TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ N NĂM HỌC 2008 – 2009) 1.1.Cho hình vng ABCD tâm O Một đường thẳng d di động qua O Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ đỉnh hình vng đến đường thẳng d số 1.2.Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định Điểm C di chuyển nửa đường tròn Trên tia CA lấy điểm E cho CE = CB Tìm quỹ tích điểm E Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010) 2.1 Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA hình vng AC � (MN + NP + PQ + QM) a) Chứng minh SABCD b) Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ 2.2.Cho đường trịn (O) nội tiếp hình vng PQRS OA OB hai bán kính thay đổi vng góc với Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M Ax By Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011) 3.1.Cho tam giác ABC, dựng hai đường tròn đường kính AB AC cắt D Một đường thẳng qua D cắt đường trịn đường kính AB E cắt đường trịn đường kính AC F cho D nằm hai điểm E F ( E F khác A, B, C) Gọi M, N trung điểm tương ứng BC EF Chứng minh AN vng góc với NM 3.2.Gọi AB đoạn thẳng cho trước Tìm tất điểm C mặt phẳng chứa AB cho: tam giác ABC đường cao kẻ từ A đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài Bài 4: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) 4.1.Cho tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G trọng tâm BD, CE đường phân giác Chứng minh điểm D, E, G thẳng hàng 4.2 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm D di động cung nhỏ AC Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng BE D di chuyển cung nhỏ AC Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) 5.1.Cho tam giác ABC có AC = 3AB số đo góc A 600 Trên cạnh BC lấy điểm D cho � ADB = 300 Trên đường thẳng vuông góc với AD D lấy điểm E cho DE = DC (E A phía với BC) Chứng minh AE//BC 5.2.Cho tam giác ABC cân A Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B, tiếp xúc AC C Gọi D, E trung điểm AB, AC; F điểm di động đường thẳng DE Đường trịn đường kính OF cắt đường tròn (O) hai điểm M, N Xác định vị trí F để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nhỏ Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) 6.1.Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho D � không trùng với A, B EDF = 60 a) Chứng minh AF.BE = AD.DB a2 AF BE � Điểm D vị trí dấu đẳng thức xảy ra? b) Chứng minh Hãy chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 6.2.Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Gọi C trung điểm OB, O’ tâm đường trịn đường kính AC Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) D ( D �A ) cắt đường tròn (O’) K ( K �A ) BK cắt CD H HC a) Tính tỷ số CD b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy đường nào? Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) 7.1 Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC (Q khác B, C) Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB, AC M, N AM AN PQ    a) Chứng minh rằng: AB AC AQ AM AN PQ  b) Xác định vị trí điểm Q để AB AC AQ 27 7.2 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn (I) Chứng minh BD = BE Bài 8: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014) 8.1.Cho hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo Lấy E điểm OC cho CE = 2EO � � M giao điểm DE cạnh BC Trên đoạn thẳng DE lấy điểm F cho EFC  ODC Chứng minh rằng: a) OMD đồng dạng với FDC � � b) EFA  2OBA 8.2.Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định Một đường thẳng a tiếp xúc với (O) A Gọi M ( khác A,B) điểm thuộc đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) M cắt a C Gọi I tâm đường tròn tiếp xúc với a C qua M, giả sử CD đường kính đường trịn tâm I Gọi J giao điểm OC đường tròn (I) Chứng minh rằng: a) J trung điểm đoạn thẳng OC b) Đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M thay đổi đường tròn (O) Bài 9: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014) � A  900 9.1.Cho tam giác ABC cân A , có BH đường cao, BD phân giác góc BH 1 � ABH  H , D �AC  Chứng minh rằng: CD    D �BC  Gọi ka khoảng cách từ D  E �AC  kb khoảng cách từ E đến AB ( AC) Tương tự, gọi BE phân giác góc B  F �AB  kc khoảng cách từ F đến CA đến BA ( BC), gọi CF phân giác góc C 9.2.Cho tam giác ABC có AD đường phân giác góc A ( CB) Gọi , hb , hc tương ứng chiều cao kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác cho Tìm giá trị k a kb k c   h hb hc a bé biểu thức Bài 10: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015) Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ N 09.05.37.8118 10.1.Từ M ngồi đường trịn tâm O kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm) Trên cung lớn AB lấy điểm C, D cho AC = CD Gọi I giao điểm AD BC Qua M, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC E Chứng minh: a) Tam giác MEA cân b) Đường thẳng MC qua trung điểm đoạn thẳng AI 10.2.Cho tam giác ABC vuông cân A, đường cao AH, điểm M di động đoạn thẳng AH Gọi D, E hình chiếu vng góc M lên AB, AC F hình chiếu vng góc D EH a) Chứng minh điểm B, M, F thẳng hàng b) Xác định vị trí điểm M AH để diện tích tam giác AFB lớn Bài 11: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015) 11.1.Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Tia Mx song song với AB cắt BC D, tia My song song với BC cắt AC E tia Mz song song với AC cắt AB F Chứng minh 3S DEF �S ABC ( S ABC : diện tích tam giác ABC, S DEF : diện tích tam giác DEF) 11.2.Cho đường tròn (O;R), dây cung AB cách tâm O khoảng d (0< d < R) Hai đường tròn (O1) , (O2) tiếp xúc M, tiếp xúc với AB C, D tiếp xúc với đường tròn (O) điểm E, F (O1, O2 O nằm nửa mặt phẳng bờ AB) a) Gọi N trung điểm cung nhỏ AB Chứng minh NC.NE = ND.NF b) Khi hai đường tròn (O1) , (O2) thay đổi, điểm M chạy đường nào? Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) 12.1.Cho đường tròn (O;R) Gọi B, C hai điểm đường trịn (O) cho BC = R; A AC  AE  AD A � B , A � C điểm cung lớn BC ( ); D, E điểm dây cung AC cho Đường thẳng qua D vng góc với AB cắt AB F a) Chứng minh tam giác ACF cân b) Chứng minh EF qua điểm cố định 12.2Cho tam giác ABC cố định Gọi E điểm di động đường trịn tâm B, bán kính BC Dựng hình thoi BCDE Từ D vẽ DFAB (FAB) Từ E vẽ EGAC (GAC) Các đường thẳng DF EG cắt K Khi hình thoi BCDE thay đổi, điểm K chạy đường nào? Bài 13: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) � 13.1.Cho hình bình hành ABCD có A  90 Dựng tam giác vuông cân A BAM DAN (B N thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh AC vng góc với MN 13.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, G trọng tâm Tiếp tuyến B (O) cắt CG M Tiếp tuyến C (O) cắt BG N Gọi X, Y theo thứ tự giao điểm CN, AN đường thẳng qua B song song với AC; Z, T theo thứ tự giao điểm BM, AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh rằng: a) AB.CZ  AC.BX � � b) MAB  NAC Bài 14: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) 14.1.Cho tam giác ABC vng cân A, nội tiếp đường trịn tâm O M điểm di động cung nhỏ AB Kẻ AD vng góc với MC (DMC) Gọi P, Q giao điểm thứ hai đường tròn tâm A, bán kính AB với đường thẳng CM, CA a) Chứng minh PQ = 2MD b) Xác định vị trí điểm M để tổng BM + MP + PQ đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Hãy chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 14.2.Trên đoạn thẳng AB cho trước lấy điểm M Trên tia Mt vng góc với AB lấy điểm C, D AM MD   cho MC MB Các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AMC BMD cắt điểm thứ hai N Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AD BC qua N b) Khi M chuyển động đoạn thẳng AB MN ln qua điểm cố định Bài 15: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) 15.1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Gọi D điểm cung BC khơng chứa A Vẽ đường trịn tâm O’ qua A, D đường tròn cắt AB E (E ≠ A, B), cắt AC G (G ≠ A, C) Gọi trung điểm BC, EG theo thứ tự H, K Chứng minh rằng: a) Tam giác OBH đồng dạng với tam giác O’EK b) HK vuông góc với AD 15.1.Cho tam giác ABC thay đổi, cân A, nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước Kẻ BD vng góc với 8R � AC D Chứng minh rằng: BD Bài 16: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) 16.1Cho tam giác MNP, có cạnh NP = 6cm cố định, điểm M di động cho MP = 3MN Gọi ME, MF tia phân giác xuất phát từ đỉnh M tam giác MNP (E, F nằm đường thẳng NP) a) Tính độ dài đoạn thẳng EN, FN b) Tìm tập hợp điểm M 16.2.Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi M, N, P tiếp điểm cạnh AB, AC, BC với đường trịn (I) Kẻ PE vng góc với đường thẳng MN (EMN) Chứng minh EP tia phân giác góc BEC Bài 17: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) 17.1.Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA, tia Cy lấy điểm E cho CE = CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA = CK ; BA = BL b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I, J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh IHJ tam giác vuông cân 17.2Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C) Gọi H, K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn (H; HM) (K; KM) a) Chứng minh hai đường tròn (H) (K) cắt b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn (H) (K) Chứng minh MN qua điểm cố định Bài 18: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019) 18.1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), cho AD = BC = R Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD, G trung điểm cạnh AB a) Chứng minh O, I, G thẳng hàng b) Gọi M, N trung điểm OC, OD Chứng minh tam giác GMN tam giác 18.2 Cho đường tròn (O;R), dây AB < 2R Vẽ đường trịn đường kính AB Trên cung AB (phần nằm đường tròn (O)) lấy điểm C, D cho C thuộc cung BD Tia đối tia CB, DB cắt đường tròn (O) theo thứ tự điểm E, F Gọi G, H trung điểm cạnh CD, EF Hãy chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 a) Chứng minh AC AF  AD AE � b) Tính số đo góc AGH Bài 19: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019) 19.1.Cho đường tròn tâm O bán kính R M điểm cố định nằm bên đường tròn Qua điểm M, vẽ hai dây lưu động AB CD vng góc với 2 2 2 a) Chứng tỏ AC  BD  AD  BC Chứng minh AD  BC không đổi b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh IO2 + IM2 = R2 Suy quỹ tích trung điểm I 19.2.Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi E F trung điểm AC BD Gọi G giao điểm đường thẳng qua E vng góc với AD với đường thẳng qua F vng góc với BC So sánh GA GB Bài 20: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020) 20.1 (Dự phịng) Cho tam giác ABC vng A Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD  BA Gọi M , N trung điểm AC , AD Đường thẳng qua B song song với AD cắt MN E a) Chứng minh tứ giác NAEB hình chữ nhật � � b) Chứng minh ACE  DCN 20.3 Cho tam giác ABC cân A, D hình chiếu C lên AB Đường trịn tâm B bán kính BD E  E �D  đường trịn tâm C bán kính CD cắt Đường thẳng AC cắt đường trịn tâm C bán kính CD P Q Đường thẳng QD cắt đường tròn tâm B bán kính BD M � a) Tính số đo góc QDE b) Chứng minh P, M , E thẳng hàng Bài 21: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009) 21.1.Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH (H thuộc BC) Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: EF  EB BC.CF 21.2.Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R M điểm thay đổi nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B đường tròn (O) điểm C D Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM Bài 22: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (C) tâm I Đờng tròn (C) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lợt D, E, F 22.1.Gọi ha, hb, hc r lần lợt chiều cao ABC xuất phát từ A, B, C bán kính 1 1    r hb hc ®êng tròn (C) Chứng minh rằng: 22.2.Trong trờng hợp AB = 12, BC = 18, CA = 24 G lµ träng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: IG // BC 22.3.Các đờng thẳng BI, CI lần lợt cắt EF M N M không trùng với E, N không trïng víi F Chøng minh r»ng tø gi¸c BCMN néi tiếp đờng tròn Bi 23: ( HSG TNH BC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010) Hãy chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi C trung điểm đoạn thẳng AO Một đường thẳng a vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) I Trên đoạn CI lấy điểm K (K khơng trùng với C I) Tia AK cắt nửa đường tròn (O) M, tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt đường thẳng a N, tia BM cắt đường thẳng a D 23.1 Chứng minh tam giác MNK tam giác cân 23.2 Tính diện tích tam giác ABD theo R, K trung điểm đoạn thẳng CI 23.3 Chứng minh K chuyển động đoạn thẳng CI tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AKD ln nằm đường thẳng cố định Bài 24: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho tam giác ABC vng A (AB < AC), có đường cao AH O trung điểm cạnh BC Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự M N OA MN cắt D 24.1.Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp 1   24.2.Chứng minh : AD HB HC 24.3.Cho AB = AC = Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BMN Bài 25: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P 25.1.Chứng minh MNCO hình thang cân 25.2.MB cắt CH I Chứng minh KI son song với AB 25.3.Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vuông góc với QF Bài 26: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R) Trên đường tròn (O;R) lấy H kỳ cho AH < R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R) Trên đường thăng a lấy B C cho H nằm B C AB = AC = R Vẽ HM vng góc với OB ( M �OB), vẽ HN vng góc với OC ( N �OC) 26.1.Chứng minh OM � OB = ON � OC MN qua điểm cố định 26.2.Chứng minh OB � OC = 2R2 26.3.Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi Bài 27: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)  O   O ' cắt hai điểm phân biệt A B ( AB khơng đường kính 27.1.Cho hai đường trịn  O ' ) Các tiếp tuyến A B  O ' cắt C Các đường thẳng AC BC cắt  O  �  O ' (phần nằm điểm thứ hai D E Lấy điểm G di chuyển cung AB đường tròn  O  , điểm G không trùng với điểm A B ) Các đường thẳng AG BG cắt  O  điểm bên thứ hai H K Hai đường thẳng DK HE cắt I a Chứng minh điểm I nằm cung tròn cố định G thay đổi Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 b Chứng minh ba điểm C , G I thẳng hàng 27.2 Cho ABC có điểm M , N trung điểm hai cạnh CA CB Gọi P giao điểm tia AC AB BC   � MN với đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh PB PC PA Bài 28: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009) Cho tam giác ABC, điểm M tam giác, đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB P, Q, R Kí hiệu SABC diện tích tam giác ABC S 28.1.Chứng minh rằng: MA.BC + MB.AC + MC.AB ≥ ABC 28.2.Xác định vị trí M để diện tích tam giác PQR lớn Bài 29: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2004 – 2005) 29.1 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có cạnh BC trung bình cộng cạnh AB AC Gọi G trọng tâm I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Chứng minh: IG // BC 29.2.Cho tam giác ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC M Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) N (khác D) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I) Bài 30: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017) 30.1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường trịn a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi S, S’ diện tích tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta ln có đẳng  S + 2S'  3R thức: MH + MI + MK = 30.2.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M đoạn FD, lấy N � � � tia DE cho MAN = BAC Chứng minh MA tia phân giác góc NMF Bài 31: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018) 31.1.Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH b) Gọi I, J trung điểm AH BC Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP nội tiếp 31.2.Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Bài 32: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019) 32.1 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi D trung điểm cạnh BC Lấy điểm M đoạn AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB, AC H hình chiếu vng góc N lên đường thẳng PD a) Chứng minh AH vng góc với BH Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng 32.2.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH Gọi M giao điểm HB MB AB  �2 AC Dấu đẳng thức xảy nào? AO BC Chứng minh HC MC Bài 33: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013) 33.1.Cho tam giác ABC, có AB < AC, kẻ trung tuyến AM, đường cao AH phân giác AD � � a) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB, Chứng minh DEC  ACB b) Chứng minh CD > CM c) Chứng minh điểm D nằm điểm H M � 33.2.Cho góc nhọn xMy điểm A cố định ( khác M) thuộc tia Mx Vẽ đường tròn (O), tâm O cho tiếp xúc với Mx A cắt My B, C theo thức tự M, B, C a)Gọi D trung điểm cung BC không chứa A (O), E giao đểm AD BC Chứng minh E điểm cố định đường tròn (O) thay đổi b)Gọi H chân đường cao AH tam giác AOM Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp đường tròn Bài 34: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O điểm D cạnh AB Gọi M N trung điểm cạnh BC CA Gọi P Q giao điểm MN với đường tròn  O (điểm P thuộc cung nhỏ BC điểm Q thuộc cung nhỏ CA) Gọi I giao điểm khác B BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP Gọi K giao điểm DI với AC 34.1.Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp đường tròn 34.2.Chứng minh PK.QC  QB.PD 34.3.Gọi G giao điểm khác P AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP Đường thẳng IG cắt BA AD E Chứng minh D di chuyển cạnh AB tỉ số AE không đổi Bài 35: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011) Cho đường tròn (C) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F 35.1.Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng 35.2 Chứng minh tích AMAN không đổi 35.3.Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Bài 36: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011) 36.1.