Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán ứng dụng - P
Cao Hào Thi 27 Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH CUNG VÀ CẦU (Supply and Demand Equation) 1. Hệ phương trình tuyến tính (bậc nhất). Là hệ gồm nhiều phương trình đại số tuyến tính thay phương trình bậc 1. Ví dụ: Bài toán giá vé xem xi nê. Nếu giá của 2 vé người lớn và 1 vé trẻ em là 8$ và giá của 1 vé người lớn và 3 vé trẻ em là 9$ thì giá vé của mỗi loại sẽ là bao nhiêu? Thành lập bài toán: Gọi x là giá vé loại người lớn, y là giá vé loại trẻ em. Ta có 2839xyxy+=+=⎧⎨⎩ 2. Hệ phương trình tuyến tính gồm 2 biến 2.1 Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng: ax by cax by c11 122 2+=+=⎧⎨⎩ 2.2 Giải hệ phương trình: a. Phương pháp đồ thị (Solution by graphing) Gọi (D1) là đồ thị của a1x+b1y = c1 (D2) là đồ thị của a2x+b2y = c2 Phương trình có Phương trình Phương trình 1 nghiệm (x*,y* ) vô nghiệm vô định yy (D2)(D1) A(x*,y*) là nghiệm của phương trình y* x 0 x* (D2)y (D1)x(D1) ≡ (D2)x Cao Hào Thi 28 Ta có 3 trường hợp: + (D1) cắt (D2): phương trình có một nghiệm. + (D1) // (D2): phương trình vô nghiệm. + (D1) trùng (D2): phương trình vô định. Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp đồ thị; a/xyxy−=+=⎧⎨⎩225 b/xyxy+=−+=⎧⎨⎩2424 8 c/24824xyxy==+=⎧⎨⎩ Giải: Nghiệm của hệ Phương trình vô nghiệm Phương trình vô định phương trình là: (4,1) b. Phương trình thay thế: (Solution by substitution) Giải phương trình bằng phương pháp thay thế: 541235 2xyxy+=−=⎧⎨⎩()() Giải: Từ (1) ⇒ y = f(x) = 4-5x Thay vào phương trình (2) (2) ⇒ 2x-3(4-5x) = 5 17x = 17 x = 1 Vậy y = 4-5x = 4-5*1 = -1 Nghiệm của hệ phương trình là (1,-1) -4y024-2xy0 y-1 0 5 1 x5 4 2 Cao Hào Thi 29 c. Phương pháp khử và cộng: (Solution by elimination by addition) Phương pháp này liên quan đến việc thay thế hệ phương trình đã có bằng các hệ phương trình tương đương đơn giản hơn cho đến khi đạt lời giải của bài toán: Định lý 1 trình bày các phép biến đổi để tạo ra các hệ phương trình tương đương. Định lý 1: Một hệ phương trình tuyến tính được biến đổi thành hệ phương trình tương đương bằng: + Đổi chỗ 2 phương trình. + Nhân phương trình với 1 hằng số khác zero + Nhân phương trình này với 1 hằng số và cộng vào phương trình khác đã cho. Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử và cộng: 32 8 125 1 2xyxy−=+=−⎧⎨⎩()() (1) * 5 ⇒ 15x-10y = 40 (2) * 2 ⇒ 4x+10y = -2 19x = 38 x = 2 Thay x = 2 vào (1) ⇒ 3*2-2y = 8 ⇒ y = -1 Nghiệm của phương trình là (2,-1). 