Trờng Đại học Vinh Khoa toán Phạm thị hải Rèn luyện lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức thông qua dạy học giải tập hình học không gian Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành s phạm toán Vinh - 2009 Trờng Đại học Vinh Khoa toán Rèn luyện lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức thông qua dạy học giải tập hình học không gian Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành s phạm toán Cán hớng dẫn: GS.TS đào tam ThS Nguyễn chiến thắng Sinh viên thực hiện: phạm thị hải Lớp: 46A - Toán Vinh - 2009 LờI cảm ơn Khoá luận đợc hoàn thành với hớng dẫn, giúp đỡ thầy cô giáo môn phơng pháp dạy học toán, khoa toán trờng Đại học Vinh, với gia đìmh bạn bè Đặc biệt dới hớng dẫn tận tình thầy giáo GS-TS Đào Tam thầy giáo Th.S Nguyễn Chiến Thắng Trong thời gian hoàn thành khoá luận tác giả có nhiều cố gắng song không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đợc thông cảm đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn để khoá luận đợc hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! - Tác giả khoá luận - Một số kí hiệu viết tắt THPT: Trung học phổ thông THCS: Trung học sở PCSS: Phép chiếu song song mp: mặt phẳng CMR: chứng minh Mục lục Trang mở đầu .1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Gi¶ thuyÕt khoa häc NhiƯm vơ nghiªn cøu .2 Phơng pháp nghiên cứu §ãng gãp cđa kho¸ ln Cấu trúc đề tài Néi dung Ch¬ng 1: MộT Số CƠ Sở Lý LUậN Và THựC TIễN CủA VIƯC RÌN LUN N¡NG LùC Tỉ CHøC TRI THøC TIÕN HàNH CáC HOạT ĐộNG CHIếM LĩNH KIếN THứC Mét sè vÊn ®Ò chung 1.1 Năng lực 1.2 Năng lực toán học 1.3 Tri thøc to¸n häc 1.4 Năng lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức Cơ sở lý luận thực tiễn việc tổ chức tri thức cho hoạt động .9 2.1 Sù cÇn thiÕt cđa viƯc “Tỉ chøc tri thức cho hoạt động chiếm lĩnh kiến thức .9 2.2 Quan điểm vật biện chứng tâm lý học vỊ viƯc tỉ chức tri thức tiễn hành hoạt động chiếm lĩnh kiến 2.2.1.Quan điểm vật biện chứng 2.2.2 Quan điểm tâm lý học 10 2.3 Đặc điểm chơng trình hình học khụng gian lớp 11 12 11 2.4 C¬ së thùc tiƠn .12 Một số phơng thức Rèn luyện lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức thông qua dạy học giải tập hình học không gian 12 3.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ lựa chọn nhóm tri thức liên quan tơng hỗ với đối tợng, nhằm thúc đẩy chủ thể hoạt động hớng vào đối tợng, xâm nhập vào đối tợng 13 3.2 Luyện tập cho học sinh kĩ biến đổi đối tợng hoạt động thành đối tợng tơng đơng liên quan tới kiến thức đà có, dễ dàng lựa chọn nhóm tri thức giúp chủ thể hoạt động hớng vào đối tợng có hiệu .19 3.2.1 Liên hệ với hình học ph¼ng 19 3.2.2 Biến đổi đối tợng tơng đơng dựa bất biến 22 3.2.3 Qui lạ quen 25 3.3 LuyÖn tËp cho häc sinh thói quen xác định nguồn gốc tri thức phản ánh đối tợngcủa hoạt động, từ giúp cho häc sinh biÕt c¸ch lùa chän tri thøc cho