TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011) x + x −1 + x − x −1 P= x + 2x −1 − x − 2x −1 a) Rút gọn biểu thức: P= P= P= P= P= với x ≥2 2( x − + x − + + x − − x − + 1) x −1 + 2x −1 + − 2x −1 − 2x −1 + ( ) ( x − + 1) + ( x − − 1)2 ( x − + 1) − ( x − − 1)2 ( x −1 +1+ 2x −1 +1 − ( ) x −1 −1 x −1 −1 ) x −1 +1+ x −1 −1 2x −1 + − 2x −1 + ( x≥2 x −1 ≥ nên x − ≥ 1) 2.2 x − = 2x − 2 S n = ( + 3) n + ( − 3) n b) Cho biểu thức S2 n = ( 5+ với n số nguyên dương ) +( 2n 5− ) 2n Ta có : S2 n =   ( 5+ ) ( n + ) n −  −2   ( =  ( ) 5+  +   5+ )( n ) ( 5−   ) 5−   n n S n = S n − 2.2n = S n − 2n +1 ( đpcm) S1 = Ta có : S = S12 − 22 = (2 5) − = 16 S = S 2 − 23 = 162 − = 248 S8 = S − 25 = 2482 − 32 = 61472 Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) a) Rút gọn biểu thức: P = + + + + + + − + + Ta có: Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118    + + + − + + =  + + + ÷ − + + ÷    = 4−2− 2+ = 2− 2+ Do đó: P = + + + − + = + − − = + − = − = (a + b)(a − b) = a − b Cách khác: Áp dụng đẳng thức , ta có:    P = + + +  + + + ÷ − + 2 + ÷    ( )( ) ( )( )( − ( )( = 2+ 2+ 2+ = 2+ 2− 2+ ) ) =4–2=1 Vì P > nên P = Q = x3 + 12 x + 2009 b) Tính x3 = Ta có : ( x = + 65 − 65 − , với + 65 − 65 − ( ) ( = + 65 − = − 12 ( ) ) : ( 65 − − 33 + 65 ) )( ) ( 1+ 65 − 65 − 65 − ) + 65 − 65 − = − 12x Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011 Bài 3: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) Ta có: P= = + 10 + 17 - + 10 + 17 2 ( ) 10 + 17 - 52 52 ( 10 - 17 ) 10 + 17 + 10 2 17 Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 = + 170 - + 170 4 = 169 13 = Bài 4: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) P= x - x +6 x- x- + x- x- - Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P ìï x ³ ïï ïï x - x + ¹ Û ïí ïï x - ¹ ïï ïï x - ợ P xỏc nh ùỡù x ³ ï Û ïí x - ¹ ïï ïï x - ¹ Û x 0, x 4, x ợ x ³ 0, x ¹ 4, x ¹ Vậy với (*) biểu thức P xác định b) Rút gọn P P= = = ( x- )( 1- ( ) ( x - 2) 2)( x - 3) x- + ( ( ) x- x- x- + x- x- - x- ( x- x- )( ) ) x- = ( ) ( 2)( x - 3) 1- x - x + + x - x + ( x- ) x- = c) Tìm số nguyên x để P nguyên: P= x- Theo b) x −3 Do đó, ⇔ ( x −3 nguyên P nguyên ) x − ⇔ x − = ±1; ±2 nguyên x − = ⇔ x = 16; Với Hãy chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 x − = −1 ⇔ x = Với ; x − = ⇔ x = 25; Với x − = −2 ⇔ x = Với x ∈ { 1;16;25} Kết hợp với điều kiện (*) suy Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) A = 2012 − 2011, B = 2013 − 2012 a) Cho So sánh A B Ta có: 1 = = 2012 + 2011 A 2012 − 