3. Hệ phương trình tuyến tính gồm 3 biến: 3.1 Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng: ax by cz dax by cz dax by cz d111 1222 2333 3123++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪()()() 3.2 Cách giải: + Dùng định lý 1, khử bớt 1 biến số để có hệ phương trình gồm 2 biến. + Giải hệ phương trình hai biến. + Tìm biến thứ 3. Ví dụ: Giải hệ phương trình Cao Hào Thi 30 3246 1235 8 25437 3xyzxyzxyz−+=+−=−−+=⎧⎨⎪⎩⎪()()() Giải: (1)*5+(2)*4 ta có: 15x-10y+20z = 30 8x+12y-20z = -32 23x+2y = -2 (a) (1)*3-(3)*4 ta có: 9x-6y+12z = 8 20x-16y+12z = 28 -11x+10y = -10 (b) (a)*5-(b) ta có: 115x+10y = -10 -11x+10y = -10 126x = 0 x = 0 (b) ⇒ y = -1 (1) ⇒ z = 1 Nghiệm của phương trình là (x,y,z) = (0,-1,1) Vấn đề: Tìm điểm cân bằng của đường cung và đường cầu; Tìm tọa độ điểm cân bằng là giao điểm của đường cung và đường cầu. Cho biết: - Phương trình của đường cầu là: p = -0.2q +4 - Phương trình của đường cung là: p = 0.07q + 0.76 Giải: Toạ độ điểm cân bằng là giao điểm của hệ phương trình. pqp=− +=+⎧⎨⎩02 4007 076 . ⇒ -0.2q + 4 = 0.07q + 0.76 0.27q = 3.24 q = 12 p = -0.2*12+4 p = 1.6$ Tương tự, tìm điểm cân bằng của: P$4321.611215 20 105 Q (sản phẩm) Cao Hào Thi 31 pqqq=− +=+⎧⎨⎩01 3008 066 . Vấn đề: Bài toán kế hoạch sản xuất Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A,B và C. Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn cắt, lắp rắp và đóng gói với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau đây: Sản phẩm A Sản phẩm B Sản phẩm C Cắt Lắp ráp Đóng gói I.6 giờ 0.6 giờ 0.2 giờ 1 giờ 0.9 giờ 0.3 giờ 1.5 giờ 1.2 giờ 0.5 giờ Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380, 330 và 120 giờ công. Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà máy hoạt động hết năng lực của nhà máy. Giải: Gọi x, y, z lần lượt là số lượng sản phẩm A, B và C nhà máy sản xuất trong mỗi tuần. Ta có: 0 6 1 15 380 10 6 0 9 12 330 202 03 05 120 3 () . () . ()xy zxyzxyz++ =++=++=⎧⎨⎪⎩⎪ (1) - (2) ⇒ 01.y+0.3z = 50 (1) - (3)*2 ⇒ -0.3z = -30 z = 100 ⇒ 0.1y+0.3*100 = 50 y = 200 (3) ⇒ 0.2x+0.3*200+0.5*100 = 120 x = 50 xyz===⎧⎨⎪⎩⎪50200100 4. Giải hệ phương trình tuyến tính 2 và 3 biến bằng phương pháp Cramer: 4.1 Hệ phương trình tuyến tính 2 biến: ax by cax by c11 122 2+=+=⎧⎨⎩ Cao Hào Thi 32 a. Định thức cấp 2 (2-Ordered Determinat) Định thức cấp 2 tương ứng với bảng các phần tử abab1122⎛⎝⎜⎞⎠⎟được xác định như sau: a1 b1 = a1b2 - a2b1 a2 b2 b. Phương pháp Crame Tính các định thức; Dababab ab==−112212 21 Dcbcbcb cbΧ==−112212 21 Dacacac acΥ==−112212 21 Công thức Cramer xDD=Χ yDD=Υ Nhận xét: D ≠ 0 ⇒ hệ phương trình có 1 nghiệm (Điều kiện để phương trình có nghiệm) D = 0 ⇒ Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0 ⇒ hệ phương trình vô nghiệm. Dx = 0 hay Dy = 0 ⇒ hệ phương trình vô định theo x hay theo y. Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cramer. 54235xyxy+=−=⎧⎨⎩ Giải: D =−=− − =− ≠512315 2 17 0 DΧ=−=− − =−415312 5 17 DΥ==−=542525 8 17 xDD==Χ1, yDD==−Υ1 Nghiệm của phương trình là (1,-1). 