hoạt động chủ thể chiếm lĩnh kiến thức 26 3.4 Trang bị cho học sinh tri thức phương pháp mở rộng phát triển toán 28 KÕT LUËN 29 Chơng 2: Một số phơng án thĨ RÌN LUN N¡NG LùC Tỉ CHøC TRI thøc TIÕN HµNH CHIÕM LÜNH KIÕN THøC CHO HäC SINH 30 RÌn lun cho häc sinh kỹ lựa chọn nhóm tri thức liên quan tơng hỗ với đối tợng, nhằm thúc đẩy chủ thể hoạt động hớng vào đối tợng, xâm nhập vào đối tỵng .30 LuyÖn tËp cho häc sinh kĩ biến đổi đối tợng hoạt động thành đối tợng tơng đơng liên quan tới kiến thức đà có, dễ dàng lựa chọn nhóm tri thức giúp chủ thể hoạt động hớng vào đối tợng có hiệu 44 Lun tËp cho häc sinh thãi quen x¸c định nguồn gốc tri thức phản ánh đối tợngcủa hoạt động, từ giúp cho học sinh biết cách lựa chọn tri thức cho hoạt động chủ thÓ chiÕm lÜnh kiÕn thøc 56 kÕt luËn 60 Ch¬ng 3: THử NGHIệM SƯ PHạM 62 Yêu cầu thử nghiệm 62 Néi dung thư nghiƯm 62 Cách tiến hành 62 Nội dung phơng pháp thử nghiệm .62 4.1.VÒ néi dung 62 4.2 Về phơng pháp 63 Đánh giá kết .63 5.1 Khả lÜnh héi kiÕn thøc cña häc sinh 63 5.2 KÕt qu¶ kiĨm tra 63 5.3 KÕt qu¶ chung vỊ thư nghiƯm 64 KÕt luËn 64 TàI LIệU THAM KHảO 65 mở đầu Lý chọn đề tài Trong giai đoạn việc tổ chức dạy học theo quan điểm đại đà bớc đợc tiến hành có hiệu trờng tiểu học trờng phổ thông Tuy nhiên thực t việc dạy, học toán trờng phổ thông cho thấy việc triển khai dạy học để học sinh học tập hoạt động gặp khó khăn chủ yếu sau: - Khó khăn thể việc điều khiển học sinh t duy, làm bộc lộ đối tợng mang tính nhu cầu hớng dẫn điều chỉnh hoạt động học sinh trình biến đổi đối tợng, chiếm lĩnh kiến thức - Tuy sách giáo khoa trờng THCS PTTH đà tính lựa chọn đối tợng chứa đựng nhu cầu cho hoạt động học sinh nhận thức khái niệm, định lý, quy tắc nh hoạt động củng cố khắc sâu chúng thông qua đề xuất hệ thống toán, câu hỏi, nhiệm vụ học tập với t cách đối tợng hoạt động, cha phải đối tợng hớng dẫn, điều chỉnh hoạt động Những đối tợng hớng dẫn điều chỉnh hoạt động đối tợng toán học, quan hệ chúng ẩn chứa toán, câu hỏi, hoạt động học sinh cần phải làm phát lộ ra, biến đổi chúng trình chiếm lĩnh kiến thức Việc nhận thức vấn đề nêu khó khăn giáo viên Từ thực tiễn dạy học toán, đặc biệt dạy học giải tập toán hình học không gian THPT cho thấy tuỳ thuộc cách tổ chức lựa chọn tri thức tơng thích với việc giải vấn đề toán học nói chung, giải toán hình học không gian nói riêng, học sinh có cách phát triển đối tợng tơng ứng từ có hoạt động thích hợp nhằm biến đổi đối tợng để chiếm lĩnh kiến thức Để góp phần giải phần khó khăn trên, đồng thời phát huy khả tổ chức lựa chọn tri thức tơng thích để tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức cách linh hoạt sáng tạo, nhằm giải nhanh nhất, xác vấn đề đặt ra, khuôn khổ khoá luận chọn đề tài nghiên cứu mình: Rèn luyện lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức thông qua dạy học giải tập hình học không