Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề về khảo sát hàm số có lời giải chi tiết, dành cho học sinh ôn thi đại học - cao đẳng, cài tập được cập nhật mới nhất
TRẦN SĨ TÙNG ---- ›š & ›š ---- TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 201 4 http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 1 KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y f x( )= có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến trên D Û y x D0, ¢ ³ " Î và y 0 ¢ = chỉ xảy r a t ại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y x D0, ¢ £ " Î và y 0 ¢ = chỉ xảy r a t ại một số hữu hạn đ iểm thuộc D. · Nếu y ax b x c a 2 ' ( 0)= + + ¹ thì: + a y x R 0 ' 0, 0 D ì > ³ " Î Û í £ î + a y x R 0 ' 0, 0 D ì < £ " Î Û í £ î · Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x ax bx c a 2 ( ) ( 0)= + + ¹ : + Nếu D < 0 thì gx( ) luôn cùng dấu với a. + Nếu D = 0 thì gx( ) luôn cùng dấu với a (trừ b x a2 =- ) + Nếu D > 0 thì gx( ) có hai nghiệm x x 1 2 , và trong khoảng hai nghiệm thì gx( ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì gx( ) cùng dấu với a. · So sánh các nghiệm x x 1 2 , của tam thức bậc hai g x ax b x c 2 ( ) = + + với số 0: + x x P S 1 2 0 0 0 0 D ì ³ ï £ < Û > í ï < î + x x P S 1 2 0 0 0 0 D ì ³ ï < £ Û > í ï > î + x x P 1 2 0 0< < Û < · ab g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) max ( )£ " Î Û £ ; ab g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) min ( )³ " Î Û ³ B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y f x( )= đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). · Hàm số f đồng biến trên D Û y x D0, ¢ ³ " Î và y 0 ¢ = chỉ xảy r a t ại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y x D0, ¢ £ " Î và y 0 ¢ = chỉ xảy r a t ại một số hữu hạn đ iểm thuộc D. · Nếu y ax b x c a 2 ' ( 0)= + + ¹ thì: + a y x R 0 ' 0, 0 D ì > ³ " Î Û í £ î + a y x R 0 ' 0, 0 D ì < £ " Î Û í £ î 2. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d 3 2 ( )= = + + + đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b . Ta có: y f x ax bx c 2 ( ) 3 2 ¢ ¢ = = + + . a) Hàm số f đồng biến trên ( ; ) a b Û y x0, ( ; ) ¢ ³ " Î a b và y 0 ¢ = chỉ xảy r a t ại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; ) a b . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f x h m gx( ) 0 ( ) ( ) ¢ ³ Û ³ (*) thì f đồng biến trên ( ; ) a b Û h m gx ( ; ) ( ) max ( )³ ab http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 2 · Nếu bất phương trình f x h m gx( ) 0 ( ) ( ) ¢ ³ Û £ (**) thì f đồng biến trên ( ; ) a b Û h m gx ( ; ) ( ) min ( )£ ab Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x( ) 0 ¢ ³ không đưa được về dạng (*) thì đặt t x= - a . Khi đó ta có: y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2 a a a ¢ = = + + + + + . – Hàm số f đồng biến trên khoảng a( ; )- ¥ Û g t t( ) 0, 0³ " < Û a a S P 0 0 0 0 0 0 D D ì > ïïï ì > > Ú í í £ > î ï ³ ï î – Hàm số f đồng biến trên khoảng a( ; )+¥ Û g t t( ) 0, 0³ " > Û a a S P 0 0 0 0 0 0 D D ì > ïïï ì > > Ú í í £ < î ï ³ ï î b) Hàm số f nghịch biến trên ( ; ) a b Û y x0, ( ; ) ¢ ³ " Î a b và y 0 ¢ = chỉ xảy r a t ại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; ) a b . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f x h m gx( ) 0 ( ) ( ) ¢ £ Û ³ (*) thì f nghịch biến trên ( ; ) a b Û h m gx ( ; ) ( ) max ( )³ ab · Nếu bất phương trình f x h m gx( ) 0 ( ) ( ) ¢ ³ Û £ (**) thì f nghịch biến trên ( ; ) a b Û h m gx ( ; ) ( ) min ( )£ ab Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x( ) 0 ¢ £ không đưa được về dạng (*) thì đặt t x= - a . Khi đó ta có: y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2 a a a ¢ = = + + + + + . – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a( ; )- ¥ Û g t t( ) 0, 0£ " < Û a a S P 0 0 0 0 0 0 D D ì < ïïï ì < > Ú í í £ > î ï ³ ï î – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a( ; )+¥ Û g t t( ) 0, 0£ " > Û a a S P 0 0 0 0 0 0 D D ì < ïïï ì < > Ú í í £ < î ï ³ ï î 3. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d 3 2 ( )= = + + + đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước. · f đơn điệu trên khoảng x x 1 2 ( ; ) Û y 0 ¢ = có 2 nghiệm phân biệt x x 1 2 , Û a 0 0 D ì ¹ í > î (1) · Biến đổi x x d 1 2 - = thành x x x x d 2 2 1 2 1 2 ( ) 4+ - = (2) · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 4. Tìm điều kiện để hàm số ax bx c y ad dx e 2 (2), ( , 0) + + = ¹ + a) Đồng biến trên ( ; ) a -¥ . b) Đồng biến trên ( ; ) a +¥ . http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 3 c) Đồng biến trên ( ; ) ab . Tập xác định: e D R d \ ì ü - = í ý î þ , ( ) ( ) a d x a e x be dc f x y dx e d x e 2 2 2 2 ( ) ' + + - = = + + 5. Tìm điều kiện để hàm số ax bx c y ad dx e 2 (2), ( , 0) + + = ¹ + a) Nghịch biến trên ( ; ) a -¥ . b) Nghịch biến trên ( ; ) a +¥ . c) Nghịch biến trên ( ; ) ab . Tập xác định: e D R d \ ì ü - = í ý î þ , ( ) ( ) a d x a e x be dc f x y dx e d x e 2 2 2 2 ( ) ' + + - = = + + Trường hợp 1 Trường hợp 2 Nếu: f x g x h m i( ) 0 ( ) ( ) ( )³ Û ³ Nếu bpt: f x( ) 0³ không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t x a = - . Khi đó bpt: f x( ) 0³ trở thành: gt( ) 0³ , với: g t adt a d e t ad ae be dc 2 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a = + + + + + - a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) a -¥ e d g x h m x( ) ( ), a a ì - ï ³ Û í ï ³ " < î e d h m gx ( ; ] ( ) min ( ) a a -¥ ì - ³ ï Û í £ ï î a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) a -¥ e d g t t i i( ) 0, 0 ( ) a ì - ï ³ Û í ï ³ " < î a a ii S P 0 0 0 ( ) 0 0 0 ì > ïïï ì > D> Û Ú í í D £ > î ï ³ ï î b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) a +¥ e d g x h m x( ) ( ), a a ì - ï £ Û í ï ³ " > î e d h m gx [ ; ) ( ) min ( ) a a +¥ ì - £ ï Û í £ ï î b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) a +¥ e d g t t iii( ) 0, 0 ( ) a ì - ï £ Û í ï ³ " > î a a iii S P 0 0 0 ( ) 0 0 0 ì > ïïï ì > D> Û Ú í í D £ < î ï ³ ï î c) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) ab ( ) e d g x h m x ; ( ) ( ), ( ; ) ab ab ì - ï Ï Û í ï ³ " Î î ( ) e d h m gx [ ; ] ; ( ) min ( ) ab ab ì - Ï ï Û í £ ï î http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 4 Trường hợp 1 Trường hợp 2 Nếu f x g x h m i( ) 0 ( ) ( ) ( )£ Û ³ Nếu bpt: f x( ) 0³ không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t x a = - . Khi đó bpt: f x( ) 0£ trở thành: gt( ) 0£ , với: g t adt a d e t ad ae be dc 2 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a = + + + + + - a) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; ) a -¥ e d g x h m x( ) ( ), a a ì - ï ³ Û í ï ³ " < î e d h m gx ( ; ] ( ) min ( ) a a -¥ ì - ³ ï Û í £ ï î a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) a -¥ e d g t t i i( ) 0, 0 ( ) a ì - ï ³ Û í ï £ " < î a a ii S P 0 0 0 ( ) 0 0 0 ì < ïïï ì < D> Û Ú í í D £ > î ï ³ ï î b) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; ) a +¥ e d g x h m x( ) ( ), a a ì - ï £ Û í ï ³ " > î e d h m gx [ ; ) ( ) min ( ) a a +¥ ì - £ ï Û í £ ï î b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) a +¥ e d g t t iii( ) 0, 0 ( ) a ì - ï £ Û í ï £ " > î a a iii S P 0 0 0 ( ) 0 0 0 ì < ïïï ì < D> Û Ú í í D £ < î ï ³ ï î c) (2) đồng biến trong khoảng ( ; ) ab ( ) e d g x h m x ; ( ) ( ), ( ; ) ab ab ì - ï Ï Û í ï ³ " Î î ( ) e d h m gx [ ; ] ; ( ) min ( ) ab ab ì - Ï ï Û í £ ï î http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 5 Cõu 1. Cho hm s y m x m x m x 3 2 1 ( 1 ) ( 3 2) 3 = - + + - (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m 2= . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn tp xỏc nh ca nú. ã Tp xỏc nh: D = R. y m x mx m 2 ( 1 ) 2 3 2  = - + + - . ( 1 ) ng bin trờn R y x0,  " m 2 Cõu 2. Cho hm s y x x mx 3 2 3 4= + - - (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m 0= . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong ( ;0)- Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R. y x x m 2 3 6  = + - . y  cú m3 ( 3 ) D  = + . + Nu m 3Ê- thỡ 0 D Â Ê ị y x0,  " ị hm s ng bin trờn R ị m 3Ê- tho YCBT. + Nu m 3>- thỡ 0 D  > ị PT y 0  = cú 2 nghim phõn bit x x x x 1 2 1 2 , ( )< . Khi ú hm s ng bin trờn cỏc khong x x 1 2 ( ; ), ( ; )-Ơ +Ơ . Do ú hm s ng bin trờn khong ( ;0)- Ơ x x 1 2 0 Ê < P S 0 0 0 D  ỡ > ù ớ ù > ợ m m 3 0 2 0 ỡ >- ù - ớ ù - > ợ ( V N ) Vy: m 3Ê- . Cõu 3. Cho hm s y x m x m m x 3 2 2 3 ( 2 1 ) 6 ( 1 ) 1= - + + + + cú th (C m ). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong (2; )+Ơ ã Tp xỏc nh: D = R. y x m x mm 2 ' 6 6(2 1 ) 6 ( 1 )= - + + + cú m m m 2 2 (2 1 ) 4 ( ) 1 0 D = + - + = > x m y x m ' 0 1 ộ = = ờ = + ở . Hm s ng bin trờn cỏc khong m m( ; ), ( 1 ; )-Ơ + +Ơ Do ú: hm s ng bin trờn (2; )+Ơ m 1 2+ Ê m 1Ê Cõu 4. Cho hm s y x m x m x m 3 2 ( 1 2 ) (2 ) 2= + - + - + + . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1. 