4.2 Hệ phương trình tuyến tính 3 biến: - + Cao Hào Thi 33 ax by cz dax by cz dax by cz d111 1222 2333 3++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪ a. Định thức cấp 3 Định thức cấp 3 tương ứng với bảng các phần tử abcabcabc111222333⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟được xác định sau: abcabcabcabcbcbacaccabab111222333122331223312233=−+ Lưu ý: Định thức con của phần tử cho trước của định thức cấp 3 là định thức cấp 2 nhận được từ định thức cấp 3 bằng cách bỏ hàng và cột chứa phần tử đã cho. + Dấu thêm vào định thức con: +-+-+-+-+ + Một số cách tính định thức cấp 3 - Thêm vào 2 cột abcababcababcab111 11222 22333 33= a1b2c3+b1c2a3+c1a2a3-a3b2c1-b3c2a1-c3a2b1 - Thêm vào 2 hàng abcabcabcabcabc111222333111222 - Công thức Sarus abcabcabc111222333 b. phương pháp Cramer 2 cột thêm vào - -+ + + - - - - + + + Cao Hào Thi 34 Tính các định thức D = abcabcabc111222333 Dx = dbcdbcdbc111222333 Dy = adcadcadc111222333 Dz = abdabdabd11 122 233 3 Công thức Cramer xDD=Χ yDD=Υ zDD=Ζ Nhận xét: D ≠ 0 ⇒ hệ phương trình có 1 nghiệm D = 0 ⇒ Dx ≠ 0, Dy ≠ 0, Dz ≠ 0 hệ phương trình vô nghiệm Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0 hệ phương trình vô định. Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer xyzxyzxyz++=++=+−=⎧⎨⎪⎩⎪2832 104324 Giải : D=−=−−−+12 132 143 2121322314213243 = 1*(-4-3)-2(-6-4)+1(9-8) = -7+20+1 D = 14 ≠ 0 Tương tự Dx = 14, Dy = 28, Dz = 42 xDD==Χ1, yDDy==2, zDDz==3 Nghiệm là ⇒ (1,2,3) 5. Hệ phương trình tuyến tính và ma trận bổ sung: (Systems of Linear equations and augmented matrices) 5.1 Ma trận (mstrix) : là một mảng số hình chữ nhật được viết trong ngoặc. Cao Hào Thi 35 Ví dụ: 3502−⎡⎣⎢⎤⎦⎥⇒ ma trận gồm 2 hàng, 2 cột, 350621⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⇒ ma trận chữ nhật 3 hàng, 2 cột 230−⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⇒ ma trận cột []1105− .⇒ma trận hàng Tổng quát, ma trận m hàng và n cột. aa a aaaaaaaij niijmmn11 21 121 2211 . ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥ Mỗi số ấy trong ma trận gọi là phần tử của ma trận 5.2. Ma trận bổ sung Cho hệ phương trình tuyến tính: 23523xyxy−=+=−⎧⎨⎩ Ma trận bổ sung ứng với hệ phương trình trên là: 231253−⎡⎣⎢−⎤⎦⎥⎥ Tổng quát hệ phương trình Ma trận bổ sung ax by cax by c11 122 2+=+=⎧⎨⎩ ababccRR11221212⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎥←← ↑ ↑ ↑ C1 C2 C3 Cao Hào Thi 36 5.3. Giải hệ phương trình tuyến tính: Định lý 2: Một ma trận bổ sung được biến đổi thành ma trận tương đương về hàng bằng cách: - Ri ↔ Rj - kRi → Ri - Ri + kRj → Ri Giải hệ phương trình tuyến tính: ax by cax by c11 122 2+=+=⎧⎨⎩ ababcc112212⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎥ 1001⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎥⇒==⎧⎨⎩mnxmyn Nhận xét: 