GTLNGTNN

Thông tin tài liệu

Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số: 1 Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của[r]

(1)CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau đây thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) - M ( M số) (1) Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau đây thoả mãn : - Với x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) - m ( m số) (1’) Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) Çc kiÕn thøc thêng dïng 2.1 Luü thõa : a) x2  x  |R  x2k  x  |R, k  z  - x2k  Tæng qu¸t : f (x)2k  x  |R, k  z  - f (x)2k  Từ đó suy : f (x)2k + m  m x  |R, k  z 2k M - f (x)  M b) √ x  x   ( √ x )2k  x0 ; k z Tæng qu¸t : ( √ A )2k   A 0 (A lµ biÓu thøc) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x|   x|R b) |x+y|  |x| + |y| ; nÕu "=" x¶y  x.y  c) |x-y|  |x| - |y| ; nÕu "=" x¶y  x.y  vµ |x|  |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi : a1 +a2 + +an n ai  ; i = ,n : ≥ √ a1 a2 an nN, n 2 n dÊu "=" x¶y  a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Víi n cÆp sè bÊt kú a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta cã : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2  ( a21 +a 22+ + a2n ¿ ( b21 +b22 + +b2n ) DÊu "=" x¶y  = Const (i = ,n ) bi NÕu bi = xem nh = 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Víi a  : (1+a)n  1+na n N DÊu "=" x¶y  a =  Một số Bất đẳng thức đơn giản thờng gặp đợc suy từ bất đẳng thức (A+B)2  a a2 + b2  2ab b (a + b)2  4ab a b c + ≥2 2( a2 + b2 )  (a + b)2 b a (2) d 1 + ≥ b a a+ b e 3/ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì cực trị biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A chưa thể kết luận minA = vì không tồn giá trị nào x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + A = ⇔ x -2 = ⇔ x=2 Vậy minA = khi x = Sử dụng phép biến đổi đồng 1.§Ó t×m Max f(x,y, ) trªn miÒn |D ta chØ : ¿ f (x , y .)≤ M ∃( x0 , y )∈∨R cho f(x0,y0, ) = M ¿{ ¿ §Ó t×m Min f(x,y, ) trªn miÒn |D ta chØ : ¿ f ( x , y .)≥ m ∃( x0 , y )∈∨R cho f(x0,y0, ) = m ¿{ ¿ I Çc vi dô minh ho¹ : VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A1 = x2 + 4x + Gi¶i : Ta cã : A1 = x2 + 4x + = x2 + 4x + 4x + = (x + 2)2 +  v× (x + 2)2 0  A1 =  x + =  x = -2 VËy A1 =  x = -2 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A2 = -x2 + 6x - 15 Gi¶i : Ta cã : A2 = -x2 + 6x - 15 = - (x2- 6x + 9) - A2 = - (x - 3)2 -  - -(x - 3)2  x |R  A2 max = -  x - =  x = VËy A2 max = -  x = 3 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Gi¶i : Ta cã : A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002 = {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002 = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002 = (x2-9x + 14)2 + 1966  1966 v× (x2-9x + 14)2 0 x ¿ x=2  A3 = 1966  x2-9x + 14 =  x=7 ¿{ ¿ ¿ x=2 VËy A3 = 1966  x=7 ¿{ ¿ (3) VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A4 = Gi¶i : Ta cã: A4 = x − 10 x −1 (x ≠ 1) x −2 x+ x − 1¿ ¿ x − 1¿ ¿ ¿ 2 2( x −2 x +1)−6 ( x −1) −9 x − 10 x −1 = ¿ x −2 x+ 2 3 +1 +3 ≤ v× +1 ≤ ∀ x x −1 x −1  A4 Max =  + 1=0  x = -2 x −1 VËy : A4 Max =  x = -2 x y + − √ x − √ y víi x,y>0 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A5 = √ y √x x y x ( √ x − √ y)− y ( √ x − √ y) + − √ x − √ y = x √ x + y √ y − x √ y − y √ x =¿ Gi¶i : Ta cã:A = √ y √x √ xy √ xy √ x − √ y ¿ ( √ x − √ y) ( x − √ y ).( x − y ) ¿ A5 = √ = 0 x,y > ¿ √ xy ¿  A =  √ x − √ y=0  x = y VËy : A5 =  x = y > VÝ dô : Cho x,y  vµ x + y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña A6 = x2 + y2 Gi¶i : Do x; y  vµ x + y =   x;y 1  x2 x, y2 y ¿ ¿ x=0 x=1  A6 = x2 + y2  x + y =  A6 max =  y=1 hoÆc y=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ MÆt kh¸c : x + y =  (x + y)2 =  = x2 + 2xy + y2  (x2+y2)-(x-y)2 x− y¿ ≥ (x - y)2   A6 = x2+y2 = 1 + ¿ 2 1  A6 = x-y=0x=y= 2 ¿ x=0 y=1 ; VËy : A6 max =  ¿ x=1 y=0 ¿{ ¿ 1 A6 = x=y= 2 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 Gi¶i : Ta cã : A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 = (2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz) =- ( ) ( ) (4) {(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2}   A7 Max =  x = y = z VËy : A7 Max =  x = y = z Sử dụng các bất đẳng thức x,y,z A7 = - b(a − b) 1 = b + (a-b) + b(a − b) b(a − b) VÝ dô : Cho a > b > T×m