2) Tỡm m hm ng bin trờn khong K (0; )= +Ơ . ã Hm ng bin trờn (0; )+Ơ y x m x m 2 3 ( 1 2 ) (22 ) 0  += - + - vi x 0 )( ;" ẻ +Ơ x f x m x x 2 23 ( ) 4 1 2+ = + + vi x 0 )( ;" ẻ +Ơ Ta cú: xx xx x xf x x 2 2 2 6 ( 1 ) 1 1 2 ( ) 0 2 ( ) 0 1 ; 2 4 1  = + - + - = =-= = + Lp BBT ca hm f x( ) trờn (0; )+Ơ , t ú ta i n kt lun: f m m 1 5 2 4 ổ ử ỗ ữ ố ứ . Cõu hi tng t: a) y m x m x m x 3 2 1 ( 1 ) (2 1 ) 3 ( 2 1 ) 1 3 = + - - + - + m( 1 )ạ- , K ( ; 1)= -Ơ - . S: m 4 11 b) y m x m x m x 3 2 1 ( 1 ) (2 1 ) 3 ( 2 1 ) 1 3 = + - - + - + m( 1 )ạ- , K ( 1 ; )= +Ơ . S: 0m c) y m x m x m x 3 2 1 ( 1 ) (2 1 ) 3 ( 2 1 ) 1 3 = + - - + - + m( 1 )ạ- , K ( 1;1)= - . S: m 1 2 http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Kho sỏt hm s Trn S Tựng Trang 6 Cõu 5. Cho hm s y m x m x x 2 3 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 3 = - + - - + (1) m( 1 )ạ . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K ( ;2)= -Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R; y m x m x 2 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2  = - + - - . t t x 2= ta c: y g t m t m m t m m 2 2 2 2 ( ) ( 1 ) (4 2 6) 4 4 10  = = - + + - + + - Hm s (1) nghch bin trong khong ( ;2)- Ơ g t t( ) 0, 0 Ê " < TH1: a 0 0 ỡ < ớ DÊ ợ m m m 2 2 1 0 3 2 1 0 ỡ ù - < ớ - - Ê ù ợ TH2: a S P 0 0 0 0 ỡ < ùùù D> ớ > ù ù ợ m m m m m m m 2 2 2 1 0 3 2 1 0 4 4 10 0 2 3 0 1 ỡ - < ù - - > ù ù ù ớ + - Ê ù - - ù > ù + ợ Vy: Vi m 1 1 3 - Ê < thỡ hm s (1) nghch bin trong khong ( ;2)- Ơ . Cõu 6. Cho hm s y m x m x x 2 3 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 3 = - + - - + (1) m( 1 )ạ . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K (2; )= +Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R; y m x m x 2 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2  = - + - - . t t x 2= ta c: y g t m t m m t m m 2 2 2 2 ( ) ( 1 ) (4 2 6) 4 4 10  = = - + + - + + - Hm s (1) nghch bin trong khong (2; )+Ơ g t t( ) 0 , 0 Ê " > TH1: a 0 0 ỡ < ớ DÊ ợ m m m 2 2 1 0 3 2 1 0 ỡ ù - < ớ - - Ê ù ợ TH2: a S P 0 0 0 0 ỡ < ùùù D> ớ < ù ù ợ m m m m m m m 2 2 2 1 0 3 2 1 0 4 4 10 0 2 3 0 1 ỡ - < ù - - > ù ù ù ớ + - Ê ù - - ù < ù + ợ Vy: Vi m1 1- < < thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (2; )+Ơ Cõu 7. Cho hm s y x x m x m 3 2 3= + + + (1), (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3. 2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1. ã Ta cú y x x m 2 ' 3 6= + + cú m9 3 D  = - . + Nu m 3 thỡ y x R0,  " ẻ ị hm s ng bin trờn R ị m 3 khụng tho món. + Nu m < 3 thỡ y 0  = cú 2 nghim phõn bit x x x x 1 2 1 2 , ( )< . Hm s nghch bin trờn on x x 1 2 ; ộ ự ở ỷ vi di l x x 1 2 = - . Ta cú: m x x xx 1 2 1 2 2 ; 3 + = - = . YCBT l 1= x x 1 2 1- = x x xx 2 1 2 1 2 ( ) 4 1+ - = m 9 4 = . Cõu 8. Cho hm s y x mx 3 2 2 3 1= - + - (1). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1. 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) ng bin trong khong x x 1 2 ( ; ) vi x x 2 1 1- = . ã y x mx 2 ' 6 6= - + , y x x m' 0 0= = = . + Nu m = 0 y x0,  ị Ê " ẻ Ă ị hm s nghch bin trờn Ă ị m = 0 khụng tho YCBT. http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 7 + Nu m 0ạ , y x m khi m0, (0; ) 0  " ẻ > hoc y x m khi m0, ( ; 0) 0  " ẻ < . Vy hm s ng bin trong khong x x 1 2 ( ; ) vi x x 2 1 1- = x x m x x m 1 2 1 2 ( ; ) (0; ) ( ; ) ( ;0) ộ = ờ = ở v x x 2 1 1- = m m m 0 1 1 0 1 ộ - = = ờ - = ở . Cõu 9. Cho hm s y x mx m 4 2 2 3 1= - - + (1), (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1. 