2011 1 = = 2013 + 2012 B 2013 − 2012 Suy ra: 1 < ⇒ A> B A B C = 15 + 26 − 15 − 26 b) Tính giá trị biểu thức : ( a − b)3 = a3 − b3 − 3ab( a − b) Áp dụng cơng thức ta có: 3 C = (15 + 26) − (15 − 26) − 3C 675 − 676 ⇔ C − 3C − 52 = ⇔ (C − 64) − (3C − 12) = ⇔ (C − 4)(C + 4C + 13) = Vậy C=4 x3 = y = z c)Cho 1 + + =1 x y z x2 + y2 + 4z =1 2+ 3+ CMR: k3 k3 k3 = ;3 = ; = x = y = z = k ( k ≠ 0) ⇒ x y z Đặt: 2+ 3+ = Từ đó: x2 + y + 4z = 1 1 k k k + 3 + 3 = k  + + ÷= k x y z x y z 3 3 (1) k3 k3 k3 1 x + y + z =k3 + + =k x y z x y z Và: Từ (1) (2) suy đpcm (2) Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 Bài 6: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014) + 12 − − 24 + +1 A= Rút gọn biểu thức: + 12 − − 24 A= = + +1 ( 1− = 2+ ) 2 + +1 1− + ( = = + +1 ( 1− + = = + +1 +1− ) + + + ×1 × − ×1 × − 2 × + +1 ) +1 − 2 = ( ( +1− ) ) 2 +1 − 2 = +1− +1+ 6+2 −2 −2 = 4+2 −2 ( 3− 2 ( )( ) )= +1 +1 3− Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015) x > 0, y > x a) Cho Chứng minh rằng: y+ x = y + y2 − x + y − y2 − x (1); y + y2 − x y − y2 − x − 2 y− x = (2) y + x + y − x = z Đặt z2 = y + y2 − x Bình phương vế ta được: y+ x + y− x =2 y + y2 − x Từ ta có: (3) y+ x − y− x =2 y − y2 − x Tương tự ta có: (4) y+ x = y + y2 − x + y − y2 − x Lấy (3) cộng (4) ta được: y− x = y + y2 − x − P= b) Rút gọn biểu thức: ; Lấy (3) trừ (4) ta được: y − y2 − x + − a2 ( ( 1+ a) + − a2 − ( 1− a ) ) Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 Điều kiện −1 ≤ a ≤ Áp dụng công thức (1) ta được: 1+ a 1− a 1+ −1 + a2 − − + a2 + = + 2 2 1+ − a2 = a≥0 Với Ta lại có: (1+ a) a 0, a ≠ Ta có: P= ( )( a( ) −( ) a −1 + = = = )( a( a −1 a + a + (a+ a −1 a a ) ( ) a +1 a − a +1 ) a +1 ( ) ( ( a − 1) ( )( a + 1) a +1 − + a ) + a − ( 3a + a ) − ( a +1 − a − a +1 a ( a +a−2 ) a −1 a a + 2a + a + ) a −1 ) a 2a + a + = a ( ) a +1 a b) Chứng minh P > P−6 = ( ) a +1 a −6 = ( ) a − a +1 a Ta có 1  2 a − ÷ + 2 =  > 0, ∀a > a a ≠1 Bài 10: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) M = xy − x x − y y + xy a) Cho a1) Phân tích M thành nhân tử Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 ( ) ( M = x y− x − y y− x Ta có: ( = y− x )( x− y) a2) Tính giá trị M với x = 4+2 = Ta có Suy ( ) x = 4+2 ) +1 ; y = − =  M = 4−2 −  ( ( y = 4−2 ( ) −1  + ÷ + −  ) )( 2  −1 ÷  ( ) ) ( )( = − − −1 + − +1 = − 3 + ( = 1− ) 2016 + 2017 < b) Chứng minh rằng: 2016 2017 + (1) 2017 2016 (1) ⇔ 2016 2016 + 2017 2017 − 2016.2017 Ta có ⇔ ( 2016 + ) ( ⇔ ( 2016 + 2017 ) 2017 ) )( − 2016.2017 2016 − 2017 ) ( ( ) 2016 + 2017 > ) 2016 + 2017 > >0 (2) (2) nên (1) (đpcm) Bài 11: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) Rút gọn biểu thức:   1   1 P= − : + + ÷  xy y xy x ÷  x + xy + x xy xy + y + y xy     với x = 3− xy (  ÷ ÷ x+ y ÷  ) y = 3+ x− y 1 − = xy y xy x xy xy Ta có: ; 1 + + x + xy + x xy xy + y + y xy xy ( x+ y ) = Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 ( x x + y + xy = = xy ( x+ y x+ y ) + ) x + y + xy xy ( x+ y P= ) ( = 2 xy ( ( x+ y xy x+ y ( ) ) + ) y x + y + xy + xy ( x+ y ) 2 x+ y ) = xy , x− y xy Suy ra: x = 3− = Vì P= ( ( ) 2 −1 ; y = + = ) 2 −1 − ( )( −1 ( ) +1 ) +1 ( ) +1 2 = −2 Suy : Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) P = 13 + 30 + + - 48 - 10 + - Rút gọn b/thức: +4 = (2 ) 2 +1 = 2 +1 Ta có: ( +1 = +1 13 + 30 + + = 13 + 30 ( +1 = ) (3 ( 5- +4 = ( + 3) ) 2 + + = + 2 +1 = ( ( = +5 =2+ ) 48 - 10 + = 48 - 10 + = P = +5 - - ) +5 ) =5- ) - = 3× Do Hãy ln chiến thắng TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 Bài 13: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 208) 2+ 2− 2 P= + × 4+2 4−2 1+ 1− 2 Tính giá trị biểu thức: 2+ 2− 2+ 2− 2 2 P= + = + 2 + +1 − −1 2+ +1 2− −1 ( ) ( = = 2+ 3+ + ( ) 3− = ( 2 2− ) ) ( + 3) ( − 3) + ( − 3) ( 3+ 3) ( 3+ 3) ( − 3) − +3 −3+ + −3 −3 = 1× 9−3 Bài 14: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)     a + ab + a a + ab + a P= + − 1 :  − + 1 ×  ab +   ab +  ab − ab −     ( ) ( ) a) Rút gọn biểu thức P a ≥ 0, b ≥ 0, ab ≠ Điều kiện: Ta có: ( × ) a + ab + a a +1 a +1 + −1 = + ab + ab − ab + ab − ( ) 1   ab a + = a +1 + ì ữ= 4ab −  ab + ab −  ( ( ) ) a + ab + a a +1 a +1 − +1 = − ab + ab − ab + ab − ( ) 1   −2 a + = a +1  − ÷ = 4ab − ×  ab + ab −  ( ) Hãy ln chiến thắng 10 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 3 x = x x = (7 - x = x x = (7 - B = 362 - 209 )(2 - ) = 26 - 15 )(26 - 15 - 10(26 -15 3 ) = 362 - 209 ) - 15(7 - ) + 2(2 - )+1=2- Bài 55: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014) Với x ≥ 4, ta có : = (x − 4) + x − + + (x − 4) − x − + = ( x−4 +2 ) + ( x−4 −2 ) = x−4 +2+ x−4 −2 A Xét trường hợp : * Với x ≥ ta có : A = x−4 +2+ x−4 −2=2 x −4 * Với ≤ x < ta có : A = x−4 +2− x−4 +2=4 Bài 56: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018) A= = (vì = ( ) x −2 x+8 + + ( x + 2)( x − x + 4) x − x + ( x − 2)( x + 2) = = ( x − 2) + + x−4 x + 23 x − x + x+8 x+8 x −2 + − ( x + 2)( x − x + 4) x − x + ( x − 2)( x + 2) 0≤ x 2  ⇔ x − x +1 < (do ⇔ x − x −6< ⇔ ( x −3 )( ) ) x + < ⇔ x −3 < ⇔ 0≤ x 0, x ≠ a) Với điều