GTNN cña B1 = a + Gi¶i : Ta cã : B1 = a + B1   B1 =  b = a-b =  ¿ a=2  b=1 ¿{ ¿ b(a − b) √ b( a −b) b (a− b) (theo C«si) ¿ a=2 VËy : B1 =  b=1 ¿{ ¿ VÝ dô : Cho a,b > vµ a + b = T×m GTNN cña B2 = Gi¶i : Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( 1 )2 + x y a +b √x y √ xy = (víi x,y > 0) (1) x+ y a+b 1 Ta cã : ab  ( ) =  4 (2) a+b = ; a,b > ab áp dụng bất đẳng thức (1) và kết (2) ta có : 1 1 1 4 + 2= + 2= +( + 2 )≥ + B2 = ab a + b ab a +b ab 2ab a +b 2 ab+a2 +b a+b ¿ ¿ B2  + a + b =  B2min =  a = b = ¿ ¿ VËy : B2min =  a = b = VÝ dô : Cho xy + xz + yz = T×m GTNN cña B3 = x4 + y4 + z4 Gi¶i : Do xy + xz + yz =  16 = (xy + xz + yz)2  (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) (Theo Bunhiac«pxki)  16  (x2+y2+z2)2  (x4 + y4 + z4) (12+12+12) 16 16  B3 = x4 + y4 + z4   B3min =  x = y = z =  √3 3 16 VËy : B3min =  x = y = z =  √3 3 VÝ dô : Cho |a| 1; |b| 1 vµ | a+ b| = √ T×m GTLN cña B4 = √ 1− a2 + √ 1− b2 2 Gi¶i : Ta cã : (a-b)2  a;b  a +b ≥ a+ b (1) 2 ¸p dông (1) ta cã :  1 + x y + ab  ( ) (5) ( √1 − a2+ √1 −b 2 ) ≤ 2 − a2 +1− b2 2−(a + b ) a2 +b = =1 − 2 2 Do a2 +b2 a+ b √ 3 ≥ = = 2  √1 − a2+ √1 −b ( ) ( ) (  B4 = 2 ) 1- √ 1− a2 +√ 1− b2 ≤ VËy : B4Max =  a = b = (do | a + b| = = ( √3 ) √ 1− a2 + √ 1− b2 ≤  B4Max =  a = b = ) √3 √3 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B6 = | x + 7| + | x - 1995| Gi¶i : Ta cã : |x| + |y|  | x + y| dÊu "=" x¶y  x,y  Do vËy : B6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x |  |x+7 + 1995 - x| = 2002  B6Min = 2002  (x + 7) (1995 - x)   -7  x  1995 VËy : B6Min = 2002  -7  x  1995 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| Gi¶i : Ta cã : B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| B7  | x + 2000 + x + y + + - 2x - y| = 2010  B7min = 2010  (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cïng dÊu VËy : B7min = 2010 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 víi x2y + xy2  Gi¶i : Theo B§T Becnully ta cã : (1 + x2y + xy2)2001  + 2001 (x2y + xy2)  B (1 + x2y + xy2)2001- 2001 xy (x+y) + 2001  1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001 ¿ x=0  B  2002  B = 2002  xy(x+y) =  y =0 x=− y ¿{ { ¿ ¿ x=0 VËy : B = 2002  y =0 x=− y ¿{ { ¿ VÝ dô : Cho xyz = vµ x + y + z = T×m GTNN cña B8 = x16 + y16 + z16 Gi¶i : Çch : Ta cã : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2  a,b,c 2  a + b + c  ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2  x8y8 + y8z8 + z8x8  B8  x8y8 + y8z8 + z8x8  B8  (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2  x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4  B8  x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8  B8  (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2  x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6  B8  (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2  x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6  B8  (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (6) (do xyz = vµ x + y + z = 3)  B8min =  x = y = z = Çch 2: (Kh«ng sö dông gi¶ thiÕt xyz = 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : = x + y + z  = (x+ y + z)2  (x2 + y2 + z2).3   (x2 + y2 + z2)   (x2 + y2 + z2)2  (x4 + y4 + z4).3   x4 + y4 + z4   (x4 + y4 + z4)2  (x8 + y8 + z8).3   x8 + y8 + z8   (x8 + y8 + z8)2  (x16 + y16 + z16).3  B8 = x16 + y16 + z16   B8min =  x = y = z = Vậy : B8min =  x = y = z = 13 Sử dụng phơng pháp đặt biến phụ VÝ dô 1: T×m GTNN cña C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Gi¶i : C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 - (x2 + 3x + 5) + 17 §Æt : x2 + 3x + = a C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a-3)2 + 8 (a-3)2  a ¿ x =−1  C1min =  a - =  a =  x2 + 3x + =  y=− ¿{ ¿ ¿ x =−1 VËy : C1min =  y=− ¿{ ¿ 2 x y VÝ dô 2: T×m GTNN cña C2 = x + y2 - + +6 víi x,y > y x y x ( ) ( ) 2 x y = a 2  x + y2 = a2 - + y x y x  C2 = 2.