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có BC  R AB < AC Gọi H trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường trịn điểm D khác A a) Tính góc BAC Suy tam giác OAH cân; b) Chứng minh AD.BC = AB.CD + AC.BD Hãy chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 36.2.Chứng minh lục giác lồi ABCDEF có góc có AB  DE  BC  EF  CD  FA Bài 37: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho góc xOy có số đo 60 o Đường trịn có tâm K nằm góc xOy tiếp xúc với tia Ox M tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM Tiếp tuyến đường tròn (K) qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F 37.1 Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ 37.2 Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp đường tròn 37.3 Gọi D trung điểm đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF tam giác Bài 38: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho tam giác ABC có đường cao AH, biết góc BCA < góc ABC < góc CAB < 900 Gọi đường trịn (O) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi D giao điểm tia AI với đường tròn (O), biết D khác A Gọi E F giao điểm đường thẳng AH với hai đường thẳng BD CI, biết E nằm hai điểm B D 38.1.Chứng minh BH = AB.cos góc ABC Suy BC = AB.cos góc ABC + AC.cos góc BCA 38.2.Chứng minh bốn điểm B, E, I, F thuộc đường tròn 38.3.Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC Bài 39: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016 – 2017) 39.1 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = a) Gọi G, I trọng tâm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: IG//BC b) Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh: A, M, I, N nằm đường tròn 39.2.Cho tam giác vng có độ dài ba cạnh số ngun Chứng minh rằng: Bán kính đường trịn nội tiếp số nguyên Bài 40: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E hai tiếp điểm AB, AC với đường � � � trịn (I) Biết ba góc BAC , ABC , BCA , góc nhọn Gọi M N trung điểm hai đoạn BC AC 40.1.Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC 40.2.Chứng minh ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy Bài 41: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009 – 2010) Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA CB M N Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI P Chứng minh góc IPB vng Bài 42: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008 – 2009) 42.1.Tõ điểm A đờng tròn tâm O, vẽ tiếp tuyến AD, AE (D, E tiếp điểm) Tia AO cắt đờng tròn tâm O B,C (B A C), kẻ DH vuông góc với CE H Gọi P trung điểm DH Tia CP cắt đờng tròn tâm O Q (Q C).Gọi giao điểm AC DE I a) Chứng minh tứ giác DQIP tứ giác nội tiếp đờng tròn b) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn qua điểm A, D, Q 42.2.Cho đờng thẳng d nằm đờng tròn tâm O Vẽ OA vuông góc với d A Từ A, kẻ cát tuyến d1, d2 lần lợt cắt đờng tròn (O) B, C D, E (B A Hóy luụn chin thng chớnh mỡnh TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YấN 09.05.37.8118 C, D A Và E) Gọi M, N thứ tự giao điểm đờng thẳng BE DC với đờng thẳng d Chứng minh tam giác OMN tam giác cân Bi 43: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010 – 2011) Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đờng tròn Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB E Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB F a) CMR: MNE  NFM b) Gäi K lµ giao điểm EN FM HÃy xác định vị trí dây MN để chu vi tam giác MKN lín nhÊt Bài 44: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 – 2013) 44.1.Tam giác ABC có chu vi 1, cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: a b c    1 a 1 b 1 c Chứng minh tam giác ABC 44.2.Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi D trung điểm cạnh BC Lấy điểm M đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự hình chiếu vng góc M xuống cạnh AB, AC H hình chiếu vng góc N xuống đường thẳng PD a) Chứng minh AH vng góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng Bài 45: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có cạnh đối không song song Gọi F giao điểm AB CD, E giao điểm AD BC; H, G theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AC BD � Đường phân giác góc BED cắt GH điểm I a) Chứng minh IH BD  IG AC SIAB b) Cho độ dài CD = 2AB Tìm tỉ số diện tích SICD Bài 46: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2008– 2009) Cho đường tròn tâm O dây AB cố định (O không thuộc AB) P điểm di động đoạn AB (P khác A, B) Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) A Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N (khác P) � � a) Chứng minh: ANP  BNP o � b) Chứng minh: PNO  90 c) Chứng minh P di động N ln nằm cung trịn cố định Bài 47: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2011– 2012) Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua B C (O không nằm đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Hãy ln chiến thắng 10 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 Bài 48: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H điểm di động đoạn OA (H khác A) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB � � a) Chứng minh HKM  2AMH b) Các tiếp tuyến (O, R) A B cắt tiếp tuyến M (O, R) D E