √3 tgcaân BOD Tam giác , các tứ giác, hình e) Laáy dt hình quaït – dt tg troøn, hình quaït, caùch tính dieän tích hình vieân BAØI 7) a) c/m góc Q = góc ACP ( cùng = SĐ cung phaân, hình vaønh khaên vaø caùc hình khaùc AD ) Công thức tính góc đa giác n cạnh: Tứ giác CDQP nội tiếp => góc P=góc ADC (1) 180(n −2) , công thức biểu diễn độ dài AI là trung tuyến tgv AQP => AI=IP => tg AIP caân => goùc P = goùc IAÂC (2) cạnh và các bán kính đường tròn ngoại, nôị Từ (1) và (2) => góc ADC = góc IÂC tiếp đa giác Mà Góc ADC phụ với góc ACD nên IÂC phụ với góc HƯỚNG DẪN BAØI TẬP: ACD BAØI2: a) CM tam giaùc MCE caân taïi M (do goùc BAØI 8) a) c/m goùc vuoâng AÂ = EÂ = goùc F = 1v MCE = goùc MEC b) Dùng hệ thức lượng tgv c/m AE AB = AF.AC ( b) Chứng minh MC =ME =MD => tg MED cân cuøng = AH2 ) và sử dụng góc ngoài tg EBD và góc c) góc ACH phụ với góc HAC mà HÂC = HÊF nên góc cuøng chaén cung AD ACH+ HEÂF =1v c) Chứng minh góc MIO = goác MCO= góc d) dt hình quaït – dt tg BEO MDO = 1v BAØI 10) d) c/m cung MC = cung MD b) AH=HM vaø BK=KM => ñpcm BAØI 3) a) c/m cung AC = cung AD => goùc c)góc ABM = góc AOH ( góc nội tiếp = góc tâm CFA=goøcCFD; c/m FBvuoâng goùc FA=> FB laø cuøng chaén cung ) => ΔHAO ~ Δ AMB (gg) phân giác ngoài => HO/AB = AO/MB => ñpcm b) Aùp duïng tính chaát phaân giaùc=> d) M chính cung AB ID/IC=FD/FC vaø MD/MC=FD/FC BAØI 11) goùc CAO’ + goùc OBO’=2v d) c/m góc ODO’=góc OCO’ (cùng góc đối maø goùcACO’ = goùc CAO’ ñænh A) neân goùc ACO’ + goùc OBO’=2v goùc OAO’ = goùc OBO’ (tcñx) tứ giác OBO’C nội tiếp goùc CAO’ + goùc OAO’ =2v (keà buø ) Đường tròn câu a và đường tròn ngoại BAØI 15) tiếp tứ giác OBO’C có điểm chung nên a) Tứ giác HDFK nội tiếp => góc DFC = góc KHD trùng => B thuộc đường tròn trên Tứ giác AKHB nội tiếp => góc BAK = góc KHD BAØI 12) => goùc DFC = goùc => goùc BAK b)goùc CFM = goùc MAC ( cuøng chaén cung MC) b) goùc BQK + goùc BDK = 2v (gt) neân BQKD noäi tieâùp =45độ => tg CFM vuông cân C => CM = =>goùc BKQ = goùc BDQ ( Cuøng chaén cung BQ) maø CF góc BKQ = BÂC Tương ứng vuông góc ) => BÂC + Tương tự tg CNE cân C => CN = CE goùc QDC = 2v Từ đó => đpcm hay goùc QAC +goùc QDC =2v BAØI 13) a) c/m D; O; P cùng nhìn BC 2)Yếu tố cố định là yếu tố cho trước theo đề và có số đo không đổi Ví dụ: cho đoạn thẳng AB cố định tức là độ dài AB không đổi, cho đường tròn đường kính AB cố định tức là độ dài đường kính không đổi, tâm cố định 3) Luôn luôn chú ý phải vận dụng kết vừa chứng minh câu trên vào việc chứng minh caùc caâu coøn laïi cuûa moät baøi taäp hình 4) Ghi nhớ các công thức diện tích các hình : (12) goùc vuoâng b) c/m Góc ABP= 45 độ góc OCB = 45 độ(tg OBC vuông cân ) góc ADO= góc ABO + góc DOB (góc ngoài tg) = ½ sñ cung OB = góc OCB = 45 độ Vậy Góc ABP= góc ADO= 45 độ=> DO//BP c) DP = OC =R BAØI 14) a) BINC là hình chữ nhật => B; I; N; C thuộc đường tròn đường kính IC goùc INC = goùc IMC = 1v => M; N; C ; I thuoäc đường tròn đường kính IC B;I;N;C;M thuộc đường tròn đường kính IC b) goùc IAM = goùc ACD ( so le ) goùc MBN = goùc ACD ( cuøng chaén cung MN) => goùc IAM = goùc MBN Do đó tgv MAI đồng dạng tgv MBN => MA/MB=MI/MN => ñpcm GHI CHUÙ : - Baøi 16) a) ABCD laø hình thang noäi tieùp neân laø hình caân => IA=ID, mặt khác JA=JD =R=> IO là trung trực AD => IO vuông góc với AD J Do đó góc AIJ + góc IAJ =1v mà BÂD=1/2BÔD=1/2 sñcung BD Ta coù OB BK vaø OD KD vaø OK laø phaân giaùc cuûa goùc BOD(T/c tieáp tuyeán ) Neân IAÂJ = BOÂK maët khaùc goùc BKO+ BOÂK=1v Do đó góc AIJ= góc BKO hay góc BIO=góc BKO => tư giaùc BIKO noäi tieáp Tứ giác OBKD nội tiếp đường tròn trên có ñieûm chung => ñpcm b) OIK =1v (góc nội tiếp chắn đường tròn ) => IK IO IO AD (cmt); AD//BC (gt) => BC IO => IK//BC BAØI 18) theå tích phaàn boû ñi baèng 2/3 theå tích hình truï( Vì theå tích hình noùn baèng 1/3 theå tích hình truï ) => 200 π (cm3 ) =2/3 Vtrụ => V trụ = 300 π (cm3 ) Từ đó theå tích hình noùn laø 100 π (cm ) b) 100 π (cm ) = 1/3 r2h với h=12 => r Dùng định lý pitago => đường sinh l và Sxq = rl Chỉ là hướng dẫn giải chưa phải là lời giải chi tiết Còn gì sai sót mong thông cảm Những bài * khuyến khích cho học sinh khá giỏi Đề cương hổ trợ kiến thức và kỹ thi vào lớp 10 (13)