2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2). ã Ta cú y x m x x x m 3 2 ' 4 4 4 ( )= - = - + m 0Ê , y x0, (0; )  " ẻ +Ơ ị m 0Ê tho món. + m 0> , y 0  = cú 3 nghim phõn bit: m m, 0,- . Hm s (1) ng bin trờn (1; 2) m m1 0 1Ê < Ê . Vy ( m ;1 ự ẻ -Ơ ỷ . Cõu hi tng t: a) Vi y x m x m 4 2 2 ( 1 ) 2= - - + - ; y ng bin trờn khong ( 1 ; 3 ) . S: m 2Ê . Cõu 10. Cho hm s m x y x m 4+ = + (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m 1=- . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong ( ;1)-Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R \ {m}. m y x m 2 2 4 ( ) -  = + . Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh y m0 2 2  < - < < ( 1 ) hm s (1) nghch bin trờn khong ( ;1)-Ơ thỡ ta phi cú m m1 1- Ê- ( 2 ) Kt hp (1) v (2) ta c: m2 1- < Ê- . Cõu 11. Cho hm s x x m y x 2 2 3 (2). 1 - + = - Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong ( ; 1)- Ơ - . ã Tp xỏc nh: D R {\ 1}= . x x m f x y x x 2 2 2 2 4 3 ( ) ' . ( 1 ) ( 1 ) - + - = = - - Ta cú: f x m x x 2 ( ) 0 2 4 3 Ê - + . t g x x x 2 ( ) 2 4 3= - + g x x'( ) 4 4ị = - Hm s (2) ng bin trờn ( ; 1)- Ơ - y x m gx ( ; 1] ' 0, ( ; 1) min ( ) -Ơ - " ẻ -Ơ - Ê Da vo BBT ca hm s g x x( ), ( ; 1]" ẻ -Ơ - ta suy ra m 9Ê . Vy m 9Ê thỡ hm s (2) ng bin trờn ( ; 1)- Ơ - Cõu 12. Cho hm s x x m y x 2 2 3 (2). 1 - + = - Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (2; )+Ơ . ã Tp xỏc nh: D R {\ 1}= . x x m f x y x x 2 2 2 2 4 3 ( ) ' . ( 1 ) ( 1 ) - + - = = - - Ta cú: f x m x x 2 ( ) 0 2 4 3 Ê - + . t g x x x 2 ( ) 2 4 3= - + g x x'( ) 4 4ị = - Hm s (2) ng bin trờn (2; )+Ơ y x m gx [2; ) ' 0, (2; ) min ( ) +Ơ " ẻ +Ơ Ê http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 8 Dựa vào BBT của hàm số g x x( ), ( ; 1]" Î -¥ - ta suy ra m 3£ . Vậy m 3£ thì hàm số (2) đồng biến trên (2; )+¥ . Câu 13. Cho hàm số x x m y x 2 2 3 (2). 1 - + = - Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng ( 1 ; 2 ) . · Tập xác định: D R {\ 1}= . x x m f x y x x 2 2 2 2 4 3 ( ) ' . ( 1 ) ( 1 ) - + - = = - - Ta có: f x m x x 2 ( ) 0 2 4 3³ Û £ - + . Đặt g x x x 2 ( ) 2 4 3= - + g x x'( ) 4 4Þ = - Hàm số (2) đồng biến trên ( 1 ; 2 ) y x m gx [ 1 ; 2 ] ' 0, ( 1 ; 2 ) min ( )Û ³ " Î Û £ Dựa vào BBT của hàm số g x x( ), ( ; 1]" Î -¥ - ta suy ra m 1£ . Vậy m 1£ thì hàm số (2) đồng biến trên ( 1 ; 2 ) . Câu 14. Cho hàm số x m x m y m x 2 2 2 3 (2). 