( a - 2) - 5a + = 2a2 - 5a + Ta thÊy : a   C2 = 2a2 - 5a +   C2min = a =  x = y > VËy : C2min =  x = y > x y VÝ dô 3: T×m GTNN cña C3 = - x − y + 2004 víi x,y>0 + y x y x x y =a2 Gi¶i : §Æt : + y x x y  = a2 - + y x Khi đó : C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004 C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + + 2002 C3 = (a-1) (a-2) + 2000 Do ta cã : a   a - 1> ; a - 20  (a-1) (a-2) 0  C3 = (a-1) (a-2) + 2000  2000  C3 = 2000  a =  x = y ; xy > VËy C3 = 2000  x = y vµ xy > VÝ dô 4: Cho x,y,z > √x + √ y + √ z T×m GTNN cña C4 = √ y + √ z √ x+ √ z √ x+ √ y Gi¶i : §Æt : a = √ y+ √ z ; b = √ x+ √ z ; c = √ x+ √ y Gi¶i : §Æt : √ √ √ √ (7)  a+b+ c √ x+ √ y + √ z = a −b+ c a+b − c ; √ z= 2 − a+b +c a − b+c a+ b −c Khi đó : C4 = + + 2 a b b c a c C4 = ( + )+( + )+( + ) −3 b a c b c a a b a c b c Theo C«si víi a,b,c >0 ta cã : + ≥2 ; + ≥ 2; + ≥ b a c a c b  C4  (2+2+2 −3)= 2  C4min =  a = b = c  x = y = z > VËy C4min =  x = y = z > 1+ y ¿ 1+ x ¿2 ¿ VÝ dô 5: T×m GTLN, GTNN cña C5 = ¿ 2 2 ( x − y )(1 − x y ) ¿ a −b ¿ a+b ¿ ¿ ¿ Gi¶i : Ta cã :  a.b (1) a,b vµ (2) −¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 x +y 1−x y §Æt : =a vµ =b 2 2 (1+ x )(1+ y ) (1+ x )(1+ y ) Khi đó : C5 =a.b 2 a+b ¿ a+b ¿ ¿ ¿ Theo (1) vµ (2) ta cã :  C5 = ab  ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 2 2 2 x − y − 1+ x y x − y + 1− x y ≤ C5 ≤ (1+ x2 )(1+ y 2) (1+ x )( 1+ y 2)  √ x= − a+b+ c √ y= ; [ - [ [ ] ] [ ] 2 2 ( x − 1)(1+ y ) (x +1)(1− y ) ≤ C5 ≤ (1+ x )(1+ y 2) (1+ x 2)(1+ y ) ] x −1 x 2+1 [ ( ) ( ) ( ) Ta cã :   C5  x2 −1 x 2+ ] 2 1− y 1+ y ( ) 1 ; 2 ( 0 1− y 1+ y 2 2 ) 1 Do đó : − ≤ x 2−1  C5  1− y2 ≤ 4 x +1 1+ y  C5min = −  (x2 - 1)2 = (x2 + 1)2  x = C5max =  (1 - y2)2 = (1 + y2)2  y = VËy : C5min = − x=0 ( ) a,b (8) C5max = y=0 Sö dông biÓu thøc phô VÝ dô : §Ó t×m cùc trÞ cña biÓu thøc A víi A > 0, ta cã thÓ xÐt cùc trÞ cña biÓu thøc : A2 , -A, kA, k + A, |A| , A (k lµ h»ng sè) x x + x +1 Gi¶i : a) XÐt x =  A = gi¸ trÞ nµy kh«ng ph¶i lµ GTLN cña A v× víi x  ta cã A > b) Xét x  đặt P = đó Amax  Pmin A với cách đặt trên ta có : P = x + x2 +1 =x 2+ 12 +1 x x ta cã : x2 + 12 ≥ x 12 =2 (theo c«si) x x  P  + =  Pmin =  x = 1 Do đó : Amax =  x=1 x+ 2002¿2 ¿ VÝ dô 2: T×m GTNN cña B = víi x > −x ¿ Gi¶i : §Æt P1 = - B nh vËy P1max  Mmin x+ 2002¿ ¿ Ta cã : P1 = víi x >  P > x ¿ §Æt P2 = > với x > đó P2 Min  P1 Max P1 VÝ dô 1: T×m GTLN cña A = √ x+ 2002¿ ¿ P2 = ¿ ¿ 2 P2 = x −2 x 2002+2002 +4 x 2002 x x − 2002¿ ¿ P2 = ¿ ¿ x − 2002¿2 ¿ (do 0 x > 0) ¿ ¿  P2 Min = 8008  x = 2002  P1 Max =  x = 2002 8008  BMin =  x = 2002 8008 VËy BMin =  x = 2002 8008 VÝ dô 3: Cho a,b,c d¬ng vµ a + b + c = (9) T×m GTLN cña C = √ a+4 b+ √ b+4 c+ √ c + a Gi¶i : Do a,b,c >  C > Đặt : P = C2 đó √ P Max  CMax Ta cã : P = ( √ a+4 b+ √ b+4 c+ √ c + a )2  P  (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiac«pxki P  3.9(a + b + c) = 81 a + b + c =  PMax = 81  a = b = c =  C2Max = 81  a = b = c =  CMax =   a = b = c = VËy CMax =   a = b = c = VÝ dô 4: Cho x, y, z, t > x y +t y t+ x t x+ y T×m GTNN cña D = + + + + + y +t x t+ x y x + y t Gi¶i : §Æt P = 2D ta cã : 2( y +t ) y 2( t+ x ) t 2(x+ y) P = 2x + + + + + y +t x t+ x y x+ y t x y+t y t+ x t x+ y y +t t+ x x +t P= + + + + + + + + y+ t x t+ x y x+ y t x y t ( )( )( P= P ) ( ) y t+ x t x+ y y t t x x y +( + +( + + + + + + + ( y+2 xt + y+t ) ) 2x t+ x y x+ y t ) ( x x y y t t ) + + P  15  PMin = 15  x = y = t > 15  DMin = x=y=t 15 VËy DMin = x=y=t VÝ dô 5: Cho x, y > vµ 7x + 9y = 63 T×m GTLN cña E = x.y Gi¶i : §Æt : P = 63.E ta cã : x +9 y P = 63xy = 7x.9y  (theo c«si) 3969 3969 63 P  =  PMax = 4 ¿ x= 63 DÊu "=" x¶y  7x = 9y =  y= 2 ¿{ ¿ ¿ x=4,5 3969 63  EMax = : 63 =  y=3,5 4 ¿{ ¿ VÝ dô : Cho x2 + y2 = 52 T×m GTLN cña F = 2x + 3y Giải : Xét : P1 = |F| đó P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P21 đó P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiac«pxky : P2  (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4 ( ( ) ) + 6 (theo c«si) (10)  P2 Max = 13.13.4  ¿ x=4 y=6 ¿{ ¿ hoÆc ¿ x=− y=− ¿{ ¿  P1 Max = 26 Do F  |F| = P ¿ x=4  FMax = 26  y=6 ¿{ ¿ ¿ x=4 VËy FMax = 26  y=6 ¿{ ¿ VÝ dô 7: Cho x,y > T×m GTNN cña G = x4 y x2 y2 x y + − − + + y x4 y2 x2 y x Gi¶i : §Æt : P = G - ta cã : 4 2 P = x + y − x − y2 + x + y -2 y x y x y x P= ( x4 x2 y4 y2 x2 x y y2 x y − 2 +1 + − 2 +1 + −2 + + −2+ y x x y x y y x x y )( )( )( ) x − y ¿2 ¿ ¿ P= 2 2 x y x y −1 + −1 + − +¿ y x y2 x  PMin =  x = y > VËy GMin =  x = y > Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y là giá trị nào đó f(x) với x  D Điều này có nghĩa là điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm Sau đó giải điều kiện để phơng trình f(x)=y cã nghiÖm (x lµ biÕn, coi y lµ tham sè) Thờng đa đến biểu thức sau : m yM Từ đó  Min f(x) = m víi x  D  Max f(x) = M víi x  D VÝ dô 1: T×m GTNN cña f(x) = x2 + 4x + Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y = x2 + 4x +  x2 + 4x + - y = (cã nghiÖm)  ' = - + y   y1 VËy f(x) Min =  x = -2 VÝ dô 2: T×m GTLN cña f(x) = - x2 + 2x - Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y = - x2 + 2x -  x2 - 2x + y + (cã nghiÖm)  ' = - y -   y-6 VËy f(x)Max = -6  x = ( )( )( ) (11) VÝ dô 3: T×m GTLN, GTNN cña f(x) = x +4 x+6 x + x +3 Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y = x 2+4 x+6  yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = x + x +3  (y - 1)x2 + (y - 2).x + 3y - = (cã nghiÖm) * NÕu y =  x = * NÕu y   ' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y)   y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y -   - 2y2 + 5y +   y2 Ta thÊy : <1<2 Do vËy : f(x) Min =  x = -3 f(x) Max =  x = VÝ dô : T×m GTNN cña f(x) = x2 +2 x+ x −2 x+1 Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y = x2 +2 x+ x −2 x+1  yx + 2yx + y - x2 - 2x - =  (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - = (cã nghiÖm) * NÕu y =  x = * NÕu y   ' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6)   y2 + 2y + - y2 + 6y + y -   9y -  y 5 Do < nªn ta cã YMin = x=9 VËy f(x) Min = x=9 2 VÝ dô 5: T×m GTLN cña f(x) = x +2 x +1 Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y = x +2  yx2 + y - x2 - = x +1  (y - 1)x2 + y - =  (y - 1)x2 = - y * NÕu y =  Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2− y * NÕu y   x2 = (1) y −1 (cã nghiÖm) (12) (1) cã nghiÖm  2− y y −1 01<y<2  YMin =  x = VËy f(x) Max =  x = Ph¬ng ph¸p xÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ VÝ dô 1: Cho m, n  N* T×m GTNN cña A = |36m - 5m| Gi¶i : Do m  N* 36m cã ch÷ sè tËn cïng lµ n  N*  5m cã ch÷ sè tËn cïng lµ V× vËy : NÕu 36m > 5m th× A cã ch÷ sè tËn cïng lµ NÕu 5m > 36m th× A cã ch÷ sè tËn cïng lµ a) XÐt A = ta cã : 36m - 5m = (kh«ng x¶y ra) v× (36m - 1) : cßn 5m :7 b) XÐt A = ta cã : 5m - 36m = (kh«ng x¶y ra) v× (5m - 36m) : cßn : c) XÐt A = 11 , x¶y , ch¼ng h¹n m = 1, n = VËy AMin = 11  m = 1; n = 2 VÝ dô 2: Cho m  N* T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B = nn Gi¶i : Víi n = ta cã : B = <1 Víi n = ta cã : B = Víi n = ta cã : B = >1 Víi n = ta cã : B = 25 Víi n = ta cã : B = <1 32 36 Víi n = ta cã : B = <1 = 64 16 Ta dù ®o¸n r»ng víi n  5, n  N th× B < ThËt vËy : Ta chøng minh dù ®o¸n b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p a) Gi¶ sö n  5, n  N ta cã B = nn < (*) 2 Ta cần phải chứng minh công thức (*) đúng với (n+1) nghĩa là phải chứng minh : < 2n+1 (1) Tõ (*) ta cã : n2 < 2n  2n2 < 2n+1 (2) §Ó chøng minh (1) ta chøng minh (n + 1)2 < 2n2  n2 + 2n + < 2n2  n2 - 2n - >  (n - 1)2 - > (đúng vì  5) b) KÕt luËn : B = nn <  n 5, n N* VËy Bmax =  n=3 VÝ dô 3: Cho a, b, c, d  N* vµ a + b = c + d = 20 ab T×m GTNN vµ GTLN cña T = ac+ bd Gi¶i : c d Do T  nên đặt P = ⇒ + T b a n+1 ¿ ¿ ¿ ¿  (n + 1)2 (13) Nh vËy : TMin  PMax TMax  PMin Do a, b, c, d  N* vµ a + b = c + d = 20   a, b, c, d  19 c b c+d 20 * Xét a = b = 10 lúc đó P = + = = =2 10 10 10 10 * XÐt b < a (trêng hîp b > a t¬ng tù) b < 10 < a hay  b 19 ; 11  a  19 a) Tríc hÕt ta t×m TMin = PMax = 19 + 19 Ta xÐt trêng hîp sau : a1) b < 10 = c = d < a  19 c d 10 10 10 Khi đó : P = + = + < +1=11 b a b a c d 19 a2)  c  b < 10 < a  d  19 Khi đó : P = + <1+ <3 b a 11 19 a3)  d  b < 10 < a c  19NÕu b > th× P  +1<11 19 1 NÕu b = th× P  + =19+ 19 19 172 KÕt hîp c¶ trêng hîp ta thÊy PMax = 19+ = 19 19 19 Do đó TMin =  a =19, b = , c = 19 , d = 172 b) B©y giê ta t×m TMax = PMin víi  b  ; 11  a  19 c d c 20 −c 1 20 P= + = + = − c+ b a b a b a a 1 1 Ta cã : − >0 ; đặt A = − b a b a 20 Ta cã : P = A.C + a V× A > nªn PMin víi C = 1 20 19 19 * XÐt P = − + = + = + b a a b a b 20 −b 19 §Æt  Pb = + b 20 − b * XÐt Pb+1 - Pb :  b  ; b  N Pb+1 - Pb = 18 b +58 b −380 b(b+1)(19 −b)( 20− b) Ta cã : b(1 + 1)(19 - b)(20 - b) >   b  , b  N Do vËy : XÐt t = 18b2 + 58b - 380 (*) NghiÖm d¬ng to cña (*) lµ t = − 29+ √ 7681 18 Ta cã b¶ng xÐt dÊu : Víi < b < bo th× t <  Pb+1 < Pb b > bo th× t >  Pb+1 > Pb Luôn luôn chứng minh đợc < bo < 19 23 XÐt P3 = + =1 51  P3 > P 7 P4 = 1+ =1 16 16 ( ) (14) Nªn : a = 16 , b = 4, c = 1, d = 19 th× PMin = 23 16 ⇔ T max = 16 23 16 19 ; TMin = 23 172 