1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG          TRẦN THỊ YẾN LY ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2012 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG          Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải tích. Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn ñề quan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối chuyên toán, chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu. Vấn ñề này vẫn mang tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt ñầu tìm hiểu về Các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giá trị trung bình, nhưng ở ñây chỉ ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan ñến các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng. 2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn ñể trao ñổi các kết quả ñang nghiên cứu. 5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 1. Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến Định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm. 2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, cũng như ñưa ra một số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập. 4 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. - Chương 1: Hàm cộng tính và song cộng tính. - Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàm liên quan. - Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm liên quan. CHƯƠNG 1 HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liêụ [2] , [5], [6]. Mục ñích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm cộng tính và song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M. Legendre, người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm Cauchy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + vớ i m ọ i ,x y∈  , Cu ố n sách c ủ a Kuczma (1985) mô t ả tuy ệ t v ờ i v ề hàm c ộ ng tính. Hàm c ộ ng tính c ũ ng ñ ã tìm th ấ y trong cu ố n sách c ủ a Aczél (1966, 1987), Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a nhi ề u ph ươ ng trình hàm hai hay nhi ề u bi ế n có th ể ñượ c bi ể u di ễ n theo các hàm c ộ ng tính, nhân tính, logarit ho ặ c hàm m ũ . Các ph ươ ng trình mà chúng ta s ẽ trình bày ở ñ ây ch ỉ liên quan ñế n hàm c ộ ng tính, song c ộ ng tính và nh ữ ng bi ế n d ạ ng c ủ a chúng. Nhân ti ệ n, chúng ta s ẽ kh ả o sát nghi ệ m c ủ a m ộ t s ố ph ươ ng trình khác có liên h ệ v ớ i ph ươ ng trình Cauchy c ộ ng tính. 1.1. HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC Định nghĩa 1.1.1. M ộ t hàm :f →  , trong ñ ó  là t ậ p các s ố th ự c, ñượ c g ọ i là m ộ t hàm c ộ ng tính n ế u nó th ỏ a mãn ph ươ ng trình hàm Cauchy. ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (1.1) v ớ i m ọ i ,x y ∈  . Ph ươ ng trình (1.1) ñượ c ñề c ậ p ñầ u tiên b ở i A. M. Legendre (1791) và C.F. Gaus(1809), nh ư ng A.L. Cauchy (1821) là ng ườ i ñầ u tiên tìm ra nghi ệ m liên t ụ c t ổ ng quát. 5 Định nghĩa 1.1.2. M ộ t hàm :f →  ñượ c g ọ i là m ộ t hàm tuy ế n tính n ế u nó có d ạ ng ( ) ( ) ,f x mx x= ∀ ∈  trong ñ ó m là m ộ t h ằ ng s ố b ấ t kì. Định lý 1.1.1. Cho :f →  là m ộ t hàm c ộ ng tính liên t ụ c. Khi ñ ó f là tuy ế n tính, ngh ĩ a là, f(x)=mx v ớ i m là m ộ t h ằ ng s ố tùy ý. Định nghĩa 1.1.3. M ộ t hàm :f →  ñượ c g ọ i là kh ả tích ñị a ph ươ ng n ế u nó kh ả tích trên m ỗ i kho ả ng h ữ u h ạ n . Chú ý 1.1.2. M ọ i hàm c ộ ng tính kh ả tích ñị a ph ươ ng ñề u là tuy ế n tính Định nghĩa 1.1.4. M ộ t hàm :f →  ñượ c g ọ i là thu ầ n nh ấ t h ữ u t ỉ n ế u ( ) ( ) f rx rf x= , (1.2) v ớ i m ọ i x R∈ và m ọ i s ố h ữ u t ỉ r. Định lý 1.1.2. N ế u m ộ t hàm c ộ ng tính liên t ụ c t ạ i m ộ t ñ i ể m thì nó liên t ụ c kh ắ p n ơ i. 1.2. HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN Trong ph ầ n tr ướ c, chúng ta ñ ã ch ứ ng t ỏ các hàm c ộ ng tính liên t ụ c là tuy ế n tính. Th ậ m chí n ế u chúng ta gi ả m ñ i ề u ki ệ n liên t ụ c v ề liên t ụ c t ạ i m ộ t ñ i ể m, các hàm c ộ ng tính v ẫ n còn tuy ế n tính. Tr ả i qua nhi ề u n ă m, s ự t ồ n t ạ i c ủ a hàm c ộ ng tính gián ñ o ạ n là m ộ t bài toán m ở . Các nhà toán h ọ c không th ể ch ứ ng minh m ọ i hàm c ộ ng tính là liên t ụ c và không ñư a ra ñượ c m ộ t ví d ụ v ề hàm c ộ ng tính gián ñ o ạ n. Nhà toán h ọ c ng ườ i Đứ c G. Hamel vào n ă m 1905 là ng ườ i ñầ u tiên thành công trong vi ệ c ch ứ ng minh s ự t ồ n t ạ i các hàm c ộ ng tính gián ñ o ạ n. Bây gi ờ chúng ta b ắ t ñầ u nghiên c ứ u các hàm c ộ ng tính phi tuy ế n (không tuy ế n tính). Định nghĩa 1.2.1. Đồ th ị c ủ a m ộ t hàm :f →  là t ậ p h ợ p ( ) ( ) { } , / ,G x y x y f x= ∈ = . D ễ dàng th ấ y r ằ ng ñồ th ị G c ủ a m ộ t hàm :f →  là m ộ t t ậ p con c ủ a m ặ t ph ẳ ng 2  . Định lý 1.2.1. Đồ th ị c ủ a m ộ t hàm c ộ ng tính phi tuy ế n tính :f →  là trù m ậ t kh ắ p n ơ i trong m ặ t ph ẳ ng 2  . Định nghĩa 1.2.2. Cho S là m ộ t t ậ p các s ố th ự c và B là m ộ t t ậ p con c ủ a S. Khi ñ ó B ñượ c g ọ i là m ộ t c ơ s ở Hamel ñố i v ớ i S n ế u m ỗ i ph ầ n t ử c ủ a S là m ộ t t ổ h ợ p tuy ế n tính h ữ u t ỉ ( h ữ u h ạ n) duy nh ấ t c ủ a B. Định lý 1.2.2. Cho B là m ộ t c ơ s ở Hamel ñố i v ớ i  . N ế u hai hàm c ộ ng tính có cùng giá tr ị t ạ i m ỗ i ph ầ n t ử c ủ a B thì chúng b ằ ng nhau. 6 Định lý 1.2.3. Cho B là 1 c ơ s ở Hamel ñố i v ớ i  . Cho :g B →  là m ộ t hàm tùy ý xác ñị nh trên B . Khi ñ ó t ồ n t ạ i m ộ t hàm c ộ ng tính :f →  sao cho ( ) ( ) f b g b= v ớ i m ọ i b B∈ . 