1001⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎥mn→ hệ phương trình có 1 nghiệm 100kmn⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎥→ hệ phương trình vô nghiệm 1000km⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎥→ hệ phương trình vô định Ví dụ: Giải hệ phương trình: 34 127xyxy+=−=⎧⎨⎩ Giải: Ta có ma trận bổ sung 341217−⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎥ R1 ↔ R2 123471−⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎥ R2+(-3)*R1 → R2 12010720−⎡⎣⎢−⎤⎦⎥⎥ 1102R → R2 120172−⎡⎣⎢−⎤⎦⎥⎥ R1+2R2 → R1 100132⎡⎣⎢−⎤⎦⎥⎥ ⇒==⎧⎨⎩xy32 biến đổi [...]... phần tử tương ứng ở hàng I của ma trận A vàa ở cột j ở ma trận B Ví dụ: ⎡2 A=⎢ ⎣−2 ⎡1 B=⎢2 ⎢ ⎢ ⎣ −1 3 −1⎤ 1 2 ⎥ ⎦ 3⎤ 0⎥ ⎥ ⎥ 2⎦ ⎡a11 A× B = ⎢ ⎣a 21 có kích thước (2*3) có kích thước (3*2) a12 ⎤ có kích thước (2*2) a 22 ⎥ ⎦ với a11 = ∑ các phần tử hàng 1 của A 8 các phần tử cột 1 của B = 2*1 +3*2 + (-1 )* (-1 ) = 9 a12 = -2 *1 + 1*2 + 2 (-1 ) = -2 a12 = 2*3 + 3*0 + (-1 )2 = 4 a22 = -2 *3 + 1*0 + 2*2 = -2 4⎤ ⎡9 A×... ⎥ ⎢0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 0⎤ I=⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ Tính chất: MI = IM = IN c/ Ma trận nghịch đảo của ma trận M: Được ký hiệu là M-1 M*M-1 = M-1*M = I M-1 có cùng kích thưóc với m d/ Tìm M-1 ⎤ Tìm ma trận nghị [ I B] ch đảo M-1 của M = ⎡ ⎢1 2 ⎥ ⎦ ⎣ 2 3 ⎤ Gọi M −1 = ⎡ ⎢b d ⎥ ⇒ vấn đề: a, b, c, d = ? ⎦ ⎣ a c M*M-1 = I ⎡2 3⎤ ⎡a c ⎤ ⎢ 1 2 ⎥ × ⎢b d ⎥ = ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡1 0⎤ ⎢0 1⎥ ⎦ ⎣ ⎡2a + 3b 2c + 3d ⎤ ⎢ a + 2b c + 2d ⎥ = ⎦ ⎣ ⎧2a... d 3 3 3 ⎩ 3 ⎡ a1 ⎢a ⎢ 2 ⎢ ⎣a 3 b1 b2 b3 c1 ⎤ ⎡ x ⎤ c2 ⎥ × ⎢ y ⎥ = ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ c3 ⎦ ⎣ z ⎦ A X ⎡ d1 ⎤ ⎢d ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣d 3 ⎦ C Phương trình ma trận: A * X = B b/ Cách giải: AX=B A-1(AX) = A-1*B (A-1A) X = A-1*B I * X = A-1 * B X = A-1 * B Ví dụ: 2 x + 3y = 8 Giải phương trình ⎧ ⎨ ⎩ x + 2y = 5 ⎡2 3⎤ ⎡ x ⎤ ⎡8⎤ ⎢1 0⎥ × ⎢ y ⎥ = ⎢5⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 3⎤ ⎡ 2 −3⎤ −1 ⎥ ⇒ A = ⎢ −1 2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎣1 2 ⎦ A =⎡ ⎢ Cao Hào Thi 43... ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣ và ⎧c = −3 ⎨ ⎩d = 2 ⎡ 2 −3⎤ M −1 = ⎢ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦ Cách khác: Nếu [ M I ] chuyển thành [ I B] thì M-1 = B Ví dụ: 2 3⎤ ⎥ ⎣1 2 ⎦ Tìm M-1 của M = ⎡ ⎢ ⎡ 2 3 1 0⎤ ⎥ ⎢ ⎣ 2 0 1⎦ [ M I ] = ⎢1 ⎡ 1 2 0 1⎤ ⎥ ⎢ ⎣ 2 3 1 0⎦ ≈ ⎢ Cao Hào Thi R1↔ R2 R2 -2 R1↔ R2 42 ⎡1 1⎤ ⎥ ⎢0 −1 1 −2⎦ ⎣ -R2↔ R2 ⎡1 2 0 R1 -2 R2↔ R1 2 0 ≈ ⎢ 1⎤ ⎥ ⎢ ⎣0 1 −1 2 ⎦ ≈ ⎢ ⎡1 0 2 −3⎤ ⎥ ⎢ ⎣0 1 −1 2 ⎦ ≈ ⎢ ≈ [ I B] ⎡ 2 −3⎤ M −1 = ⎢ ⎥ ⎣ −1 2... 