II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN VËy : TMax = 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a ¿ Tìm GTLN P a ¿ ¿ Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + Đặt c - b2 4a nên : thì a( x + b )2 2a , đó P ¿ ¿ thì a( x + ¿ b )2 2a đó P - Nếu a -Nếu a b )2 2a =k Do ( x + b2 b 2 a )2 + c - a b a x ) + c = a( x + b 2a k MinP = k và x = k MaxP = k và x = - b 2a 2/ Đa thức bậc cao hai: Ta có thể đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 ⇔ minA = -36 ⇔ y = x2 – 7x + = -36 ⇔ x1 = 1, x2 = 3/ Biểu thức là phân thức : a/ Phân thức có tử là số, mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : A = 2 x −5 − x 2 = x −5 − x Ta thấy (3x – 1) −2 x −6 x +5 nên (3x – 1) +4 x −1 ¿2 + ¿ = −2 ¿ đó (3x  1)  4 theo tính chất a b với a, b cùng dấu) Do đó x −1 ¿ + ¿ −2 ¿ −2 ⇒ A - b thì a (15) minA = - ⇔ 3x – = ⇔ x = Bài tập áp dụng: 1 1 A    max A=  x 2 2 A x  4x  5 x     x  4x  HD giải: Tìm GTLN BT : 1 1 A   max A=  x 3 A x  6x  17  x  3  8 x  6x  17 Tìm GTLN BT : HD Giải: A (51/217) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b/ Phân thức có mẫu là bình phương nhị thức   x  2x  x − x+ x2 −2 x+ Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm 2 x2  x 1  x2  x     x  x 1 A = x − 2¿ ¿ x − 1¿ ¿ ¿ ¿  = + minA = và chi x = Cách 2: Đặt x – = y thì x = y + ta có : 3( y  1)  8( y  1)  A =  y  1   y  1   y  y   y   y  y 1  y  y 1  y  1 y2 =3- y y2 + ⇔ y = ⇔ x–1=1 ⇔ x=2 minA = c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN A = 3−4 x x 2+1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : A = x − 2¿ ¿ -1 ¿ ¿ x −4 x+ − x −1 x +1 = -1 Min A= -1 và x = 2 Tìm GTLN A = 2 x + − x − x −1 x +1 =4- x +1 ¿ ¿ ¿ ¿ Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN bt: a, A x x 2 B b, x2 x 2  =( y -1)2 + (16) 3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN bt: 4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN bt: Q 6, Tìm GTNN bt: R 7, Tìm GTNN bt: 8, Tìm GTNN bt: S a, x với x > 0; E x  a, x  x  17  x  1 x2  4x  x Với x > 0; C b, b, D F x5  x Với x > x3  x Với x > Với x > x  x  34 x 3 Với x > x  2000 x Với x > III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất biểu thức có chứa A ⇒ x+y =1 (x – y)2 Mà x2 + 2xy + y2 = Hay: x2 - 2xy + y2 và x = y = (2) ⇒ x2 + y2 Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) minA = (1) Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA = và x = y = ) + 2 2 Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa biến Đặt x = x2 + y = ( 2 + a thì y = + a)2 + ( - a Biểu thị x2 + y2 ta : - a)2 = +2 a2 => MinA = 2 Bài tập 1: Tìm Min A = a  ab  b  3a  3b  2014 2 Cách Ta có: A= a  2a   b  2b   ab  a  b   2011 ⇔ a = ⇔ x=y = (17) = a  2a   b  2b   ab  a  b   2011 = =  a  1  a  1   b  1  a  b  1   b  1  2011   b  1   a  1  b  1  2011   a  1   a  1  b  1   b  1 2   b  1 2  b  1 b  1   2011  2011 =  a    +   b  0 a    a b 1  b  0  Min A = 2011  Cách 2: 2A 2 a  ab  b2  3a  3b  2014 = a  2a   b2  2b   a  ab  b2  2.2  a  b    4022   2 =  a  1   b  1   a  b    4022  Min 2A = 4022 a  0   a b 1 b  0  a  b  0  => Min A = 2011 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: 2 Bài CMR : Min P = Với P = a  ab  b  3a  3b  2 Bài CMR: không có giá trị nào x, y, z thỏa mãn ĐT: x  y  z  x  y  z  15 0 Ta có: 2 VT  x  x   y  y   z  z   1=  x-1   y     z    1 Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn đẳng thức sau: 2 1) x  y  z  x  y  z  22 0 2 2) x  y  z  x  12 y  12 z  1994 1) VT  x  x   y  y   z  z  16  2 =  x+2    y  1   z    1 2) VT = x  x   y  12 y   z  12 z   1986 2 =  x  1   y  3   3z    1986 1986 2 Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m  4mp  p  10m  22 p  28 Ta có: A = m  4mp  p  p  p   10m  20 p  27 2 =  m  p   2.5  m  p   25   p  1  2 =  m  p  5   p  1  2 2 Bài 5: CMR: Max B = Với B  a  5b  2a  4ab  10b  (18) Ta có:     2   B  a  4ab  4b  b  6b   2a  4b   = -  a  4ab  4b  b  6b    a  2b   1 2 = -   a  2b    a  2b     b  3    2 = -   a  2b  1   b  3  4   Bài 6: Tìm GTNN 2 a) A=a  5b  4ab  2b  ( Gợi ý A =  a - 2b    b  1  2 b) B = x  y  xy  x  y  2029 ( Gợi ý ) B =  x-y    y  3   x  3  2011 2 ) 2 2 c) C  x  y  z  x  12 y  24 z  30 ( Gợi ý C =  x+2    y     z   1 2 d) D= 20x  18 y  24 xy  x  12 y  2016 ( Gợi ý D=  4x-3y    x  1   y    2011 Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : a  b  c  d a  b  