1.3. TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH Chúng ta ñ ã th ấ y r ằ ng ñồ th ị c ủ a m ộ t hàm c ộ ng tính phi tuy ế n f là trù m ậ t trong m ặ t ph ẳ ng . Ngh ĩ a là m ỗ i vòng tròn ch ứ a m ộ t ñ i ể m ( x,y ) sao cho ( ) y f x= . Chúng ta c ũ ng ñ ã nh ậ n th ấ y r ằ ng m ộ t hàm c ộ ng tính f tr ở thành tuy ế n tính khi áp ñặ t tính liên t ụ c trên f . Chúng ta có th ể làm y ế u ñ i ề u ki ệ n liên t ụ c v ề liên t ụ c t ạ i m ộ t ñ i ể m. Trong ñ o ạ n này, chúng ta trình bày m ộ t s ố ñ i ề u ki ệ n chính qui nh ẹ khác mà làm cho m ộ t hàm c ộ ng tính là tuy ế n tính. Định lý 1.3.1. N ế u m ộ t hàm c ộ ng tính f ho ặ c b ị ch ặ n t ừ m ộ t phía ho ặ c ñơ n ñ i ệ u thì f là tuy ế n tính Định nghĩa 1.3.1: M ộ t hàm : f →   ñượ c g ọ i là nhân tính n ế u ( ) ( ) ( ), , f xy f x f y x y= ∀ ∈  . Định lý 1.3.2 : N ế u m ộ t hàm c ộ ng tính f c ũ ng là nhân tính thì f là tuy ế n tính 1.4. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG THỰC VÀ PHỨC Trong m ụ c này, ñầ u tiên chúng ta trình bày m ộ t s ố k ế t qu ả liên quan ñế n hàm c ộ ng tính trên m ặ t ph ẳ ng 2  và sau ñ ó nghiên c ứ u hàm c ộ ng tính giá tr ị ph ứ c trên m ặ t ph ẳ ng ph ứ c. Chúng ta b ắ t ñầ u m ụ c này v ớ i k ế t qu ả sau ñ ây. Định lý 1.4.1. N ế u 2 :f →  là c ộ ng tính trên m ặ t ph ẳ ng 2  thì t ồ n t ạ i các hàm c ộ ng tính 1 2 , :A A →  sao cho 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( ) ( )f x x A x A x= + (1.3) v ớ i m ọ i 1 2 ,x x ∈  . Định lý 1.4.2. N ế u 2 :f →  là m ộ t hàm c ộ ng tính liên t ụ c trên m ặ t ph ẳ ng 2  thì t ồ n t ạ i các h ằ ng s ố 1 2 ,c c sao cho ( ) 1 2 1 1 2 2 ,f x x c x c x= + (1.4) v ớ i m ọ i 1 2 ,x x ∈  . Bổ ñề 1.4.1. N ế u m ộ t hàm c ộ ng tính 2 :f →  liên t ụ c theo t ừ ng bi ế n thì nó là hàm liên t ụ c. Định lý 1.4.3. N ế u : n f →  là m ộ t hàm c ộ ng tính liên t ụ c trên n  thì t ồ n t ạ i các h ằ ng s ố 1 2 , , ., n c c c sao cho 7 1 2 1 1 2 2 ( , , ., ) . n n n f x x x c x c x c x= + + + (1.5) v ớ i m ọ i 1 2 , , ., n x x x ∈  . Chú ý 1.4.1. Trong ph ầ n còn l ạ i c ủ a m ụ c này, chúng ta kh ả o sát hàm c ộ ng tính có giá tr ị ph ứ c trên m ặ t ph ẳ ng ph ứ c. Chúng ta b ắ t ñầ u v ớ i m ộ t gi ớ i thi ệ u ng ắ n g ọ n v ề h ệ s ố ph ứ c. Các s ố có d ạ ng 1a b+ − , trong ñ ó a và b là nh ữ ng s ố th ự c, ñượ c g ọ i là các s ố ph ứ c. Vào ñầ u th ế k ỉ 16, Cardan(1501 – 1576) làm vi ệ c v ớ i s ố ph ứ c trong vi ệ c gi ả i ph ươ ng trình b ậ c hai và b ậ c ba. Vào th ế k ỉ 18, các hàm liên quan ñế n s ố ph ứ c ñượ c tìm th ấ y b ở i Euler. Trong m ộ t th ờ i gian dài, các s ố ph ứ c ít ñượ c quan tâm và nói chung không ñượ c xét ñế n nh ư các s ố chính th ố ng cho ñế n gi ữ a th ế k ỉ 19. Descartes lo ạ i b ỏ các nghi ệ m ph ứ c c ủ a ph ươ ng trình và ñặ t tên chúng là ả o. Euler c ũ ng c ả m th ấ y các s ố ph ứ c “t ồ n t ạ i ch ỉ trong t ưở ng t ượ ng” và xem các nghi ệ m ph ứ c c ủ a m ộ t ph ươ ng trình ch ỉ h ữ u ích trong vi ệ c ch ứ ng t ỏ r ằ ng các ph ươ ng trình này th ự c s ự vô nghi ệ m. Gauss ñư a ra m ộ t bi ể u di ễ n hình h ọ c ñố i v ớ i s ố ph ứ c và nh ậ n ra r ằ ng th ậ t là không ñ úng n ế u cho r ằ ng “có m ộ t bí m ậ t m ờ m ị t nào ñ ó trong các s ố này”. Ngày nay, các s ố ph ứ c ñượ c ch ấ p nh ậ n r ộ ng rãi theo công trình c ủ a Gaus. Đị nh ngh ĩ a hình th ứ c v ề s ố ph ứ c ñượ c cho b ở i William Hamilton. H ệ s ố ph ứ c  là t ậ p h ợ p các c ặ p th ứ t ự các s ố th ự c ( x,y) v ớ i phép c ộ ng và phép nhân xác ñị nh b ở i ( , ) ( , ) ( , )x y u v x u y v+ = + + ( , )( , ) ( , )x y u v xu yv xv yu= − + v ớ i m ọ i , , ,x y u v∈  . Đồ ng nh ấ t s ố th ự c x v ớ i c ặ p ( ,0)x và kí hi ệ u i là s ố thu ầ n ả o (0,1), ta có th ể vi ế t l ạ i bi ể u th ứ c sau ( , ) ( ,0) (0,1)( ,0)x y x y= + thành ( , )x y x iy= + . N ế u ta kí hi ệ u v ế trái c ủ a bi ể u di ễ n này là z thì ta có z x iy= + . S ố th ự c x ñượ c g ọ i là ph ầ n th ự c c ủ a z, kí hi ệ u là Rez. T ươ ng t ự , s ố th ự c y ñượ c g ọ i là ph ầ n ả o c ủ a z và kí hi ệ u là Imz. N ế u z là m ộ t s ố ph ứ c có d ạ ng x iy+ thì s ố ph ứ c x iy− ñượ c g ọ i là liên h ợ p c ủ a z và kí hi ệ u là z . M ộ t hàm b ấ t kì :f →   có th ể ñượ c vi ế t thành: ( ) ( ) ( ) 1 2 f z f z if z = + , (1.6) trong ñ ó 1 : f →  và 2 : f →  ñượ c cho b ở i 1 ( ) f z = Re ( )f z , 2 ( ) f z = Im ( ).f z (1.7) 8 N ế u f c ộ ng tính thì theo (1.6) và (1.7), ta có: ( ) ( ) 1 1 2 1 2 f z z Re f z z + = + = ( ) ( ) 1 2 Re f z f z+    = ( ) ( ) 1 2 Re f z Re f z + = ( ) ( ) 1 1 1 2 f z f z + . T ươ ng t ự , ( ) ( ) 2 1 2 1 2 f z z Im f z z + = + = ( ) ( ) 1 2 Im f z f z+    = ( ) ( ) 1 2 Im f z Im f z + = ( ) ( ) 2 1 2 2 f z f z + . Định lý 1.4.4. N ế u :f →   là c ộ ng tính thì t ồ n t ạ i các hàm c ộ ng tính : kj f →   ( ) , 1,2 k j = sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 21 22 f z f Rez f Imz if Rez if Im z = + + + . Định lý 1.4.5. N ế u :f →   là m ộ t hàm c ộ ng tính liên t ụ c thì t ồ n t ạ i các h ằ ng s ố ph ứ c 1 c và 2 c sao cho ( ) 1 2 f z c z c z= + (1.8) Trong ñ ó z kí hi ệ u s ố ph ứ c liên h ợ p v ớ i z . L ư u ý r ằ ng không nh ư các hàm c ộ ng tính liên t ụ c giá tr ị th ự c trên  , các hàm c ộ ng tính liên t ụ c giá tr ị ph ứ c trên  là không tuy ế n tính. Tính tuy ế n tính có th ể ñượ c khôi ph ụ c n ế u ta gi ả s ử ñ i ề u ki ệ n chính quy m ạ nh h ơ n nh ư là tính gi ả i tích thay vì tính liên t ụ c. Định nghĩa 1. 