gian Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận xây dựng nội dung phơng pháp rèn luyện lực tổ chức tri thức để tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức thông qua dạy học giải tập hình học không gian Giả thuyết khoa học Trong trình dạy học giải tập hình học không gian, chỳ trng rèn luyện lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức cho học sinh góp phần nâng cao hiệu dạy học môn hình học không gian trờng THPT Nhiệm vụ nghiên cứu Trong khoá luận đề nhiệm vụ nghiên cứu bao gồm: - Xác định sở lý luận sở thực tiễn việc xây dựng định hớng để rèn luyện lực tổ chức tri thức - Xây dựng nội dung định hớng để rèn luyện lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức - Xây dựng hệ thống dạng tập hình thức tổ chức dạy học thích hợp theo yêu cầu rèn luyện lực tổ chức tri thức - Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá mục đích, giả thuyết khoa học Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tập hình học 11, phơng pháp dạy học toán, tài liệu tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn toán học, công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài số tác giả, sách tham khảo khác 10 - Điều tra tìm hiểu thông qua dự trao đổi với giáo viên toán trờng PTTH - Điều tra tổng kết kinh nghiệm Đóng góp khoá luận - Về mặt lý luận: + Xác định đợc khoá luận việc tổ chức tri thức + Xác định đợc dạng hoạt động lùc tỉ chøc tri thøc - VỊ mỈt thùc tiƠn: + Xác định đợc nội dung định hớng với hệ thống tập hình thức tổ chức dạy học giải tập theo định hớng yêu cầu đề Cấu trúc đề tài Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu Phơng pháp nghiên cứu Đóng góp khoá luận Nội dung: Chơng 1: Cơ sở lý ln vµ thùc tiƠn cđa viƯc tỉ chøc tri thức Một số vấn đề chung 1.1 Năng lực 1.2 Năng lực toán học 1.3 Tri thức toán học 52 Đây đối tợng làm việc rõ ràng hình học phẳng học sinh dễ dàng lựa chọn tri thức Bài toán chứa tỉ lệ lựa chọn tri thức : - Tri thức hình chữ nhật - Tri thức đồng dạng Ta có AOG ~C1A1G A AO AG OG = = = A1C GC1 GA1 ⇒ OG = O GA1 ⇒ GA1 = A1O C G VËy G lµ träng tâm A1BD A1 C Bài toán 8: Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1, M di động cạnh AB, mp(A1NC) cắt D1C1 N a) CMR MN chứa điểm cố định b) Tìm quĩ tích hình chiếu đỉnh C MN Bài giải: a) Huy động tri thøc vỊ giao tun , 2mp song song, h×nh b×nh hành D1C1 ( A1MC ) = N Thì A1NCM hình bình M A hành MN A1C trung điểm A1C ( điểm cố B C D định) b) Trớc tiên ta tìm giao điểm N đờng thẳng D1C1 với ( A1MC ) giao điểm D1C1 với giao tuyến hai mặt phẳng ( A1 MC D1 A1 O H B1 N C1 ) và( DCC1 D1 ) Mặt phẳng( A1MC ) cắt hai mặt phẳng song song ( DCC1D1 ) và( ABB1 A1 ) theo hai giao tuyÕn song song A1M vµ CN T¬ng tù ta cã A1 N // CM suy A1MCN hình bình hành MN qua trung ®iĨm I cđa AC1 D1 A 53 M I H×nh chiếu C xuống mp(ABC1D1) K N J tâm O cđa (BCC1B1) vµ B OH ⊥ MN   ⇒ MN ⊥ HC CO ⊥ MN  H C1 O