2 0 ⎤ ≈ ⎢ 3 1 −1 7⎥ ⎥ ⎢ ⎢2 −2 1 3⎥ ⎦ ⎣ R2 - 3R1 → R2 R3 - 2R1 → R3 Cao Hào Thi 37 cần 1 ⎡1 −3 2 0 ⎤ ≈ ⎢0 10 −7 7⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 4 −3 3⎥ ⎦ ⎣ cần 0 ≈ ⎢0 cần 1 ⎡1 −3 0 ⎤ 2 ⎥ ⎢ 7 ≈ ⎢0 1 − 7 -5 * R3 → R3 10 10⎥ ⎢ 1 1 ⎥ ⎢0 0 − 5 5⎥ ⎦ ⎣ cần 0 ≈ ⎢0 cần 0 ≈ ⎢0 R1 + 3R2 → R1 ⎡1 0 0 2 ⎤ ≈ ⎢0 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 − 1⎥ ⎦ ⎣ ⎧x=2 ⎪ ⎨y=0 ⎪ z = −1 ⎩ 1 R2 → R2 10 0 ⎤ 2 ⎡1 −3 7 7 ⎥ R3 - 4R2 → R3 1 − 10 10⎥ ⎢ ⎢ −3 3 ⎥ ⎦ ⎣0 4 0... ⎩−6 x + 3 y = −12 Giải: ⎡2 6 −3⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 3 2 ⎦ R1 → R2 ⎡1 3 2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣2 6 −3⎦ R2 - 2R1 → R2 ⎡1 3 2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎣0 0 −7 ⎥ ⎦ → hệ phương trình vô nghiệm Lưu ý: Quá trình giải hệ phương trình được trình bày trên còn được gọi là phép khử Gauss Jordan (Gauss - Jodan Elimination) Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phép khử Gauss - Jordan ⎧2 x − 2 y + z = 3 ⎪ ⎨ 3x + y − z = 7 ⎪ x − 3y + 2z = 0 ⎩ Giải: ⎡2 −2 1... ⎢ ⎢ −3 3 ⎥ ⎦ ⎣0 4 0 ⎤ 2 ⎡1 −3 7 7 ⎥ 1 − 10 10⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1⎦ 1 ⎣0 0 ⎡1 −3 0 2 ⎤ 1 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 − 1⎥ ⎦ ⎣ R1 - 2R3 → R1 R2 +7/10R3 →R2 Ma trận thu gọn (Reduced matisix) 6 Các phép tính về ma trận: 6.1 Sự bằng nhau của 2 ma trận: Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu có kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau Cho A= ⎡ ⎢ a c⎤ ⎥, ⎣b d ⎦ w y⎤ B= ⎡ ⎢ x z⎥ ⎣ ⎦ A=B⇔ a=w b=x c= y d=z 6.2 Cộng, trừ 2 ma trận... 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau: Cao Hào Thi 39 Đại lý X Đại lý Y Tháng 8 Dream II Môtô $18,000 $36,000 $36,000 $0 Đại lý X Đại lý Y Tháng 9 Dream II Môtô $72,000 $144,000 $90,000 $108,000 a/ Tính toán doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi loại xe b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đấn tháng 9 c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh thu Tính tiền huê hồng... c⎤ ⎥, ⎣b d ⎦ w y⎤ B= ⎡ ⎢ x z⎥ ⎣ ⎦ A=B⇔ a=w b=x c= y d=z 6.2 Cộng, trừ 2 ma trận ⎡a ± w A± B = ⎢ ⎣b ± x c ± y⎤ d ± z⎥ ⎦ Điều kiện: 2 ma trận phải có cùng kích thước m*n Tính chất: • A + B = B + C (giao toán) • (A+B) + C = A + (B + C) (kết hợp) Cao Hào Thi 38 Ví dụ: ⎡ 3 2 ⎤ ⎡ −2 3 ⎤ ⎢−1 −1⎥ + ⎢ 1 −1⎥ = ⎥ ⎢0 3 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ 2 −2⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 5 ⎤ ⎢0 −2⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 1 ⎥ ⎣ ⎦ 6.3 Nhân một hằng số với một ma trận: ⎡ ka ⎡a . ta có: 15x-10y+20z = 30 8x+12y-20z = -3 2 23x+2y = -2 (a) (1)* 3-( 3)*4 ta có: 9x-6y+12z = 8 20x-16y+12z = 28 -1 1x+10y = -1 0 (b) (a)* 5-( b) ta có:. con: +-+ - +-+ -+ + Một số cách tính định thức cấp 3 - Thêm vào 2 cột abcababcababcab111 11222 22333 33= a1b2c3+b1c2a3+c1a2a3-a3b2c1-b3c2a1-c3a2b1 - Thêm