4.1. M ộ t hàm :f →   ñượ c g ọ i là gi ả i tích n ế u f kh ả vi trên  . Định lý 1.4.6. N ế u :f →   là m ộ t hàm c ộ ng tính gi ả i tích thì t ồ n t ạ i m ộ t h ằ ng s ố ph ứ c c sao cho ( ) f z cz = , ngh ĩ a là f tuy ế n tính. 1.5. HÀM SONG CỘNG TÍNH Định nghĩa 1.5.1. M ộ t hàm 2 :f →   ñượ c g ọ i là song c ộ ng tính n ế u nó c ộ ng tính theo t ừ ng bi ế n, ngh ĩ a là ( ) ( ) ( ) , , , f x y z f x z f y z + = + , ( ) ( ) ( ) , , , f x y z f x y f x z + = + (1.9) v ớ i m ọ i , ,x y z∈  . Ví d ụ duy nh ấ t v ề hàm c ộ ng tính d ễ dàng th ấ y ñượ c là m ộ t b ộ i c ủ a tích các bi ế n ñộ c l ậ p. Vì v ậ y n ế u m là m ộ t h ằ ng và ta ñị nh ngh ĩ a f b ở i ( ) , f x y mxy = , ,x y∈  thì f là song c ộ ng tính. Định lý 1.1.5. M ỗ i hàm song c ộ ng tính liên t ụ c 2 :f →   có d ạ ng 9 ( ) , f x y mxy = v ớ i m ọ i ,x y∈  và h ằ ng s ố m tùy ý nào ñ ó trong  . Định lý 1.5.2. M ỗ i hàm c ộ ng tính 2 :f →   có th ể ñượ c bi ể u di ể n d ướ i d ạ ng ( ) 1 1 , n m kj k j k j f x y r s α = = = ∑ ∑ , (1.10) trong ñ ó 1 n k k k x r b = = ∑ , 1 m j j j y s b = = ∑ , , k j r s là h ữ u t ỉ , trong khi j b là các ph ầ n t ử c ủ a m ộ t c ơ s ở Hamel B và kj α tùy ý ph ụ thu ộ c vào j b và k b . CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Các khái ni ệ m và k ế t qu ả trong ch ươ ng này có th ể tìm th ấ y trong các tài li ệ u [1], [2], [3], [5]. M ụ c ñ ích c ủ a ch ươ ng này là nh ằ m trình bày ñị nh lý giá tr ị trung bình c ủ a phép tính vi phân cùng v ớ i m ộ t s ố ứ ng d ụ ng c ủ a nó và bàn ñế n nhi ề u ph ươ ng trình hàm ñượ c thúc ñẩ y vi ệ c s ử d ụ ng ñị nh lý giá tr ị trung bình. T ấ t c ả các ph ươ ng trình hàm ñề c ậ p trong ch ươ ng này ñượ c s ử d ụ ng theo ñ a th ứ c ñặ c tr ư ng. Ớ ñ ây, chúng ta c ũ ng kh ả o sát ñị nh lý giá tr ị trung bình ñố i v ớ i t ỉ sai phân và ñư a ra m ộ t s ố ứ ng d ụ ng trong vi ệ c xác ñị nh trung bình hàm. Cu ố i cùng, chúng ta ch ứ ng minh ñị nh lý giá tr ị trung bình c ủ a Cauchy và ch ỉ ra các ph ươ ng trình hàm khác nhau có th ể là ñộ ng l ự c s ử d ụ ng ñị nh lý t ổ ng quát này. 2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE M ộ t trong các ñị nh lý quan tr ọ ng nh ấ t trong phép tính vi phân là ñị nh lý giá tr ị trung bình Lagrange. Đị nh lý