2 - + = - Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ . · Tập xác định: D R { m}\ 2= . x mx m f x y x m x m 2 2 2 2 4 ( ) ' . ( 2 ) ( 2 ) - + - = = - - Đặt t x 1= - . Khi đó bpt: f x( ) 0£ trở thành: g t t m t m m 2 2 ( ) 2(1 2 ) 4 1 0= - - - - + - £ Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)-¥ m y x g t t i 2 1 ' 0, ( ;1) ( ) 0 , 0 ( ) ì > Û £ " Î -¥ Û í £ " < î i S P ' 0 ' 0 () 0 0 é D= ê ì D> ê Û ï > í ê ï ³ ê î ë m m m m m 2 0 0 4 2 0 4 1 0 é = ê ì ¹ ê Û ï - > í ê ï ê - + ³ î ë m m 0 2 3 é = Û ê ³ + ë Vậy: Với m 2 3³ + thì hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)-¥ . Câu 15. Cho hàm số x m x m y m x 2 2 2 3 (2). 2 - + = - Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng ( 1 ; )+¥ . · Tập xác định: D R { m}\ 2= . x mx m f x y x m x m 2 2 2 2 4 ( ) ' . ( 2 ) ( 2 ) - + - = = - - Đặt t x 1= - . Khi đó bpt: f x( ) 0£ trở thành: g t t m t m m 2 2 ( ) 2(1 2 ) 4 1 0= - - - - + - £ Hàm số (2) nghịch biến trên ( 1 ; )+¥ m y x g t t ii 2 1 ' 0, ( 1 ; ) ( ) 0, 0 ( ) ì < Û £ " Î +¥ Û í £ " > î ii S P ' 0 ' 0 ( ) 0 0 é D= ê ì D> ê Û ï < í ê ï ³ ê î ë m m m m m 2 0 0 4 2 0 4 1 0 é = ê ì ¹ ê Û ï - < í ê ï ê - + ³ î ë m 2 3Û £ - Vậy: Với m 2 3£ - thì hàm số (2) nghịch biến trên ( 1 ; )+¥ http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 9 KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y f x ax bx cx d 3 2 ( )= = + + + A. Kiến thức cơ bản · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y 0 ¢ = có 2 nghiệm phân biệt. · Hoành độ x x 1 2 , của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y 0 ¢ = . · Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích y f x q x hx( ). ( ) ( ) ¢ = + . – Suy ra y h x y hx 1 1 2 2 ( ), ( )= = . Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y h x( )= . · Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d y k x b d y k x b 1 1 1 2 2 2 : , := + = + thì k k kk 1 2 1 2 tan 1 - = a + B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d y px q: = + . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k p= (hoặc k p 1 =- ). 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điể m c ực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d y px q: = + một góc a . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k p kp tan 1 - = + a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k t a n= a ) 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm c ực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A , B s a o c h o DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm c h o t r ước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện IAB S S D = . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm c ực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện IAB S S D = . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm c ực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. – Giải điều kiện: d I d D ì ^ í Î î . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ . Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 1 KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y f x( )= có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến. http://tailieu1.webnode.vn/ Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 8 Dựa vào BBT của hàm số g x x( ), ( ; 1]" Î -¥ - ta suy ra m 3£ . Vậy m 3£ thì hàm số (2) đồng biến