kiện , ta có: x−2 x x +1 2x − x +1 P= + + x −1 x + x +1 x x + x +1 x x −1 x + x +1 ( = ( )( ) ( x( x x−2 x + ) ( ) ( x − 1) + x − x − 1) ( x + x + 1) x +1 ) ( )( ) x +1 Hãy ln chiến thắng 44 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 = = x ( x x+ x −2 ( ( )( ) ) x −1 x + x + ) ( x + 2) = x + ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + x −1 x > 0, x ≠ ⇒ x + x + > x + > Ta có với điều kiện x +2 x +2 ⇒0< P= < = 1+ 0, x ≠ a) Với điều kiện , ta có:     x x − x −1 ÷  x + x −5  ÷ P= − : −  x −2 ÷  x + x x −2 x +1 x −2 ÷     ( = ) ( )( ) ( ) : ( x − ) − ( x − 5) x ( x − ) ( x + 1) ( x − ) x − x − x −1 = x ( = ( x +1 x −2 ) x +1 ) ( )( x +1 x −2 ) x ( P= ) x +1 ( x > 0, x ≠ 4) x Vậy a = + 50 , b = − 50 b) Cho Khơng dùng máy tính, chứng minh các biểu M = a+b N = a +b thức - Chứng minh có giá trị số chẵn M số chẵn ( a = + 50 = + = (1+ ) b = − 50 = − = ( 1− ) ) ( =1+ = 1− ) M = a + b = 1+ + 1− = Vậy M số chẵn - Chứng minh Nlà số chẵn ( )( ) a + b = ; a.b = + − = −1; a + b = ( a + b ) − 2ab = N = a + b7 = ( a + a 4b3 ) + ( b + a 3b ) − ( a 4b + a 3b ) =a ( a + b3 ) + b ( a + b3 ) − a 3b ( a + b ) = ( a + b3 ) ( a + b ) + Hãy ln chiến thắng 46 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 = ( a + b ) ( a + b − ab ) ( a + b ) − 2a 2b  + = ( 7.34 + 1) = 478   Vậy Nlà số chẵn Chú ý : M + 3M − 14 = - Học sinh tính M cách đưa phương trình bậc 3: M =2 nghiệm Mỗi ý cho 0,5 điểm M = ( + 50 + − 50 ) = 14 + 3 + 50 − 50 ( , giải + 50 + − 50 ) M = 14 − 3M ⇔ ( M − ) ( M + 2M + ) = M + 2M + = ( M + 1) + > ⇔M =2 - Học sinh chứng minh N số chẵn cách đặt : ( Sn = + ) + (1− ) n n xây dựng công thức (1+ ) + (1− ) thể khai triển Sn +1 = 2Sn + Sn −1 để S7 số chẵn có để tính N Bài 75: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018) + x = xy + yz + zx + x = ( x + y )( x + z ) Ta có: Tương tự : + y = xy + yz + zx + y = ( y + x)( y + z ) + z = xy + yz + zx + x = ( z + x )( z + y ) Do đó: A = x(y+z) + y(z+x) + z(x+y) = 2(xy + yz + zx) = 2.1 = Bài 76: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012) f ( x) + f ( y ) = x + y =1 Nhận xét Nếu f ( x) = x x3 + ( − x ) ( 1− x) f ( y) = f (1− x) = 3 x + ( 1− x) 3 ⇒ Thật vậy, ta có f ( x) + f ( y) = (1− x) f ( x) + f ( 1− x) = + =1 3 x + ( 1− x) x + ( 1− x) x3 suy Vậy, nhận xét chứng minh Ta có Theo nhận xét ta có: 1 f  ÷= 2 Hãy ln chiến thắng 47 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118     2011       2010   A= f  ÷+ f  ÷÷+  f  ÷+ f  ÷÷+ +  2012     2012   2012     2012    1005   