Việc tìm quỹ tích điểm H đợc tiến hành nhờ tách phận phẳng ABC1D1 Ta thu đợc toán phẳng sau:Cho hình chữ nhật ABC1D1 I giao điểm AC1 BD1 O trung điểm BC1 M di động AB, MI cắt D1C1 N Tìm quĩ tích hình chiếu O lên MN Trong hình chữ nhật dễ dàng cho việc huy động tri thức Khi MB HK MA HJ nên quĩ tích H thuộc cung KIJ 2.1.2) Xét tơng tự Bài toán 9: Cho tứ diện SABC Một mặt phẳng ( ) cắt SA, SB, SC lần lợt A, B, C Gọi G trọng tâm ABC , gọi G=SG (A’B’C’) CMR : SA SB SC 3SG + + = SA ' SB ' SC ' SG ' Lêi gi¶i: Để giải ta xét tơng tự hình học phẳng Cho SAB; O trung điểm AB , đờng S thẳng cắt c¹nh SA, SB t¹i A’, B’ C’ gäi O’ = SO ∩ A’B’ CMR: A’ G’ SA SB SO + = SA' SB ' SO ' M’ B’ C Với việc xét toán học sinh giải phơng pháp vectơ dễ dàng huy động tri A G thức làm việc mặt phẳng B - Tri thức biểu diễn vectơ (vectơ phơng, quan hệ vectơ điểm thẳng hàng ) Đặt M A SO = m SO '; SA = x SA'; SB = y SB '( x, y, m ≠ ) CÇn chøng minh x+y =2m O A’ O’ B B’ S 54 Ta cã O trung điểm AB nên A, O, B thẳng hàng Vậy SO = ( SA + SB ⇒SO ' = k SA' + l SB ' ) (k+l=1) k l mk lm ⋅ SO = ⋅ SA + ⋅ SB ⇒ SO = ⋅ SA + ⋅ SB m x y x y  mk  x =2  x = 2mk  ⇒ ⇒ x + y = 2m VËy  lm y = 2ml   = y  Tõ suy đpcm Với toán tơng tự ta sử dụng kết phơng pháp giải cho toán không gian Gọi M trung điểm BC, BC cắt SM M áp dụng kết toán phẳng cho SBC có SB SC SM + = SB ' SC ' SM ' S Và áp dụng cho SAM: M Ta tách SAM thành đối tợng làm việc A tơng đơng Để áp dụng toán phẳng Q G ta lấy Q trung điểm AG, AM ∩ SQ=Q’ XÐt SAG cã SA SG SQ + = (1) SA' SG ' SQ ' XÐt SQM cã SQ SM SG + = ( 2) SQ ' SM ' SG ' Nh©n (2) víi ta cã: Q SQ SM SG + = (3) SQ ' SM ' SG ' Céng (1) víi (3) theo vÕ ta cã: VËy A SA SM 3SG + = SA' SM ' SG ' SA SB SC 3SG + + = SA' SB' SC ' SG ' Bài toán 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 đờng chÐo AC1 CMR: AC12= AB2 +AD2+ AA12 G M 55 Lời giải: Để giải xét toán tơng tự phẳng Cho hình chữ nhật ABCD đờng chéo AC CMR AC2 =AB2 +AD2 Đây toán quen thuộc phẳng mà học sinh D C dễ dàng huy động tri thức (hình chữ nhật, đờng chéo A hình chữ nhật, tam giác vuông) để giải B áp dụng kết phơng pháp giải vào toán không gian nh sau: D1 ADC1 vuông D AD + DC12 = AC12 mặt khác DD1C1 vuông D1 C1 A1 nên DD12 + D1C12 = DC12 (2) B1 Tõ (1) vµ (2) ⇒ AD + DD12 + D1C12 = AC12 hay AC12 = AB + AD + AA12 Bài toán 11: ( Bài 38 Tr 68 SGK hình học 11 nâng cao- mở rộng cho toán 10) Chứng minh tổng bình phơng đờng chéo hình hộp ABCDA1B1C1D1 tổng bình phơng cạnh hình hộp Lời giải: D C Bài toán cần chứng minh ( AC12 + CA12 + BD12 + DB12 = AB + AD + AA12 ) A B §Ĩ giải xét toán tơng tự hình học phẳng nh sau: Trong hình bình hành tổng bình phơng đờng chéo tổng bình phơng cạnh hình bình hành Chẳng hạn cho hình bình hành ABCD, Chøng minh AC + BD = AB + BC + CD + AD D1 A1 C1 B1 56 Đây toán phẳng nên dễ dàng huy động tri thức (hình bình hành, đH x ờng cao) Ta có : x A B BD = h + ( AB + x) = AB + AB ⋅ x + x + h h 2 2 2 AC = ( AB − x ) + h = AB + x − AB ⋅ x + h D C BD + AC = 2h + x + AB = BC + AB ⇒ đpcm ứng dụng toán toán không gian nêu ta có Xét hình bình hành ACC1A1 Cã AC12 + CA12 = 2( AC + AA12 ) Và hình bình hành BDD1B1 có BD12 + DB12 = 2( BD + BB12 ) ( ⇒ AC12 + A1C + BD12 + DB12 = AC + AA12 + BD + BB12 ( ) ) = AC + BD + AA12 áp dụng hệ thức lần cho hình bình hành ABCD có ( AC + BD = AD + AB VËy AC12 + A1C + BD12 + DB12 = AD + AB + AA12 ⇒ dpcm Bµi toán 12: Cho tứ diện vuông A ABCD VÏ ®êng cao AH CMR: 1 1 + + = 2 AB AC AD AH Lời giải: Xét toán tơng tự phẳng B Cho ABC vuông A , vẽ đờng cao AH CMR 1 + = ” 2 AB AC AH H Đây toán quen thuộc hình học phẳng C A ta dễ dàng huy động tri thức để giải áp dụng toán phẳng cho toán không gian Hạ AK CD; AH BK Thì AH chiều cao tứ diện ACD vuông A cã : 1 + = (1) 2 AD AC AK K D ) 57 A ABK vuông A có: 1 + = (2) 2 AB AK AH C Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1 1 + + = ⇒ ®pcm 2 AB AC AD AH B H 2.2) Biến đổi thành đối tợng dựa bất biến Bài toán 13: ( Bài 68 tr27 câu b- Sách tập) Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a Gọi M, N, P lần lợt điểm thuộc cạnh AB, BC, DD cho A’M =BN=DP=x ( ≤ x ≤ a ) CMR trọng tâm MNP thuộc đờng thẳng cố định M, N, P thay đổi Lời giải: Nếu sử dụng phép chiếu song song (PCSS) G trọng tâm tam gi¸c MNP ChiÕu M, N, P, G, A xuèng mp(ABCD) A Theo phơng AAvuông góc với mp(ABCD) B N A → A' M →M' D N →N' P → D' P C G A' G trọng tâm tam giác DMN Với việc dự đoán A, G, C thẳng hàng B' M N G' D' C' ta chứng minh A, C, G thẳng hàng GG ' G' C ' = AA' A' C ' Nh vËy sử dụng phép chiếu ta đà biến đổi đối tợng ban đầu thành đối tợng chứng minh A, C, G thẳng hàng mặt phẳng (ABCD) Bài toán có tỉ lệ cạnh, có trọng tâm , trung ®iÓm, nÕu ta huy ®éng nhãm tri thøc : - Tri thức liên hệ vectơ điểm thẳng hàng - Tri thức đồng dạng, tỉ lệ thức, trọng tâm tam giác, đờng trung bình Ta có lời giải : 58 Để chứng minh A, C, G thẳng hàng uuuuu r Ta có: uuuuu uuuuu uuuuu uuuuu uuuuu uuuuur r r r r r A'G ' = A' D ' + D 'G ' = A' D ' + D ' M + D ' N ' ( ( B' N' G' ) E' 1 x a −x  1  = A' D' +  D ' A' + A' B '  +  D ' C ' + C ' B'  3 a a  3  ⇒ A' G ' = M A' uuuuu r Ta chøng minh A ' G ' = k A ' C ' C' D' ) x +a x +a A' B ' + A' D' = A' C ' 3a 3a VËy A’, G, C thẳng hàng Gọi E trung điểm NP E hình chiếu E (E trung ®iÓm N’D’) PP '+ NN ' 2a − x = 2 GG ' 2a − x A ' G ' a + x C ' G ' 2a − x GG ' = ⇒ GG ' = , = ⇒ = = EE ' 3 A'C ' 3a A'C ' 3a AA ' EE ' = VËy A, G, C thẳng hàng Bài toán 14: CMR hình hộp ABCDA1B1C1D1, Các đỉnh A, C1 trọng tâm G BDA1 thẳng hàng Lời giải: B A Cách 1: NÕu sư dơng phÐp chiÕu song song A → C1 C1 → C1 S(AC1; A1B1C1D1): B1 → B1 G I C D G → G' D → D' B1 A1 I' D1 C1 Gọi I trung điểm AB1 δ : I → I' §Ĩ CM A, G, C1 thẳng hàng cần chứng minh G D' C1 Nh từ đối tợng ban đầu ta đà biến đổi đối tợng tơng