Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính MụC LụC 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 3 3.1 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1.2 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Tọa độ vectơ và phép đổi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Tọa độ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.2 Đổicơsở 23 3.3.3 Hạng của hệ véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.4 Tổng và tổng trực tiếp các không gian con . . . . . . . . . 31 3.4 ánhxạtuyếntính . 36 3.4.1 Các khái niệm cơ bản về ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . 36 3.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4.3 Các phép toán giữa các ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . 48 3.4.4 Ma trận của phép biến đổi tuyến tính trong các cơ sở khác nhau 51 3.5 Trị riêng, véctơ riêng của phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . 55 1 đại số Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng và sinh viên các tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật 2 Ch-ơng 3 Kh ô ng gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 3.1 Kh ô ng gian tuyến tính 3.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính Định nghĩa 3.1.1 Cho V = và K là tr-ờng số thực hoặc phức, V đ-ợc gọi là không gian tuyến tính trên tr-ờng K nếu trên V xác định hai phép toán: a) Phép cộng là ánh xạ V ì V V ứng mỗi cặp (x, y) với một phần tử duy nhất trong V kí hiệu x + y V thỏa mãn x + y = y + x với x, y V (x + y)+z = x +(y + z) với x, y, z V Tồn tại 0 V : x + 0 = 0 + x = x với x V x V đều tồn tại (x) V :(x +(x)) = 0 b) Phép nhân một phần tử của K với một phần tử của V là một ánh xạ KìV V t-ơng ứng mỗi cặp (, x) với một phần tử duy nhất trong V kí hiệu x V (hoặc ã x) thỏa mãn () x = ( ã x) , K,x V ( + ) x = x + x , K,x V (x + y)=x + y K,x, y V 1 ã x = x x V , trong đó 1 là phần tử đơn vị của K. 3 4 Ch-ơng III. Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính Mỗi phần tử x V th-ờng đ-ợc gọi là một vectơ. Phần tử 0 V trong định nghĩa trên đ-ợc gọi là vectơ không, phần tử (x) V đ-ợc gọi là phần tử đối của x hay vectơ đối của vectơ x. Không gian tuyến tính trên K còn đ-ợc gọi là không gian véctơ trên tr-ờng K. Nếu K là tr-ờng số thực, V trên R đ-ợc gọi là không gian tuyến tính thực, nếu K là tr-ờng số phức, V trên C đ-ợc gọi là không gian tuyến tính phức. Ví dụ 3.1.1 1. Tập hợp các véctơ hình học trong không gian, kí hiệu V 3 với phép cộng các véctơ và nhân véctơ với một số thực nh- đã biết là không gian tuyến tính thực. Tập hợp các véctơ hình học trong mặt phẳng, kí hiệu V 2 cũng là không gian tuyến tính thực. 2. Tập hợp các số thực R trên R là không gian tuyến tính thực, tập các số phức C trên R cũng là không gian tuyến tính thực. Tập các số phức C trên C là không gian tuyến tính phức. 3. R n = {x =(x 1 ,x 2 , ., x n ) | x i R i = 1,n} là không gian tuyến tính thực với các phép toán (x 1 ,x 2 , ., x n )+(y 1 ,y 2 , ., y n )=(x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 , ., x n + y n ) (x 1 ,x 2 , ., x n )=(x 1 ,x 2 , ., x n ), R. 4. Tập hợp các ma trận cùng kiểu m ì n M mìn = a 11 a 12 . a 1n a 21 a 22 . a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . a mn trong đó các phần tử a ij của ma trận là các số thực là không gian tuyến tính trên R (phép cộng các ma trận và nhân ma trận với một số nh- đã biết trong ch-ơng II). Đặc biệt tập hợp các ma trận cột M n (R)= x 1 x 2 . . . x n | x i R i = 0,n 3.1 Không gian tuyến tính 5 là không gian tuyến tính thực. Nó đ-ợc gọi là không gian các véctơ cột n chiều. T-ơng tự ta có thể nói đến không gian tuyến tính gồm các ma trận hàng 1 ì n. 5. Tập các đa thức bậc không quá n, n N là một số tự nhiên cho tr-ớc P n [x]={P = a o + a 1 x + . + a n x n | a i R,i= 0,n} với phép cộng đa thức và nhân đa thức với một số thực nh- đã biết, là không gian tuyến tính thực. Ta gọi là P n [x] là không gian các đa thức có bậc n. 6. Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần nhất AX =0là không gian tuyến tính thực. Thật vậy giả sử A là ma trận kiểu mì n, các nghiệm của hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần nhất AX =0là các ma trận cột n ì 1. Kí hiệu V là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ ph-ơng trình đó. Nghiệm của hệ ph-ơng trình thuần nhất có các tính chất nh- đã trình bày trong ch-ơng tr-ớc X 1 ,X 2 V X 1 + X 2 V X 1 V, R X 1 V Các phép toán cộng, nhân trên V thực chất là phép cộng hai ma trận, phép nhân ma trận với một số. Do vậy chúng thỏa mãn các yêu cầu trong định nghĩa về không gian tuyến tính. Nói cách khác V là không gian véctơ. Xét một tr-ờng hợp riêng: giao của 2 mặt phẳng (tập hợp các điểm (x, y, z) R 3 thỏa mãn hệ 2 ph-ơng trình) x + y 4z =0 2x y +2z =0 thực chất là tập nghiệm của hệ 2 ph-ơng trình thuần nhất, với cách lập luận trên là không gian véctơ. 7. Bạn đọc có thể tự kiểm tra các khẳng định sau: Tập hợp A = {(x, y) 6 Ch-ơng III. Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính R 2 | x>0,y > 0} không là không gian véctơ thực, với các phép toán nh- trong ví dụ 2 (x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 )=(x 1 + x 2 ,y 1 + y 2 ) (x, y)=(x, y), R Tập các số thực R (với phép cộng và phép nhân các số thực đã biết) không là không gian tuyến tính phức. Các tính chất cơ bản của không gian véctơ Cho không gian tuyến tính V trên tr-ờng K. Chúng có các tính chất cơ bản sau 1. Trong không gian tuyến tính V , véctơ 0 là duy nhất. Thật vậy nếu 0 V cũng có tính chất 0 + x = x x V thì 0 = 0 + 0 = 0 . 2. Với mỗi b V tồn tại duy nhất véctơ đối (b) V . Thật vậy giả sử tồn tại b 1 , b 2 sao cho b 1 + b = 0 = b 2 + b. Ta có b 1 = b 1 + 0 = b 1 +(b 2 + b)=(b 1 + b)+b 2 = 0 + b 2 = b 2 Vậy (b) là duy nhất. 3. Với mọi K, ã 0 = 0. Thật vậy ã 0 = (0 + 0)= ã 0 + ã 0. Cộng cả 2 vế với véctơ đối ( ã 0) ta có ã 0 = 0. 4. T-ơng tự 0 ã a = 0 và (1) ã a =(a). Thật vậy 0 ã a = (0 + 0) ã a =0ã a +0ã a. Cộng hai vế với (0 ã a) ta có 0 =0ã a +0ã a +(0 ã a)=0ã a. Để chứng minh (1) ã a =(a), xét a +(1) ã a =1ã a +(1) ã a =(1 1) ã a =0ã a = 0. Suy ra (1) ã a là véctơ đối của (a). Nhận xét rằng do (1)ã a =(a), ta có thể nói trong không gian tuyến tính hiệu 2 véctơ b và a bằng tổng của b với véctơ đối của a b a = b +(a). 