1007    1006  1  f  2012 ÷+ f  2012 ÷÷+ f  2012 ÷ = 1005 + f  ÷ = 1005,5          x > 0, x ≠ Điều kiện: Khi ta có x +2 P= x + x +1 Rút gọn biểu thức ta Px + ( P − 1) x + P − = x Ta có , ta coi phương trình bậc hai Nếu P =0⇒ − x −2= P≠0 x vơ lí, suy nên để tồn phương trình có ∆ = ( P − 1) − P ( P − ) ≥ ⇔ −3P + P + ≥ ⇔ P − P + ≤ ( P − 1) 4 ⇔ ( P − 1) ≤ 3 Do P nguyên nên ( P − 1) = ⇔ P = ⇔ x = +) Nếu không thỏa mãn P =  ⇒ P = ⇔ 2x + x = ⇔ x = ( P − 1) = ⇔  P = +) Nếu khơng thỏa mãn Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Bài 77: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) x2 = + ⇒ x2 − = a) Ta có ⇒ ( x − ) = 24 ⇒ x − 10 x + = A = 2012 Vậy a+ b ab = ⇒ c= c ab a+ b ⇒ x − 10 x + 2013 = 2012 b) Từ giả thiết ta có  a + b + ab  ab bc ca b − − = ab  − ÷ ÷ c a b ab   a a + b + ab = c ab ab a − a+ b b ab a+ b Do a + b + ab a a +b b a + b + ab a − ab + b = − = − ab ab ab ab a + b ( ) Hãy ln chiến thắng 48 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN 09.05.37.8118 = a + b + ab − a + ab − b ab = =3 ab ab ab bc ca − − =3 c a b Vậy Bài 78: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007) Vì 20062 - < 20062 nên (2006 - 1) ( 2006 + 1) < 20062 2005.2007 ⇒ 2005 2007 < 20062 ⇒ < 2006 2005.2007 2005 2007 2006 ⇒ 2.2006 + < 2006 ⇒ ( + )2 < 2005 2007 2006 ⇒ + < Vậy A nhỏ B Bài 79: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012) S = + + … + + … + (gồm 2012 hạng tử) Các hạng tử S có dạng Xét = > = (bất đẳng thức Cô-si) Dấu “=” xảy ⇔ k = 2012 − k + ⇔ k = ∉ N Do > Suy S > 2012 ∙ = Bài 80: ( HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018 – 2019) a3 - 2b3 = ( ) ( ) ( 3 a - 2b = a- )( Ta có Suy 2(a + b) a3 - 2b3 = ( a a + 2ab + 2b a + 2ab + 2b a- )( 2b + 2ab a- ) 2b a + 2ab + 2b a3 + 2b3 = - - 2ab + 2b 2b P = ( a= - = 2(a + b) - ( a- 2b )( a + 2b a 2b ( ( )- ) a - 2ab + 2b ( a= = a- 2b ( ) 2b 2b ) a ) a- 2b 2b 2ab + 2b 2b + a a- ) a- 2b a + 2ab + 2b = a )( a- ) 2b a + 2ab + 2b 2b 2b = a- 2b 2b Từ suy x = a;y = 2b Cách 2: Đặt ta Hãy chiến thắng 49 TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ N 09.05.37.8118 ỉ ỉ 2x2 + y2 x x3 + y3 ữ ữ ỗ ữ ữ P =ỗ x ỗ ỗ ữ 3 2ữ ỗ ỗ ữố ữ ỗ ỗy + xy x + xy + y ø èx - y ø x ³ 0;y > 0, x ¹ y với Giải tiếp… Hãy ln chiến thắng 50 ... 4 = 169 13 = Bài 4: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) P= x - x +6 x- x- + x- x- - Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P ìï x ³ ïï ïï x - x + ¹ Û ïí ïï x... =3 x =1 + Để A số nguyên ( A =1) hay x Chú ý: Các học sinh đặt t = ( ≤ t