đơng Tri thức cần huy động: tỉ lệ, thẳng hàng 59 Do PCSS bảo toàn tỉ số đơn thứ tự điểm I trung điểm B1C1 ta có: I ' C1 I ' C1 = = C1 D ' B1C1 I 'C I 'C 1 Vµ C D ' = B C = 1 G' C Vậy A, G, C1 thẳng hàng Cách 2: Nếu qua PCSS khác phơng S1(AA1,(A1B1C1D1)) S2(DA,(ABB1A1)) A → A1 C1 → C1 S1: A G → G1 B O → O1 O C → C1 G D Ta đà biến đổi đối tợng mới, A1 Tri thức cần huy động tính bất biến phép chiếu song song (tỉ lệ, thẳng hàng, trung C B1 G1 D1 ®iĨm ) O1 C1 A1, G, O thẳng hàng A1,G1, O1 thẳng hàng A, O, C thẳng hàng A1, O1, C1 thẳng hàng A1, G1, C1 thẳng hàng Theo PCSS S1(AA1, (A1B1C1D1)) A, G, C1 thẳng hàng (1) Tơng tự nh với PCSS S2(DA, (ABB1A1)) ta chứng minh đợc A,G, C1 thẳng hàng (2) Từ (1) (2) ta có A, G, C1 thẳng hàng Bài toán 15: Cho hình tứ diện ABCD với P, Q lần lợt trung điểm ABCD Gọi R điểm nằm cạnh BC cho BR = 2RC S điểm nằm AD cho AS=2SD CMR ®iĨm P, Q, R, S nằm 1mp 60 Lời giải: P, Q, R, S cïng thuéc 1mp ⇔ cã phÐp chiÕu song song cho ¶nh cđa P, Q, R, S qua phép chiếu nằm đờng thẳng Huy động tri thức tính chất bất biến PCSS: - tính chất thẳng hàng, tỉ lệ thức Gọi (P) mp qua cạnh CD song song víi AB Gäi f lµ phÐp chiÕu song song (PQ, (P)) A → A '; D → D Khi ®ã f: B → B '; P → Q C →C A P trung điểm AB nên Q trung điểm AB P Vậy tứ giác ABCD hình bình hành Ta có f: S S S' A' R → R' B D S' Q Tho¶ m·n R AS = SD BR = RC A' S ' =2 S 'D B'R' =2 R 'C ⇒ C R' B' A' S ' B ' R ' A' S ' B ' R ' = = 2⇒ = ⇒ SR qua Q qua phép chiếu f ảnh cđa ®iĨm P, S ' D R 'C S ' D R 'C Q, R, S n»m trªn đờng thẳng 2.3) Qui lạ quen Bài toán 16: Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1 cạnh M, N lần lợt trung điểm BC C1D1 Dựng đờng thẳng vuông góc chung đoạn thẳng MN B1D Lời giải: M, N trung điểm BC C1D1 nên B1M = B1 N = DN = DM Vì ta đa toán toán quen thuộc: 61 Cho tứ diện ABCD có AC=BD , AD=BC đ- B A ờng vuông góc chung hai đờng AB, CD đ- M ờng nối trung điểm PQ hai đoạn C D Rõ ràng toán đối tợng tơng đơng với toán ban đầu, cần huy động tri thức A1 B1 tam giác nhau, đờng trung tuyến Từ ta có lời giải cho toán quen thuộc đó: C1 N D1 ABC=ABD (c.c.c) ⇒ DP=CP ⇒ CPD c©n ⇒ PQ ⊥ CD A BCD =ACD (c.c.c) ⇒ AQ=BQ ⇒ AQB cân Q PQ AB P Vậy PQ đờng vuông góc chung AB CD Trở lại toán ban đầu: Tứ diện DB1MN có cặp cạnh đối diện B1D=DM; B1M=DN nên đờng C B Q vuông góc chung DB1 MN đờng nối trung D điểm cạnh Bài toán 17: Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền BCD BM ∩ CD=I, DM ∩ BC=K; CM ∩ BD=J Dựng điểm B AI; C AJ; D’ ∈ AK cho MB’ // AB; MC’ // AC; MD’ //MD CMR MB ' MC ' MD' + + = 1(*) AB AC AD Lêi gi¶i: A Víi việc huy động tri thức đồng dạng, tỉ lệ thøc Ta cã: B’ MB' MI MC ' MJ MD ' MK = ; = ; = AB IB AC CJ AD DK Từ toán ban đầu ta đa vÒ chøng minh MI MJ MK + + =1 IB CJ DK Đây toán quen thuộc phẳng J B K D I M C 62 Häc sinh dễ dàng huy động tri thức để giải toán phẳng Tri thức tỉ lệ, diện D tích MI S DMC