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Khái niệm số nguyên tố 0"#$%$&' !212;2<S=7K'S=GK" 102345 (;2PiajSSSiSjSRPiPRiSij;212" !2P;212chẵn91" !212K='=LY';2.=L1%5"[ DW'G12V'4;219=?G4;2'^';2 12IN1'" fG9Tk10 số nguyên tố lớn đã được tìm thấyliim )6%7 8)$'9 :$+$(, ;"* <"9% )9=9)9%/9 S P iPanPOaj /S RnQnian R PQQO o;ppqq P P iQpQPpaj /S RSaPQaP R PQQa o;piqq i P PaROpRaS /S jnSOPiQ n PQQa o;pPqq p P PpQiOani /S jPiajii j PQQp o;pSqq a P PQRROQSS /S OiPQpiQ O PQQi o;pQqq O P SipOORSj /S pQaiRpO a PQQS o;iRqq j SRPpR"P SiQSnanO rS iRSnRQQ ![SQ PQQj n PjOai"P RSOjpii rS PjaROjj ![n PQQa R Pnpii"P jniQpaj rS PiajPQj ![j PQQp SQ iiOOS"P jQiSPiP rS PSSOOSj ![SS PQQj 1.1.1.2. Ước số và bội số. 0"#$%$&' (';21'=≠Q"$1K4;21N;''stN6'K u'chia hếtDG*1>?6"'KướcV''='bộiV'" 102345 p ('sOsP'KOsPtiDL*1PvO"wPV'O=O4V'P" (;21'≠Qc-g?;21xNyxQ≤z``y91I;' 6@>ABC)"&KN.thương nguyên.;2dưV'?\?''" $1sQ6'K?\?'" 2345 ('sSisa'KSPsatPri"wNsP;29si" 1.1.1.3. Ước số và bội số chung 0"#$%$&' !213.ước chungV';)1 n aaa """ PS 1Kước V'I8;2K" !21.bội chung V';21 n aaa """ PS 1Kbội V'8;2K" o419{QV';21 n aaa """ PS K.1V' n aaa """ PS B1V'969.ước chung lớn nhấtx|(b$yV' n aaa """ PS "&L*19s9x n aaa """ PS y'9sDx n aaa """ PS y" o441'{QV';21 n aaa """ PS K.41V' n aaa """ PS B14V''6'.bội chung nhỏ nhấtx[($$yV' n aaa """ PS "&L*1'@E/'x n aaa """ PS y''@x n aaa """ PS y" 102345 ('sSPsSa+/3xSPSaysi E/'xSPSaysOQ" 1.1.1.4. Số nguyên tố cùng nhau. 0"#$%$&' $1 +/3x n aaa """ PS ysS6;2  n aaa """ PS  . nguyên tố cùng nhau. 102345 a 3';2n=Singuyên tố cùng nhau=6+/3xnSiysS" 1.1.1.5. Đồng dư 0"#$%$&' (';21'x{Qy"'Ku'=“đồng dư”='1 '*3FE*'1''=''%H4;2;" &L*1k6≡>x9y" 102345 Sj≡ax9iy=6'Sj=aiH;29P" 1"#$%$&'()*%+GH$,- 1.1.2.1. Nhóm 0"#$%$&' $K44x tyK ≠∅tphép toán hai ngôi '5' GI;'1k r\?KGD?kxtyt}stxt}y =.}∈ " r(K?Xtrung lập∈ ktsts =.∈ " rf.∈ K?X#8~∈ kt~s~ts" Cấp của nhóm GW1;2?XV'KDL*1• •" (I?V'KKW∞1 K=)-?X" Nhóm AbelKx tyK?\?')tKG'" GIk $1'ts't6s" $1'tst6's" 102345 %??;21€H=?\?4xry)+K' K?X=#;2Q" .nhóm cộng;21" O %?0 t ;2C1•DQx'%?‚ t ;2<DQyH=?\? xty)+K'" .nhóm nhân;2C1•x;2<yD Q" %?=D)'=?\?4=K'" 1.1.2.2. Nhóm con của nhóm (G, *) 0"#$%$&' $KV' %?!⊂ !≠φ='5GI;'1k rX1%?V' u!" r!D\?DG2=?\?Gxty Et∈!=.∈!" r!D\?DG2=?\?I#8 E S − ∈!=.∈!" 1.1.2.3. Nhóm Cyclic 0"#$%$&' $Kxty.Nhóm Cyclic1K;'ƒ4?X V'K" EK?X+∈=M6∈B1c-%∈W n g @+A+AA+@6 x(UL+A+AA++A+=%y" $KDk.$K(1c-+∈;'.?X B14lũy thừa nguyênKV'" 102345 $KxI + ryc;219(=?X;+sS" 1.1.2.4. Tập thặng dư thu gọn theo modulo 0"#$%$&' &G*1I n s„QSP"""/S…%?;21D)z" j I n =?\?4xry%?nhóm CyclicK?X;?1%?9sQ" xI n ry.K4KKC1-KI?" &G*1I t n s„J∈I n J12H'1=%…"EJ?8≠Q" I t n .Tập thặng dư thu gọn theo mod nK;2?XφK%L" I t n =?\?9%?4KxKy?1-?sS" FN1xI t n ?\?9yD)?8K(" $KI t n (7D%K9-kPp? k 'P? k =?12†" 102345 (sPS€ t n s„SPpanSQSSSiSOSjSRPQ…" 1.1.2.5. Phần tử nghịch đảo đối với phép nhân 0"#$%$&' (6∈I n 1c-> ∈I n ;'6>≡Sx9y'K>phần tử nghịch đảoV'6I n =DL*16 S − " o4?XK?X#8.D8#" 102345 6?X#8V'iI j  E?88?6iJ≡Sx9My;‡?X#8V'i" ˆ  i u i v i y S j S Q S i Q S P P S S /P i i Q f6(s= P s/PzQ9KJs6 S − ks(r%s/Prjsa" f%a?X#8V'iI j " N"#$%$&'OP"Q/(HP/R6("FS((*#% 1.1.3.1. Bài toán [9]-u'?k Input:(9C*1=V'" Ouput:(9C*1'V'xDN18y" &)IGIFN189C*1B1;21" n 1.1.3.2. Thuật toán “Thuật toán”W18EW84"(AKW W1u'N1'*k<'36E;'1k LTF6%%$&'()U/+$#/VWX"FS((*#%Y o4<1%W1495C1-N1‰x7# **y)84N16GW^9C*15xˆ?1y'% DN18xŠ1?1yV'" 1LTF6%%$&'(*#%"./VWX"FS((*#%Y o46E+'N1'*1%41" Thuật toán''-k,#=D)#" "FS((*#%GZ%G[%"x‹;yk b1%DN18V'.?\?B1#91I" "FS((*#%7"\%+GZ%G[%"x$‹;yk b1%KGI4?\?DN18V'KD)91I" 1.1.3.3. Hai mô hình tính toán 3'N1'*=B1%E=')6G" Œ=')6GK'W19]1%" L\"]%"Q%+34%+51%W19]u)C<'•" r,=#ko4)E'.=Z9C*1" r,=#+'k+'W<*4?\?G8;2.' 4^'h 1L\"]%"E^("F_`(51%W19]u)C1" r,=#ko4)E'4G*1"f5#?6=#SG" r,=#+'k+'W<*41W6-" 1.1.3.4. Độ phức tạp của thuật toán L"$P"2/R6("FS((*#%K2%"("9*'O(>O3aE$&FVb*L5 (?G?884N16Gc?G=B+'=4" Chi phí thời gianV'4N16G+'W<*4 N16G"f1%<'•k(?G+';2?\?G 8<*N16G" R Chi phí bộ nhớV'4N16G;2)W<*4N1 6G" .•41%9C*1=V'55K'u K"1%•G9C*1=?884I#"'DL*1k ( A xy+'= A K9L4" 1LOP"Q/(HPVW>O%"cK)*%+()de%+"fPJgF%"g(L5  A K%L@'6Jh A K9LVc$i9i≤%jk%dDGe1=V'1%" NLOP"Q/(HP("e$+$6%K)*%+()de%+"fPJgF%"l(L5  A K%L@'6Jh( A K9LkVc$i9i≤%j mLOP"Q/(HP($&'/S%5,4?E-?xy.*%ƒxyDL *1ŠxŽxyy1∃;2 Q xy≤"Žxy∀• Q " nLOP"Q/(HPG6("Q/5 ,4?E-?xy.đa thức1Ktiệm cận tới đa thức p(n). oL"FS((*#%G6("Q/51%.đa thức14?E-?=B+ 'x+?I1IyV'Kđa thức" p$/#/"7"#/5 r1%thời gian đa thức1%K4?E-?+'K% t y Ku;2" r1%thời gian hàm mũ1%K4?E-?+'K( yxnf y Ku;2=Žxy'EV'" Thời gian chạy của các lớp thuật toán khác nhau: ,4?E-? !2?\?GxsSQ O y +'xSQ O ?G`;y ŠxSy S S Šxy SQ O S Šx P y SQ SP SSO Šx i y SQ Sn iPQQQ> ŠxP n y SQ iQSQiQ SQ iQSQQO 1FV'=AT Chú ý SQ