này ñượ c khám phá ñầ u tiên b ở i Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nh ư ng ý t ưở ng c ủ a vi ệ c ứ ng d ụ ng ñị nh lý Rolle vào m ộ t hàm b ổ tr ợ thích h ợ p ñượ c cho b ở i Ossian Bonnet (1819-1892). Tuy nhiên, phát bi ể u ñầ u tiên c ủ a ñị nh lý này xu ấ t hi ệ n trong bài báo c ủ a nhà v ậ t lý h ọ c n ổ i ti ế ng André-Marie Ampère (1775-1836). Nh ư ñ ã bi ế t nhi ề u k ế t qu ả c ủ a gi ả i tích th ự c c ổ ñ i ể n là m ộ t h ệ qu ả c ủ a ñị nh lý giá tr ị trung bình. Ch ứ ng minh c ủ a ñị nh lý Rolle d ự a vào hai k ế t qu ả ñơ n gi ả n sau ñ ây. 10 Mệnh ñề 2.1.1. N ế u m ộ t hàm kh ả vi : f →   ñạ t c ự c tr ị t ạ i m ộ t ñ i ể m c thu ộ c kho ả ng m ở (a,b) thì ( ) ' 0 f c = . Mệnh ñề 2.1.2 . M ộ t hàm liên t ụ c : f →   ñạ t c ự c tr ị trên m ộ t kho ả ng ñ óng và b ị ch ặ n b ấ t k ỳ [ ] , a b . Chúng ta b ắ t ñầ u ñị nh lý Rolle nh ư sau: Định lý 2.1.1. N ế u f liên t ụ c trên [ ] 1 2 , x x , kh ả vi trên ( ) 1 2 , x x và ( ) ( ) 1 2 f x f x= , thì t ồ n t ạ i m ộ t ñ i ể m ( ) 1 2 , x x η ∈ mà sao cho ( ) ' 0 f η = . Định lý 2.1.2. V ớ i m ỗ i hàm giá tr ị th ự c f kh ả vi trên kho ả ng I và v ớ i m ọ i c ặ p 1 2 x x≠ trong I , t ồ n t ạ i m ộ t ñ i ể m η ph ụ thu ộ c 1 x và 2 x sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ' , f x f x f x x x x η − = − . (2.1) 2.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Đị nh lý giá tr ị trung bình có gi ả i thích hình h ọ c nh ư sau. Ti ế p tuy ế n v ớ i ñồ th ị c ủ a hàm f t ạ i 1 2 ( , )x x η song song v ớ i cát tuy ế n n ố i các ñ i ể m ( ) ( ) 1 1 ,x f x và ( ) ( ) 2 2 ,x f x . Trong m ụ c này, chúng ta thi ế t l ậ p m ộ t s ố k ế t qu ả v ề phép tính vi phân và tích phân s ử d ụ ng ñị nh lý giá tr ị trung bình Lagrange. Bổ ñề 2.2.1. N ế u ( ) ' 0f x = v ớ i m ọ i x trong kho ả ng ( ) ,a b thì f là h ằ ng trên [ ] ,a b . Bồ ñề 2.2.2. N ế u ( ) ( ) ' 'f x g x= v ớ i m ọ i ( ) ,x a b∈ thì àf v g sai khác m ộ t h ằ ng s ố trên [ ] ,a b . Bồ ñề 2.2.3. N ế u ( ) ' 0f x > (< 0) , v ớ i m ọ i ( ) ,x a b∈ thì hàm f t ă ng ( gi ả m ) th ự c s ự trên [ ] ,a b . Bồ ñề 2.2.4. N ế u ( ) '' 0f x > , v ớ i m ọ i ( ) ,x a b∈ thì f là lõm trên kho ả ng [ ] ,a b . Đị nh lý c ơ b ả n c ủ a phép tính phát bi ể u r ằ ng n ế u f là m ộ t hàm liên t ụ c trên [ ] ,a b và F là m ộ t nguyên hàm c ủ a f trên [ ] ,a b thì ( ) ( ) ( ) b a f t dt F b F a= − ∫ . (2.2) . của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy,. liên quan. - Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm liên quan. CHƯƠNG 1 HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH Các khái niệm và kết