c  d  ) ) (*) a  b  c  d ab  a  b  c   a  b  c  d  a  b  c  d  0  a  b  c  d  ab  ac  ad 0  a  b  c  d  ab  ac  ad 0    a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a 0 Ta có : 2   a  2b    a  2c    a  2d   a 0 Dấu “=” sảy : a 2b 2c 2d 0  a b c d 0 IV Các chú ý giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 ⇒ minA= ⇒ y=0 ⇒ x=2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn B lớn ⇔ A nhỏ ⇔ B nhỏ với B > x4  1 A 2 ( x  1) (Chú ý A> nên A lớn A nhỏ và ngược lại) Ví dụ : Tìm GTLN 1 ( x  1)2 x  x 1 2x2    4 x 1 x  Vậy A Ta có : A = x  1 A = x = Do đó maxA =1 x = (19) 3,Chú ý Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > thì a.c > b d b) a > b và c > thì a.c > b.c c) a > b và c < thì a.c < b.c d) a > b và a, b, n > thì an > bn Bất đẳng thức Cô si: a + b ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2 (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ⇒ ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4  x 3 y ⇔   x  y 0 26 Vậy maxA = 26 2x + 3y 3x ⇒ ⇒ Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 x = 16 x=4 x= -4 Với x = thì y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau - Nếu số có tổng không đổi thì tích chúng lớn số đó - Nếu số dương có tích không đổi thì tổng chúng nhỏ số đó bang Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN tích xy, biết x,y  N thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 ⇔ x – y nhỏ ; xy nhó ⇔ x – y lớn xy lớn giả sử x > y ( không thể xảy x = y) Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do đó max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac A= VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức :  x y 4   , x y xy (1) Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x y ta có: (20) x y   xy Lại có: (2 ) A= Từ (1) và (2) suy : Phân tích sai lầm: 4    8 x y xy Vậy Min A =   4x y x y Đẳng thức sảy (1) Đẳng thức sảy (2) x = y Từ đó suy x = y = ( Loại vì x + y = 1) Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ là KL sai 1 4 4x y A =  x+y     5   y x x y Giải đúng: Vì x + y = nên 4x y 4x y 4x y  2 4 , y x y x y x Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm Ta có : Dấu “=” xẩy  4x y  y 2 x   x    y x  y    x  y 1    x    y 2  Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu không Có thì hướng giải bài toán đúng 2, Sai lầm không sử dụng hết điều kiện bài toán: 1  1  A =  x+    y   y  x  VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, 1 x+ 2 x 2 x x x Ta có: (1) 1 y+ 2 y 2 y y y Ta có: (2) Từ (1) và (2) =>A  => Min A =  x  x 1 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) x  y  y 1 Đẳng thức sảy (2) y Từ đó suy x = y = ( Loại vì x + y = 1) x+y  xy  Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : 1 xy   xy  (21) 2  1 1 1 A = + x +y    +    x   y  Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  - = (1) Ta có : 2 1 25 25  2 2  8 x y x y xy (2) Từ (1) và (2) =>A  + +4 = =>Min A = x=y = Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết Có thì hướng giải bài toán đúng 3, Sai lầm chứng minh điều kiện 1: VD1: Tìm GTLN bt: A= x  x  17 2 x  x  17  x  3  8 Lời giải sai: A đạt Max x  x  17 đạt Min Ta có : Do đó Min   x  x  17 8  x 3 Vậy Max A =  x 3 Phân tích sai lầm: Kết đúng lập luận sai chỗ cho “ A có tử không đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đua nhận xét tử và mẫu là các số dương Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x  x  17  x  3  8 nên tử và mẫu A là dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4  x  y 2 xy   x  y 2 x  y  2   Ta có : A = x + y 2xy => A đạt GTNN Khi đó MinA = Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y) g(x,y) chưa c/m f(x,y) m với m là hắng số Chẳng hạn: Từ x2  4x – => x2 đạt nhỏ  x2 = 4x –  (x – )2 =  x =2 Đi đến x2 =  x = Dễ thấy kết đúng phải là Min x2 =  x =0  x + y  =16 (1) Lời giải đúng: Ta có x + y =4   x - y Ta lại có :   x -2xy+y 0 (2) Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) 16 => A = x2 + y2 8 Vậy Min A = và x = y = Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có thì hướng giải bài toán đúng 4, Sai lầm chứng minh điều kiện VD1: Tìm GTNN bt: A = x + x (22) Lời giải sai : x + x =   x 2 +2 x 1  1 1    x      4  2 4 Vậy: Min A = 1  P/tích sai lầm: sau c/m f(x)  chưa trường hợp xảy f(x)=   x là x 0 đó : A = x + Lời giải đúng: ĐKTT VD2: Tìm GTLN A = xyx  z+y   y+z   z+x  x  (vô lí ) x 0 => Min A =  x 0 với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1 4x  z+y   x+y+z  1 4y  z+x   x+y+z  1 Lời giải sai: Áp dụng BĐT => 4xy  x  y  2 ta có : 4z  x+y   x+y+z  1 64xyx  z+y   y+z   z+x  1 =>xyx  z+y   y+z   z+x   1 64 Vậy Max A = 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=” ĐK để Max A = 64 là : Lời giải đúng: Ta có : z+y = x  y+x = z    x+z = y x + z + y =   x, y, z   x  y z 0  x + z + y =  x, y, z   = x +y+ z 3 x.y.z ( vô lí ) (1) =  x +y  +  z+x  +  y+ z  3  x +y   z+x   y+ z  (2)  2  A  A    3 x y.z  x +y   z+x   y+ z  9 Từ (1) và (2) => hay: 3  2   Max A =    x +y  =  z+x  =  y+ z    x  y z   x  y  z 1  x, y , z 0  VD3: Tìm giá trị nhỏ : A (x  a)(x  b) x với x > 0, a, b là các số dương  x  a 2 ax   x  a   x  b  2 ax.2 bx 4 x ab  x  b  bx  Lời giải sai: Ta có:  Do đó: A (x  a)(x  b) 4x ab  4 ab x x Min A = ab  x a b Phân tích sai lầm: Nếu a b thì không có: A = ab (23) A Lời giải đúng : Ta có (x  a)(x  b) x  ax + bx + ab  ab    x    (a  b) x x x   Theo bất đẳng thức Cauchy : A =  a b Ngày giảng: /  x ab 2 ab x nên A ≥ ab + a + b = và chi / 2011  a b  ab  x  x  x  ab  x  Sĩ số: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1   x y Tìm GTNN bt: A = VD1: Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk x y 1 1  0, 0 , y Do x > 0, y > nên x áp dụng bất đẳng thức côsi cho số x y 1  xy => Hay 1 1 1    x y ta có:  x y  Mặt khác ta có: x > 0, y > => x  y 2 x 0, y 0 xy 4 áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: xy 2 4 x y   1  x  y 4  x  y 2 Vậy: Min A = :  2 VD2 : Tìm GTNN của biểu thức : A  x  x   x  x  1 3  x  x   x      x  R 2 4  Ta có: 2 1 3  x  x   x      x  R 2 4  Áp dụng BĐT Cô- si cho số x  x   x  x  2 x  x  1, x  x  ta có : x  x  x  x  2 x  x  2  x  x  1  x 0  2 x  x   x  x    Max A =  (24) x y z A   y z x với x, y, z > VD3 Tìm giá trị nhỏ : x y z x y z A     33  y z x y z x Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: x y z x y z     3     x y z y z x y z x   Do đó x y z  x y  y z y x y            2 y z x y x z x x y x     Cách : Ta có : Ta đã có (do x, y > 0) nên để x y z y z y   3   1 chứng minh y z x ta cần chứng minh : z x x (1) (1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)  xy + z2 – yz – xz ≥  y(x – z) – z(x – z) ≥  (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) đúng với giả thiết z là số nhỏ số x, y, z, đó (1) đúng Từ đó tìm giá trị nhỏ x y z   y z x VD 4: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ (x  y)(y  z)(z  x)  2   Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A  A ≤    2   max A =   và x = y = z = xy yz zx   z x y với x, y, z > , x + y + z = VD 5: Tìm GTNN xy yz xy yz  2 2y x z x Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : z yz zx zx xy  2z ;  2x x y y z Tương tự : Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = A A = với x = y = z = (2) (25) A   4xy x y xy với : x > 0, y > 0, x + y < VD 6: Tìm GTNN x y   xy   x  y  4 xy 1 1 1    x  y     2 xy 4     xy x y x y  x y   2 x y xy Ta có:   A Ta có: A =>   1      4xy      4xy   2 x y xy 2xy   4xy  4xy  x y 5 11  4xy   2  11 2 2 x  2xy  y 4xy  x  y   x  y  x  y  x  y x  VD 7: : Cho 2 , Tìm GTLN A = 2x  x  + x+3 - 2x Giải : Ta có : A = 2x  x  + x+3 - 2x =  2x 1  x   + x+3 - 2x 2x   x+2  áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x  1, x+2 Ta có: 3x   Hay :  2x  1  x+2  Do đó: A   2x  1  x+2  x 3   x  3 2 x  Dấu “ = ” xảy x  4  x=1 x 7 3x   2 - 2x = Dấu “ = ” xảy x=1 S=   x y z VD 8: : Cho x, y, z > và x + y + z =1 Tìm GTNN của: Ta có: S =  2x  0  ta có:  x   Dấu “ = ” xảy 2x  x+2  x=1 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x  3, Ta có: x 7 2 x  Hay : Với x   9  y 4x   4z y   9x z     1+4+9+           z   z x  x y z= x y   y x+ y+z  y 4x y 4x y 4x  2 4 , x y áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương x y ta có : x y 4z y 4z y  2 12 y z y z Tương tự ta có : ;  S  + + + + 12 + =36 9x z 9x z  2 6 z x z x (26)  y 4x x  y   4z y    z  y 9x z   x  z  x  y  z 1 Dấu “=” sảy :  y 4 x  2  z 9 y   2 x  z   x  y  z 1    y 3  y 2 x     x   z 3 x  x  y  z 1    z 2  1 y  ,x  ,z  Vậy Min S = 36 Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức đó 3 x  0  x   3 VD1 : Tìm giá trị lớn A  x    x , ĐKXĐ : 7  x 0 Bình phương hai vế ta có : A2 = +  