OD, OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF = OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Bài 49: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015) Cho đường trịn (O;R) đường kính BC Gọi A điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn AB, AC cắt đường � tròn điểm thứ hai tương ứng E D Trên cung BC không chứa D lấy F(F �B, C) AF cắt BC M, cắt đường tròn (O;R) N(N �F) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P(P �A) � a) Giả sử BAC  60 , tính DE theo R b) Chứng minh AN.AF = AP.AM c) Gọi I, H thứ tự hình chiếu vng góc F đường thẳng BD, BC Các đường thẳng BC BD CD   � IH CD cắt K Tìm vị trí F cung BC để biểu thức FH FI FK đạt giá trị nhỏ Bài 50: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017) 50.1.Cho tam giác nhọn ABC (AB 0) M điểm cạnh AB (M khác A khác B) Gọi H, K hình chiếu vng góc M AC DC a) Chứng minh điểm B, C, K, H, M thuộc đường tròn Xác định tâm O đường trịn AH � MK b) Tính MH theo a Hãy ln chiến thắng 12 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 c) Khi AK tiếp tuyến đường trịn (O) Tính AM theo a Bài 58: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho đường tròn (O; R) hai đường kính phân biệt AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF a) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA b) Hai đường kính AB CD có vị trí tương đối tam giác BPQ có diện tích nhỏ Bài 59: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định M, N hai điểm thay đổi đường trịn (O), nằm � hai phía AB cho MAN  60 Đường thẳng BN cắt AM P, đường thẳng BM cắt AN Q Gọi I trung điểm đoạn thẳng PQ a) Chứng minh tứ giác IMON nội tiếp PQ  b) Chứng minh AB �  NAB �  300 MAB c) Trong trường hợp , gọi điểm C điểm di động cung nhỏ AN (C không trùng A N) Đường thẳng qua M vng góc với AC cắt NC D Xác định vị trí điểm C để diện tích tam giác MCD lớn Bài 60: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho tam giác nhọn ABC có AC  AB nội tiếp đường tròn (O) Kẻ phân giác AI tam giác ABC ( I �BC ) cắt (O) E Tại E C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt F, AE cắt CF N, AB cắt CE M a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn 1   b) Chứng minh CN CI CF c) Gọi AD trung tuyến tam giác ABC, kẻ DK//AI ( K �AC ) Chứng minh 2AK  AC  AB Bài 61: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2011 – 2012) 61.1.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, BE, CF (D �BC, E �AC, F � AB) cắt H cắt đường tròn (O) theo thứ tự M, N, K Chứng minh rằng: a) BH.BE + CH.CF = BC2 AB  BC  CA2 b) AH.AD + BH.BE + CH.CF = AM BN CK   4 c) AD BE CF 61.2.Cho đoạn thẳng CD = cm, I điểm nằm C D ( IC > ID) Trên tia Ix vng góc với CD lấy hai điểm M N cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD K ( K �MD ) , DN cắt MC L ( L �MC ) Tìm vị trí điểm I CD cho CN.NK có giá trị lớn Bài 62: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018 – 2019) O; R  62.1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn  Vẽ đường trịn tâm K đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm F ,E Gọi H giao điểm BE CF a) Chứng minh OA vng góc EF Hãy ln chiến thắng 13 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 K (M,N b)Từ A dựng tiếp tuyến AM , AN với đường tròn   tiếp điểm N thuộc cung nhỏ EC ) Chứng minh rằng: M ,H ,N thẳng hàng O; R  62.2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  , điểm M di động cung nhỏ BC Xác định vị trí M để S  MA  MB  MC đạt giá trị lớn tính S O O 62.3.Cho đường trịn   đường kính AB Từ điểm C thuộc đường tròn   kẻ CH vng góc AB O ( C khác A B; H thuộc AB ) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường trịn   D E Chứng minh DE qua trung điểm CH Bài 63: ( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016)  O  I Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC , nội tiếp đường tròn ngoại tiếp đường tròn Điểm D � � thuộc cạnh AC cho ABD  ACB Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm  O  điểm thứ hai Q Đường thẳng qua E song song với AB cắt thứ hai E cắt đường tròn BD P a) Chứng minh tam giác QBI cân; b) Chứng minh BP.BI  BE.BQ ; c) Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K trung điểm JE Chứng minh PK / / JB Bài 64: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009 – 2010) 64.1.Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD ABC 1   2 r a a) Chứng minh : R 8R3r ( R  r ) ; ( Kí hiệu S ABCD diện tích tứ giác ABCD ) b) Chứng minh : BC � 64.2.Cho tam giác ABC cân A có BAC  108 Chứng minh : AC số vô tỉ S ABCD  Bài 65: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 – 2011) 65.1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O), H trực tâm tam giác Gọi M điểm cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B C) Gọi N P điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng 1  � b) Khi BOC  120 , xác định vị trí điểm M để MB MC đạt giá trị nhỏ 65.2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vuông góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định Bài 66: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011 – 2012) 66.1.Cho đờng tròn ( O,R) đờng kính AB Qua điểm C thuộc đờng tròn kẻ tiếp tuyến d đờng tròn Gọi I, K lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ A B đến đờng thẳng d Gọi H chân đờng vuông góc kẻ từ C ®Õn AB Chøng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI BK Hãy ln chiến thắng 14 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PH YấN 09.05.37.8118 c) AB tiếp tuyến đờng tròn đờng kính IK 66.2.Cho (O,R) v hai im A,B cố định nằm ngồi đường trịn cho OA = R Tìm điểm M đường trịn cho tổng MA+ MB đạt GTNN? Bài 67: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015 – 2016) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm (O; R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O (P nằm M, Q) Gọi H giao điểm OM AB � � a) Chứng minh: HPO  HQO 1  b) Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng EA EB có giá trị nhỏ Bài 68: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016 – 2017) � 68.1.Cho tam giác ABC có BAC  135 , BC = 5cm đường cao AH = 1cm Tính độ dài cạnh AB AC 68.2.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D điểm cung BC khơng chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K trực tâm tam giác ABC, ACE ; P, Q hình chiếu vng góc K đường thẳng BC, AB I giao điểm EK với AC a) Chứng minh ba điểm P, I Q thẳng hàng b) Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm đoạn HK Bài 69: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018 - 2019) 69.1.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C tam giác Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) điểm thứ M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF N Chứng minh rằng: a) EF  OA b) AM = AN � � 69.2.Cho tam giác nhọn ABC, D điểm tam giác cho ADB = ACB  90 AC.BD = AB.CD  AD.BC Chứng minh AC.BD Bài 70: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012) 70.1.Cho (O; R) Đường thẳng d không qua O cắt (O) hai điểm A B từ điểm tùy ý d (O), vẽ hai tiếp tuyến MN MP với (O), (M, N hai tiếp điểm) a) Dựng vị trí điểm M d cho tứ giác MNOP hình vng b) Chứng minh tâm đường tròn qua ba điểm M, N, P chạy đường thẳng cố định M di động d 70.2.Cho ABC thay đổi, có AB = CA = 2CB Tìm GTLN diện tích ABC Bài 71: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 - 2015) Cho đường tròn O, dây cung BC cố định.Điểm A cung nhỏ BC, A khơng trùng với B, C điểm cung nhỏ BC.Gọi H hình chiếu A đoạn thẳng BC;E,F thứ tự hình chiếu B C đường kính AA′.Chứng minh rằng: a) Hai tam giác HEF ABC đồng dạng với b) Hai đường thẳng HE AC vng góc với Hãy ln chiến thắng 15 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm cố định A chuyển động cung nhỏ BC Bài 72: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 - 2009) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R Từ điểm P tia tiếp tuyến đờng tròn B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A tiếp điểm) với đờng tròn Gọi H hình chiếu A lên BC, E giao điểm cđa PC vµ AH a) Chøng minh E lµ trung điểm AH b) Tính AH theo R khoảng c¸ch d = PO Bài 73: ( HSG TỈNH PHÚ TH NM HC 2009 - 2010) Cho đờng tròn (O; R) dây cung AB cố định, AB = R Điểm P di động dây AB (P khác A B) Gọi (C; R1) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A, (D; R2) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Hai đờng tròn (C; R1) (D; R2) cắt điểm thứ hai M a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD điểm C, D, O, M thuộc đờng tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đờng tròn cố định đờng thẳng MP qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P ®Ĩ tÝch PM.PN lín nhÊt ? diƯn tÝch tam gi¸c AMB lín nhÊt? Bài 74: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 - 2013) 74.1.Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường trịn (O) thay đổi ln vng góc cắt BD H Gọi P,Q,R,S chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB 2 2 a) CMR: HA  HB  HC  HD không đổi b) CMR : PQRS tứ giác nội tiếp 74.2 Cho hình vng ABCD MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc cạnh AB,BC,CD,DA MN  NP  PQ  QM AC S hình vng CMR: ABCD ≤ Bài 75: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 - 2014) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC không qua tâm Gọi A điểm cung � quay quanh điểm A có số đo  khơng đổi cho E, F khác nhỏ BC Góc nội tiếp EAF phía với điểm A so với BC; AF AE cắt đường thẳng BC M N Lấy điểm D cho tứ giác MNED hình bình hành a) Chứng minh MNEF tứ giác nội tiếp � b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A I chuyển động đường thẳng cố định c) Khi   60 BC  R , tính theo R độ dài nhỏ đoạn thẳng OI Bài 76: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 - 2015) Cho BC dây cung cố định đường tròn (O; R) ,( BC < 2R), A điểm di động cung lớn BC,( A không trùng B,C) Gọi AD, BE, CF đường cao tam giác ABC;EF cắt BC P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC Q cắt AB R a) Chứng minh tứ giác BQCR tứ giác nội tiếp Hãy ln chiến thắng 16 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 b) Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM hai tam giác đồng dạng c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác PQR ln qua điểm cố định Bài 77: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 - 2016) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) A M cắt E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB) Vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE) a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp APMQ hình chữ nhật b) Chứng minh PQ, OE, MA đồng qui c) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh K trung điểm MP d) Đặt AP = x , tính MP theo R x Tìm vị trí M đường trịn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Bài 78: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 - 2018) 78.1.Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) O O điểm A nằm   Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với   ( B, C O O tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt   D E ( AD  AE ) Tiếp tuyến   D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E , N , I thuộc T đường tròn   O T b) Chứng minh hai đường tròn     tiếp xúc c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định 78.2.Cho đường tròn  O Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 - 2014) Cho tam giác ABC vuông A (AB AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng: a) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) b) KH  AM Bài 98: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 - 2014) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AO cắt nửa đường tròn cho D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B M khác D) Tiếp tuyến nửa đường tròn cho M cắt đường thẳng CD E Gọi F giao điểm AM CD a) Chứng minh tam giác EMF tam giác cân b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng c) Chứng minh góc ABI có số đo không đổi M di chuyển cung BD Bài 99: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 - 2015) Cho điểm A , B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Hãy ln chiến thắng 21 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua B C (O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Bài 100: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) AB < AC Các tiếp tuyến B C (O) cắt D Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC AC M, N a) Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp tam giác ANB cân b) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) I, BI cắt DM K Chứng minh K trung điểm DM c) Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P cho IP // DN, AP cắt BC Q Gọi G trung điểm DK Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng Bài 101: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 - 2018) (O ),( I ),( I a ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp O, I , I a Gọi D tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác với tâm tương ứng � PI điểm ( I ) với BC , P điểm cung BAC (O) , a cắt (O) điểm K Gọi M giao điểm PO BC , N điểm đối xứng với P qua O IBI aC tứ giác nội tiếp a) Chứng minh Cho tam giác ABC có b) Chứng minh NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP � � c) Chứng minh DAI  KAI a Bài 102: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 - 2019)  O; R  điểm A cố định bên ngồi đường trịn, OA  R Từ A kẻ tiếp tuyến Cho đường tròn AB , AC đến đường tròn  O  ( B , C tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt dây BC I Gọi M điểm  O  cắt AB , AC E , F Dây BC di động cung nhỏ BC Tiếp tuyến M đường tròn cắt OE , OF điểm P , Q � a) Chứng minh ABI  60 tứ giác OBEQ nội tiếp b) Chứng minh EF  PQ c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ theo R Bài 103: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 - 2018) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O)và có AB