3.1 Không gian tuyến tính 7 3.1.2 Không gian con Định nghĩa 3.1.2 Cho V là không gian véctơ trên tr-ờng K. Tập con U V của không gian véctơ V đ-ợc gọi là không gian con của V , kí hiệu UV, nếu U cũng là không gian véctơ trên tr-ờng K với các phép toán cộng véctơ và nhân véctơ với một số trên không gian véctơ V . Định lí sau là hiển nhiên Định lí 3.1.1 Điều kiện cần và đủ để U V là không gian con của không gian véctơ V là i) Với mọi a, b U a + b U ii) Với mọi a U và mọi K a U. L-u ý rằng các yêu cầu i) và ii) trong định lí trên có thể thay bằng mệnh đề sau: , K,a, b U a + b U. () Thật vậy với , K,a, b U, từ ii) suy ra a U, b U do i) = a + b U. Ng-ợc lại i) đ-ợc suy ra từ mệnh đề () bằng cách chọn =1, =1, ii) đ-ợc suy ra từ mệnh đề () bằng cách chọn =0. Ví dụ 3.1.2 (Về các không gian véctơ con) 1. Tập hợp gồm một véctơ 0 hoặc chính không gian véctơ V là hai không gian con tầm th-ờng của không gian véctơ V . 2. Tập hợp các véctơ hình học song song với một mặt phẳng cố định (hoặc song song với một đ-ờng thẳng cố định) là không gian con. 3. á p dụng định lí 3.1.1 ta thấy ngay V 1 = {(x, y, z) R 3 | 2x +3y 4z =0} là không gian con của R 3 , V 2 = {(x, y,z, 0) | x, y, z R} là không gian con của R 4 . Nh- vậy trong không gian véc tơ thực R 3 với các phép toán thông th-ờng: (x 1 ,x 2 ,x 3 )+(y 1 ,y 2 ,y 3 )=(x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 ,x 3 + y 3 ) 8 Ch-ơng III. Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính (x 1 ,x 2 ,x 3 )=(x 1 ,x 2 ,x 3 ), R ngoài các không gian con tầm th-ờng, các đ-ờng thẳng đi qua gốc tọa độ và các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ là các không gian con của R 3 . Đồng thời ta dễ dàng chỉ ra điều ng-ợc lại mọi không gian con bất kì của R 3 chỉ có thể là không gian con tầm th-ờng hoặc các đ-ờng thẳng, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. 4. Tập hợp các ma trận chéo n ì n là không gian con của không gian véctơ gồm các ma trận vuông cấp n. 3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính Định nghĩa 3.2.1 Cho các véctơ u 1 , u 2 , ., u n trong không gian véctơ V . Ta nói véctơ 1 u 1 + 2 u 2 + ããã+ n u n , với 1 , 2 , ., n K, là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ u 1 , u 2 , ., u n . Ví dụ véctơ 2 a +3 b là một tổ hợp tuyến tính của hai véctơ a và b . Véc tơ a +3 b 2 c là một tổ hợp tuyến tính của 3 véctơ a , b , c . Cho B = {b 1 , b 2 , ., b k } là hệ gồm k véctơ trong không gian tuyến tính V .Ta đ-a vào kí hiệu L (b 1 , b 2 , ., b k ) hay L (B) là tập hợp toàn bộ các tổ hợp tuyến tính của k véctơ đó L (B)={ 1 b 1 + 2 b 2 + ããã+ k b k | i K, i = 1,k} Ta sẽ chứng minh định lí sau Định lí 3.2.1 L (B) là không gian con của không gian véctơ V . Chứng minh. Thật vậy, với x, y L (B) x = 1 b 1 + 2 b 2 + .+ k b k y = 1 b 1 + 2 b 2 + .+ k b k Khi đó với mọi , K, véctơ x + y =( 1 + 1 )b 1 +( 2 + 2 )b 2 + .