3x  5   3x  x  áp dụng bất đẳng thức côsi cho  x   và   3x  ta có: Với  3x  5    3x  2  3x  5   3x  hay 2  3x     3x   A2  =>A  Dấu “=” xảy : 3x - = - 3x hay x = 2 VD2: Tìm GTNN biểu thức: A = -x  x   ĐKXĐ : Khi đó -x  x  0   -x  x  0  x    x   0    x  1  x   0 -x  x   -x  x   x   Từ (*) =>     x 4    x 2    x 2 => A >  A = -x  x   -x  x   = -2x  x  10  -x  x  (*)  -x  x  -x  x   x     x   x  1   x  =   x   x     x  1   x    =   A=   x2  x2   2    x   x    x 1   x    x   x    x 1   x    x  1   x   x  1   x    2 2   x  x  1   x   x 0 Biện pháp 2: nhân và chia biểu thức với cùng số khác không VD Tìm giá trị lớn biểu thức: A= x-9 5x 2 (27) Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có: Dấu “=” xảy A= x-9 5x = 1 x -9  x-9  3 x  3 6 1   5x 5x x 30 x - 3   x 18   x 9 Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng các biểu thức cho tích chúng là số: 1) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử VD1: cho x > Tìm GTNN biểu thức: Giải : Ta có A= A= 3x  16 x3 3x  16 16 16 3x   x  x  x  3 x x x Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : A = x+x+x+ 16 16 4 x.x.x 4.2 8 x x 16  x   x 2 x Vậy Min A = VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min A = x y( - x - y ) với x, y 0 và x + y  x x   +y+ - x - y x x   A =  y( - x - y )  4  2 2    x  y   Xét Ta có :    4   x = y = - x - y  y = ; x =2 Dấu “=” xẩy Xét  x  y 6 Rễ thấy: – x - y  ( 1) Dấu ‘=’ xảy x + y = => A = x y( - x - y ) đạt GTNN x2y đạtGTLN   x+y    x+x+2y       x.x.2y    x y=   2 Ta có : =32 hay x2y  32 (2)  x  y 6   x  y x y( x y )   Từ (1) và (2) => -64 Dấu ‘=’ xảy VD3 Tìm GTLN A = x2(3 – x) biết x ≤  x 4   y 2 x x Giải : Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức (28) x x    3 x    1 x x x x    Cauchy cho số không âm , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤  Do đó A ≤ (1) 2Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử này là nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức đã cho VD1: Cho < x < , Tìm GTNN Ta có : B B 9x  2 x x 9x 2 x 9x  x   1  7 2 x x 2 x x 9x 2 x   x x  Min B=   x Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức đã cho: VD1 : Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTNN biểu thức: P x2 y2 z2   yz zx yx x2 y  z x x2 yz 2 x Ta có : y  z + 2 y  z y2 x  z y y2 xz 2  y xz + 2 xz z2 y  x z z2 yx 2  z y  x + 2 y  x  x2 y2 z2  y  z x  z y  x     x  y  z   yz zx yx 4  =>  x2 y2 z2  x  y  z   x  y  z   yz zx yx  Hay: P => x2 y2 z2 x yz x yz   x  y  z   1 yz zx yx 2  x2 yz   yz  y xz   x  y z   xz  z yx   yx Vậy Min P =   (29) z2 x2 y2 , , Lưu ý: Nếu ta thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào y+x y+z z+x ta khử (x + y), ( z + y), ( x + z) không tìm x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy đồng thời Khi đó không tìm giá trị nhỏ a b  1 x y VD2 : Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn (a và b là số dương)  a b ay bx b     x  y  a   x y x y   Giải Cách : A = x + y = 1.(x + y) = ay bx ay bx  2 2 ab x y x y Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : Do đó  A a  b  ab  a b   A  a b   ay bx x  y  a b   1  x y  x, y   với   x a  ab     y b  ab Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :  a b  a b A (x  y).1 (x  y)     x  y   x y  x y   a b  Từ đó tìm giá trị nhỏ A x2 y2 z2 A   x  y y  z z  x biết x, y, z > , VD3 Tìm GTNN xy  yz  zx 1 x2 y2 z2 x yz    Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: x  y y  z z  x Theo bất đẳng thức Cauchy xy yz zx  xy ;  yz ;  zx nên x  y  z  xy  yz  zx 2 hay xy  yz  zx x+y+z   2 A =  x y z  VẬN DỤNG BDT A  B  A+B 2 Bài 1: Tìm GTNN hàm số : y  x  x   x  x  Cách 1: y  x2  x 1  x  x 1  x 1  x  ĐỂ TÌM CỰC TRỊ (30) Nếu: x < -1 thì y  x   x   x   x   x  y  x   x   x   x  2 Nếu: -1  x  thì Nếu: x > thì y  x   x   x   x  2 x  Vậy y nhỏ -1  x  Cách : áp dụng BĐT Ta có : a  b a b ( Dấu “=” sảy a.b 0 ) y  x    x  x    x 2 Vậy y nhỏ -1  x  Bài 2: Cho x, y > và 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có :  x  A = x(4 -2x ) = –     x 2   x  0   x  xy   => Max A =   2    x  =    x 1   y 2 x.xy Cách 2: Ta có : A = Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x, xy ta có: 2  x  xy  x y x  xy  x  xy   x.xy    2 x.xy  2 4.2   Thay số ta có :  x y =A 2 x  xy   x  xy   Vậy Max A =2  x 1   y 2 (31)

Ngày đăng: 09/09/2021, 19:47

Xem thêm: