Đang tải... (xem toàn văn)
+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tương ứng với từng nội dung của bài đó..[r]
(1)TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN VÒNG II NĂM HỌC 2012 – 2013 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1:(5 điểm) a −2 a +a −2 a +1 25 16 và ( x z ) ( z y)(2 x y z ) a) Tính giá trị biểu thức Q = Biết a = x + y x+ z 1 1 b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn: a b c abc a b c2 Chứng minh rằng: là số chính phương Bài 2: (4 điểm) x 241 x 220 x 195 x 166 10 19 21 23 a) Giải phương trình: 17 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương cho a c, b c Chứng minh c a c c b c ab b) Gi¶ sö f(x) lµ mét ®a thøc bËc víi hÖ sè nguyªn Chøng minh r»ng: NÕu f(x) 7 víi ∀ x ∈ Ζ th× tõng hÖ sè cña f(x) còng 7 Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm HA ' HB' HC ' a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM ( AB BC CA) 2 2 c) Tam giác ABC nào thì biểu thức ( AA ') ( BB ') (CC ') đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP cho: ME = PF Các đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ C và B Kéo dài MB và NC cắt A Chứng minh tam ABC là tam giác vuông .Hết ( Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm.) (2) Họ và tên thi sinh Số báo danh TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài Nội dung a 5,0đ 3,0đ a 5−a 5+ a Ta có x + y = x+ z = z − y = x+ y+ z x+ z ¿ (5 −a)(5+ a) ¿ Suy 25 = ( z − y)( x + y + z) = ¿ 16 25 −a = = ( z − y)( x + y + z) (z − y)( x + y +z) Suy 25 – a2 = 16 Þ a2 = Þ a= ±3 a5 (a − 2)+( a −2) a −2 a +a −2 Mặt khác Q = = = a5+ a5 +1 (a −2)(a + 1) = = a – 2, với a - a +1 Với a = thì P = với a = - thì P = - b 2,0đ Ta có: Điểm 0,5 0,75 0,5 0,75 0,5 1 1 Þ ab bc ca 1 a b c abc Þ a ab bc ca a a(a b) c(a b) (a b)(a c) 0,5 Þ b ab bc ca b b(a b) c(a b) (a b)(b c) Þ c2 ab bc ca c2 b(a c) c(a c) (a c)(b c) 0,5 Þ (1 a )(1 b )(1 c2 ) (a b)2 (b c)2 (a c)2 (a b)(b c)(c a) 0,5 Vì a, b, c là các số nguyên Þ (a b)(b c)(c a) Z 2 0,5 Þ (1 a )(1 b )(1 c ) là số chính phương a 4,0đ 2,0đ Ta có: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 0,5 0,5 0,5 (3) b 2,0đ Vậy phương trình có nghiệm x = 258 2 + Phương trình biến đổi thành: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1) 0,5 0,5 + Ta chứng minh (x + 1) và (x + 1) nguyên tố cùng Vì d = UCLN (x+1, x + 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ) Þ x x d x 1d x 1d x 1d x 1d x 1d Þ Þ x 1d Þ d mà d lẻ nên d = 0,5 + Nên muốn (x + 1)(x + 1) là số chính phương Thì (x+1) và (x + 1) phải là số chính phương x k k 1 k x t Þ x Þ Đặt: (k + x)(k – x) = x 0 + Với x = thì (2y + 1) = Þ y = y = - 1.(Thỏa mãn pt) (0; 0), Vậy nghiệm phương trình là: (x; y) = a 4,0đ 2,0đ (0; 1) 0,5 0,5 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với c a c c b c 1 b a a b xy xy Áp dụng bđt Cauchy Với x 0, y Đẳng thức xảy <=> x = y ta có 0,5 c a c 1 c a c 1 c c 1 b a 2b a 2 b a 0,5 c b c 1 c b c 1 c c 1 a b 2 a b 2 a b 0,5 Cộng vế với vế hai bđt ta bđt cần chứng minh: ab c a c c b c c a b a và a b <=> Đẳng thức xảy <=> b b Gi¶ sö f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Do f(0) = e nªn e 7 2,0đ 0,5 0,5 f (1) a b c d e 7 a c 7 Þ MÆt kh¸c f ( 1) a b c d e 7 b d 7 f (2) 16a 8b 4c 2d e 7 Þ f ( 1) 16a 8b 4c 2d e 7 4a c 7 4b d 7 a c 7 3a 7 a 7 b d 7 3b 7 b 7 Þ Þ Þ Þ a c c c b d d d 7 => vµ Vậy các hệ số f(x) chia hết cho 0,75 0,5 0,25 (4) 5,0đ a 1,5đ Ta có: HA ' BC S HBC HA ' = = ; S ABC AA ' AA ' BC S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC 0,5 0,5 HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC' S ABC S ABC SABC 0,5 b 1,5đ Áp dụng tính chất phân giác vào các ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI 0,5 BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI Þ BI AN CM BN IC AM c 2,0đ Vẽ Cx 0,5 0,5 CC’ Gọi D là điểm đối xứng A qua Cx - Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 0,5 - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 => AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 => 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 0,75 - Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 ( AB BC CA) 4 2 ( AA ') ( BB ') ( CC ') <=> Đẳng thức xảy <=> BC = AC, AC = AB, AB = BC <=> AB = AC = BC <=> ABC 0,25 (5) ( AB BC CA) 4 2 ( AA ') ( BB ') ( CC ') Vậy GTNN <=> ABC 0,5 2,0đ F E 2,0đ Áp dụng định lí Talet ta có : ME =MN EQ BQ (1); PF PC = FN MN 0,5 (2) Vì ME = PF ⇒ Từ (1); (2); (3) ⇒ ME PF = EQ FN (3) MN PC = BQ MN a,b,c∈Z Suy hai tam giác vuông BMQ và NCP đồng dạng với => MBQ + NCP = CNP + NCP = 90 Suy : ABC vuông A Chú ý: + Hướng dẫn chấm này có 04 trang, chấm theo thang điểm 20 + Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn + Bài số và phải có hình vẽ đúng chấm + Mọi cách làm khác đúng cho điểm tối đa tương ứng với nội dung bài đó 0,5 0,25 0,75 (6)