+( k + k )b k 3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính 9 cũng là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ b 1 , b 2 , ., b k . Nói cách khác x + y L (B), áp dụng định lí 3.1.1 ta có L (B) là không gian con sinh bởi các véctơ b 1 , b 2 , ., b k . Một cách tổng quát gọi A V là tập hợp bất kì các véctơ của không gian véctơ V . Kí hiệu L (A)={ 1 u 1 + 2 u 2 + ããã+ n u n | n N, u i A, i K i = 1,n} là tập hợp toàn bộ các tổ hợp tuyến tính của các véctơ trong A. Hoàn toàn t-ơng tự nh- trên, L (A) cũng là không gian con của không gian véctơ V . Ví dụ 3.2.1 1. Trong R 3 xét hệ các véctơ B = {e 1 =(1, 0, 0), e 2 =(0, 1, 0), e 3 =(0, 0, 1)}. Mọi véctơ trong R 3 có thể biểu diễn nh- một tổ hợp tuyến tính của 3 véctơ đó (x, y, z)=x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Do vậy L (e 1 , e 2 , e 3 )=R 3 . 2. Không gian con sinh bởi một véctơ a V là tập hợp các véctơ có dạng L (a)={ a | K}. Cũng nh- trong hình giải tích, để thuận tiện ta gọi véctơ a là véctơ đồng ph-ơng với a. Xét không gian các ma trận vuông cấp hai M 2ì2 , không gian con sinh bởi ma trận B = 10 01 là tập hợp các ma trận chéo có dạng L (B)= x 0 0 x | x R Định nghĩa 3.2.2 Không gian véctơ L (A) đ-ợc gọi là không gian sinh bởi A. Tập A đ-ợc gọi là tập sinh của không gian véctơ L (A). Đặc biệt {u 1 , u 2 , ., u k V } là tập sinh của không gian véctơ V nếu mọi véctơ trong V đều là một tổ hợp tuyến tính nào đó của các véctơ u 1 , u 2 , ., u k u V i K, i = 1,k : u = 1 u 1 + 2 u 2 + ããã+ k u k . [...]... c2 + 3 c3 = (1 + 2 + 3 , 2 + 3 , 3 ) Ch-ơng III Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 26 Suy ra x1 = 1 + 2 + 3 x = 2 + 3 2 x3 = 3 hay 1 = x1 x2 = x2 x3 2 3 = x3 Vậy tọa độ của x trong cơ sở C bằng (x1 x2, x2 x3, x3 ) hoặc viết d-ới dạng ma trận cột x1 x2 [x]C = x2 x3 x3 Một cách khác để tính tọa độ của x trong cơ sở C là áp dụng công thức đổi tọa độ trong định lí 3. 3.2... khác nhau là nh- nhau, ng-ời ta gọi số đó là chiều của không gian véctơ V , kí hiệu dim V Để chứng minh định lí ta cần một bổ đề sau 16 Ch-ơng III Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính Bổ đề 3. 2.1 Cho B = {x1, x2, , xn} và B = {y1 , y2, , ym } là hai hệ véctơ trong không gian tuyến tính V Nếu mọi vectơ trong B đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong B và giả thiết số l-ợng các véctơ... (1, 2, 3) , b2 = (1, 1, 2), b3 = (0, 3, 1)} Hệ B phụ thuộc tuyến tính vì b1 + b2 b3 = 0 2 Nếu B là hệ các véctơ bất kì trong không gian tuyến tính V và B chứa véctơ 0, khi đó B phụ thuộc tuyến tính Thật vậy do véctơ 0 B, ta có ngay một tổ hợp tuyến tính 1 ã 0 = 0 với hệ số khác 0 3 Kí hiệu V3 là tập các vec tơ hình học không gian, V3 là không gian tuyến tính thực Hiển nhiên hai véctơ đồng ph-ơng hoặc... của không gian các đa thức có bậc không v-ợt quá 2 Vậy chiều của không gian đó dim P2 [x] = 3 3 Không gian M1 = M2ì2 gồm các ma trận vuông cấp 2 có một hệ cơ sở 1 0 , M2 = 0 0 0 1 , M3 = 0 0 0 0 , M4 = 1 0 0 0 0 1 Vậy dim M2ì2 = 4 4 Trong ví dụ 3. 