MJ S DMB MK S BMC = ; = ; = BI S DBC CJ S DBC DK S DBC J I M MI MJ MK S DMC + S DMB + S BMC ⇒ + + = =1 BI CJ DK S DBC B K C Bài tập luyện tập: Cho cân ACD BCD nằm 2mp vuông góc với nhau, đáy CD=2x cạnh khác có độ dài a Dựng đờng vuông góc chung AB, CD p dụng toán quen thuéc “ Cho tø diÖn ABCD cã AC= BD, AD= BC đờng vuông góc chung đờng AB, CD đờng nối trung điểm MN đoạn Cho hình chóp SABC SA, SB, SC lÊy ®iĨm A’, B’, C’ V SA ' B 'C ' SA' SB ' SC ' = ⋅ ⋅ V SABC SA SB SC CMR a) XÐt t¬ng tự hình học phẳng: Cho ABC AB, AC lÊy ®iĨm B’, C’ S AB ' AC ' AB 'C ' = ⋅ Chøng minh: S AB AC ABC Trong mp(P) cho O cố định d đờng thẳng quay quanh O lấy S cố định (P), có hình chiếu (P) H, H O qua S dựng đờng vuông góc với mp( xác định S d) Đờng cắt (P) N Tìm quĩ tích N Trong (P) cho nửa lục giác ABCD với AB=BC=CD lấy S Mp qua A vuông góc với SD cắt SB, SC, SD B, C, D CMR : a) Tø gi¸c A’B’C’D’ néi tiÕp b) Khi S chun động AB đờng thẳng BC qua điểm cố định, đờng thẳng CD qua điểm cố định Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1 cạnh b»ng Trªn AA1 lÊy E, cho AE=1/3 Trªn BC lÊy F cho BF=1/4 Gäi O lµ tâm hình lập phơng Tìm khoảng cách B1 đến (EFD) 63 LuyÖn tËp cho häc sinh thãi quen xác định nguồn gốc tri thức phản ánh đối tợngcủa hoạt động, từ giúp cho học sinh biết cách lựa chọn tri thức cho hoạt động chủ thể chiếm lĩnh kiến thức Bài toán 18: Cho hình tứ diện ABCD với P, Q lần lợt trung điểm AB, CD Gọi R điểm nằm cạnh BC cho BR=2RC, S điểm nằm AD cho AS=2SD CMR điểm P, Q, R, S đồng phẳng Lời giải: điểm P, Q, R, S đồng phẳng hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau: 1) điểm P, Q, R, S thuộc mặt phẳng có đờng thẳng qua điểm cắt 2) điểm P, Q, R, S thuộc mặt phẳng có mặt phẳng qua điểm qua điểm lại A 3) ®iĨm P,Q, R, S ®ång ph¼ng ⇔ AR = α AP + β AQ + λAS P cho α + β + λ = B NÕu hiÓu theo nghĩa 1) lời giải : S Cỏch1: Nu xem im P,Q,R,S thuộc mặt R phẳng có đờng thẳng qua điểm D Q cắt Bài toán chứa tỉ lệ đoạn thẳng ta có C E thĨ nghÜ tíi tri thøc cã thĨ lùa chän lµ tri thức giao F tuyến, đồng dạng Từ dẫn tới việc chứng minh hai đờng nối đỉnh P, Q, R, S cắt A Chẳng hạn ta chứng minh PR cắt QS Nếu gọi I = PR ∩ AC J = SQ ∩ AC cÇn chøng minh I ≡ J P J I≡ S'≡S Kẻ CE // AB; CF // AD Trong mặt phẳng (ABC) cã PBR ~ECR ⇒ ⇒ EC CR = = PB BR EC IC = ⇒ C lµ trung AP IA ®iĨm AI B D l R E J Q C F I≡J 64 NÕu hiÓu theo nghÜa 2) tri thức cần huy động Tri thức thiết diện tri thức đồng dạng Gọi (P) mặt phẳng qua P, R, Q Tứ giác PRQS thiết diện cắt (P) hình S ' ≡ S ∈( P ) tø diƯn CÇn chøng minh Trong mặt phẳng (ABC) PBR ~ECR IAP có EC RC EC = = ⇒ = BP BR PA EC IC = = PA IA Trong mp(ACD) cã CF IC = = (1) AS ' IA Vì CFQ ~DSQ nên Thay vào (1) ta đợc CF CQ = =1 S' D QD hay CF= S’D S 'D = ⇒ AS ' = 2S ' D ⇒ S ' ≡ S ⇒ ®pcm AS ' NÕu hiÓu theo nghÜa 3) ta cần huy động tri thức phép cộng vectơ, vÐct¬ cïng ph¬ng Ta cã: AB 2 AS = AD AQ = AC + AD AP = ( ) AR = AB + BR = AB + ⇒ AR = AP + AQ − AS 3 BC v× + = 3 Bài toán 19: Cho hình lập phơng R, P, Q, S đồng phẳng ABCDA1B1C1 D1 CMR A,G,C1 thẳng hàng (G trọng tâm A1 BD ) Lời giải: O trọng tâm hình vu«ng ABCD A1O ∩ AC1 = G Ta chøng minh G trọng tâm A1 BD 65 G trọng tâm hiểu theo định nghĩa vectơ theo tÝnh chÊt cđa AG nã lµ A1O = Vì ta có cách huy ®éng tri thøc ®Ĩ gi¶i (tri thøc vỊ ®ång dạng tri thức cộng véctơ) C D O Nếu huy động tri thức đồng dạng ta có lời giải: xét AOG 1GA1 C có AO// A1C1 A AO AG OG = = = ⇒ A1G = 2GO A1C1 GC1 GA1 ⇒ B G D1 G trọng tâm tam giác A1BD C1 B1 A1 Nếu huy động tri thức cộng vectơ ta sÏ chøng minh: GA1 + GB + GD = O GB + GD = 2GO (1) (vì O trung điểm DB) (1) cần chứng minh: GA1 + 2GO = O thËtvËy uuu uuuu r r uuur u uuu r AO = A1C1 ⇒ A1G = 2.GO VËy GA1 + 2GO = O Trang bÞ cho học sinh tri thức phơng pháp mở rộng phát triển toán Bài tập nõng dần mức độ khó khăn v bi m rng hn, khỏi quỏt hn Bài toán 20: Cho hình chóp SABCD với ABCD hình chữ nhật SA (ABCD) Dựng đờng vuông góc chung SD AB (chính đờng cao AH SAD) Vậy ABCD hình bình hành, SA (ABCD) toán trở nên khó khăn Dựng Ax AB (trong mặt phẳng ABCD) S DC ∩ Ax = E K êng vu«ng gãc chung cđa AB vµ SD J B A AK ⊥ SE ; KI // DE ; dùng IJ // AK( J AB ) Khi IJ đ- I E D C 66 Bài toán khó khăn SA không vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD hình bình hành Bài toán 21: Cho hình lập phuơng ABCDA1 B1C1 D1 cạnh M,N,P trung điểm AA1 , BC , C1D1 TÝnh diƯn tÝch ∆MNP Lêi gi¶i: 2 1 1 MN = MA + AB + BN =   + 12 +   = 2 2 2 2 NP = PC12 + CC12 + CN = PM = MA12 + A1 D12 + D1 P = ⇒ MN = NP = PM = N A S PMN = B M ∆PMN ®Ịu cã chiỊu cao PH = VËy C D P C1 D1 3 = 2 2 A1 B1 PH MN 3 3 = = 2 Mở rộng toán: Khi M, N, P di động AA 1, BC1, C1D1 cho A1M = BN = C1P =a Xác định a để diện tích MNP nhỏ Rõ ràng toán làm cho học sinh gặp khó khăn giải Bài toán 22: (Mở rộng với toán 19) Cho tứ diện ABCD với điểm M di động đáy (BCD) Từ M lần lợt kẻ đờng thẳng song song với BA, CA, DA cắt mặt tơng øng (ACD), (ADB), (ABC) theo thø tù t¹i B ′, C , D 1) Tìm vị trí M cho MB ′ MC ′ MD ′ BA CA DA đạt giá trị lớn đợc 2) Gọi giao điểm AM với mặt phẳng ( B C C ) N Tìm quÜ tÝch N M di ®éng ∆BCD ... để tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức thông qua dạy học giải tập hình học không gian Giả thuyết khoa học Trong trình dạy học giải tập hình học không gian, chỳ trng rèn luyện lực tổ chức tri. .. để rèn luyện lực tổ chức tri thức - Xây dựng nội dung định hớng để rèn luyện lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động chiếm lĩnh kiến thức - Xây dựng hệ thống dạng tập hình thức tổ chức dạy học. .. tiến trình hoạt động chiếm lĩnh kiến thức, đề xuất phơng pháp tổ chức, lựa chọn tri thức nhằm rèn luyện lực tổ chức tri thức tiến hành hoạt động cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức tiến trình giải