2.5 không gian M3ì2 có 1 0 0 M1 = 0 0 , M2 = 0 0 0 0 một cơ sở gồm các ma trận 1 0 0 0 , M3 = 1 0 0 0 0 Ch-ơng III Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến. .. 2 ã (x 1) + 1 ã (x 1)2 3 Ch-ơng III Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 28 3. 3 .3 Hạng của hệ véctơ Định nghĩa 3. 3.1 Trong không gian V cho hệ n véctơ B = {b1, b2 , , bn} Ta nói hạng của hệ bằng k, kí hiệu r(B) = k, nếu tồn tại k véctơ độc lập tuyến tính trong B và mọi hệ con nhiều hơn k véctơ của B đều phụ thuộc tuyến tính Ta quy - c nếu hệ véctơ chỉ gồm các véctơ không, hạng của hệ bằng 0... trên không đồng phẳng Trong hình học giải tích ta đã biết mọi véctơ trong không gian đều có thể phân tích theo 3 véctơ không đồng phẳng, do đó chúng là một hệ sinh của không gian V Mặt khác hệ 3 véctơ không đồng phẳng bất kì độc lập tuyến tính (xem ví dụ 3. 2 3) , suy ra chúng là cơ sở của V và dim V = 3 3. 2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính 19 2 Trong không gian R4, hiển nhiên V = {(x1 , x2, x3,... minh Ch-ơng III Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 32 Nhận xét rằng định lí có thể mở rộng cho tổng và giao của hữu hạn các không gian con Vi V, i = 1, k: k V1 + V2 + ã ã ã + Vk = {x1 + x2 + ã ã ã + xk | xi Vi i = 1, k} và Vi i=1 là các không gian con của V Chú ý rằng hợp của hai không gian con nói chung không là không gian con Ta có thể thấy điều khẳng định đó trong ví dụ sau Ví dụ 3. 3.5 Xét... vế và chia hai vế cho k , ta - c bk = 1 2 k1 k+1 n b1 b2 ã ã ã bk1 bk+1 ã ã ã bn k k k k k 3. 2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính 13 Vậy bk là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại trong hệ B Ng-ợc lại, không làm mất tính tổng quát giả sử b1 là tổ hợp tuyến tính của các véctơ b2 , ã ã ã , bn b1 = 2b2 + 3b3 + + n bn Ta có 1 ã b1 2b2 3b3 ã ã ã n bn = 0, suy ra B phụ thuộc tuyến tính. .. ami bm 14 Ch-ơng III Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính Hệ ph-ơng trình AX = B cũng có thể viết d-ới dạng x1a1 + x2a2 + ã ã ã + xn an = b Do vậy nếu hệ ph-ơng trình có nghiệm, b là tổ hợp tuyến tính của các véctơ a1 , a2 , , an Khi đó theo định lí 3. 2.2 hệ véctơ {a1 , a2 , , an, b} phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 3. 2.4 Trong không gian véctơ V một hệ các véctơ {u1 , u2 , , un} - c gọi là cơ... không gian tuyến tính V - c gọi là độc lập tuyến tính nếu hữu hạn véctơ bất kì trong A cũng độc lập tuyến tính Nhận xét rằng nếu bớt đi một số véctơ từ hệ các véctơ độc lập tuyến tính, hệ còn lại vẫn độc lập tuyến tính, hoặc diễn đạt một cách khác t-ơng - ng nếu thêm vào hệ phụ thuộc tuyến tính các véctơ bất kì, hệ mới vẫn phụ thuộc tuyến tính Thật vậy giả sử A = {b1 , b2 , , bn} phụ thuộc tuyến tính, . Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính MụC LụC 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính 3 3.1 Không gian tuyến tính. ,x 3 + y 3 ) 8 Ch-ơng III. Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính (x 1 ,x 2 ,x 3 )=(x 1 ,x 2 ,x 3 ), R ngoài các không gian con tầm th-ờng, các - ng